MOTO DI PURO ROTOLAMENTO

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1 MOTO DI PURO ROTOLAMENTO PROF. FRANCESCO DE PALMA

2 Indice 1 INTRODUZIONE MOTO DI PURO ROTOLAMENTO ENERGIA CINETICA DEL MOTO DI PURO ROTOLAMENTO OSSERVAZIONI SUL MOTO DI PURO ROTOLAMENTO MOTO DI PURO ROTOLAMENTO IN PRESENZA DI UNA FORZA E DI UN MOMENTO COSTANTE CASO PARTICOLARE DEL MOTO DI PURO ROTOLAMENTO: MOMENTO APPLICATO NULLO CASO PARTICOLARE DEL MOTO DI PURO ROTOLAMENTO: FORZA APPLICATA NULLA CASO PARTICOLARE DEL MOTO DI PURO ROTOLAMENTO: FORZA E MOMENTO APPLICATI NULLI OSSERVAZIONI ATTRITO VOLVENTE ESEMPIO SULL ATTRITO VOLVENTE EQUILIBRIO STATICO DEL CORPO RIGIDO BIBLIOGRAFIA di 17

3 1 Introduzione In questa lezione introdurremo il moto di puro rotolamento. Lo studieremo in presenza di una forza ed un momento costante. Nel seguito della lezione vedremo alcuni casi particolari del moto di puro rotolamento ed introdurremo l attrito volvente. Al termine della lezione introdurremo l importante concetto della statica del corpo rigido. 3 di 17

4 2 Per studiare il moto di puro rotolamento dobbiamo considerare un corpo cilindrico posto su un piano orizzontale. Un analisi analoga può essere svolta con una sfera. Il corpo è in moto rispetto ad un piano orizzontale reale, mentre quest ultimo è fermo nel sistema esterno inerziale. Il moto del corpo rigido cilindrico può avvenire in tre modi diversi: Puro moto traslatorio, nel caso in cui tutti i punti del corpo abbiano la stessa velocità parallela al piano. Moto di rotolamento e strisciamento, nel caso in cui il corpo si muova parallelamente al piano e ruoti ed il punto di contatto tra il corpo e il piano abbia una velocità non nulla., nel caso in cui il corpo si muova parallelamente al piano e ruoti ma il punto di contatto abbia una velocità nulla, come mostrato in Figura 1. Gli ultimi due tipi di moto sono di tipo rototraslatorio. Per maggiori dettagli si veda la lezione Dinamica del corpo rigido. Analizziamo, ora, la velocità dei singoli punti del cilindro in moto di puro rotolamento. Il centro di massa del corpo, posto sull asse del cilindro, si muove di velocità. Il resto dei punti del corpo ruotano attorno ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare alla faccia piana del cilindro, come mostrato in Figura 1. Il punto di contatto,, tra il piano ed il corpo è fermo, ovvero. Affinché resti fermo, una forza deve agire su di esso, essa è la forza di attrito statico tra il piano reale scabro ed il corpo. Consideriamo la forza di attrito statico, e non quella di attrito dinamico, poiché il punto di contatto è fermo, ovvero. Figura 1: Rappresentazione grafica del moto di puro rotolamento. 4 di 17

5 Un punto qualunque del corpo rigido individuato dal vettore rispetto al CM ha una velocità pari alla velocità del centro di massa più un termine dovuto alla rotazione attorno al CM, ovvero: Equazione 1 Per una rappresentazione grafica dei vari punti del cilindro si veda la Figura 2. La direzione della velocità angolare è perpendicolare al piano del disegno in Figura 2 ed il suo verso è entrante, poiché il corpo ruota in senso orario. Se il corpo è un cilindro di raggio pari a, l Equazione 1 per il punto di contatto C risulta: Equazione 2 Affinché si abbia un moto di puro rotolamento, la relazione fissa data dall equazione precedente, tra la velocità lineare del centro di massa e la velocità angolare, deve essere verificata. In modulo, l Equazione 2 risulta: Equazione 3 Pertanto, per un moto di puro rotolamento vi è anche, una relazione tra l accelerazione lineare del centro di massa e l accelerazione angolare del corpo. Analizziamo ora la velocita di alcuni punti specifici della superfice del cilindro. La velocità del punto, posto nel punto più alto del cilindro (si veda la Figura 2) risulta pari a: poiché in modulo si ha e le direzioni si evincono dalla Figura 2 con ortogonale al disegno ed entrante. L ultimo passaggio si ha poiché il raggio vettore di dal centro di massa è pari alla metà del raggio vettore dal punto di contatto, ovvero. La velocità del punto, di Figura 2, risulta: Equazione 4 dove abbiamo sostituito il valore di ottenuto nell Equazione 2. 5 di 17

6 Nelle ultime due equazioni abbiamo visto come esprimere le velocità di alcuni punti conoscendo il raggio vettore rispetto al punto di contatto (e.g. ) e la velocità angolare. Possiamo generalizzare tale relazione, infatti la velocità di qualunque punto del corpo, individuato dal raggio vettore rispetto a C, risulta: Si ricordi che l Equazione 2 ed i calcoli che ad essa sono seguiti, valgono unicamente per un moto di puro rotolamento, ove il punto di contatto è fermo. Figura 2: Studio delle velocità nel moto di puro rotolamento Energia cinetica del moto di puro rotolamento Valutiamo ora l energia cinetica del cilindro di massa in moto di puro rotolamento. Per il teorema di König l energia cinetica del corpo risulta pari alla somma dell energia cinetica del centro di massa e dell energia cinetica del corpo nel sistema del centro di massa. Il moto del corpo nel sistema del centro di massa è una pura rotazione. Pertanto, l energia cinetica nel sistema del CM risulta pari all energia cinetica rotazionale con un asse passante per il CM, ovvero: L energia cinetica totale risulta, quindi: 6 di 17

7 Equazione 5 dove è il momento d inerzia per un asse passante per. Per il teorema di Huygens-Steiner, risulta pari a. Dall Equazione 5 si vede che l energia cinetica totale del corpo in moto è pari all energia cinetica rotazionale per un asse passante per il punto di contatto Osservazioni sul moto di puro rotolamento Come abbiamo visto, sia la velocità di ciascun punto che l energia cinetica del corpo possono essere valutati considerando il moto come una pura rotazione attorno al punto di contatto istantaneo. Pertanto, il moto di roto traslazione attorno ad un asse passante per il CM con velocità angolare, ortogonale alla faccia piana del cilindro, è equivalente alla successione di rotazioni infinitesime attorno ad un asse passante per il punto di contatto istantaneo, con la medesima velocità angolare. Per ciascun intervallo di tempo infinitesimo il punto di contatto e l asse di rotazione saranno differenti. Nel grafico in Figura 2 essi si sposteranno di un a destra. 7 di 17

8 3 in presenza di una forza e di un momento costante Consideriamo, ora, un corpo cilindrico di massa in moto di puro rotolamento su un piano orizzontale scabro. Nel suo centro di massa sono applicati una forza costante orizzontale ed un momento costante parallelo all asse z ed entrante nella figura. Sul corpo inoltre agiscono la forza peso, che per le proprietà delle forze parallele possiamo considerare applicata nel centro di massa, e la reazione vincolare del piano, applicata nel punto di contatto. Le forze hanno le direzioni mostrate nella Figura 3. Poiché ha il verso necessario a tenere fermo, esso non è noto a priori. Assumiamo che la forza di attrito sia concorde alla forza, come mostrato in Figura 3 e ne valutiamo il segno in seguito, se risultasse negativo avrebbe il verso opposto. Figura 3: Rappresentazione grafica del moto di puro rotolamento in presenza di un momento e di una forza costante. La legge del moto del centro di massa risulta pari a: Equazione 6 La sua proiezione sugli assi cartesiani x e y è: 8 di 17

9 Equazione 7 Pertanto, solo la forza e la forza di attrito determinano l accelerazione lineare del centro di massa lungo l asse. Considerando il centro di massa come polo, il teorema del momento angolare risulta: Equazione 8 poiché tutte le forze eccetto hanno momento nullo rispetto al centro di massa (si veda la Figura 3). Dall equazione precedente e dall Equazione 3 abbiamo il valore dell accelerazione del centro di massa in funzione della forza di attrito: Equazione 9 Sostituendo il valore precedente nell Equazione 7 per il moto lungo l asse, otteniamo il valore della forza di attrito: Equazione 10 L accelerazione del centro di massa dall Equazione 9 e dall Equazione 10 risulta: Equazione 11 9 di 17

10 Dall Equazione 10 si vede che il verso della forza di attrito risulta concorde o opposta all asse a seconda che il termine sia, rispettivamente, positivo o negativo. Nel caso in cui la forza di attrito risulti negativa, essa avrà semplicemente il verso opposto a quello scelto in Figura 3. Poiché la forza di attrito statico ha un valore massimo oltre il quale il punto di contatto si metterebbe in moto, per avere un moto di puro rotolamento, il modulo della forza di attrito deve verificare la condizione: Equazione 12 Tale relazione va verificata qualunque sia il verso della forza di attrito. Se vi fosse una componente verticale della forza, essa potrebbe alterare la componente lungo l asse y dell Equazione 7 e quindi variare il valore di presente nell equazione precedente. Dal valore massimo della forza di attrito, espressa nell equazione precedente, si può derivare il valore massimo della forza e del momento applicabili al corpo affinché esso svolga un moto di puro rotolamento su un piano con coefficiente di attrito statico rotolamento deve valere la relazione:. Affinché si abbia un moto di puro Nel caso particolare in cui sia verificata la seguente uguaglianza tra il modulo del momento e della forza applicati sul corpo, avremo: ovvero si ha un moto di puro rotolamento anche su un piano liscio, poiché non è necessaria la forza di attrito per tenere fermo il punto di contatto Caso particolare del moto di puro rotolamento: momento applicato nullo 10 di 17

11 Studiamo ora il moto di puro rotolamento di un corpo cilindrico a cui sia applicata solo una forza costante e orizzontale, ovvero rispetto al caso generale precedente, il momento è nullo,. Il sistema è rappresentato nella Figura 4. Dall Equazione 10, la forza di attrito risulta: Essa avrà un verso opposto all asse, come mostrato in Figura 4. L accelerazione del centro di massa, dall Equazione 11 risulta: Data l Equazione 12, affinché si abbia un moto di puro rotolamento, il modulo della forza deve soddisfare la seguente condizione: Figura 4: Rappresentazione grafica del moto di puro rotolamento in presenza solo di una forza applicata oltre alla forza di attrito Caso particolare del moto di puro rotolamento: forza applicata nulla Studiamo ora il moto di puro rotolamento di un corpo cilindrico a cui sia applicato solo un momento costante, ovvero rispetto al caso generale, la forza è nulla,. Il sistema è 11 di 17

12 rappresentato nella Figura 5. La forza di attrito, dall Equazione 10, risulta concorde con l asse di modulo pari a: e L accelerazione del centro di massa, dall Equazione 11 risulta: Data l Equazione 12, affinché si abbia un moto di puro rotolamento, il modulo del momento applicato deve soddisfare la seguente condizione: Figura 5: Rappresentazione grafica del moto di puro rotolamento in presenza solo di un momento applicato oltre alla forza di attrito Caso particolare del moto di puro rotolamento: forza e momento applicati nulli Studiamo ora il moto di puro rotolamento di un corpo cilindrico a cui non è applicata nessuna forza né alcun momento, ovvero e. In tal caso il corpo resta in quiete o in moto rettilineo uniforme con, e. 12 di 17

13 3.4. Osservazioni Il lavoro della forza di attrito statico è nullo, poiché il punto di contatto istantaneo è immobile, ovvero: Pertanto, nel caso in cui agiscano solo forze conservative (e.g. la forza peso) oltre alla forza di attrito statico, l energia meccanica si conserva. 13 di 17

14 4 Attrito volvente Studiando sperimentalmente il moto di puro rotolamento su piani reali, si osserva che può esserci un ulteriore forza di attrito che si oppone al moto. Essa è detta forza di attrito volvente. Tale forza è associata alla deformazione del piano dove avviene il moto, che, pertanto, risulta leggermente incurvato sotto il peso del corpo. La forza di attrito volvente può essere schematizzato in un momento che si oppone al moto, esso ha modulo pari a: Equazione 13 con modulo della reazione vincolare normale del piano, il coefficiente dell attrito volvente si misura in metri Esempio sull attrito volvente Per valutare l effetto dell attrito volvente sul moto di un corpo analizziamo un esempio numerico. Consideriamo un corpo cilindrico di massa e raggio su un piano reale con coefficiente di attrito statico e coefficiente dell attrito volvente. Se il corpo avesse una forma qualunque e fosse fermo sul piano reale, la forza minima affinché si muova strisciando dovrebbe essere superiore al massimo valore della forza di attrito statico. Ovvero la forza minima per farlo iniziare a strisciare sarebbe: Nel caso in cui il corpo sia cilindrico, la forza minima che va applicata al centro di massa per farlo iniziare a rotolare deve essere pari ed opposta al momento del attrito volvente, ovvero: 14 di 17

15 Dai valori numerici precedenti si evince che la forza necessaria a far rotolare il corpo è molto minore di quella necessaria a trascinarlo,, Ovvero, serve molta meno forza a far ruotare una ruota che a trascinare un oggetto della stessa massa. Otterremmo valori simili se avessimo considerato l attrito dinamico invece di quello statico. Dove non esplicitamente richiesto, l attrito volvente è usualmente trascurato, poiché non ha un modulo rilevante. 15 di 17

16 5 Equilibrio statico del corpo rigido In quest ultimo paragrafo analizziamo il caso in cui applicando un sistema di forze ad un corpo rigido, esso resta in equilibrio. Tale condizione è estremamente importante per molte applicazioni ingegneristiche. Un corpo rigido, inizialmente in quiete, su cui agisce un sistema di forze e momenti, è in equilibrio statico se e solo se sia la risultante che il momento totale delle forze esterne sono nulli. Ovvero per un corpo in quiete: Equazione 14 Poiché, in tal caso, avremo: Si noti che avendo risultante nulla,, il valore del momento totale delle forze è indipendente dal polo rispetto al quale esso è calcolato. Pertanto il momento risulta nullo,, per qualunque polo. Nei corsi di ingegneria spesso l Equazione 14 viene chiamata equazione cardinale della statica. 16 di 17

17 Bibliografia P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica Vol I, Edises D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fondamenti di fisica. Meccanica, termologia, CEA 17 di 17