ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2013

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1 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA La funzione f è definita da cos t dt per tutti i numeri reali appartenenti all intervallo chiuso [; 9].. Si calcolino f () e f () ove f indica la derivata di f.. Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico di f e da esso si deduca per quale o per quali valori di, f () presenta massimi e minimi. Si tracci altresì l andamento di f () deducendolo da quello di f ().. Si trovi il valor medio di f () sull intervallo [; ]. 4. Sia R la regione del piano delimitata da e dall asse per 4; R è la base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all asse hanno, per ciascun, area A() sen 4. Si calcoli il volume di W. PRBLEMA Sia f la funzione definita, per tutti gli reali, da f (). 4. Si studi f e se ne disegni il grafico in un sistema di coordinate cartesiane. Si scrivano le equazioni delle tangenti a nei punti P( ; ) e Q(; ) e si consideri il quadrilatero convesso che esse individuano con le rette P e Q. Si provi che tale quadrilatero è un rombo e si determinino le misure, in gradi e primi sessagesimali, dei suoi angoli.. Sia la circonferenza di raggio e centro (; ). Una retta t per l origine degli assi, taglia oltre che in in un punto A e taglia la retta di equazione in un punto B. Si provi che, qualunque sia t, l ascissa di B e l ordinata di A sono le coordinate (; ) di un punto di.. Si consideri la regione R compresa tra e l asse sull intervallo [; ]. Si provi che R è equivalente al cerchio delimitato da e si provi altresì che la regione compresa tra e tutto l asse è equivalente a quattro volte il cerchio. 4. La regione R, ruotando intorno all asse, genera il solido W. Si scriva, spiegandone il perché, ma senza calcolarlo, l integrale definito che fornisce il volume di W. Zanichelli Editore, 4

2 QUESTINARI Un triangolo ha area e due lati che misurano e. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta. Si calcoli il dominio della funzione f (). Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A(; ) e B( 6; ). Si determini l equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A. Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito. In un libro si legge: Due valigie della stessa forma sembrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano ben conto che a un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del % (oppure del % o del 5%) corrispondano aumenti di capacità (volume) di circa il % (oppure del 5% o %: raddoppio). È così? Si motivi esaurientemente la risposta. Con le cifre da a è possibile formare! 54 numeri corrispondenti alle permutazioni delle cifre. Ad esempio i numeri 4 56 e 546 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 54 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la settima posizione e quale quello che occupa la -esima posizione? Un foglio rettangolare, di dimensioni a e b, ha area m e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono le misure di a e b? La funzione f ha il grafico in figura. Se g() f (t)dt, per quale valore positivo di gha un minimo? Si illustri il ragionamento seguito. 4 Figura. 9 Si calcoli: lim 4 sen cos sen. Zanichelli Editore, 4

3 Se la figura a lato rappresenta il grafico di f (), quale dei seguenti potrebbe essere il grafico di f ()? Si giustifichi la risposta. = f() 4 4 Figura. = f'() = f'() = f'() = f'() A B C D Figura. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 4

4 SLUZINE DELLA PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT PRBLEMA. Data la funzione integrale f () cos t dt, per il teorema del calcolo integrale la sua funzione derivata è la funzione integranda, ovvero: f () cos. Risulta allora: f () cos ; f () cos.. Consideriamo la funzione f () cos : il corrispondente grafico si ottiene partendo dal grafico dalla funzione goniometrica cos, mediante una dilatazione orizzontale del tipo cos m, con m, e una traslazione verticale di vettore ;. Tenuto conto della periodicità della funzione coseno e della dilatazione orizzontale, in R la funzione f () ha periodo T m, ovvero T 4. Il grafico interseca l asse per cos ovvero: cos k 4 k 4 4k 4k, k Z. In particolare, nell intervallo [; 9] il grafico interseca l asse delle ascisse nei punti 4 e. Inoltre la funzione coseno ha massimi assoluti nei punti k k, k Z, e minimi assoluti nei punti k (k ), k Z. Pertanto f () in R ha: massimi assoluti in k k4k, k Z, minimi assoluti in k (k )(4k ), k Z. In particolare, nell intervallo [; 9] la funzione f () ha un massimo assoluto in e un minimo assoluto in. La funzione coseno ha flesso nei punti k k, k Z. Segue che f () in R ha flesso nei punti k k k, k Z. In particolare, nell intervallo [; 9] la funzione f () ha flesso in. Ricaviamo il grafico di f () nell intervallo [; 9] partendo dalla funzione cosinusoidale e applicando le suddette trasformazioni geometriche (figura 4). Figura 4. f'() = cos + 4 π π π π π 9 = cos = cos 4 Zanichelli Editore, 4

5 sservando il grafico di f () possiamo fare le seguenti deduzioni: per 4, f () e f () f crescente con concavità verso il basso; per 4, f 4 e f 4 4 punto di massimo relativo per f ; per 4, f () e f () f decrescente con concavità verso il basso; per, f () e f () punto di flesso ascendente per f ; per, f () e f () f decrescente con concavità verso l alto; per, f e f punto di minimo relativo per f ; per 9, f () e f () f crescente con concavità verso l alto. Inoltre: per risulta f () cos t dt ; per 9 risulta f (9) 9 cos t dt sen t t 9 sen 9 9,5. Rappresentiamo ora l andamento della funzione f () e della funzione f () (figura 5). = f() Σ π π 4 π = f () π 9 Figura 5.. Poiché f () è una funzione continua nell intervallo [; ], per il teorema della media esiste almeno un punto z di tale intervallo tale che: f (z) f ()d, con f (z) detto valor medio della funzione f () in tale intervallo. In tal caso risulta: f (z) cos d sen t. 4. Si consideri il solido W, con base R definita dalla regione del piano delimitata da e dall asse per 4, e con sezioni ortogonali all asse di area A() sen 4. Il volume V di W ha quindi espressione: V 4 A()d 4 sen 4 d 4 cos 4 4 (cos cos ) 5 Zanichelli Editore, 4

6 ( ) 4. PRBLEMA. Consideriamo la funzione razionale fratta f (). Essendo 4 4 R, essa ha come dominio l insieme dei numeri reali R. È una funzione pari poiché f ( ) f (), 4 ( ) 4 pertanto il suo grafico è simmetrico rispetto all asse delle. Le intersezioni con gli assi cartesiani si trovano risolvendo i seguenti sistemi: R; Il grafico non interseca l asse ma interseca l asse nel punto (; ). La funzione è sempre positiva in R. Valutiamo gli eventuali asintoti calcolando i limiti agli estremi del dominio: lim, 4 pertanto il grafico ha come asintoto orizzontale l asse delle ascisse. Studiamo la derivata prima della funzione e il suo segno: ( ) 6 f () ( 4. ) (4 ) sservando che il denominatore della derivata prima è sempre positivo, si deduce che: f () per il grafico è crescente; f () per il grafico ha un massimo; f () per il grafico è decrescente; quindi la funzione ha un punto di massimo assoluto in e il grafico ha un massimo assoluto nel punto M(; ). Studiamo la concavità del grafico mediante lo studio del segno della derivata seconda: f () ( (4 ) (4 ) (4 )[(4 ) 4 ] 4 ) (4 ( 4 ) 4 (4 ) 4 ) 4 6. ( 4 ) sservando che il denominatore della derivata seconda è sempre positivo si può dedurre che: f () per 4 il grafico ha concavità verso l alto; f () per 4 il grafico ha concavità verso il basso; 6 Zanichelli Editore, 4

7 f () per 4 il grafico ha due flessi. Determiniamo le coordinate di tali flessi: f () F ; e F ;. In figura 6 è rappresentato il grafico della funzione f (). Φ f() = 4 + M F F Figura 6. Consideriamo i punti P( ; ) e Q(; ) della curva. Ricordiamo che data una funzione f derivabile in un punto, l equazione della retta tangente al corrispondente grafico in tale punto è: f ( ) ( ) f ( ). 6 Poiché f (), (4 risulta: ) 6( ) f ( ) (4 ( ) ) e f () 6 (4 ). Ricaviamo le equazioni delle rette tangenti nei punti P e Q secondo la formula sopraindicata: per P( ; ): ( ) t :, per Q(; ): ( ) t :. sserviamo che tali tangenti si intersecano nel punto M(; ), avendo la stessa intercetta all origine. In figura sono rappresentate le rette tangenti trovate e le rette P e Q. t t M P Q ϑ Figura. Consideriamo il quadrilatero PQM e verifichiamo se i lati sono a due a due paralleli. Zanichelli Editore, 4

8 Il coefficiente angolare della retta P vale: m P pertanto la retta P è parallela alla retta t. Analogamente il coefficiente angolare della retta Q risulta: m Q, pertanto la retta Q è parallela alla retta t. Segue allora che il quadrilatero PQM è un parallelogramma. sserviamo inoltre che le sue diagonali, PQ e M, sono perpendicolari, ciò è sufficiente per affermare che si tratta di un rombo. Valutiamo l ampiezza degli angoli MPˆ e MQˆ tramite la misura dell angolo a essi congruente formato dalle rette t e Q: tg MPˆ tg MQˆ tg m Q m t, mq m t con m Q e m t rispettivamente i coefficienti delle rette Q e t. Risulta allora: tg MPˆ tg MQˆ tg 4 arctg 4 5, 5. Pertanto: MPˆ MQˆ 5. Essendo gli angoli PÔQ e PMˆQ congruenti e supplementari agli angoli MPˆ e MQˆ per proprietà dei parallelogrammi si ricava: PÔQ PMˆQ La circonferenza di raggio e centro (; ) ha equazione: ( ) ( ). Una retta t per l origine degli assi, ha equazione m. Essa interseca la circonferenza in e in A, mentre taglia la retta di equazione in un punto B (figura ). B t = Γ A Figura. Troviamo l ordinata di A risolvendo il sistema: (m) (m) m m ( m ) m m Zanichelli Editore, 4

9 m :, A: m m m e il sistema (caso particolare): :, A M :. Determiniamo l ascissa di B tramite il sistema: m, con m. m e il sistema (caso particolare): B M. Il luogo geometrico dei punti con ascissa uguale all ascissa di B e con ordinata pari a quella di A ha equazione parametrica: m m, m con m. Troviamo l equazione cartesiana del luogo: m m m, con m. 4 Si conclude che il luogo geometrico cercato ha equazione:, 4, equivalente alla funzione di partenza f () che ha grafico. 4. Consideriamo la regione R compresa tra e l asse nell intervallo [; ]. Calcoliamo l area di tale regione tramite il seguente integrale definito: (R) 4 d 4 d d 4 d 9 Zanichelli Editore, 4

10 4 arctg 4(arctg arctg ) 4 4. Il cerchio delimitato da, avendo raggio unitario, ha area pari a r ovvero a. Pertanto R è equivalente al cerchio delimitato da. Determiniamo l area della regione compresa tra e tutto l asse calcolando il seguente integrale improprio: d. 4 Sfruttando il procedimento del precedente integrale e la simmetria del corrispondente grafico possiamo scrivere: 4 d d 4 4 lim arctg arctg 4, pertanto la regione è equivalente a quattro volte il cerchio. 4. Ruotiamo la regione R intorno all asse e consideriamo il solido W generato dalla rotazione (figura ). Φ M R W sservando la figura notiamo che il solido è formato da: un cilindro di raggio di base uguale a e altezza pari a, un solido di rotazione generato dalla funzione inversa f (), con. Da f (), ricaviamo f 4 (): 4 4. Figura 9. Il volume V del solido W è determinato dalla addizione del volume del cilindro con il volume del solido di rotazione, quindi: V(W ) 4 d 4 4 d. QUESTINARI È dato un triangolo di area con due lati che misurano e. Indicato con l angolo tra essi compreso, per la trigonometria si può esprimere la superficie del triangolo come il semiprodotto tra le misure di due lati e il seno di : sen sen. Zanichelli Editore, 4

11 SLUZINE PRVA RDINAMENT Nota, risulta sen. Ricaviamo : sen. Segue allora che il triangolo è rettangolo e che i due lati con misura nota sono i cateti. Il terzo lato i è pertanto l ipotenusa che calcoliamo applicando il teorema di Pitagora: i. La funzione f () è irrazionale e si determina il suo dominio imponendo le necessarie condizioni di realtà attraverso il seguente sistema di disequazioni:. Risolviamo le singole disequazioni. disequazione:. disequazione: 4. disequazione: Ricomponiamo il sistema di partenza con i risultati delle tre disequazioni risolte:. In conclusione il dominio della funzione f () è l intervallo [ ; ]. Zanichelli Editore, 4

12 Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A(; ) e B( 6; ). La retta generica r passante per il punto B e non parallela all asse ha equazione: r m : B m( B ) m( 6) m 6m. Ricaviamo la distanza d(m) tra il punto A(; ) e la retta r: m, m m ( ) 6m m m d(m) m m m, m m Determiniamo gli eventuali massimi della funzione d studiando la sua derivata prima: m (m ) m m m, m, m ( m ) d (m) d (m) m. m, m ( m m ) (m ) m m, m m sserviamo che: per m, d la funzione è strettamente crescente; per m, d la funzione è strettamente decrescente; per m, d la funzione è strettamente crescente; per m, d la funzione ha un massimo relativo. Si conclude che la retta passante per B e avente distanza massima da A ha equazione: r : ( 6) 4. Rappresentiamo nella figura la generica retta r m, la retta r e tracciamo le distanze dal punto A da queste rette: osserviamo che la retta AB, avente coefficiente angolare m AB, è perpendicolare alla retta r e che la distanza massima è proprio rappresentata dal segmento AB, ipotenusa del 6 triangolo ABH. H 6 d(m) A B r r m Figura. Zanichelli Editore, 4

13 4 Dato un tronco di piramide retta a base quadrata di altezza h e lati a e b delle due basi, prolunghiamo gli spigoli laterali in modo da ottenere due piramidi quadrate di vertice V. Indichiamo con e i piedi delle altezze delle due piramidi generate. Tracciamo l apotema VA e indichiamo con l angolo AˆV (figura ). V Risulta: ϑ A a, B b, V a tg, V b tg. ' b a Figura. B ϑ A Inoltre: V V h a tg b tg h tg h. a b Riscriviamo V e V in funzione di a, b, h: ah bh V, V. a b a b Ricaviamo il volume V T del tronco di cono come differenza tra i volumi delle due piramidi prima indicate: V T a ah a b b bh a b h a b. a b Sfruttiamo la scomposizione della differenza di cubi di monomi: V T (a b)(a b ab) h (a b ab)h. a b 5 Consideriamo una valigia con la forma di un parallelepipedo di spigoli a, b, c. Il suo volume vale V abc. Indicata con p la percentuale con cui aumentano le dimensioni, queste ultime diventano: a a a p a( p), b b b p b( p), c c c p c( p). Il nuovo volume V ha quindi valore: V a( p) b( p) c( p) abc( p) V V( p). Ricaviamo l aumento relativo del volume: V V V( p) V ( p) p p p. V V Pertanto: se p %, V V (,) (,) (,),,%; V se p %, V V (,) (,) (,),,%; V se p 5%,5 V V (,5) (,5) (,5),95 95,%. V Pertanto l affermazione di consegna è esatta. 6 Il numero più piccolo che si può formare con le cifre da a è Disponiamo le cifre secondo la seguente stringa: Zanichelli Editore, 4

14 sserviamo che i primi sei numeri che si possono scrivere in ordine crescente sono quelli ottenibili dalla permutazione delle ultime tre cifre (! 6 permutazioni): 4 56, 4 56, 4 65, 4 65, 4 56, Pertanto il settimo valore nella successione si ottiene dalla stringa di partenza tenendo fisse le prime tre cifre (l, il e il ) e scambiando il 4 con il 5: Analogamente, osservando che 6!, i primi numeri della successione si possono ottenere permutando le ultime 6 cifre della seguente stringa: Ne consegue che il -esimo valore nella successione si ottiene dalla stringa soprascritta scambiando il con l : In figura è rappresentato un foglio rettangolare, di dimensioni a e b, con a b, di area m e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Risulta allora: a b, a : b b : a a b. Risolviamo il sistema corrispondente per determinare le misure dei lati a e b: ab a b a b b b a b a 4 b 4. b 4 Per la definizione di integrale definito di una funzione, se f () l integrale b f ()d rappresenta l area a sottesa dal grafico, mentre se f () l area è uguale a b f ()d. a b b b a Figura. A 4 B D C Figura. 4 Zanichelli Editore, 4

15 9 sservando la figura si deduce che l integrale f (t)dt è rappresentato dalla somma algebrica delle aree sottese dal grafico prese col proprio segno. Assunto g() f (t)dt si può così ricavare che tale funzione ammette: un massimo per e g() f (t)dt area (BA); un minimo per 4 e g(4) 4 f (t)dt area (BA) area (BCD). Consideriamo sen cos sen lim 4. Calcolando il limite del numeratore e del denominatore, otteniamo la forma indeterminata. Raccogliamo sen al numeratore e riscriviamo il limite nel seguente modo: lim 4 se n cos. Per i limiti notevoli lim se n e lim cos risulta allora: lim 4 se n cos. Nella figura è riportato il grafico di f (). = f() 4 4 Figura 4. sservando l andamento del grafico possiamo dedurre l andamento del segno della sua derivata prima f (), e precisamente: per f () crescente f () ; per f () decrescente f () ; per f () ha un punto stazionario f ( ) ; per f () ha un punto di flesso f () f () ha un punto stazionario. Confrontando queste condizioni con le quattro alternative si conclude che il grafico possibile di f () è la risposta A. Per esercitarti ancora sugli argomenti affrontati nei problemi e nei quesiti vai sul sito 5 Zanichelli Editore, 4