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1 COGNOME... NOME... -A Esame di Algebra Lineare 18 gennaio 2017 Desidero che il mio risultato sia pubblicato on-line Non desidero che il mio risultato sia pubblicato on-line (nel secondo caso, mi presenterò il primo giorno degli orali per conoscere il voto). I risultati non saranno comunicati via . Istruzioni per la consegna: 1. Chi ha un voto 15 nell esonero può limitarsi a svolgere gli esercizi 3, 4, 5. In tal caso, dovrà consegnare dopo due ore. 2. Chi ha riportato un voto 15 nell esonero e desideri comunque cimentarsi con l intera prova, ne ha facoltà. In tal caso, dovrà consegnare dopo tre ore, e il voto di esonero sarà sostituito dal voto ottenuto oggi. 3. Chi non ha riportato un voto 15 nell esonero, deve svolgere l intera prova, e dovrà consegnare dopo tre ore. Istruzioni per lo svolgimento: 1. Scrivere subito cognome e nome su tutti i fogli, e scegliere se si vuole o meno avere il proprio risultato pubblicato on-line. 2. Consegnare esclusivamente questi fogli: avete! pagina a disposizione per scrivere la soluzione. Per la minuta utilizzare i fogli protocollo distribuiti a parte. Non accetterò altri fogli. 3. Per ogni domanda: leggere attentamente cosa è richiesto; prima, dare la risposta; poi, spiegare il procedimento ed i calcoli. Qualsiasi risposta senza giustificazione riceverà 0 punti. Sarà tenuto conto di: calligrafia, ortografia, grammatica e presentazione. Non sono ammessi appunti, libri di testo, calcolatrici o apparecchi elettronici.

2 Esercizio 1 Siano f : X Y e g : Y X due applicazioni. Si dimostri o si trovi un controesempio alle seguenti asserzioni: (i) se la composizione g f : X X è iniettiva, allora f è iniettiva; (ii) se la composizione g f : X X non è iniettiva, allora f non è iniettiva.

3 COGNOME... NOME... -A Esercizio 2 Si consideri il seguente sistema parametrico con parametro k C: x + (2 k)y + z = 1 x + (k 2)z = 1 x + (2 k)y + (4 k)z = 3. (i) discutere il rango della matrice completa del sistema al variare di k; (ii) stabilire per quali k il seguente sistema lineare ammette soluzioni in C 3 ; (iii) per ogni valore di k per il quale il sistema precedente ammette soluzione, determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni.

4 Esercizio 3 Si consideri il piano π di R 3 di equazione cartesiana x y z = 0. (i) Determinare una base B = ( b 1, b 2, b 3 ) di R 3 tale che b 1, b 2 π e b 3 π; (ii) determinare il punto p π (P 0 ) che è la proiezione ortogonale sul piano π del punto P 0 = (1, 1, 1) R 3 ; (iii) determinare le coordinate del punto s(p 0 ) simmetrico di P 0 rispetto a π. Chiamiamo p π : R 3 R 3 l applicazione lineare che associa ad ogni punto dello spazio P = (x, y, z) la sua proiezione p π (P ) su π. (iv) Determinare la matrice M che rappresenta p π rispetto alla base B. (v) Determinare la matrice N che rappresenta p π E = (e 1, e 2, e 3 ). rispetto alla base canonica Suggerimento: può essere più rapido risolvere prima i punti (iv) e (v)!

5 COGNOME... NOME... -A Esercizio 4 Definire, se è possibile: (i) un applicazione lineare f : R 2 R 3 iniettiva tale che Im(f) = Span(e 1 + e 2 + e 3 ) (ii) un applicazione lineare f : R 3 R 2 suriettiva tale che ker(f) = Span(e 1 + e 2 + e 3 ) (in entrambi i casi, se è possibile, dire quanto vale f(x 1, x 2, x 3 ), e se non è possibile spiegare perché).

6 Esercizio 5 (i) Enunciare il Teorema di Determinazione di un applicazione lineare f : V V ; (ii) Dare un controesempio all unicità, nel caso di applicazioni non lineari.

7 COGNOME... NOME... -B Esame di Algebra Lineare 18 gennaio 2017 Desidero che il mio risultato sia pubblicato on-line Non desidero che il mio risultato sia pubblicato on-line (nel secondo caso, mi presenterò il primo giorno degli orali per conoscere il voto). I risultati non saranno comunicati via . Istruzioni per la consegna: 1. Chi ha un voto 15 nell esonero può limitarsi a svolgere gli esercizi 3, 4, 5. In tal caso, dovrà consegnare dopo due ore. 2. Chi ha riportato un voto 15 nell esonero e desideri comunque cimentarsi con l intera prova, ne ha facoltà. In tal caso, dovrà consegnare dopo tre ore, e il voto di esonero sarà sostituito dal voto ottenuto oggi. 3. Chi non ha riportato un voto 15 nell esonero, deve svolgere l intera prova, e dovrà consegnare dopo tre ore. Istruzioni per lo svolgimento: 1. Scrivere subito cognome e nome su tutti i fogli, e scegliere se si vuole o meno avere il proprio risultato pubblicato on-line. 2. Consegnare esclusivamente questi fogli: avete! pagina a disposizione per scrivere la soluzione. Per la minuta utilizzare i fogli protocollo distribuiti a parte. Non accetterò altri fogli. 3. Per ogni domanda: leggere attentamente cosa è richiesto; prima, dare la risposta; poi, spiegare il procedimento ed i calcoli. Qualsiasi risposta senza giustificazione riceverà 0 punti. Sarà tenuto conto di: calligrafia, ortografia, grammatica e presentazione. Non sono ammessi appunti, libri di testo, calcolatrici o apparecchi elettronici.

8 Esercizio 1 Siano f : X Y e g : Y X due applicazioni. Si dimostri o si trovi un controesempio alle seguenti asserzioni: (i) se la composizione g f : X X è suriettiva, allora g è suriettiva; (ii) se la composizione g f : X X non è suriettiva, allora f non è suriettiva.

9 COGNOME... NOME... -B Esercizio 2 Si consideri il seguente sistema parametrico con parametro k C: x + y + (2 k)z = 1 (k 2)x + y = 1 (4 k)x + y + (2 k)z = 3. (i) discutere il rango della matrice completa del sistema al variare di k; (ii) stabilire per quali k il seguente sistema lineare ammette soluzioni in C 3 ; (iii) per ogni valore di k per il quale il sistema precedente ammette soluzione, determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni.

10 Esercizio 3 Si consideri il piano π di R 3 di equazione cartesiana x + y z = 0. (i) Determinare una base B = ( b 1, b 2, b 3 ) di R 3 tale che b 1, b 2 π e b 3 π; (ii) determinare il punto p π (P 0 ) che è la proiezione ortogonale sul piano π del punto P 0 = (1, 1, 1) R 3 ; (iii) determinare le coordinate del punto s(p 0 ) simmetrico di P 0 rispetto a π. Chiamiamo p π : R 3 R 3 l applicazione lineare che associa ad ogni punto dello spazio P = (x, y, z) la sua proiezione p π (P ) su π. (iv) Determinare la matrice M che rappresenta p π rispetto alla base B. (v) Determinare la matrice N che rappresenta p π E = (e 1, e 2, e 3 ). rispetto alla base canonica

11 COGNOME... NOME... -B Esercizio 4 Definire, se è possibile: (i) un applicazione lineare f : R 2 R 3 iniettiva tale che Im(f) = Span(e 1 + e 2, e 1 + e 2 + e 3 ) (ii) un applicazione lineare f : R 3 R 2 suriettiva tale che ker(f) = Span(e 1 + e 2, e 1 + e 2 + e 3 ) (in entrambi i casi, se è possibile, dire quanto vale f(x 1, x 2, x 3 ), e se non è possibile spiegare perché).

12 Esercizio 5 Enunciare il Teorema degli orlati (definendo precisamente cosa sia un minore e cosa significa il termine minore massimale utilizzato nell enunciato).

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