CAPITOLO 5 Introduzione ai piani fattoriali

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1 Douglas C. Montgomery Progettazione e analisi degli esperimenti 2006 McGraw-Hill CAPITOLO 5 Introduzione ai piani fattoriali Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain Progettare gli esperimenti in Ingegneria Introduzione ai Piani fattoriali Principi generali degli esperimenti fattoriali Il modello a due fattori con effetti fissi L ANOVA per i piani fattoriali Estensione a più di due fattori Fattori quantitativi e qualitativi curve e superfici di risposta

2 Alcune definizioni di base Definizione di effetto: cambiamento nella risposta media quando il fattore passa dal livello basso a quello alto A= y + y = = 21 A A B = y + y = = B B AB = = 1 Nel caso di interazione A= y + y = = A A B = y + y = = 9 B B AB = = 29

3 Modello di regressione e Superficie di risposta associata. y = β + β x + β x β xx + ε Il modello di regressione accostato è yˆ = x + 5.5x + 0.5xx x + 5.5x 1 2 Effetto dell Interazione sulla Superficie di Risposta Supponiamo di aggiungere un termine di interazione al modello: yˆ = x + 5.5x + 8xx L Interazione èin questo caso una sorta di curvatura

4 Esempio 5-1 Esperimento della durata della Batteria-Testo (pag.200) A = Tipo di materiale; B = Temperatura (Variabile quantitativa) 1. Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie? 2. C è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata indipendentemente dalla temperatura (un prodotto robusto)? Il piano fattoriale a due fattori a livelli del fattore A; b livelli del fattore B; n repliche Questo è un piano completamente casualizzato

5 Modello statistico degli effetti: i= 1, 2,..., a yijk = µ + τi + β j + ( τβ) ij + εijk j = 1,2,..., b k = 1,2,..., n Altri modelli (delle medie, modelli di regressione) possono essere utili Estensione dell ANOVA ai Piani Fattoriali a b n a b 2 ( yijk y... ) = bn ( yi.. y... ) + an ( y. j. y... ) i= 1 j= 1 k= 1 i= 1 j= 1 a b a b n ( ij. i... j....) ( ijk ij. ) i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 k= 1 + n y y y + y + y y SS = SS + SS + SS + SS T A B AB E df gradi di libertà: abn 1 = a 1+ b 1 + ( a 1)( b 1) + ab( n 1)

6 Tabella ANOVA Design-Expert (software) eseguirà i calcoli Il testo fornisce dettagli sui calcoli manuali vedere pag Design-Expert Output Esempio 5-1 Response: ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model < A B < AB Pure E C Total Std. Dev R-Squared Mean Adj R-Squared C.V Pred R-Squared PRESS Adeq Precision 8.178

7 Analisi dei Residui Esempio 5-1 Normal plot of residuals Residuals vs. Predicted Normal % probability Residuals Residual Predicted Analisi dei Residui Esempio 5-1 Residuals vs. Run Residuals Run Number

8 Analisi dei Residui Esempio 5-1 Residuals vs. Material Residuals vs. Temperature Residuals Residuals Material Temperature Grafico dell Interazione X = B: Temperature Y = A: Material 188 Interaction Graph A: Material A1 A1 A2 A2 A3 A B: Temperature

9 Fattori Quantitativi e Qualitativi La procedura base dell ANOVA tratta ogni fattore come se fosse qualitativo A volte un esperimento può coinvolgere sia fattori quantitativi che qualitativi, come nell esempio 5-1 Questo può essere considerato per l analisi per generare il modello di regressione per i fattori quantitativi a ciascun livello (o combinazione dei livelli) dei fattori qualitativi Queste curve e/o superfici di risposta sono spesso un aiuto considerevole nell interpretazione pratica dei risultati Fattori Quantitativi e Qualitativi Response: *** WARNING: The Cubic Model is Aliased! *** Sequential Model Sum of Squares Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Mean 4.009E E+005 Linear < Suggested 2FI Quadratic Cubic Aliased Residual Total 4.785E "Sequential Model Sum of Squares": Select the highest order polynomial where the additional terms are significant.

10 Fattori Quantitativi e Qualitativi A = Tipo di Materiale B = Effetto lineare della Temperatura B 2 = Effetto quadratico della Temperatura AB = Tipo di Materiale Temp Lineare AB 2 = Tipo di Materiale - Temp Quadr B 3 = Effetto cubico di Temp. (Falsato) Candidate model terms from Design- Expert: Intercept A B B 2 AB B 3 AB 2 Fattori Quantitativi e Qualitativi Lack of Fit Tests Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Linear Suggested 2FI Quadratic Cubic Aliased Pure Error "Lack of Fit Tests": Want the selected model to have insignificant lack-of-fit.

11 Fattori Quantitativi e Qualitativi Model Summary Statistics Std. Adjusted Predicted Source Dev. R-Squared R-Squared R-Squared PRESS Linear Suggested 2FI Quadratic Cubic Aliased "Model Summary Statistics": Focus on the model maximizing the "Adjusted R-Squared" and the "Predicted R-Squared". Fattori Quantitativi e Qualitativi Response: ANOVA for Response Surface Reduced Cubic Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model < A B < B AB AB Pure E C Total Std. Dev R-Squared Mean Adj R-Squared C.V Pred R-Squared PRESS Adeq Precision 8.178

12 Modello di Regressione: Sintesi dei Risultati Equazione finale in termini di fattori attuali: Material A1 = * Temperature * Temperature 2 Material A2 = * Temperature E-003 * Temperature 2 Material A3 = * Temperature * Temperature 2 Modello di Regressione: Sintesi dei Risultati X = B: Temperature Y = A: Material 188 Interaction Graph A: Material A1 A1 A2 A2 A3 A B: Temperature

13 Piani Fattoriali con più di due fattori La procedura di base è simile al caso a due fattori; tutti le abc kn combinazioni di trattamenti sono portate avanti in ordine casuale. Anche l ANOVA è simile: SS = SS + SS + L+ SS + SS + L T A B AB AC + SS + L+ SS + SS ABC ABLK E Esempio completo con 3 fattori nel testo; Paragrafo 5-4 (pag. 220)