Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica
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1 Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 05 - Limiti Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio
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3 1. Introduzione 1. Introduzione Il concetto di ite è di fondamentale importanza in matematica. Le definizioni di derivata e integrale di una funzione, per esempio, si basano sul concetto di ite. In questa prima fase daremo una definizione intuitiva che sarà formalizzata successivamente. Sia f : A R R una funzione e x 0 R un punto di accumulazione per A. Il nostro problema consiste nel capire quale valore assume f(x) quando x si avvicina a x 0. Se tale valore esiste (nel senso che definiremo meglio in seguito) diremo che il ite di x che tende a x 0 è pari a l e scriveremo f(x) = l Esempio 1.1 Si consideri la funzione f(x) = x Si ipotizzi di essere interessati a studiare cosa succede a f(x) in prossimità di x 0 = 2. In questo specifico caso, via via che ci avviciniamo a 2, è facile osservare che f(x) assume il valore l = 10, ovvero i valori assunti dalla f(x), per valori della x vicini a 2, sono prossimi a 10. Quindi, x 2 x3 + 2 = 10 Il diagramma di Figura 1 rappresenta tale situazione. Esempio 1.2 La funzione f(x) = x3 8 è definita su tutti i reali tranne x = 2: x 2 Dom.f = R\{2}. Il punto x 0 = 2 è comunque un punto di accumulazione per Dom.f, quindi, è possibile investigare cosa succede a f(x) quando ci avviciniamo, ma non raggiungiamo, x 0 = 2, ovvero x 3 8 x 2 x 2 Cerchiamo, innanzitutto, di tracciare il grafico di f(x) (vedi figura 2). Come si può osservare, sebbene la f(x) non sia definita in x = 2, via via che x si avvicina a 2, la f(x) si avvicina al valore 12. Ciò soddisfa la definizione intuituiva di ite che abbiamo dato. In effetti, con semplici passaggi algebrici, si ha che x 3 8 x 2 x 2 = x 2 (x 2)(x 2 + 2x + 4) x 2 = x 2 x 2 + 2x + 4 = 12 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio 3
4 1. Introduzione Figura 1. x 2 x = 10 Quindi, quando x 0 è punto di accumulazione per A, ma x 0 / A, la sostanza del concetto di ite non cambia, nel senso che possiamo sempre determinare qual è il comportamento della f(x) in prossimità di tale punto. Riferendoci all esempio 1, possiamo considerare l avvicinamento a x 0 per valori di x < x 0 (dalla sinistra) oppure per valori x > x 0 (dalla destra). Nel primo caso, se il ite esiste, diremo che esiste il ite sinistro e scriveremo x x 0 f(x) = l nel secondo caso, se il ite esiste, diremo che esiste il ite destro e scriveremo Nei casi che abbiamo visto finora, f(x) = l x x + 0 f(x) = x x + 0 x x 0 f(x) = l ossia, i due iti coincidono e in questo caso diremo che il ite nel punto x 0 esiste. 4 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio
5 1. Introduzione Figura 2. x 2 x 3 8 x 2 Si osservi, adesso, il grafico della funzione { x 2 se x < 2 f(x) = 1 x + 4 se x 2 2 come riportato in figura 3. Come si può notare, f(x) = 4 mentre f(x) = 5 x 2 x 2 + Sebbene esistano il ite destro e sinistro, non è possibile concludere quale sia il comportamento della funzione per x che si avvicina a 2. In questo caso il ite non esiste. In generale, se il ite destro e sinistro non coincidono, oppure uno o entrambi non esistono, il ite per x x 0 non esiste. Esaminiamo la funzione di figura 4 nei punti π e 2π. Come si può osservare, per x che si avvicina a π o a 2π, la funzione f(x) assume valori infinitamente grandi, ossia f(x) +, oppure assume valori infinitamente piccoli, ossia f(x). Scriveremo che f(x) = + x π Inoltre f(x) =, x 2π f(x) = + x 2π + D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio 5
6 1. Introduzione Figura 3. Grafico della funzione f(x) = x 2 se x < 2; f(x) = 1 2 x + 4 se x 2 Nei casi visti finora, l esistenza o la non esistenza del ite può verificarsi tramite una semplice ispezione del grafico di f(x). Non sempre ciò è possibile ed in alcuni casi si potrebbe incorrere in errori. Esempio 1.3 Il grafico della funzione f(x) = sin(π/x) (figura 5) sembra avere come ite 0. Comunque, da una osservazione più ravvicinata, si evince che la funzione oscilla fra 1 ed 1 via via che x si avvicina a 0. Anche in questo caso, sebbene la funzione sia itata, il ite non esiste per l oscillazione della funzione nelle vicinanze di 0. Esempio 1.4 Si determini sin x x 0 x Se valutiamo la funzione in 0, si ottiene la forma priva di significato 0. Ispezionando il grafico della funzione (figura 9), si nota che per 0 x 0 + e x 0 si ha che f(x) 1. 6 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio
7 2. Rappresentazione grafica del ite Figura 4. Si osservi la funzione in π e 2π Figura 5. f(x) = sin(π/x) Infine, vedremo una tipologia di funzioni per cui la valutazione della funzione in x 0 restituisce una forma indeterminata, ma il ite esiste. 2. Rappresentazione grafica del ite Avendo tre possibili casi per il valore del punto di accumulazione: x 0 (finito), +, and e tre possibili casi per il valore del ite: D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio 7
8 3. Definizione di ite Figura 6. f(x) = sin(π/x) l (finito), +, and, le situazioni che possono verificarsi sono in totale 9. La Figura 1 rappresenta graficamente il caso la Figura 2 i casi la Figura 7 i casi la Figura 8 i casi la Figura 9 i casi f(x) = l, f(x) = + e f(x) = + x x + f(x) = l e f(x) = l x x + f(x) = + e f(x) = f(x) = e f(x) = x x + 3. Definizione di ite Possiamo adesso introdurre la definizione formale di ite Definizione Sia x 0 R un punto di accumulazione per A, dominio della funzione f. Si dice che la funzione f(x) ammette ite l R per x che tende a x 0 e scriviamo f(x) = l se, I(l), I(x 0 ): x I(x 0 ) A, con x x 0, segue che f(x) I(l) In tal caso si dice che f(x) tende a l, finito o infinito, per x x 0. 8 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio
9 3. Definizione di ite Figura 7. f(x) = x 2 /(x 2 + 4) Figura 8. f(x) = 2x/(x 2 1) 2 Figura 9. f(x) = x 2 + x 1 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio 9
10 4. Teoremi sui iti In altre parole, diremo che la funzione f(x) tende a l per x x 0, se comunque prendo un intorno del valore del ite l, I(l), esiste un intorno del punto di accumulazione x 0, I(x 0 ), tale che comunque prendo un valore x appartenente contemporaneamente al dominio della funzione e all intorno considerato, con x diverso da x 0, segue che il valore della funzione calcolato in corrispondenza del valore della x scelto cade nell intorno del ite inizialmente fissato. È importante sottolineare due punti: Si ha che x x 0, quindi, nella definizione di ite non ha importanza il valore che assume la funzione in x 0. Se il punto x 0 non fosse di accumulazione per A, la definizione di ite non avrebbe senso. Infatti siamo sicuri che esistono punti di A arbitrariamente vicini a x 0 solo se x 0 è un punto di accumulazione per A. Come visto nell introduzione, è necessario definire il concetto di ite nella parte destra e sinistra del punto di accumulazione cui tende la variabile indipendente. In particolare, la definizione di ite destro e ite sinistro è data da: Definizione Si parla di ite destro f(x) = l x x + 0 se I(l), I + (x 0 ): x I + (x 0 ) A, con x x 0, segue che f(x) (l). Analogamente si parla di ite sinistro x x 0 f(x) = l se I(l), I (x 0 ): x I (x 0 ) A, con x x 0, segue che f(x) (l). Diremo che la funzione ammette ite per x x 0 se e solo se f(x) = x x + 0 x x 0 f(x) = l e scriveremo f(x) = l Se l é un valore finito diremo che la funzione converge a l. Se il valore del ite é infinito, + o, allora diremo che la funzione diverge. 4. Teoremi sui iti Teorema 4.1 (dell unicità del ite). Sia f : A R R una funzione e x 0 R un punto di accumulazione per A, se la funzione ammette ite, finito o infinito, per x x 0 questo é unico. 10 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio
11 4. Teoremi sui iti Dimostrazione. Ipotizziamo, per assurdo, che esistano due valori per il ite f(x) = l 1 e f(x) = l 2 con l 1 l 2. Allora, per la definizione di ite, valgono contemporaneamente le due definizioni I(l 1 ), I 1 (x 0 ): f(x) I(l 1 ); I(l 2 ), I 2 (x 0 ): f(x) I(l 2 ). x I 1 (x 0 ) A, con x x 0, segue che x I 2 (x 0 ) A, con x x 0, segue che Tra tutti i posibili intorni dei due valori del ite, I(l 1 ) e I(l 2 ), ne scelgo due che non hanno elementi in comune, tali cioé che I(l 1 ) I(l 2 ) =. Facendo l intersezione dei due intorni I 1 (x 0 ) e I 2 (x 0 ), I 1 (x 0 ) I 2 (x 0 ), x I 1 (x 0 ) I 2 (x 0 ), varranno entrambe le definizioni e quindi, contemporaneamente, f(x) I(l 1 ) e f(x) I(l 2 ). I due intorni I 1 (l) e I 2 (l) avranno necessariamente in comune il valore f(x) della funzione, contraddicendo la scelta iniziale di due intorni senza elementi in comune. Si conclude che il valore del ite, se esiste, deve essere unico. Teorema 4.2 (della permanenza del segno). Sia f(x) = l 0, allora, I(x 0 ): x I(x 0 ), f(x) ha lo stesso segno di l. Dimostrazione. Dalla definizione di ite segue che I(l), I(x 0 ): x I(x 0 ) A, con x x 0, segue che f(x) I(l). Definita con ϵ > 0 la semiampiezza dell intorno di l, avremo quindi l ϵ < f(x) < l + ϵ. Fissato allora ϵ = l /2, avremo che: se l > 0, l l/2 < f(x) < l + l/2 e quindi la f(x) sará compresa tra due quantitá positive come positivo é il segno del ite; se l < 0, l + l/2 < f(x) < l l/2 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio 11
12 4. Teoremi sui iti e quindi la f(x) sará compresa tra due quantitá negative come negativo é il segno del ite. Teorema 4.3 (del confronto, valore del ite finito). Siano f, g, h tre funzioni aventi lo stesso dominio A, x 0 R punto di accumulazione di A, e sia f(x) g(x) h(x), x A, x x 0 Se f(x) = h(x) = l allora g(x) = l R Dimostrazione. Dalla definizione di ite per le funzioni f e h segue che I(l), I 1 (x 0 ): x I 1 (x 0 ) A, con x x 0, segue che f(x) I(l); I(l), I 2 (x 0 ): x I 2 (x 0 ) A, con x x 0, segue che h(x) I(l). Fissato I(x 0 ) = I 1 (x 0 ) I 2 (x 0 ), x I(x 0 ), con x x 0 e x A, varranno entrambe le definizioni e quindi, contemporaneamente, l ϵ < f(x) g(x) h(x) < l + ϵ dove ϵ > 0 rappresenta la semiampiezza dell intorno di l. Poiché g(x) é un valore compreso tra f(x) e h(x), allora anch esso apparterrá all intorno di I(l), x I(x 0 ) A, con x x 0, che é la definizione di funzione convergente a l. Teorema 4.4 (del confronto, valore del ite infinito). Siano f e g due funzioni aventi lo stesso dominio A, x 0 R punto di accumulazione di A, e sia f(x) g(x), x A, x x 0 Se f(x) = + allora g(x) = + Dimostrazione. Dalla definizione di ite per la funzione f segue che I(+ ), I(x 0 ): x I(x 0 ) A, con x x 0, segue che f(x) I(+ ). Poiché g(x) f(x), x A, anche la funzione g apparterrá all intorno I(+ ), x I(x 0 ) A, con x x 0, che é la definizione di funzione divergente a +. Analogamente si ragiona nel caso di f(x) = 12 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio
13 6. Forme indeterminate e f(x) g(x), x A, x 0 R punto di accumulazione di A, x x 0. Il teorema del confronto risulta particolarmente interessante perchè suggerisce un alternativa valida per il calcolo del ite. 5. Teoremi per il calcolo dei iti Teorema 5.1. Sia f : A R R una funzione costante, cioé tale che x A, f(x) = c, x 0 R un punto di accumulazione per A, allora f(x) = c. Siano f, g : A R R due funzioni reali di variabile reale, x 0 R un punto di accumulazione per A. Se f(x) = l e g(x) = m, allora m 0. Teorema 5.2. [f(x) + g(x)] = l + m Teorema 5.3. [f(x) g(x)] = l m Teorema 5.4. [α f(x)] = α l, con α R Teorema 5.5. f(x) g(x) = l m, con g(x) 0, x A e x x 0, Teorema 5.6. f(x) g(x) = l m, con f(x) > 0 e f(x) 1, x A e x x 0, l > 0 e l 1. Teorema 5.7. f(x) n = l n, con f(x) > 0 e f(x) 1, x A e x x 0, l > 0 e l 1, n N. Teorema 5.8. log(f(x)) = log(l), con x x 0 e l > 0. f(x) > 0, x A e Teorema 5.9. log g(x) f(x) = log m l, con f(x) > 0, l > 0, g(x) > 0, g(x) 1, x A e x x 0. Teorema Siano f e g due funzioni componibili nella funzione composta g f e x 0 un punto di accumulazione per il dominio di f. Se f(x) = l, con l punto di accumulazione per la funzione g, e g(x) = m, allora g(f(x)) = m. x l 6. Forme indeterminate, 0, 0 0,, 1, 0 0, 0 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio 13
14 7. Limiti notevoli x 7. Limiti notevoli I iti notevoli che prendiamo in considerazione sono soltanto due ( 1 + x) 1 x = e (costante di Nepero) da cui si ricava e da cui si ricava x 0 x ( 1 + x ) 1 x = e (costante di Nepero) ( 1 1 x) x = e 1 (costante di Nepero) ln(1 + x) x 0 x a x 1 x 0 x e x 1 x 0 x = 1 = ln(a) Sia f : A R R una funzione. Se f(x), quando x x 0, con x 0 punto di accumulazione per A, allora ( ) f(x) = e (costante di Nepero) f(x) = 1 14 D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina, A. Consiglio
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