Vedi file aggiuntivo IIa

Transcript

1 1 TEOREMA DI RECIPROCITÀ Vedi file aggiuntivo IIa 2 EITENZA E UNICITA Le leggi che regolano il campo elettromagnetico sono state espresse nella forma di equazioni differenziali. Le suddette equazioni sono lineari, nel dominio della frequenza. Quando si ha a che fare con equazioni differenziali ha senso porsi, oltre al problema della ricerca delle soluzione e della loro proprietà, che sono stati discussi nei capitoli precedenti, anche il problema della esistenza e unicità della soluzione. Per quanto riguarda l esistenza, assumiamo che le nostre equazioni, in quanto rappresentanti coerentemente un fenomeno fisico, abbiano comunque una soluzione. Viceversa, per ottenere l unicità di una certa soluzione, dovremo imporre alla soluzione stessa delle ulteriori condizioni, che ricaveremo ovviamente anch esse dalle proprietà fisiche del fenomeno. Tali condizioni aggiuntive dipenderanno inoltre anche dal dominio (DT o DF ) in cui scriviamo le equazioni. Nei prossimi paragrafi vedremo in dettaglio quali sono queste condizioni aggiuntive. Esiste comunque uno stretto legame tra le condizioni che assicurano l unicità di una soluzione e la sua esistenza, o meglio la sua possibile non esistenza. upponiamo infatti che, per ottenere l unicità della soluzione, si debba imporre un insieme di condizioni {C 1,...,C N }, che indichiamo simbolicamente con C. Ciò significa che esisterà una sola soluzione delle equazioni di Maxwell che soddisfa a tutte le condizioni di C. upponiamo ora di voler cercare una soluzione E U, H U che soddisfi non solo a tutte le condizioni di C, ma anche ad una condizione aggiuntiva C A, ad esempio E(r x ) = 0. Da quanto detto, esiste una sola soluzione, E u (r) che soddisfa a C. Quindi, relativamente al campo elettrico nel punto scelto r x, possono verificarsi due casi: se E U (r x )ènullo, allorae U soddisfaancheac A, seinvecee U (r x ) 0lasoluzioneE U nonsoddisfa a C A e quindi non esiste alcuna soluzione che soddisfi a tutte le condizioni di {C 1,...,C N, C A }. Pertanto imporre una, o più, condizioni aggiuntive ad un insieme di condizioni sufficienti per l unicità impedisce di avere soluzioni (a meno che la condizione aggiuntiva non sia già compresa nell unica soluzione, e divenga quindi pleonastica). 1

2 3 IL IGNIFICATO DELL UNICITA Dai corsi di analisi matematica è noto il significato del concetto di unicità della soluzione di una equazione differenziale ordinaria. Esattamente lo stesso significato vale anche per le equazioni di Maxwell nel DT, nonostante queste ultime siano equazioni a derivate parziali. Per il DF, invece, visto che tali equazioni regolano la soluzione a regime per sorgenti sinusoidali isofrequenziali, il significato del concetto di unicità è, come vedremo, completamente diverso. Per il DT dire che una soluzione E(r,t), H(r,t) è unica in un dato intervallo di tempo, (T 0,T 1 ), e dominio spaziale, Z, significa che non vi possono essere (in tale intervallo e dominio) due diverse coppie di funzioni (E, H) che soddisfano le equazioni di Maxwell (con le eventuali sorgenti) e un insieme sufficiente di condizioni aggiuntive. Per brevità, evitiamo di discutere qui tali condizioni aggiuntive, e per esse rimandiamo, per esempio, a [1]. Tra le condizioni di unicità nel DT vogliamo qui ricordare solo necessità di imporre una condizione iniziale, ovvero di dover richiedere che, all istante iniziale T 0, i campi in tutto il dominio Z assumano un ben preciso valore: E(r,0) = E 0 (r), H(r,0) = H 0 (r) r Z (1) dove E 0 (r) e H 0 (r) sono funzioni indipendenti e largamente arbitrarie. Ben diverso il discorso per il DF, in quanto una soluzione E(r), H(r) nel DF non è la soluzione di una equazione differenziale, ma solo una sua parte e precisamente la soluzione a regime delle equazioni di Maxwell nel DT, nella ipotesi di sorgenti sinusoidali isofrequenziali. Ciò significa che occorre considerare sorgenti che varino come cos(ω 0 t +φ) applicate a partire dall istante iniziale T 0 =. All istante attuale tali sorgenti daranno luogo a una soluzione E(r,t), H(r,t), la cui parte a regime E R (r,t) = Re [ E(r)e jω 0t ] H R (r,t) = Re [ H(r)e jω 0t ] (2) può espressa tramite i fasori (dipendenti da r) E(r), H(r). Naturalmente, fissate le sorgenti, la soluzione completa E(r, t), H(r, t) sarà unica se assegnamo opportune condizioni, comprese le condizioni iniziali E(r, ), H(r, ). E, altrettanto naturalmente, tale soluzione dipenderà dalle condizioni iniziali. È quindi possibile che la soluzione a regime (2), essendo una parte della soluzione totale, dipenda anche essa dalle condizioni iniziali a T 0 = Per definizione, diremo allora che la soluzione nel DF è unica se la soluzione a regime è indipendente dalle condizioni iniziali, e viceversa. Più formalmente, una qualunque soluzione con sorgenti sinusoidali può sempre essere espressa come somma di due termini E(r,t) = E T (r,t)+e F (r,t) (3) (e analogamente per H(r,t)), in cui E T, detta soluzione transitoria, dipende dalle condizioni iniziali mentre E F è sinusoidale e indipendente dalle condizioni iniziali 1 [1] Franceschetti: Campi Elettromagnetici, Boringhieri 1 La decomposizione (3) segue dalla teoria delle equazioni differenziali lineari: E F è un integrale particolaredellaequazionecompleta, mentree T èl integrale generaledellaequazione omogenea associata. 2

3 e lim E T(r,t) = 0 r Z (4) t allora E F costituisce l unica soluzione a regime, qualunque siano le condizioni iniziali, (unicità nel DF ). e invece la (4) non è valida, allora la soluzione a regime dipende dalle condizioni iniziali. Tuttavia mentre il termine E F è sempre alla frequenza ω 0 delle sorgenti, la parte dipendente dalle condizioni iniziali E T può contenere o non contenere un termine alla medesima frequenza ω 0. Mentre nel primo caso non vi è unicità nel DF, nel secondo caso l unicità sussiste ancora in quanto la parte alla frequenza ω 0 della soluzione a regime deriva solo da E F ed è quindi indipendente dalle condizioni iniziali. Va infine rimarcato che se si riesce a determinare, in un modo qualunque, una coppia di funzioni vettoriali E x,h x che soddisfano sia le equazioni di Maxwell, sia ad un insieme di condizioni sufficienti per l unicità, allora tale coppia di funzioni è l unica soluzione del nostro problema. 4 UNICITA NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA Consideriamo il problema di determinare il campo elettromagnetico in una regione Z dello spazio, contenente eventualmente delle sorgenti. Il mezzo che riempie Z può essere omogeneo o non omogeneo. La unicità della soluzione si può dimostrare, essendo le equazioni lineari, supponendo, per assurdo, l esistenza di due soluzioni distinte E 1, H 1 e E 2, H 2, e poi dimostrando che tali soluzioni devono necessariamente coincidere, ovvero che la loro differenza E(r) = E 1 (r) E 2 (r) H(r) = H 1 (r) H 2 (r) dev essere identicamente nulla. D altra parte la soluzione differenza E(r), H(r) è ancora soluzione delle equazioni di Maxwell, ma con sorgenti di valore pari alla differenza tra quelli della prima soluzione e quelli della seconda soluzione. E poichè le due soluzioni E 1, H 1 e E 2, H 2 sono prodotte dalle stesse sorgenti, la soluzione differenza E(r), H(r) è prodotta da sorgenti nulle. Conviene quindi cominciare a esaminare in quali casi un campo elettromagnetico in una regione Z, in assenza di sorgenti, deve essere necessariamente nullo. Infatti, ognuno di questi casi si tradurrà immediatamente in un insieme di condizioni sufficienti per l unicità. Naturalmente cercheremo soluzioni che sono continue a tutte le interfacce, o che soddisfano le corrette condizioni di discontinuità in presenza di correnti superficiali. È necessario inizialmente fare una prima distinzione tra i problemi interni, in cui la regione Z è limitata, e i problemi esterni in cui la regione Z è tutto lo spazio, oppureècomunque illimitata, poichè questi due problemi vanno esaminati separatamente. Nel caso di problemi interni, il dominio Z è racchiuso da una, o più, superfici al finito, che nel complesso costituiscono la frontiera di Z. Per un problema esterno, invece, Z può avere varie tipologie: Z è tutto lo spazio Z è un semispazio (o un quadrante, o l interno di un cono) (5) 3

4 Z è uno dei volumi dei punti preecedenti, da cui sono stati tolti uno o più domini limitati. La frontiera di Z in un problema esterno è quindi costituita da una porzione (di estensione angolare finita, eventualmente tutta) della sfera all infinito 1, da una o più superfici (ma anche nessuna) che terminano all infinito (es, semipiani, superfici di un cono, etc.) e eventualmente da una o più superfici al finito. Le condizioni sufficienti complete variano caso per caso, e verranno trattate nei paragrafi successivi. L unica condizione generale (che nel seguito chiameremo condizione al finito ) è relativa alle superfici tutte al finito, sia che delimitino un problema interno, sia che siano una parte eventuale della frontiera di Z in un problema esterno. La condizione al finito è costruita nel modo seguente: a) La parte di frontiera di Z costituita da superfici al finito è divisa (più precisamente partizionata) in una o più zone; b) Per ciascuna zona Z i viene assegnata una delle seguenti condizioni 1) il valore del campo elettrico tangente: E tan = E 0i, con E 0i noto e il pedice tan che indica il componente di E tangente alla superficie; 2) il valore del campo magnetico tangente: H tan = H 0i, con H 0i noto; 3) una condizione di impedenza E tan Z s H tan i n = E zi con E zi noto, Z s una grandezza complessa (eventualmente variabile punto per punto di Z i ) con parte reale non negativa ed i n normale uscente dalla superficie; 4) una condizione di ammettenza H tan Y s i n E tan = H yi, duale di quella del punto 3). Tutte le condizioni 1 4) possono essere inomogenee o omogenee (ovvero le grandezze note, e variabili punto per punto, E 0i, H 0i,..., possono essere diverse da zero oppure nulle. Come detto prima, noi lavoreremo sul problema differenza, cercando condizioni che garantiscono che l unica soluzione di questo problema sia quella nulla. e sul problema originario imponiamo una qualunque delle condizioni 1 4), allora la soluzione del problema differenza deve soddisfare esattamente la stessa condizione, ma sempre omogenea, essendo la differenza di due condizioni uguali. 5 CONDIZIONI DI UNICITA NEL PROBLEMA INTERNO Iniziamo a considerare i problemi interni. i ha unicità della soluzione se, oltre alla condizione al finito, esistono perdite all interno, ovvero sulla frontiera di Z. Quindi una soluzione (quella differenza) in assenza di sorgenti, con condizioni al finito omogenee, è certamente nulla se vi sono perdite. In assenza di perdite, può essere nulla oppure no (e quindi non abbiamo informazioni sulla unicità). Per la dimostrazione, partiamo dal teorema di Poynting per il campo differenza E(r), H(r) (5) 1 i intende per sfera all infinito una sfera di raggio grande a piacere. 4

5 r i n d + ω 2 Z ε 2 E 2 σ dv + Z 2 E 2 dv = 1 2 Re E J 0dV = 0 (6) Z in cui è la frontiera di Z e il secondo membro è nullo per l assenza di sorgenti. Per quanto riguarda il primo integrale, si ha i n = 1 2 E H i n = 1 2 E tan H tan i n in quanto contribuisce alla componente normale del vettore di Poynting solo la parte tangente dei vettori di campo, per le proprietà del prodotto misto. Nel caso delle condizioni 1 o 2 del paragrafo precedente, segue che misto, i n = 0 (7) e invece vale una condizione di impedenza, allora, sempre per le proprietà del prodotto i n = 1 2 E tan H tan i n = 1 [ 1 2 E tan Zc E tan ] = 1 2Z c E tan 2 da cui segue, essendo Re[Z c ] 0, che [ ] [ ] 1 Re[ i n ] = Re 2Zc E tan 2 Zc = Re 2 Z c 2 E tan 2 0 (8) Pertanto il primo integrale a primo membro della (6) è sempre maggiore o uguale a zero. In particolare è maggiore di zero solo se assegnamo condizioni di impedenza con Z c a parte reale positiva, altrimenti è sempre nullo. Poichè anche gli altri integrali della (6) sono maggiori o uguali a zero, deve risultare necessariamente ε 2 E 2 σ dv = 0 Z Z 2 E 2 dv = 0 (9) e r i n d = 0 (10) eci sono perditeinterne al volume Z 2, allora almeno unadelle duecostanti ε 2 = Im[ε] e σ è maggiore di zero. L unico modo per cui il relativo integrale sia nullo, come richiesto da (9), è che E 0 in tutto Z. Allora anche H 0 in tutto Z, essendo il rotore di un campo, quello elettrico, identicamente nullo. Il campo differenza è identicamente nullo, e c è quindi l unicità del problema di partenza. e non vi sono perdite interne, allora gli integrali della (9) sarebbero nulli anche se il campo fosse diverso da zero(assenza di unicità). Non si ha quindi, dalle(9) nessuna informazione 2 La dimostrazione fatta richiede perdite in tutto il volume. Tuttavia basta che le perdite siano presenti solo in una regione, purchè di volume maggiore di zero (ovvero non solo su di una superficie). La dimostrazione di questo caso è però molto più complessa. 5

6 In assenza di perdite interne, comunuqe, l unicità c è se vi sono perdite sulle pareti, ovvero se Re[Z c ] è strettamente maggiore di zero 3. In tal caso, infatti, sostituendo (8) in (10) r i n d = [ ] Zc Re 2 Z c 2 E tan 2 d = 0 = E tan 0 su (11) e dalla condizione di impedenza segue che anche H tan 0 su. Per dimostrare che in tal caso il campo interno è identicamente nullo, e quindi c è unicità, utilizziamo ancora il teorema di reciprocità tra il campo differenza E(r), H(r) ed il campo E D (r), H D (r) prodotto da un dipolo elementare J D (r) = I zδ(r r D )i D posto in r D interno a Z, e con i D qualunque. Possiamo anzi scegliere il campo del dipolo calcolato in spazio libero, dato quindi dalle (*) (con r = r r D ). Dal teorema di reciprocità segue [ ] E H D E D H i n d = E(r) J D (r)dv ovvero, per le proprietà degli integrali di flusso di dipendere solo dalle componenti tangenti del campo ] [E tan H D E D H tan i n d = I z E(r) i D δ(r r D )dv Z = I z E(r D ) i D per le proprietà della delta di Dirac. Nel nostro caso E tan 0 e H tan 0 su. Quindi il primo membro e nullo e segue E(r D ) i D = 0 Per la arbitrarietà di r D e i D, segue che il campo elettrico ( e di conseguenza quello magnetico) sono identiamente nulli dentro Z, e quindi si ha unicità. Per concludere il discorso notiamo che se non vi sono perdite interne, nè perdite sulla frontiera, allora non abbiamo informazioni sulla unicità. In tal caso, infatti, il campo differenza può essere diverso da zero. Di conseguenza potrebbero esistere due (o più soluzioni) diverse dello stesso problema. elacondizione al finitoèdel tipo 1) o2) del paragrafo precedente, comunque, possiamo caratterizzare meglio la non unicità. Infatti in tal caso per il campo differenza vale la (7) i n = 0 = r i n d = 0 e i i n d = 0 Quest ultima relazione implica che, per il campo differenza, le energie elettriche e magnetiche sono uguali. Una tale soluzione viene detta risonante. Pertanto, in assenza di sorgenti, e assegnando sulla frontiera solo componenti tangenti dei campi, non vi è unicità, ma due soluzioni differiscono necessariamente per una soluzione risonante. 3 Deve essere Re[Z c ] > 0 su tutta la frontiera di Z per la dimostrazione che segue. Tuttavia, anche in questo caso basta che Re[Z c ] > 0 valga su di una parte, di area finita, della superficie, con una dimostrazione che è però più complessa Z 6

7 6 CONDIZIONI DI UNICITA NEL PROBLEMA ETERNO Come abbiamo visto, le condizioni necessarie per l unicità sono (quasi tutte) imposte sulla frontiera di Z. Pertanto le differenze tra un problema esterno e un problema interno dipendono, in primo luogo, dalla diversità di tale frontiera. La frontiera di Z in un problema esterno può essere costituita da tre tipi distinti di superfici a) una porzione della superficie all infinito (eventualmente tutta); b) una o più superfici completamente al finito; c) una o più superfici al finito che però si chiudono all infinito. Di esse, comunque, gli insiemi b) e c) possono essere anche vuoti. Le condizioni che occorre imporre per avere l unicità dipendono dalla superficie. ulla superficie all infinito occorre imporre le condizioni di ommerfeld (*). ulle eventuali superfici tutte al finito vanno imposte le stesse condizioni al finito usate anche per il problema interno. Infine, sulle eventuali superfici di tipo c) vanno ancora imposte le condizioni al finito, ma queste devono essere compatibili con le condizioni all infinito. In tali ipotesi, si ha unicità. e, ad esempio, ci interessa l unicità in un semispazio, sul piano di delimitazione del semispazio possiamo assegnare, ad esempio, la componente tangente del campo elettrico E 0i. Questo termine noto però ora non è più arbitrario, ma deve andare a zero almeno come r 1 (o r 2, a seconda di quale componente consideriamo) andando verso l infinito, in quanto le condizioni di ommerfeld prescrivono questo comportamento all infinito. e sul piano assumiamo un sistema di riferimento polare R, φ, un E 0i costante è inaccettabile, mentre sono accettabili un E 0i il cui modulo valga E 0i = Kr 2, con K costante, ovvero un E 0i = K r 1 i φ. E invece inaccettabile un E 0i = K r 1 i r, perchè la componente radiale non può essere infinitesima solo del primo ordine. La dimostrazione è simile, salvo differenze tecniche, a quella del problema interno. La condizione di ommerfeld assicura che il flusso del vettore di Poynting sulla superficie all infinito si può scrivere come (vedi (11)) i n d = [ ] 1 Re E tan 2 d (12) 2ζ ed è reale e non negativo. La (10) è ancora valida e segue che, su, il campo elettrico, e di conseguenza quello magnetico, è un infinitesimo di ordine 2 (maggiore di quello prescritto dalla condizione di ommerfeld). Ciò basta a garantire l unicità. Fisicamente, la condizione di ommerfeld assicura che se il campo è diverso da zero, allora manda potenza verso l infinito. L infinito si comporta quindi come pozzo di potenza e quindi gioca il ruolo delle perdite nel garantire l unicità. 7

8 7 TEOREMA DI EQUIVALENZA Il teorema di equivalenza consente di sostituire, ai fini del calcolo del campo in una determinata regione, la distribuzione di sorgenti vera [J, M] con una distribuzione superficiale equivalente. Consideriamo allora una genrica distribuzione di sorgenti [J,M] e sia [E p (r),h p (r)] il campo generato in tutto lo spazio da queste sorgenti (campo primario, Fig. 1A). Consideriamo poi una superficie chiusa generica e regolare, e sia i n la normale scelta su. Nel seguito, come al solito, il verso della normale punta verso l esterno di. Assumiamo che racchiuda al suo interno una parte generica delle sorgenti [J, M] (ma eventualmente anche tutte le sorgenti, oppure nessuna). [J,M] [E=0,H=0] in Fig. 1: A) ituazione iniziale; B) ituazione equivalente. i vuole dimostrare che all esterno di (zona verso cui punta la normale i n ) si ottiene lo stesso campo [E p (r),h p (r)], se si eliminano le sorgenti [J,M] all interno di e si sostituiscono con delle opportune correnti superficiali poste su (Fig. 1B) J s M s J s = i n H p M s = i n E p (13) dove E p e H p in (13) sono evidentemente i campi presenti inizialmente (ovvero nella situazione di Fig. 1A) sulla superficie (e di questi campi, stante il prodotto vettoriale con i n, interessa solo il componente tangente a ). Inoltre tali sorgenti forniscono un campo nullo all interno di. In questo senso, la situazione di Fig. 1B é equivalente alla situazione iniziale di Fig. 1A. Consideriamo allora la seguente coppia di campi vettoriali [f(r),g(r)] = { [Ep (r),h p (r)] fuori di [0,0] in (14) 8

9 che coincide con la situazione di Fig. 1B. Per dimostrare il teorema di equivalenza, occorre dimostrare che il campo vettoriale (14) é il campo elettromagnetico prodotto dalle sorgenti equivalenti (13). Questa dimostrazione viene fatta in due passi: 1) si dimostra che il campo vettoriale (14) é un campo elettromagnetico compatibile con le sorgenti (13), ovvero che soddisfa le equazioni di Maxwell con quelle sorgenti; 2) si dimostra che (14) é l unico campo elettromagnetico compatibile con quelle sorgenti, e quindi é quello che le sorgenti (13) irradiano. Una coppia di campi vettoriali come la (14) è un campo elettromagnetico se soddisfa in tutti i punti del suo insieme di definizione le equazioni di Maxwell. In questo caso l iniseme di definizione è tutto lo spazio. Tuttavia, per verificare se le equazioni di Maxwell sono soddisfatte, conviene discutere separatamente la regione interna a, quella esterna e i punti che appartengono a. All interno di la coppia [f(r),g(r)] = [0,0] soddisfa le equazioni di Maxwell omogenee (in assenza di sorgenti); all esterno di la coppia [f(r), g(r)] è identicamente uguale al campo elettromagnetico effettivamente esistente nella situazione inizale (Fig. 1A) e quindi, per costruzione, soddisfa le equazioni di Maxwell, le eventuali condizioni al contorno e la condizione di ommerfeld. Rimane da verificare se [f(r), g(r)] un campo elettromagnetico anche sulla superficie, cioè se soddisfa le condizioni di raccordo su : i n [ g ext g int ] = Js i n [ f ext f int ] = Ms ostituendo i valori di [f(r), g(r)] dalla (14) segue allora i n [ H p 0 ] = J s i n [ E p 0 ] = M s (15) che coincidono con le (13). Quindi [f(r), g(r)] è un campo elettromagnetico in tutto lo spazio, compatibile con le sorgenti (13). Resta allora da dimostrare che (14) è l unico campo che può essere prodotto da queste sorgenti. Questo equivale a dimostrare che il campo (14) soddisfa un opportuno insieme di condizioni di unicità. Poichè il campo che ci interessa è definito in tutto lo spazio, allora occorre considerare i criteri di unicità del problema esterno. Poiché (vedi par. 6) un campo in un dominio illimitato é unico se soddisfa le condizioni di ommerfeld, e il campo [f(r), g(r)], dato dalle (14), le soddisfa per costruzione, allora questo é unico. Ne segue che le sorgenti equivalenti date dale (13) producono il campo rappresentato in Fig. 1B. La situazione delineata in questa figura é quindi equivalente a quella di Fig. 1A. Il risultato del teorema di equivalenza, e in particolare il fatto che lesorgenti equivalenti producono un campo complessivamente nullo all interno di, consente di costruire delle ulteriori situazioni equivalenti a quella iniziale di Fig. 1A. Infatti, se il campo allinterno di é nullo, qualunque modifica del materiale dentro non modifica questo campo: [0, 0] rimane la soluzione allinterno di qualunque sia il mezzo ocntenuto, e il mezzo presente dentro la superficie non modifica le condizioni di raccordo alla superficie. Questo significa che qualunque cosa faccia allinterno di, non si perturba il campo allesterno, e ovviamente neanche quello all interno. Pertanto anche la situazione di Fig. 2A é equivalente a quelle di Fig. 1. 9

10 Quello che viene alterato é invece il contributo al campo delle correnti superficiali equivalenti impresse [J s,m s ]. Infatti, per la sovrapposizione degli effetti, deve risultare, all esterno di, E p = E J +E M (16) essendo E J e E M i campi elettrici prodotti, nella situazione che stiamo considerando (Fig. 2A), rispettivamente dalle sole correnti elettriche superficiali e dalle sole correnti magnetiche superficiali. Questi due campi dipendono dal materiale contenuto dentro, e variano se varia questo materiale, ma variano esattamente in maniera opposta l uno rispeto all altro (in modo da rendere sempre valida la relazione (16)). altro mat. (incluso C.E.P.) C.E.P. [E=0,H=0] in [E=0,H=0] in J s M s Fig. 2: A) riempita di un materiale qualunque (incluso un C.E.P.); B) riempita di C.E.P. e campo prodotto dalle sole M impresse. Queste considerazioni diventano particolarmente utili se inseriamo, all interno di, un C.E.P.. Evidentemente, per il teorema di equivalenza, il campo al di fuori di non cambia e allinterno rimane nullo. Daltra parte, nel par. 1 é stato dimostrato che una corrente elettrica superficiale, impressa sulla superfice di un consuttore, produce un campo identicamente nullo. Nella (16) si ha allora E J = 0, e quindi il campo E M, prodotto dalle sole correnti magnetiche superficiali, é identico al campo totale E p. Ne segue che, se riempiamo l interno di con un C.E.P., basterá inserire le sole correnti magnetiche superficiali, (ottenendo la situazione di Fig. 2B) per produrre lo stesso campo di Fig. 1A al esterno, e campo nullo all interno di, ovvero un altra situazione equivalente a quella iniziale. In modo duale la sola corrente elettrica J s produce il campo primario [E p (r),h p (r)], se all interno di é inserito un C.M.P. Concludiamo facendo notare esplicitamente due punti. Il primo è che le correnti primarie da eliminare sono solo quelle all interno di. Eventuali sorgenti primarie all esterno di vanno conservate. Il secondo è che interno e esterno di sono determinati solo dal verso di i n. Quindi, per ciascuna superfice, possiamo applicare due volte il teorema di equivalenza, una per ciascun verso scelto per i n. Le due correnti superficiali avranno segno opposto nelle due applicazioni e, soprattutto, la regione in cui esiste il campo primario e quella in cui il campo è nullo si scambiano. M s 10

11 8 CONDUTTORI E CORRENTI INDOTTE Consideriamo le due situazioni equivalenti di Fig. 1B e 2B del paragrafo precedente, e consideriamo due punti generici, P e Q, posti nella stessa posizione ma dai due lati di, come in Fig. 1. P x x Q P x x Q C.E.P. [E=0,H=0] in [E=0,H=0] in J s M s Fig. 1: A) Risultato del teorema di equivalenza; B) Formulazione alternativa, con il C.E.P. e le sole M impresse. M s I campi nelle due situazioni di Fig. 1 (che indicheremo con gli apici A e B) sono evidentemente gli stessi. In particolare H A (P) = H B (P) = H p (P) e H A (Q) = H B (Q) = 0 Il campo magnetico tangente è quindi, in entrambi i casi, discontinuo tra P e Q e pertanto deve scorrere tra questi punti (ovvero sulla superfice ) una corrente elettrica superficiale, sia nel caso A, sia nel caso B: J A s = i n [ H A (P) H A (Q) ] = i n H p (P) J B s = i n [ H B (P) H B (Q) ] = i n H p (P) da cui segue ovviamente J A s = JB s. Nel caso A, la corrente necessaria è la corrente superficiale impressa richiesta dal teorema di equivalenza. Nel caso B non vi sono correnti impresse. Ma, essendo presente un conduttore perfetto, al cui interno sono presenti cariche libere, possiamo concludere che sul conduttore si induce una corrente elettrica superficiale, esattamente uguale a quella che, in assenza del conduttore (Fig. 1A) dobbiamo inserire come corrente impressa. La proprietà dei conduttori perfetti di supportare correnti indotte conduce a una delle più comuni applicazioni del teorema di equivalenza, relativa proprio ai conduttori. Nella dimostrazione del teorema di equivalenza non si è richiesta alcuna proprietà al materiale che riempie tutto lo spazio (salvo la necessità che valga un teorema di unicità). Possiamo allora applicare il teorema di equivalenza alla situazione di Fig. 2A, in cui vi sono delle sorgenti [J,M] in presenza di un conduttore perfetto che riempie un volume V. 11

12 V [E=0,H=0] C.E.P. in [J,M] C.E.P. in [J,M] J s M =0 s Fig. 2: A) Correnti in presenza di un oggetto conduttore perfetto; B) Formulazione alternativa, con il C.E.P. e le sole M impresse. cegliamo come superfice quella del conduttore (ovvero la frontiera di V) e come interno di il conduttore stesso. Non vi sono sorgenti primarie all interno di e quindi il teorema di equivalenza richede semplicemente di aggiungere delle correnti impresse superficiali alla superfice di, per ottenere lo stesso campo primario all esterno di e campo nullo all interno (Fig. 2B). Le correnti superficiali necessarie sono date dalla (13): J s = i n H p M s = i n E p = 0 in cui si è tenuto conto che è la superfice di un C.E.P., e quindi su il campo elettrico primario ha componente tangente nulla. Naturalmente, includere una corrente impressa nulla o non includerla è perfettamente euqivalente. Quindi il teorema di equivalenza afferma che le due situazioni di Fig. 2 sono equivalenti, e lo restano anche se le correnti magnetiche nella Fig. 2B non ci sono. L unica differenza è che, essendo Fig. 2B una conseguenza del teorema di equivalenza, il campo esterno titale resta invariato anche se il materiale all interno di cambia e, ad esempio, è sostituito dal vuoto (Fig. 3A). Pertanto la situazione di Fig. 2A e quella di Fig. 3 sono equivalenti. Dal confronto tra queste due situazioni si conclude che (come conseguenza del teorema di equivalenza) è possibile sostituire un oggetto conduttore con delle correnti elettriche impresse superficiali, poste alla superfice del conduttore, che però irradiano nel vuoto. E questo semplifica il problema, in quanto è molto più semplice calcolare il campo di correnti nel vuoto che non il campo di correnti in presenza di oggetti di forma generica. (17) [E=0,H=0] vuoto in [J,M] J s Fig. 3: ostituzione di un C.E.P. con le correnti indotte. 12

13 Ricordando poi che nella situazione iniziale (Fig. 2A) il campo interno è nullo, se ne conclude (con considerazioni analoghe a quelle di Fig. 1) che le correnti impresse di Fig. 3 sono esattamente le correnti che, nella situazione di Fig. 2A, le sorgenti primarie esterne [J, M] inducono sul conduttore. 9 APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI EQUIVALENZA Tenendo presente la definizione (13) di [J s,m s ], è evidente che per determinare le sorgenti equivalenti è necessario conoscere il campo tangente sulla superficie e cioè occorre aver già risolto il problema elettromagnetico. Quindi si potrebbe pensare che il teorema di equivalenza sia inutilizzabile in quanto per poterlo utilizzare sembrerebbe necessario conoscere il campo vero in tutto lo spazio. In realtà il teorema di equivalenza viene usato in elettromagnetismo per risolvere una notevole varietà di problemi e ad esempio può essere usato nei seguenti due casi. i conosce il campo sulla superficie ma non al di fuori di i rientra in questi casi perchè è possibile misurare il campo su oppure approssimarne il valore. Nel caso della misura, il teorema di equivalenza ci dice che per conoscere il campo al di fuori di basta misurare campo elettrico e magnetico tangente su. Oppure misurare il solo campo elelttrico, per poi calcolare il campo all esterno considerando come sorgenti delle correnti magnetiche superficiali su di un C.E.P. La principale approssimazione connessa col teorema di equivalenza è quella detta di Kirchoff, che si usa per fori di grandi dimensioni rispetto alla lunghezza d onda, praticati in uno schermo C.E.P. Lapprossimazione di Kirchoff consiste nel valutare il campo elettrico sul foro come se lo schermo metallico non ci fosse. Infatti, se il foro è grande, l interazione del campo incidente con gli spigoli del foro è limitata ad una zona vicina al foro e di dimensioni piccole o confrontabili con la lunghezza d onda (Fig. 1). Fig. 1: Geometria di un foro grande in uno schermo C.E.P.. In altri termini, il campo nei punti del foro è approssimato col campo che vi sarebbe, nello stesso punto, in assenza dello schermo conduttore. Una volta nota l approssimazione di Kirchoff per il campo vero sul foro, è possibile applicare il teorema di equivalenza per risolvere il problema relativo al calcolo del campo trasmesso oltre il foro (Fig. 2). 13

14 i n i n J E inc J, M M J Fig. 2: A) Risultato del teorema di equivalenza; B) Risultato della formulazione alternativa (con C.E.P. all interno). Il teorema di equivalenza si applica alla superficie che si appoggia sullo schermo conduttore e si chiude all infinito (Fig. 2A). i possono distinguere due regioni sulla superficie : la regione del foro, dove sia il campo elettrico, sia il campo magnetico sono diversi da zero, e si ha: J s = i n H i M s = i n E i (18) dove E i e H i sono i campi in corrispondenza del foro ma calcolati come se lo schermo C.E.P non ci fosse. la regione al di fuori del foro che è C.E.P. ed quindi caratterizzata da campo elettrico tangente nullo, e si ha: J s = i n H M s = i n E = 0 dove H è il campo magnetico vero (incognito) tangente allo schermo. i ottiene così la situazione di Fig. 2A, che è quella che deriva direttamente dal teorema di equivalenza, con correnti sia elettriche, sia magnetiche. Poichè dall approssimazione di Kirchoff si conosce solamente il campo in corrispondenza del foro, la soluzione più ragionevole è quella di metallizzare il foro ed eliminare quindi le correnti elettriche superficiali impresse J s che ora generano campo nullo allesterno di. In conclusione, per il calcolo del campo trasmesso oltre il foro, possibile studiare il problema elettromagnetico mostrato in Fig. 2B, ossia con le sole correnti magnetiche equivalenti M s presenti solo in corrispondenza del foro e che irradiano in presenza di uno schermo C.E.P infinito. 14

15 i utilizza il teorema di equivalenza per determinare le incognite vere del problema e il foro è confrontabile con la lunghezza d onda l approssimazione di Kirchoff non è più valida. In questo caso è comunque possibile usare il teorema di equivalenza utilizzando una strada differente. Come detto nel punto precedente, il foro è completamente caratterizzato dalla conoscenza del campo elettrico tangente vero sul foro. In questo caso non conosco questo campo e non lo posso approssimare. A i n i n B A B J J E inc E inc J, M J, M M M J J Fig. 3: A) Risultato del teorema di equivalenza; B) Risultato della formulazione alternativa (con C.E.P. all interno). Come primo passo si applica il teorema di equivalenza alla superficie che poggia sullo schermo metallico, sia nella regione a sinistra, sia nella regione a destra del foro, e si chiude allinfinito (Fig. 3A). Poi, analogamente a quanto fatto nel caso precedente, si pu considerare la situazione equivalente mostrata in Fig. 3B. La corrente magnetica equivalente in corrispondenza del foro irradia in presenza di un C.E.P infinito sia nella regione A, sia nella regione B. Ma è opposta nelle due regioni perch la normale alla superficie è opposta. Per determinare il campo elettrico in corrispondenza del foro, e quindi la corrente magnetica equivalente che consente di calcolare il campo in tutto lo spazio, si possono applicare le condizioni di continuità del campo magnetico tangente sul foro: i n H A = i n H B (19) detta Magnetic Field Integral Equation. Nella (19), H A e H B sono i campi magnetici totali nelle due regioni A e B. Questi ultimi si ottengono dalle correnti magnetiche sul foro (cui va 15

16 sommato il campo magnetico H i ) utilizzando la funzione di Green di ciascuna regione, ovvero il campo magnetico di un impulso di corrente magnetica posto sulla superfice. e indichiamo con G(r,r ) questa funzione di Green, si trova H A (r) = H i + G A (r,r ) [ M s (r ) ] d H B (r) = G B (r,r ) M s (r )d che, sostituite nella (19), forniscono una equazione (integrale) nella corrente magnetica incognita M s, che va ovviamente poi risolta per via numerica. 10 TEOREMA DELLE IMMAGINI Vedi file aggiuntivo IIb 16

17 INDICE 1. TEOREMA DI RECIPROCITÀ EITENZA E UNICITA IL IGNIFICATO DELL UNICITA UNICITA NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA CONDIZIONI DI UNICITA NEL PROBLEMA INTERNO CONDIZIONI DI UNICITA NEL PROBLEMA ETERNO TEOREMA DI EQUIVALENZA CONDUTTORI E CORRENTI INDOTTE APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI EQUIVALENZA TEOREMA DELLE IMMAGINI