Affinità parte terza Pagina 13 di 8 easy matematica di Adolfo Scimone

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1 Affinità prte terz gin 3 di 8 es tetic di Adolfo Scione Sietrie ssili Definizione - Si chi sietri ssile ogni isoetri che trsfor un punto nel punto sietrico di rispetto d un rett prefisst, dett sse di sietri. Q Q' Ne segue che l'sse di sietri è il luogo di punti uniti, inoltre punti corrispondenti sono equidistnti dll'sse. Sietri rispetto ll rett s di equzione = k. Si s un rett prllel ll'sse e (',') il sietrico di (,) rispetto ll rett s Osservndo il grfico si h : = ' 0 O = k

2 Affinità prte terz gin 4 di 8 es tetic di Adolfo Scione '= essendo 0 il punto edio di si h + ' 0 = = ' e quindi ' = k ' = dove 0 = k det A = Se k = 0 si h l sietri rispetto ll'sse di equzioni ' = ' = det A = Sietri rispetto ll rett r di equzione = h Dl grfico si h = h 0 O = ' + ' 0 = dove ' = e quindi 0 = h ' = ' = h det A =

3 Affinità prte terz gin 5 di 8 es tetic di Adolfo Scione Se h = 0 si h l sietri rispetto ll'sse che h equzioni : ' = ' = det A = Sietri rispetto ll bisettrice = Si dice sietri ssile di sse l rett = l'isoetri di equzione ' = det A = ' = coe è fcile osservre dl grfico. = ' O ' Sietri rispetto ll bisettrice = Si dice sietri ssile di sse l rett = l'isoetri di equzione ' = det A = ' = 0 ' -' - = -

4 Affinità prte terz gin 6 di 8 es tetic di Adolfo Scione Sietri rispetto ll rett r : = + q = + q M O osservio che due punti (, ) e (',') sono sietrici rispetto ll rett r se si verificno le seguenti condizioni : il punto M ( + ) ( + ) r '; ' e pprtengono ll rett perpendicolre d r. Queste condizioni si trducono nelle equzioni : ( + ' ) = ( + ') + q ' = ' Risolvendo il siste rispetto ', ', si ottengono le equzioni dell sietri rispetto ll rett r. q '= ' = + + q + + Coe cso prticolre si possono, d quest, ricvre le sietrie rispetto lle bisettrici degli ssi.

5 Affinità prte terz gin 7 di 8 es tetic di Adolfo Scione Sietri centrle o equinversione Si dice sietri centrle di centro C l trsforzione di R in se stesso che port C in C e che d ogni punto R diverso d C, ssoci il punto R tle che C si il punto edio del segento. Se C ( 0, 0 ) (, ) ( ', ') si h (',') C (, ) 0 0 (,) O + ' = ϕ : + ' = d cui si ottiene 0 0 ' = 0 ' = 0 det A = che rppresent un sietri centrle di centro C che è l'unico punto unito dell trsforzione. Osservzione Affinché si bbi un sietri centrle i vettori AB e A' B' devono essere prlleli. Se 0 = 0 = 0 si ottiene l sietri rispetto ll'origine. er verificre se due curve : Γ : = f ( ) e Γ': = f ( ) possiedono un centro di sietri C ( 0, 0 ) si pone nell equzione = f ( ) l posto di 0 - ed l posto di 0 - e si ugugli l funzione ottenut ll f () dt. Successivente, edinte il principio di identità dei polinoi si ricvno i vlori di h e k che soddisfno il siste.

6 Affinità prte terz gin 8 di 8 es tetic di Adolfo Scione Oogrfie Considerio il copletento proiettivo dello spzio ffine E con l ggiunt dei punti ipropri delle rette di E. Si dice oogrfi di ogni trsforzione biiettiv che trsfor rette proiettive in rette proiettive. L su equzione è: ρ ρ ρ ' ' ' 3 = = = ρ 0 det A 0 ' Affinché si bbi un punto unito si dovrà sostituire con ecc. Il siste oogeneo ssocito deve ettere soluzioni non nulle, per cui risult necessrio e sufficiente che si nnulli il deterinnte dei coefficienti del siste ρ 3 ρ ρ = 0 che dicesi equzione crtteristic dell oogrfi e ette tre rdici (,, 3 ) in generle distinte delle quli nessun risult null ltrienti srebbe nullo il deterinnte che è escluso 0 ij ij rodotto di ffinità Sino X = b+ b + r ϕ : Y = b+ b + s e ' = + + p ψ : ' = + + q () () due ffinità del pino in sé, si h l Definizione - Si dice prodotto opertorio o sepliceente prodotto di ψ e ϕ e si scrive ϕ ψ l'ffinità δ che si ottiene pplicndo pri ψ e poi ϕ

7 Affinità prte terz gin 9 di 8 es tetic di Adolfo Scione X = b( + + p) + b( + + q) + r δ : Y = b( + + p) + b( + + q) + s X = ( b + b) + ( b + b ) + bp+ b + r δ : Y = ( b + b) + ( b + b ) + bp+ bq+ s posto bp+ b + r = e bp+ bq+ s= f vreo X = ( b + b) + ( b + b) + e δ : Y = ( b + b) + ( b + b ) + f Si può provre fcilente che ) il prodotto di due ffinità è un'ffinità, per cui l'insiee A delle ffinità è chiuso rispetto ll'operzione b) l'operzione è ssocitiv ϕ ( ψ δ ) = ( ϕ ψ ) δ c) ϕ A un'ffinità I A tle che I ϕ = ϕ I = ϕ d) ϕ A,! ϕ A: ϕ ϕ = ϕ ϕ = I oiché ϕ ψ ψ ϕ Il prodotto di ffinità non è couttivo. ertnto l struttur (, ) A è un gruppo non couttivo. Le ffinità forno un gruppo rispetto l prodotto di trsforzioni vente coe sottogruppo il,gruppo delle siilitudini e quindi il gruppo delle isoetrie.

8 Affinità prte terz gin 0 di 8 es tetic di Adolfo Scione Si h quindi il grfo Affinità (geoetri ffine) Siilitudini (geoetri siile gruppo non belino) Isoetrie (geoetri euclide) Rotootetie (gruppo belino) Trslzioni Rotzioni Ootetie (belino) (belino) (belino) CAMBIAMENTO DI RIFERIMENTO Rototrslzione er deterinre le coordinte del punto (, ) rispetto d un nuovo siste di riferiento O ' ' ' rototrslto rispetto d O, freo uso delle forule : = 'cos α 'sen α + ' = ( )cos α + ( b)senα e, vicevers = 'sen α + 'cos α + b ' = ( )sen α + ( b)cosα che si ottengono dll coposizione dei csi precedenti. Y N M X O' α O H K