CALCOLO DI LIMITI PER LE FUNZIONI CONTINUE. Saper calcolare semplici limiti, in particolare delle funzioni razionali intere e fratte.

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1 CALCOLO DI LIMITI PER LE FUNZIONI CONTINUE OBIETTIVI MINIMI: Sper idividure le fuzioi cotiue Sper pplicre i teorei sui iti Sper idividure le fore ideterite Sper clcolre seplici iti, i prticolre delle fuzioi rzioli itere e frtte Sper idividure gli sitoti delle fuzioi lgeriche DA RICORDARE U fuzioe f ( ) defiit i u itervllo I è cotiu el puto c (itero ll itervllo) se risult f ( ) f ( c) I ltre prole l fuzioe f ( ) è cotiu el puto c se: c - esiste il vlore dell fuzioe el puto c - esiste il ite dell fuzioe per tedete c - il ite coicide co il vlore dell fuzioe el puto c Soo fuzioi cotiue: - le fuzioi rzioli itere (ell isiee dei ueri reli) - le fuzioi rzioli frtte (ell isiee dei ueri reli, esclusi i puti che ullo il deoitore) - le fuzioi y se e y cos (ell isiee dei ueri reli) π - le fuzioi y tg (ell isiee dei ueri reli diversi d kπ co y cot g (ell isiee dei ueri reli diversi d k π co kε Z ) - l fuzioe espoezile y co >, (ell isiee dei ueri reli) - l fuzioe logritic y log co >, (ell isiee dei ueri reli positivi) - α l fuzioe potez y co αε R α >, α (ell isiee dei ueri reli positivi) kε Z ) e

2 Operzioi sui iti Se f ( ) e ( ) l, llor: f soo due fuzioi che ettoo per tedete c iti fiiti l e - il ite dell so delle due fuzioi è ugule ll so dei iti, cioè f f l l c [ ( ) ( )] - il ite del prodotto delle due fuzioi è ugule l prodotto dei iti, cioè f f l l c [ ( ) ( )] - il ite del quoziete delle due fuzioi (di cui l secod o ull i c) è f( ) l ugule l quoziete dei iti, cioè c f l ( ) L so, il prodotto ed il quoziete di fuzioi cotiue i u puto c, soo fuzioi cotiue i c Nel cso del quoziete l secod fuzioe o deve ullrsi i c l fuzioe y f ( g( ) ), copost di due fuzioi z g( ) y f ( z), cotiu i g( ), è u fuzioe cotiu i c c, cotiu i c, e I teorei rigurdti il ite di u so, di u prodotto e di u quoziete perdoo vlidità qudo il ite dto si preset i u delle segueti fore: che soo dette fore ideterite Il ite per di u fuzioe rziole iter è ugule l ite del suo terie di grdo ssio, cioè ( ) ( ) ± Al risultto si perviee rccogliedo il terie i di grdo ssio ESEMPIO ( ) ±

3 Il ite per di u fuzioe rziole frtt port iizilete d u for ideterit del tipo che si risolve rccogliedo uertore e deoitore il terie i di grdo ssio < > ± ± se se se ESEMPI Il ite per c di u fuzioe rziole frtt può portre d u for ideterit del tipo che si risolve scopoedo i fttori il uertore ed il deoitore ESEMPI il deoitore tede, o ho u for ideterit 7 8 o ho u for ideterit ho u for ideterit che risolvo scopoedo i fttori il uertore ed il deoitore, quidi: ( ) ( )( )

4 Vlgoo i segueti iti otevoli : se - ( i rditi) - e Si dice che l rett c è u sitoto verticle per il grfico di f ( ) se f L sitoto è destro se l relzioe precedete vle per c, è c ( ) siistro se l relzioe vle per c Si dice che l rett l f se f L sitoto è destro se l relzioe precedete vle per, è ( ) l siistro se l relzioe vle per y è u sitoto orizzotle per il grfico di ( ) U fuzioe che o ette sitoto orizzotle può ettere sitoto f ( ) oliquo di equzioe y q co e q [ f ( ) ] Affiché esist l sitoto oliquo deve essere fiito e diverso d zero, q deve essere fiito ESEMPI o L fuzioe y h per doiio R { } 9 ± 9, quidi e - soo sitoti verticli per il grfico dell fuzioe, quidi y è sitoto orizzotle 9 o L fuzioe y ette sitoto verticle di equzioe, perché, o ette sitoto orizzotle i quto Esiste ivece l sitoto oliquo di equzioe y Iftti: ( ) f q Sostituedo: [ f ( ) ] y q y

5 ESERCIZI A Idicre se le segueti proposizioi soo vere o flse, giustificdo l rispost: ) Spedo che f ( ) e f ( ) 5 c ) [ f ( ) f ( ) ] c ) [ f ( ) f ( ) ] 9 c c) [ f ( ) f ( ) ] c c, si h: vero flso vero flso vero flso ) Spedo che f ( ) e f ( ) c ) [ f ( ) f ( ) ] c c, si h: vero flso ) [ f ( ) f ( ) ] vero flso c c) ( ) ( ) f vero flso c f ) Spedo che f ( ) e f ( ) ) [ f ( ) f ( ) ] ) [ f ( ) f ( ) ] c) [ f ( ) f ( ) ], soo fore ideterite: vero flso vero flso vero flso ) Se >, si h : ) 5 vero flso ) vero flso c) vero flso

6 5) Se u fuzioe ( ) f ( ) f h u sitoto verticle di equzioe, si h vero flso 6) Se u fuzioe f ( ) h u sitoto oliquo llor f ( ) vero flso 7) Se f ( ), llor l fuzioe ( ) f h u sitoto oliquo vero flso 8) U fuzioe può vere due sitoti orizzotli diversi vero flso 9) L fuzioe y : ) h due sitoti verticli vero flso ) h u sitoto orizzotle vero flso c) h u sitoto orizzotle e uo oliquo vero flso se ) vero flso B Idicre l rispost estt, giustificdol: ) ( ) vle: ) ) c) d) o si può clcolre perché è u for ideterit ) : ) è ifiito, perché il grdo del uertore è ggiore del grdo del deoitore ) vle zero, perché il deoitore tede zero c) o si può clcolre, perché si preset ell for d) vle 7

7 ) 5 ) ) c) d) / vle: ) L fuzioe y, ette coe sitoti le rette segueti: ) y ) y c) y d) y 5) 6) vle: ) ) 6 c) d) 5 vle: ) ) c) d) 5 7 7) L rett y è u sitoto orizzotle per l fuzioe: ) 7 y ) y 7 c) 7 y d) 7 5 y 8 8) Se f ( ) llor l sse Y per l fuzioe: ) è sitoto orizzotle ) è sitoto verticle c) è sitoto oliquo d) o è u sitoto

8 9) L fuzioe y, h coe sitoto oliquo l rett: ) y ) y c) y d) y ) Quli delle segueti fuzioi può ettere sitoto oliquo? ) y ) 8 y c) y d) y 7 C Clcolre i segueti iti: ) ( 5) ) ( 5 5) ) ( 5 ) ) 5) 6) 6 7) 8) 9) ) ) ) 5 5 ) e ) se5 5) tg 6) 7) 8) 9 D Deterire le equzioi degli evetuli sitoti delle segueti fuzioi: ) y ) 9 y ) 9 y ) 6 y 5) y 6) y

ma non sono uguali fra loro

ma non sono uguali fra loro Defiizioe U fuzioe f defiit i D (doiio) si dice cotiu i u puto c D se esiste i tle puto (è cioè possiile clcolre f (c)); se esiste, fiito, il ite dell fuzioe per che tede c e se il vlore del ite coicide

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