Congruenze. Classi resto

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1 Congruenze. Classi resto Congruenze modulo un intero DEFINIZIONE Siano a e b due numeri interi relativi; fissato un intero m si dice che a è congruo a b modulo m se la differenza a b è multipla di m, e si scrive: a b (mod m) In simboli, indicata con m la relazione di congruenza modulo m, si ha: a m b k a b = km Si tratta di una relazione di equivalenza (vedi cap. par. 8); nell esempio che segue ci limitiamo a verificarlo nel caso particolare m = 7. sempio Sia 7 la relazione tra gli elementi di così definita: a 7 b k a b = 7k essendo k un intero positivo, negativo o nullo; tale relazione viene solitamente indicata con la notazione a b (mod 7) che si legge a è congruo a b modulo 7, e significa che a b è divisibile per 7 Per esempio: 8 è congruo a modulo 7 infatti la differenza 8 = 7 è multiplo di 7; risulta ancora che 8 è congruo a 4 modulo 7 essendo 8 4 = 4 = 7 multiplo di 7. Così, 3 è, per esempio, congruo ai numeri 4, 3, 4, 45 modulo 7 poiché sono multiple di 7 tutte le differenze: 3 4 = = 3 7, 3 ( 3) = 35 = 5 7, 3 ( 4) = 7, 3 45 = 4 = 6 7 Si vede subito che 7 è una relazione di equivalenza; infatti essa è: a) riflessiva: a a (mod 7) in quanto a a = 0 7 (k = 0); b) simmetrica: a b (mod 7) b a (mod 7) in quanto a b = k 7 b a = ( k)7; c) transitiva: a b (mod 7) e b c (mod 7) a c (mod 7) in quanto, dalle relazioni a b = k 7 e b c = k 7 sommando membro a membro si ottiene: a c = (k + k )7 ossia a c (mod 7) 00 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

2 L insieme definito dai punti circolettati in colore (fig. ) rappresenta parte del grafico G della relazione 7, pensato limitatamente all insieme A = {0; ; ; ; }. È interessante riconoscere alcune proprietà geometriche: G contiene la diagonale e non potrebbe essere diversamente, dal momento che la relazione è riflessiva. G è simmetrico rispetto a tale diagonale: infatti contiene il punto (; 9) e il punto (9; ), contiene (5; ) e (; 5) ecc. Questa è un evidente conseguenza dell essere la relazione simmetrica. A A 9 0 Figura Classi resto modulo un intero Consideriamo due numeri interi che divisi per 7 diano lo stesso resto, per esempio a = 39 e b = 5: 39 = e 5 = Allora la loro differenza 39 5 = ( ) = 7 è multipla di 7, cioè 39 e 5 sono congrui modulo 7. Viceversa, sappiamo che la divisione di a = 39 per 7 dà resto 4 e che b = 5 è congruo ad a = 39 modulo 7 poiché la differenza a b = 39 5 = 4 = 7 è un multiplo di 7. Se ne deduce che b = 5 = 39 4 = = cioè b = 5 nella divisione per 7 ha lo stesso resto di a = 39. In generale, supponiamo che a e b siano due numeri interi che abbiano lo stesso resto nella divisione per m: a = k m + r b = k m + r essendo 0 r < m Sottraendo membro a membro si ha: a b = (k k )m = km cioè i due numeri a e b sono congrui modulo m. Viceversa supponiamo, dati i due numeri a e b interi, che. sia r il resto della divisione di a per m: a = qm + r 0 r < m. sia a b (mod m) cioè a b = km 00 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

3 Allora risulta: b = a km = qm + r km = (q k)m + r = hm + r quindi a e b divisi per m hanno lo stesso resto. Concludendo, vale il seguente TEOREMA Affinché due interi relativi a e b siano congrui modulo m è necessario e sufficiente che essi abbiano lo stesso resto nella divisione euclidea per m. Considerata, ora, la relazione m di congruenza modulo un intero m tra interi relativi, la classe di equivalenza [a] formata dagli interi congrui ad a modulo m, cioè dai numeri del tipo: a + km con k prende il nome di classe resto modulo m. Gli elementi della classe [a] sono quindi i numeri interi che divisi per m danno lo stesso resto, uguale a quello della divisione di a per m. L insieme quoziente / m (vedi cap. par. 9) è formato dalle m classi di equivalenza: [0], [], [],, [m ] dove nella classe [0] ci sono tutti i numeri interi tali che il resto della divisione per m è uguale a zero, cioè i multipli di m, nella classe [] tutti i numeri interi tali che il resto della divisione per m è uguale a, nella classe [] tutti i numeri interi tali che il resto della divisione per m è uguale a, Che dire della congruenza se m =? Tutti gli interi sono congrui tra loro modulo : l unica classe di equivalenza che si produce è la classe [0]. Come esempio riprendiamo in considerazione la relazione 7 definita in, considerata nell esempio. sempi Sia 7 la relazione di equivalenza definita in, cioè: a 7 b k e a b = 7k Appartengono alla classe [a] tutti gli elementi b di tali che la differenza (a b) sia multipla di 7. È chiaro che l insieme quoziente / 7 è costituito dalle sette classi: Ciascuna di esse è costituito da: [0]; []; []; [3]; [4]; [5]; [6] [0] = {0; ±7; ±4; ±; } [] = { ; 3; 6; ; 8; } [] = { ; ; 5; ; 9; } [3] = { ; ; 4; 3; 0; } [6] = { ; 8; ; 6; 3; } Si osservi che ogni elemento di appartiene a una sola delle suddette classi, il cui elemento rappresentativo non è altro che il resto della divisione tra il numero dato e RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

4 3 Congruenza modulo m = Se a e b sono numeri interi, diremo a b (mod ) se la differenza (a b) è divisibile per, cioè è multiplo di : a b = k Abbiamo visto che due numeri sono congrui modulo se divisi per danno lo stesso resto e poiché i possibili resti delle divisioni per sono 0 e l insieme quoziente / è costituito dalle sole due classi : [0] = {0; ±; ±4; ±6; } [] = { ; 5; 3; ;, 3, 5, } Nella classe [0] sono contenuti tutti i numeri pari, nella classe [] tutti i numeri dispari. Aritmetica delle classi resto L insieme quoziente / m, insieme delle classi resto modulo m, come abbiamo visto, è costituito da m elementi, le classi: [0], [], [],, [m ] individuate dai possibili resti della divisione per m dei numeri interi. Indicheremo in generale con la classe di tutti gli interi congrui al numero a modulo m. Sull insieme delle classi resto si può fare dell aritmetica con le seguenti definizioni di somma e di prodotto: Somma: + [b] m = [a + b] m Prodotto: [b] m = [a b] m sempio 4 Supponiamo di aver scelto m = 6; allora, per definizione: + [0] 6 = [5] 6 [8] 6 = [40] 6 Nell aritmetica introdotta la classe [0] m ha, naturalmente, il ruolo dello zero nell addizione e la classe [] m quello dell unità nella moltiplicazione. La tabella a fianco esprime la somma delle classi resto modulo 5. La classe [b] m si dice opposta della classe se: + [b] m = [b] m + = [0] m Nella tabella, per esempio, la classe [] 5 opposta alla classe [3] 5 e viceversa. è + [0] [] [] [3] [4] [0] [0] [] [] [3] [4] [] [] [] [3] [4] [0] [] [] [3] [4] [0] [] [3] [3] [4] [0] [] [] [4] [4] [0] [] [] [3] 4 00 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

5 La tabella a fianco costituisce, invece, la tabella moltiplicativa delle classi resto modulo 5: si noti che abbiamo trascurato, come nella tradizionale tavola pitagorica, le moltiplicazioni per la classe [0]. La classe [b] m [0] m si dice reciproca della classe se: [b] m = [b] m = [] m Nella tabella, per esempio, la reciproca della classe [4] 5 [] [] [3] [4] [] [] [] [3] [4] [] [] [4] [] [3] [3] [3] [] [4] [] [4] [4] [3] [] [] è se stessa. Prima osservazione = {, 3, 9, 5,, } = [9] 6 [0] 6 = {, 4, 0, 6,, } = [6] 6 Riuscirà, secondo la nostra definizione, + [0] 6 = [9] 6 + [6] 6? Per fortuna sì! Infatti: [9] 6 + [6] 6 = [5] 6 = { ; ; 7; 3; 9; 5; 3; } = Seconda osservazione [] 6 = [6] 6 = [0] 6 Il prodotto di due classi diverse dalla classe zero dà la classe zero! Nell aritmetica delle classi resto può cadere la ben nota proprietà di annullamento del prodotto che coincide con l annullamento di uno almeno dei fattori. Si noti tuttavia che l incidente emerso in relazione al prodotto nelle classi resto modulo 6 non può comparire in classi resto modulo un numero m primo. Terza osservazione Saper decidere se un numero b [0] m equivale a saper decidere se b è divisibile per m. Osservazione Un criterio di divisibilità Scritto il numero intero n in forma decimale come n = n 3 n n n 0 cioè n = n 0 + n 0 + n 0 + n si ha: [n = [n 0 + [n [0 + [n [0 + [n 3 [0 3 + Le cifre n 3, n, n, n 0 sono comprese tra 0 e 9, quindi non cambiano considerandole modulo. Poiché 0 (mod ) si ha del resto: 0 (mod ) 0 3 (mod ) ecc. Quindi: [n = [n 0 n + n n 3 + ], da cui [n = [0, ovvero è divisore di n se e solo se la somma alternata delle cifre di n è un multiplo di. n 0 n + n n 3 + Per esempio, il numero 88 è divisibile per (ben noto!) ma lo è anche il numero infatti: = RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista