Il metodo delle forze

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1 Nel campo delle strutture MONODIMENSIONALI, cioè quelle per le quali la lunghezza lungo un asse è di gran lunga prevalente rispetto alle altre dimensioni, i metodi di risoluzione delle strutture staticamente indeterminate possono ricondursi a due gruppi fondamentali: - I metodi delle forze; - i metodi degli spostamenti. 1 Il metodo delle forze Fase 1: la struttura data sottoposta agli enti esterni di carico viene resa isostatica sopprimendo i vincoli sovrabbondanti ed evidenziando le reazioni iperstatiche già equilibrate. Fase 2: si sottopone la struttura isostatica, che chiameremo di servizio, agli enti esterni di carico e si calcolano gli spostamenti subiti dai punti di applicazione delle iperstatiche. La struttura di servizio cosi caricata presenta rispetto alla struttura data, discontinuità geometriche in corrispondenza della sede delle iperstatiche. Fase 3: la congruenza viene ripristinata dall intervento di tutte le incognite iperstatiche che producono spostamenti uguali e contrari a quelli causati dagli enti esterni di carico. 2 1

2 3 4 2

3 Si possono scrivere tante equazioni quante sono le incognite iperstatiche, esprimenti ciascuna il rispetto dei vincoli preesistenti (equazioni di congruenza). Se indichiamo allora cond ij lo spostamento lineare od angolare che nella struttura principale subisce il punto di applicazione della incognita X i nella direzione di questa (se X i è un momento,d ij è una rotazione) per effetto della X i = 1; cond io lo spostamento lineare o angolare sempre nella direzione di X i indotto dagli enti esterni di carico, le equazioni che si possono scrivere (se in i lo spostamento che si esamina è nullo) sono: 5 Le equazioni devono la loro importanza al fatto permettono il calcolo separato dei coefficientid ij delle incognite delle singole equazioni del sistema e dei termini notid io. I coefficientid ij riferendosi a spostamenti e rotazioni che nella "struttura principale subiscono i punti di applicazione delle incognite iperstatiche X i nella direzione di queste, per effetto di valori unitari delle incognite X i vengono detti coefficienti di influenza. Si ottiene, se le incognite iperstatiche X i sono n, un sistema di n equazioni lineari non omogenee del tipo: 6 3

4 Poiché, per il teorema di Maxwelld ij =d ji il sistema è simmetrico rispetto alla diagonale principale e il numero N dei coefficienti di calcolo effettivo è se n è il numero delle iperstatiche Si definisce telaio a nodi spostabili un telaio in cui i nodi, oltre a ruotare, possono anche traslare. Se non si trascura la deformabilità assiale, ogni telaio risulta sempre a nodi spostabili. Per valutare se un telaio è a nodi fissi o a nodi spostabili, si considera il grado di vincolo della struttura che si ottiene inserendo una cerniera in corrispondenza di ogni nodo interno ed esterno in cui risulti vincolata la rotazione (assoluta o relativa), sia che essa sia vincolata in modo perfetto (vincolo rigido), sia che essa sia vincolata solo parzialmente (vincolo cedevole). La struttura svincolata e caricata nelle sezioni di svincolamento con le azioni trasmesse dai gradi di vincolo soppressi (incognite iperstatiche), assunte con verso arbitrario, viene detta travatura reticolare associata. Se la travatura reticolare associata è isostatica o iperstatica, il telaio è a nodi fissi. Al contrario, se la travatura reticolare associata è labile, il 8 telaio è a nodi spostabili. 4

5 Il numero di nodi spostabili non corrisponde al numero di nodi che effettivamente si spostano, ma al numero di parametri indipendenti che definiscono la deformata rigida della travatura reticolare associata. Ovvero, il numero di nodi spostabili restituisce il numero di atti di moto rigido della travatura reticolare associata e corrisponde al numero di vincoli semplici che occorre introdurre per rendere a nodi fissi il telaio a nodi spostabili. Ognuna delle deformate per moto rigido che si ottengono da una travatura reticolare associata labile attivando un parametro indipendente di spostamento alla volta prende il nome di cinematismo elementare o meccanismo. In sostanza, in un telaio a nodi spostabili si hanno tanti cinematismi elementari quanti sono i gradi di labilità (nodi spostabili) della travatura reticolare associata

6 11 ESERCIZIO N 9 Determinare i diagrammi di taglio e momento del seguente solaio: q=3.2kn/m 12 6

7 13 Soluzione: Riferiamoci alla seguente struttura di servizio in cui abbiamo sostituito ai nodi interni delle cerniere evidenziando i momenti originali: d 11 X 1 +d 12 X 2 +d 10 =0 d 21 X 1 +d 22 X 2 +d 20 =0 14 7

8 d 11 X 1 +d 12 X 2 +d 1 0 = 0 d 21 X 1 +d 22 X 2 +d 2 0 = 0 d 11 = [(1/3EJ) - (-1/3EJ)] d 12 = (1/6EJ) d 22 = [(1/3EJ) - (-1/3EJ)] d 21 = (1/6EJ) d 10 = d 20 = [(ql 3 /24EJ) - (- ql 3 /24EJ J)] 15 Per determinare quei 2 momenti incogniti servono 2 equazioni di congruenza in cui si impone che le rotazioni relative nei nodi interni siano nulle. Con riferimento alla tabella del metodo delle forze si può scrivere: 16 8

9 Determiniamo le azioni interne di momento e taglio sulla seguente struttura: 17 Andiamo ad analizzare ogni singola campata determinando reazioni vincolari, momento, taglio per ognuna di esse: Campata

10 Campata Campata

11 Campata Complessivamente si ha una struttura simmetrica con carichi simmetrici ed ovviamente anche diagrammi simmetrici: 22 11

12 ESERCIZIO N 10 Risolvere il telaio iperstatico: 23 Equazioni di congruenza esprimenti l'annullamento delle rotazioni relative in1e in

13 25 Sostituendo i valori trovati nel sistema risulta: Per L = H si ha: 26 13

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