Sistemi di telecomunicazione. Andrea Petreri

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1 Sistemi di telecomunicazione Andrea Petreri

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3 Indice 1 Richiami di teoria dei segnali Reppresentazione dei numeri complessi Proprietà e formule notevoli Rappresentazione nel dominio della frequenza Serie di Fourier Trasformata di Fourier Ortogonalità di funzioni Trasformata di Hilbert Segnale analitico Inviluppo complesso Teoria della probabilità Richiami di teoria dei segnali 11.1 Numeri complessi e formule di Eulero Proprietà e formule notevoli Rappresentazione nel dominio della frequenza Serie di Fourier Trasformata di Fourier Principio di dualità Ortogonalità di funzioni Teorema di Wiener per segnali di energia Teorema di Wiener per segnali di potenza Trasformata di Hilbert Segnale analitico Inviluppo complesso Modulazioni analogiche Introduzione Modulazione di ampiezza iii

4 iv Indice 3..1 Modulazione a Banda Laterale Doppia - BLD Modulazione a Banda Laterale Unica - BLU Demodulazione sincrona (o coerente, o omodina) Demodulazione eterodina (o supereterodina) Demodulazione di inviluppo (o incoerente) Modulazione di frequenza e di fase Demodulazione di frequenza Demodulatore a discriminatore Banda di un segnale in modulazione di frequenza Prestazioni Prestazioni della modulazione di frequenza Prestazioni della modulazione di ampiezza BLD-PS BLD-PI Teoria della stima Introduzione Modellazione dei problemi di ricezione ottima Procedura di Bayes Verifica di ipotesi binaria Ricevitore a correlazione Ricevitore a correlazione con forme d onda antipodali Modulazioni numeriche Interferenza intersimbolica Diagramma ad occhio Prestazioni del ricevitore Modulazione QAM Modulazione PSK GSM Introduzione Suddivisione del territorio in celle Carrier to interference ratio e fattori di riduzione Tecnica di accesso Architettura del sistema GSM Stazione Mobile (MS, Mobile Station) Stazione Base (BS, Base Station) Sottosistema di Rete (NS, Network Subsystem)

5 Indice v Gateway MSC (GMSC) Equipment Identity Register (EIR) Comunicazione ed interfaccia radio Handover Canali logici Canali di traffico Canali di controllo Transito dei segnali nei circuiti Bipoli Potenza assorbita da un bipolo Connessione tra generatore e carico Condizione di massimo trasferimento di potenza Potenza disponibile Formule matematiche Formule algebriche Potenze e logaritmi Prodotti notevoli Identità trigonometriche Forumle di addizione e sottrazione - Formule di duplicazione Formule parametriche Formule di Werner Formule di Prostaferesi Derivate fondamentali e regole di derivazione Integrali indefiniti immediati

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7 Capitolo 1 Richiami di teoria dei segnali 1.1 Reppresentazione dei numeri complessi Sia dato un numero complesso nella sua forma algebrica: z = a + jb Il suo modulo risulta: ρ = a + b Da cui: cos γ = a ρ = a sin γ = b a + b ρ = b a + b L argomento del numero complesso z risulta quindi: ( ) b Arg(z) = arctan = γ a tan γ = sin γ cos γ = b a Ne deriva dunque: z = a + jb = ρ cos γ + jρsin γ Per passare alla forma esponenziale ci avvaliamo delle formule di Eulero: e jγ =cosγ + j sin γ e jγ =cosγ j sin γ Queste possono essere scritte alternativamente come segue: cos γ = ejγ + e jγ Abbiamo dunque che: ( e jγ + e jγ a + jb = ρ cos γ + jρsin γ = ρ 1 sin γ = ejγ e jγ j ) + ρ ( e jγ e jγ ) = ρ e jγ

8 Capitolo 1 1. Proprietà e formule notevoli Valor medio di un segnale ΔT lim x(t)dt (1.1) ΔT ΔT Integrale assoluto ΔT lim x(t) dt (1.) ΔT ΔT Se l integrale assoluto di un segnale assume valore finito, il segnale si dice impulsivo o assolutamente sommabile. Energia di un segnale ΔT ΔT E x = lim x(t) dt = lim x(t) x (t)dt (1.3) ΔT ΔT ΔT ΔT Dove x (t) è il coniugato 1 di x(t). L energia di un segnale è una quantità sempre positiva (al più nulla se x(t) = 0 per ogni istante t). Se in particolare risulta che E x è una quantità finita non nulla, x(t) viene detto segnale di energia. Potenza di un segnale P x = lim ΔT ΔT 1 x(t) dt = ΔT ΔT lim ΔT E x ΔT (1.4) La potenza di un segnale è una quantità sempre positiva (al più nulla se x(t) =0 per ogni istante t). Se in particolare risulta che P x è una quantità finita non nulla, x(t) viene detto segnale di potenza. I segnali di energia hanno sempre potenza nulla dunque non sono anche segnali di potenza. Inoltre i segnali di potenza hanno sempre energia infinita, dunque non sono segnali di energia. I segnali di potenza non sono in generale impulsivi. I segnali limitati nel tempo ed in ampiezza (rect, tri) sono impulsivi e di energia, tuttavia se un segnale è impulsivo non è detto che sia di energia e viceversa. I segnali periodici sono sempre segnali di potenza a meno che non abbiano dei punti di discontinuità, cioè punti per i quali x(t) non converge. Integrale di convoluzione y(t) =x(t) h(t) = + x(τ) h(t τ)dτ (1.5) Dove il segnale y(t) ha un occupazione temporale pari alla somma delle occupazioni temporali dei segnali x(t) edh(t). Valgono inoltre le seguenti proprietà: 1 Si ricorda che il complesso coniugato di x = a + jb è x = a jb

9 Richiami di teoria dei segnali 3 Proprietà Formula Commutativa x(t) h(t) =h(t) x(t) Associativa [x(t) h 1 (t)] h (t) =x(t) [h 1 (t) h (t)] Distributiva x(t) [h 1 +h ]=x(t) h 1 (t)+x(t) h (t) Elemento neutro x(t) μ 0 (t) =x(t) Traslazione nel tempo x(t) μ 0 (t τ) =x(t τ) Integrale di correlazione (o intercorrelazione, o crosscorrelazione) e xy (t) = p xy (t) = ΔT lim ΔT ΔT lim ΔT 1 ΔT ΔT ΔT x (τ) y(t + τ)dτ per segnali di energia (1.6) x (τ) y(t + τ)dτ per segnali di potenza (1.7) Qualora risulti x(t) = y(t) siparladiintegrale di autocorrelazione. presente che: e xx (0) = E x Inoltre: p xx (0) = P x e xy (t) e yx Si tenga sempre La correlazione tra due segnali x(t) edy(t) può essere espressa opportunamente come una convoluzione: x ( t) y(t) 1.3 Rappresentazione nel dominio della frequenza Serie di Fourier Ogni segnale periodico x(t), che sia continuo in [ T/; T/] ed assolutamente integrabile (dunque impulsivo) in tale intervallo, può essere espresso mediante uno sviluppo in serie di Fourier: x(t) = + n= X n e jπfnt (1.8) Dove f n = n/t è un multiplo della frequenza fondamentale 1/T. In generale il coefficiente X n dello sviluppo in serie di Fourier del segnale x(t) è un numero complesso: X n = 1 T T T x(t) e jπfnt dt (1.9)

10 4 Capitolo Trasformata di Fourier In molte applicazioni i segnali non sono periodici, non possono essere pertanto studiati mediante lo sviluppo in serie di Fourier. Per i segnali impulsivi esiste tuttavia una rappresentazione analoga allo sviluppo in serie di Fourier: la trasformata di Fourier. Datoun segnale impulsivo x(t), la sua trasformata di Fourier viene definita come segue: X(f) =F{x(t)} = + x(t) e jπft dt (1.10) A partire dalla trasformata di Fourier di un segnale impulsivo x(t) si può ricostruire la funzione x(t) stessa. L antitrasformata di Fourier di un segnale X(f) viene definita come segue: + x(t) =F 1 {X(f)} = X(f) e jπft df (1.11) Vengono di seguito riportate alcune trasformate notevoli: Operazione Segnale Trasformata di Fourier Linearità a 1 w 1 (t)+a w (t) a 1 W 1 ( (f)+a ) W (f) 1 Cambiamento di scala w(at) a W f a Traslazione nel tempo w(t t 0 ) W (f) e jωt 0 Traslazione in frequenza w(t) e jπf 0t W (f f 0 ) Convoluzione nel tempo w 1 (t) w (t) W 1 (f) W (f) Convoluzione in frequenza w 1 (t) w (t) W 1 (f) W (f) d Derivazione nel tempo dt w(t) jπf W (f) d Derivazione in frequenza jπt w(t) dt W (f) t Integrazione nel tempo w(λ)dλ 1 jπf W (f) 1 Integrazione in frequenza jπt w(t) f W (λ)dλ Coniugazione nel tempo w (t) W ( f) Coniugazione in frequenza w ( t) W (f) Qualora x(t) sia un segnale reale vale inoltre la proprietà di simmetria coniugata (o hermitiana), in base alla quale: X(f) =X ( f) (1.1) 1.4 Ortogonalità di funzioni Le funzioni ϕ n (t) e ϕ m (t) sono ortogonali sull intervallo a < t < b se soddisfano la condizione: <ϕ n (t),ϕ m (t) >= b a { } ϕ n (t) ϕ 0 se n m m(t) dt = = K n δ n,m se n = m K n

11 Richiami di teoria dei segnali 5 Dove: { 0 se n m δ n,m = 1 se n = m è chiamata delta di Kronecker. Se in particolare K n = 1, le funzioni ϕ n (t) eϕ m (t) si dicono ortonormali. Si tenga presente che: <ϕ n (t),ϕ m (t) >= (<ϕ m (t),ϕ n (t) >) L insieme delle funzioni esponenziali complesse {e jnπf0t } è un insieme di funzioni ortogonali sull intervallo a<t<b,taleche: K n = b a Ciò significa che se a = W e b = W, allora K n =W. 1.5 Trasformata di Hilbert Dato un segnale x(t), si dice trasformata di Hilbert di x(t) il segnale: ˆx(t) =H{x(t)} ottenuto dal transito di x(t) in un filtro con funzione di trasferimento: j se f < 0 H H (f) = j sign(f) = 0 se f = 0 j se f > 0 (1.13) Alternativamente: H H (f) =j [μ 1 ( f) 1] Si tenga sempre presente che se x(t) è un segnale reale, allora anche la sua trasformata di Hilbert è un segnale reale, è infatti frutto della convoluzione tra due segnali reali, x(t) ed h H (t), essendo h H (t) = 1 πt dove h H (t) =0pert = 0. Vengono di seguito riportate alcune trasformate notevoli: Segnale Trasformata di Hilbert c 0 y(t) =x(t)+c ˆx(t)

12 6 Capitolo Segnale analitico Dato un segnale reale x(t) sidicesegnale analitico ad esso associato il segnale x + (t) ottenuto dal transito di x(t) in un filtro analitico, filtro individuato da una funzione di trasferimento del tipo: 1 se f > 0 H a (f) = 1 se f = 0 0 se f < 0 Alternativamente: H a (f) = 1 [1 + j H H(f)] Da cui: h a (t) = 1 [μ 0(t)+j h H (t)] Si osservi come l effetto di un filtro analitico sia quello di isolare la parte positiva del segnale X(f). Ciò non preclude la conoscenza completa del segnale, poiché per segnali reali vale la proprietà di simmetria coniugata (.1). Conoscendo X(f) perf > 0si conosce di fatto l intero segnale. Si consideri ora la relazione: x + (t) = x(t) h a (t) = 1 [ ] x(t) μ 0 (t) = 1 [x(t)+j ˆx(t)] + j [ ] x(t) h H (t) Conoscendo x + (t), si può risalire ad x(t) se quest ultimo è un segnale reale. Infatti, dalla formula x + (t) = 1 x(t)+j ˆx(t) (1.14) si ha che, essendo x(t) eˆx(t) due quantità reali, il primo addendo al secondo membro dell espressione.16 è la parte reale di x + (t), mentre il secondo addendo è la sua parte immaginaria. Possiamo allora scrivere: x(t) = Re{x + (t)} (1.15) 1.7 Inviluppo complesso Consideriamo un segnale reale x(t). Si definisce inviluppo complesso di x(t) rispetto ad una frequenza f 0 il segnale: x(t) = x + (t) e jπf 0t (1.16)

13 Richiami di teoria dei segnali 7 Ne deriva che la trasformata di Fourier dell inviluppo complesso viene ricavata da quella del segnale analitico semplicemente moltiplicando l ampiezza per e traslandola a sinistra della quantità f 0 : X(f) = X + (f + f 0 ) Invertendo la relazione.18 si ha: x + (t) = 1 x(t) ejπf 0t Da cui, per la.17: x(t) =Re{x(t) e jπf 0t } (1.17) L inviluppo complesso è, in generale, un segnale complesso e quindi avrà una parte reale x c (t) ed un coefficiente della parte immaginaria x s (t). Questi due segnali, entrambi reali, prendono il nome di componenti analogiche di bassa frequenza del segnale x(t), rispettivamente in fase la x c (t) edin quadratura la x s (t). x(t) = x + (t) e jπf 0t [ ] 1 = [x(t)+j ˆx(t)] [cos (πf 0t) j sin (πf 0 t)] = [x(t)cos(πf 0 t)+ˆx(t)sin(πf 0 t)] + j [ˆx(t)cos(πf 0 t) x(t)sin(πf 0 t)] Questa espressione ci permette di scrivere: x c (t) =x(t)cos(πf 0 t)+ˆx(t)sin(πf 0 t) (1.18) x s (t) =ˆx(t)cos(πf 0 t) x(t)sin(πf 0 t) (1.19) Come si può notare, il segnale x(t) è moltiplicato per il coseno nella x c (t), e per il seno nella x s (t), da cui i due pedici c ed s delle componenti analogiche di bassa frequenza. Per ricavare la x(t) da tali componenti è sufficiente osservare che : x(t) = Re{x(t) e jπf0t } = Re{(x c (t)+jx s (t)) e jπf0t } = x c (t)cos(πf 0 t) x s (t)sin(πf 0 t) = ( ( )) xs x c(t)+x (t) s(t) cos πf 0 t +arctan x c (t) Quindi, nota la frequenza f 0 dalle componenti analogiche di bassa frequenza è possibile ricostruire il segnale x(t) originale. Ciò costituisce il cosiddetto sviluppo di x(t) in componenti analogiche di bassa frequenza. Si ricorda che R cos (x + θ) =A cos x B sin x essendo: R = Ô A + B θ =tan 1 (B/A) A = R cos θ B = R sin θ

14 8 Capitolo Teoria della probabilità Probabilità dell unione P (E 1 )+P (E )=P (E 1 E ) E 1,E /E 1 E = (1.0) Teorema della probabilità dell evento complementare P (Ẽ) =1 P (E) (1.1) Teorema delle probabilità totali n P (E) = P (E,A i ) (1.) Dove gli eventi A i sono incompatibili i 1,i [1,n]. Probabilità condizionata Supponiamo di considerare un evento B con probabilità di accadere non nulla (P (B) 0). Supponiamo inoltre che tale evento si verifichi. Consideriamo dunque un altro evento A. Si definisce probabilità condizionata la probabilità che si verifichi A una volta che si è verificato B e si indica come: P (A B) (1.3) i=1 Occorre tener resente che: P (A B) P (A B) A livello insiemistico sussiste la seguente relazione tra probabilità condizionata (P (A B)) e probabilità congiunta (P (A B) =P (A, B)), che prende il nome di teorema della probabilità condizionata: P (A, B) P (A B) = (1.4) P (B) Si osservi che, essendo: { P (A B) P (B) =P (A, B) P (B A) P (A) =P (A, B) Risulta: P (A B)P (B) =P (B A)P (A) (1.5) Se i due eventi A e B sono indipendenti, allora: P (A B) =P (A) Ne deriva che (corollario del teorema della probabilità condizionata): P (A, B) =P (A) P (B) (1.6)

15 Richiami di teoria dei segnali 9 Teorema di Bayes Questo teorema è diretta conseguenza del teorema della probabilità condizionata (1.4). Si consideri la relazione: Per la 1.5 e la 1. si ha che: P (A i B j )= P (A i,b j ) P (B j ) P (A i B j )= P (B j A i ) P (A i ) P (B j ) Da cui per il teorema della probabilità condizionata: = P (B j A i ) P (A i ) K P (B j,a K ) P (A i B j )= P (B j A i ) P (A i ) K P (B j A K ) P (A K ) (1.7) Variabili aleatorie Si definisce variabile aleatoria n-dimensionale una funzione: x :Ω R n (1.8) Che ad ogni evento contenuto nello spazio degli eventi Ω, associa un certo valore numerico, che sarà un valore reale per n = 1, un vettore di elementi reali per n>1.

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17 Capitolo Richiami di teoria dei segnali.1 Numeri complessi e formule di Eulero Sia dato un numero complesso nella sua forma algebrica: z = a + jb Il suo modulo risulta: ρ = a + b da cui: cos γ = a ρ = a sin γ = b a + b ρ = b a + b La fase del numero complesso z risulta quindi: γ =arctg ( ) b a tg γ = sin γ cos γ = b a Ne deriva dunque: z = a + jb = ρ cos γ + jρsin γ Per passare alla forma esponenziale ci avvaliamo delle formule di Eulero: e jγ =cosγ + j sin γ e jγ =cosγ j sin γ Queste possono essere scritte alternativamente come segue: cos γ = ejγ + e jγ Abbiamo dunque che: ( e jγ + e jγ a + jb = ρ cos γ + jρsin γ = ρ 11 sin γ = ejγ e jγ j ) + ρ ( e jγ e jγ ) = ρ e jγ

18 1 Capitolo. Proprietà e formule notevoli Valor medio di un segnale ΔT lim x(t) dt (.1) ΔT ΔT Integrale assoluto ΔT lim x(t) dt (.) ΔT ΔT Se l integrale assoluto di un segnale assume valore finito, il segnale si dice impulsivo o assolutamente sommabile. Energia di un segnale E x lim ΔT ΔT ΔT x(t) dt = ΔT lim ΔT ΔT x(t) x (t) dt (.3) Dove x (t) è il coniugato 1 di x(t). L energia di un segnale è una quantità sempre positiva (al più nulla se x(t) = 0 per ogni istante t). Se in particolare risulta che E x è una quantità finita non nulla, x(t) viene detto segnale di energia. Potenza di un segnale P x lim ΔT 1 ΔT ΔT ΔT x(t) dt = lim ΔT E x ΔT (.4) La potenza di un segnale è una quantità sempre positiva (al più nulla se x(t) =0 per ogni istante t). Se in particolare risulta che P x è una quantità finita non nulla, x(t) viene detto segnale di potenza. I segnali di energia hanno sempre potenza nulla dunque non sono anche segnali di potenza. Inoltre i segnali di potenza hanno sempre energia infinita, dunque non sono segnali di energia. I segnali di potenza non sono in generale impulsivi. I segnali limitati nel tempo ed in ampiezza (rect, tri) sono impulsivi e di energia, tuttavia se un segnale è impulsivo non è detto che sia di energia e viceversa. I segnali periodici sono sempre segnali di potenza a meno che non abbiano dei punti di discontinuità, cioè punti per i quali x(t) non converge. Integrale di convoluzione x(t) h(t) + x(τ) h(t τ) dτ (.5) Il segnale x(t) h(t) ha un occupazione temporale pari alla somma delle occupazioni temporali dei segnali x(t) edh(t). Valgono inoltre le seguenti proprietà: 1 Si ricorda che il complesso coniugato di x = a + jb è x = a jb

19 Richiami di teoria dei segnali 13 Proprietà Formula Commutativa x(t) h(t) =h(t) x(t) Associativa [x(t) h 1 (t)] h (t) =x(t) [h 1 (t) h (t)] Distributiva x(t) [h 1 +h ]=x(t) h 1 (t)+x(t) h (t) Elemento neutro x(t) μ 0 (t) =x(t) Traslazione nel tempo x(t) μ 0 (t τ) =x(t τ) Integrale di correlazione (o intercorrelazione, o crosscorrelazione) e xy (t) p xy (t) ΔT lim ΔT ΔT x (τ) y(t + τ) dτ per segnali di energia (.6) lim ΔT ΔT 1 x (τ) y(t + τ) dτ per segnali di potenza (.7) ΔT ΔT Qualora risulti x(t) = y(t) siparladiintegrale di autocorrelazione. presente che: Si tenga sempre e xx (0) = E x p xx (0) = P x Inoltre: e xy (t) e yx La correlazione tra due segnali x(t) edy(t) può essere espressa opportunamente come una convoluzione: x ( t) y(t).3 Rappresentazione nel dominio della frequenza.3.1 Serie di Fourier Ogni segnale periodico x(t), che sia continuo in [ T/; T/] ed assolutamente integrabile (dunque impulsivo) in tale intervallo, può essere espresso mediante uno sviluppo in serie di Fourier: x(t) = + n= X n e jπfnt (.8) Dove f n = n/t è un multiplo della frequenza fondamentale 1/T. In generale il coefficiente X n dello sviluppo in serie di Fourier del segnale x(t) è un numero complesso: X n = 1 T T T x(t) e jπfnt dt (.9)

20 14 Capitolo.3. Trasformata di Fourier In molte applicazioni i segnali non sono periodici, non possono essere pertanto studiati mediante lo sviluppo in serie di Fourier. Per i segnali impulsivi esiste tuttavia una rappresentazione analoga allo sviluppo in serie di Fourier: la trasformata di Fourier. Datoun segnale impulsivo x(t), la sua trasformata di Fourier viene definita come segue: X(f) =F{x(t)} = + x(t) e jπft dt (.10) A partire dalla trasformata di Fourier di un segnale impulsivo x(t) si può ricostruire la funzione x(t) stessa. L antitrasformata di Fourier di un segnale X(f) viene definita come segue: + x(t) =F 1 {X(f)} = X(f) e jπft df (.11) Vengono di seguito riportate alcune operazioni fondamentali: Operazione Segnale Trasformata di Fourier Linearità a 1 w 1 (t)+a w (t) a 1 W 1 ( (f)+a ) W (f) 1 Cambiamento di scala w(at) a W f a Traslazione nel tempo w(t t 0 ) W (f) e jωt 0 Traslazione in frequenza w(t) e jπf 0t W (f f 0 ) Convoluzione nel tempo w 1 (t) w (t) W 1 (f) W (f) Convoluzione in frequenza w 1 (t) w (t) W 1 (f) W (f) d Derivazione nel tempo dt w(t) jπf W (f) d Derivazione in frequenza jπt w(t) dt W (f) t Integrazione nel tempo w(λ) dλ 1 jπf W (f) 1 Integrazione in frequenza jπt w(t) W (λ) dλ f Coniugazione nel tempo w (t) W ( f) Coniugazione in frequenza w ( t) W (f) Qualora x(t) sia un segnale reale vale inoltre la proprietà di simmetria coniugata (o hermitiana), in base alla quale: X(f) =X ( f) (.1).3..1 Principio di dualità Sia dato un gnerico segnale impulsivo x(t). Valgono le seguenti relazioni: x(t) =F 1 {X(f)} = + X(f) e jπft df

21 Richiami di teoria dei segnali 15 X(f) =F{x(t)} = + x(t) e jπft dt Ci chiediamo dunque se sia possibile scrivere che F{X(t)} = x(f), dove X(t) èunsegnale che ha il medesiamo andamento di X(f) ma nel dominio del tempo, mentre x(f) ha il medesimo andamento di x(t) ma nel dominio della frequenza. Procediamo valutando l espressione di X(t). Lo facciamo effettuando un cambiamento di variabile nell espressione proposta per X(f); in pratica ogni occorrenza di f viene sostituita con t e viceversa: X(t) = Ne deriva che: + x(f) e jπft df X( t) = + x(f) e jπft df x(t) X( t) X(t) F F F X(f) x(f) x( f) La relazione F{X(t)} = x(f) nonè dunque valida in generale, ma solo per funzioni pari, per le quali X( t) =X(t)..4 Ortogonalità di funzioni Le funzioni ϕ n (t) e ϕ m (t) sono ortogonali sull intervallo a < t < b se soddisfano la condizione: <ϕ n (t),ϕ m (t) >= b a ϕ n (t) ϕ m (t) dt = { } 0 se n m = K n δ n,m se n = m K n Dove: { δ n,m = 0 se n m 1 se n = m è chiamata delta di Kronecker. Se in particolare K n = 1, le funzioni ϕ n (t) eϕ m (t) si dicono ortonormali. Si tenga presente che: <ϕ n (t),ϕ m (t) >= (<ϕ m (t),ϕ n (t) >) L insieme delle funzioni esponenziali complesse {e jnπf0t } è un insieme di funzioni ortogonali sull intervallo a<t<b,taleche: K n = b a Ciò significa che se a = W e b = W, allora K n =W.

22 16 Capitolo.5 Teorema di Wiener per segnali di energia Dato un segnale di energia x(t), il suo spettro di densità dienergiae x (f) è uguale alla trasformata di Fourier della sua funzione di autocorrelazione: E x (f) =F{e xx (t)} = X(f) (.13) ne deriva che: E x = x(t) dt = E x (f) dt = X(f) df.6 Teorema di Wiener per segnali di potenza Dato un segnale di potenza x(t), il suo spettro di densità di potenza P x (f) è uguale alla trasformata di Fourier della sua funzione di autocorrelazione: P x (f) =F{p xx (t)} (.14) ne deriva che: P x = lim ΔT 1 ΔT/ x(t) dt = ΔT ΔT/ + P x (f) df.7 Trasformata di Hilbert Dato un segnale x(t), si dice trasformata di Hilbert di x(t) il segnale: ˆx(t) =H{x(t)} ottenuto dal transito di x(t) in un filtro con funzione di trasferimento: j se f < 0 H H (f) = j sign (f) = 0 se f = 0 j se f > 0 (.15) Alternativamente: H H (f) =j [ μ 1 ( f) 1] Si tenga sempre presente che se x(t) è un segnale reale, allora anche la sua trasformata di Hilbert è un segnale reale, è infatti frutto della convoluzione tra due segnali reali, x(t) ed h H (t), essendo dove h H (t) =0pert =0. h H (t) = 1 πt

23 Richiami di teoria dei segnali 17.8 Segnale analitico Dato un segnale reale x(t) sidicesegnale analitico ad esso associato il segnale x + (t) ottenuto dal transito di x(t) in un filtro analitico, filtro individuato da una funzione di trasferimento del tipo: 1 se f > 0 H a (f) = 1 se f = 0 0 se f < 0 Alternativamente: H a (f) = 1 [1 + jh H(f)] Da cui: h a (t) = 1 [μ 0(t)+jh H (t)] Si osservi come l effetto di un filtro analitico sia quello di isolare la parte positiva del segnale X(f). Ciò non preclude la conoscenza completa del segnale, poiché per segnali reali vale la proprietà di simmetria coniugata (.1). Conoscendo X(f) perf > 0si conosce di fatto l intero segnale. Si consideri ora la relazione: x + (t) = x(t) h a (t) = 1 [ ] x(t) μ 0 (t) + j = 1 [x(t)+j ˆx(t)] [ ] x(t) h H (t) Conoscendo x + (t), si può risalire ad x(t) se quest ultimo è un segnale reale. Infatti, dalla formula x + (t) = 1 x(t)+j ˆx(t) (.16) si ha che, essendo x(t) eˆx(t) due quantità reali, il primo addendo al secondo membro dell espressione.16 è la parte reale di x + (t), mentre il secondo addendo è la sua parte immaginaria. Possiamo allora scrivere: x(t) =Re{x + (t)} (.17).9 Inviluppo complesso Consideriamo un segnale reale x(t). Si definisce inviluppo complesso di x(t) rispetto ad una frequenza f 0 il segnale: x(t) =x + (t) e jπf 0t (.18)

24 18 Capitolo Ne deriva che la trasformata di Fourier dell inviluppo complesso viene ricavata da quella del segnale analitico semplicemente moltiplicando l ampiezza per e traslandola a sinistra della quantità f 0 : X(f) =X + (f + f 0 ) Invertendo la relazione.18 si ha: x + (t) = 1 x(t) ejπf 0t Da cui, per la.17: x(t) =Re{x(t) e jπf 0t } (.19) L inviluppo complesso è, in generale, un segnale complesso e quindi avrà una parte reale x c (t) ed un coefficiente della parte immaginaria x s (t). Questi due segnali, entrambi reali, prendono il nome di componenti analogiche di bassa frequenza del segnale x(t), rispettivamente in fase la x c (t) edin quadratura la x s (t). x(t) = x + (t) e jπf 0t [ ] 1 = [x(t)+j ˆx(t)] [cos (πf 0t) j sin (πf 0 t)] = [x(t)cos(πf 0 t)+ˆx(t)sin(πf 0 t)] + j [ˆx(t)cos(πf 0 t) x(t)sin(πf 0 t)] Questa espressione ci permette di scrivere: x c (t) =x(t)cos(πf 0 t)+ˆx(t)sin(πf 0 t) (.0) x s (t) =ˆx(t)cos(πf 0 t) x(t)sin(πf 0 t) (.1) Come si può notare, il segnale x(t) è moltiplicato per il coseno nella x c (t), e per il seno nella x s (t), da cui i due pedici c ed s delle componenti analogiche di bassa frequenza. Per ricavare la x(t) da tali componenti è sufficiente osservare che : x(t) = Re{x(t) e jπf0t } = Re{(x c (t)+jx s (t)) e jπf0t } = x c (t)cos(πf 0 t) x s (t)sin(πf 0 t) = ( ( )) xs x c(t)+x (t) s(t) cos πf 0 t +arctan x c (t) Quindi, nota la frequenza f 0 dalle componenti analogiche di bassa frequenza è possibile ricostruire il segnale x(t) originale. Ciò costituisce il cosiddetto sviluppo di x(t) in componenti analogiche di bassa frequenza. Si ricorda che R cos (x + θ) =A cos x B sin x essendo: R = Ô A + B θ =tan 1 (B/A) A = R cos θ B = R sin θ

25 Capitolo 3 Modulazioni analogiche 3.1 Introduzione La modulazione è la tecnica maggiormente utilizzata per la trasmissione di un segnale analogico attraverso un canale. Essa consiste nel variare (modulare) alcuni parametri di un particolare segnale dipendente dal sistema, definito portante, in funzione del segnale da trasmettere, definito segnale modulante. Ilsegnalex(t) effettivamente trasmesso risulta in effetti un ibrido fra la portante p(t) ed il segnale modulante m(t) e viene definito segnale modulato. Lo scopo primario della modulazione è quello di modificare l allocazione in banda del segnale modulante m(t), dunque di traslare M(f) attorno ad una certa frequenza. In questo modo può essere utilizzato lo stesso canale per la trasmissione contemporanea di più segnali. Impiegando bande separate per i singoli segnali da trasmettere, in ricezione ogni messaggio risulta estraibile da quello complessivo inviato. Come già detto la tecnica della modulazione prevede l utilizzo di un segnale portante p(t). La portante generalmente utilizzata è un armonica del tipo: p(t) =a p cos (πf p t + ϕ p ) Il segnale modulato effettivamente trasmesso risulta esprimibile nella forma: x(t) =[a p + a(t)] cos (πf p t + ϕ p + α(t)) Tenendo presente l espressione di x(t) è possibile definire due tipi di modulazione, in cui possono eventualmente risultare nulli a p e/o ϕ p modulazione di ampiezza - AM m(t) viene trasportato da a(t) modulazione angolare - FM e PM m(t) viene trasportato da α(t). nella modulazione di fase: α(t) =K α m(t) In particolare 19

26 0 Capitolo 3 Nella modulazione di frequenza invece: t α(t) =πk f 3. Modulazione di ampiezza m(τ) dτ 3..1 Modulazione a Banda Laterale Doppia - BLD Essendo m(t) (messaggio da trasmettere) un segnale reale a valor medio nullo e limitato in banda [ W, +W ], il segnale modulato x(t) viene espresso come: x(t) =[a p + K a m(t)] cos (πf p t) (3.1) Dunque x c (t) risulta proporzionale al messaggio da trasmettere m(t): x c (t) =[a p + K a m(t)] x s (t) =0 Graficamente: Figura 3.1: BLD - tempo. Nel dominio della frequenza si ha invece: X(f) = [a p μ 0 (f)+k a M(f)] F{cos (πf p t)} = [a p μ 0 (f)+k a M(f)] 1 [μ 0(f f p )+μ 0 (f + f p )] Come si può vedere in figura 3. il segnale modulato x(t) occupa una banda di frequenze di ampiezza W centrata intorno a f p (analogamente per f p ). Si parla di banda laterale doppia (BLD), poichè sono presenti sia la banda laterale superiore [f p,f p + W ]chela banda laterale inferiore [f p W, f p ].

27 Modulazioni analogiche 1 Figura 3.: BLD - frequenza. A seconda dell ampiezza a p della portante, la modulazione di ampiezza BLD si può classificare come: BLD-PI cioè a portante intera. In tal caso risulta: a p + K a m(t) 0 Da cui: a p >K a max( m(t) ) Ne deriva che l ampiezza del segnale modulato x(t) è sempre positiva. In frequenza vengono mantenuti entrambi gli impulsi di cui ècompostap (f). Ciò offrelapossibilità di utilizzare uno schema di demodulazione (recupero del segnale modulante) piuttosto semplice. BLD-PS cioè a portante soppressa. In tal caso risulta: a p =0