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1 Statica - Fondamenti di meccanica strutturale /ed Copright 00 The Companies srl e Corbusier - Progetto per il palazzo dei Soviet a osca 9 Problema. Impostiamo ora il problema deformativo per la trave di copertura della Sala Grande. Ci si pone ora il problema di conoscere l abbassamento dell asta illustrato in Figura P. nel punto di momento flettente massimo. Per fare ciò occorre studiare il comportamento flessionale della trave in questione. Nel caso della trave inflessa l incognita principale del problema è lo spostamento trasversale = (), ma come affermato nel Capitolo 7 la soluzione del problema elastico richiede la soddisfazione della condizione di equilibrio, della condizione di congruenza e della condizione costitutiva di elasticità. Come mostrato nel Capitolo 8 l equazione della curva elastica riassume in sé tutte e tre queste condizioni è uno dei metodi base per la comprensione e il calcolo delle travi elastiche. Seguendo il procedimento presentato nel Capito 8 nel nostro caso si avrebbe: Condizioni di equilibrio indefinito: T d dn q/ = 0 N d dt d d d f T = 0 = 0 con a seconda e la terza equazione danno luogo a: N q f i = (E.) d Fig. P. d f = 0 (E.) d egame costitutivo: ( ) = (E.) r = rigidezza flessionale dipendente dal materiale, dalla forma e dalla dimensione trasversale della trave. Condizione di congruenza " =, se << la radice può essere trascurata " r ( ') r = (E.) Pertanto la (E.) diventa: ( ) = " (E.5) equazione di equilibrio (E..) assume quindi la forma del quarto ordine: IV = f (E.6) che rappresenta l equazione della curva elastica. equazione (E.5) scritta nella forma: ( ) "= (E.7) descrive la curvatura della trave in esame in ogni punto di ascissa lungo (Fig. P.). Operando un integrazione della (E.7) se ne ottiene invece la rotazione della sezione (Fig. P.): ' = ( ) d C (E.8) Operando con una seconda integrazione ciò che si ottiene è lo spostamento δ cercato, ovvero l abbassamento della trave in ogni sua sezione dovuto al sistema di carichi ad essa applicato (Fig. P.): = d ( ) d C C (E.9) N i d TdT NdN

2 Statica - Fondamenti di meccanica strutturale /ed Copright 00 The Companies srl d δ=() ϕ= () Fig. P. e due operazioni di integrazioni comportano la comparsa di due costanti di integrazione C e C. Tali costanti sono determinate dalle condizioni al contorno, o più precisamente dalle condizioni imposte alla trave dai suoi vincoli. In Figura P. sono riportati i vincoli che possiamo ritrovare nelle nostre strutture con indicate le limitazioni da essi imposte agli spostamenti e rotazioni. Nel esempio b) il vincolo carrello in B è un vincolo che non interrompe la continuità dell asta, pertanto una limitazione che impone è lo scorrimento verticale, B =0, che, per garantire la continuità dell asta, deve essere impedito sia alla parte di sinistra,, sia alla parte di destra,, pertanto la limitazione deve essere scritta B = B =0: essa comporta ben due condizioni al contorno. a la continuità dell asta impone anche che in B la rotazione delle sezioni adiacenti (cioè la sezione di B appartenente al tronco e la sezione di B appartenente al tronco ) sia la stessa a destra e a sinistra del carrello (attenzione uguali non significa uguali a zero), pertanto si ha B = B. Quanto ora detto vale per tutti i punti dell asta dove sono presenti delle discontinuità come per esempio: l applicazione di forze e/o coppie concentrate, il cambio di intensità di un carico distribuito o l applicazione di un vincolo. In tutti questi casi si può affermare che esistono più campi di integrazione in cui andare a studiare la funzione momento; la doppia integrazione dell equazione momento in ogni campo comporta la comparsa di due costanti di integrazione, ma, come spiegato per l esempio b) di Figura 9, la presenza di più campi di integrazione significa la definizioni di più condizioni al contorno: pertanto il problema risulta risolvibile. Fig. P. B A B A A B =0 A =0 B = B =0 A =0 B = B a) b) c) Esempio: scriviamo l equazione della linea elastica per l esempio in Figura P. B q A Fig. P. a struttura in figura è isostatica non labile: attraverso la scrittura del solo equilibrio alla traslazione verticale è possibile ottenere il valore della razione vincolare X : X = q Nota X è possibile procedere alla scrittura dell equazione di momento nei due campi di integrazione: q X Convenzione di positività: le forze danno momento positivo se tendono le fibre inferiori. Campo 0 < < = q A =0 A =0

3 Statica - Fondamenti di meccanica strutturale /ed Copright 00 The Companies srl Campo < < = q X ( ) Per la (E.7) (E.8) e la (E.9) avremo: Campo 0 < < Campo < < '' = q '' = q X ( ) ' = q C 6 ' = q X 6 X C (E.0) = q C C = q X X 6 C C e incognite iperstatiche sono quindi : occorrono condizioni al contorno per poter risolvere il problema: B = B =0 due condizioni B = B una condizione A =0 una condizione Imponendo le condizioni ora scritte alle equazioni (E.0) è possibile ricavare il valore delle costanti di integrazione che risultano essere: 7 =, C = q,, C = 5 0 C = q C q pertanto le equazioni: q ' = q q q q q = q q q q 6 ' = q = q rappresentano le equazioni della rotazione e dello spostamento di ogni sezione della nostra trave. Per esempio per = 0 (sezione di estremità) avremo: q 7q ϕ = δ = mentre per = si avrà: () () q ' = q q q () ϕ = 6 () () () 5 89q = q q q q δ = 6 Il segno meno dello spostamento significa un abbassamento della trave nella direzione delle negative. q B A Fig. P.5 Deformata qualitativa Ora riferendoci direttamente all equazione (E.5) vediamo l impostazione della curva elastica per il sistema strutturale di Figura P. nuovamente presentato, per comodità del lettore, in Figura P.6.In Figura P.6 sono anche riportati i diversi campi di integrazione legati alle discontinuità presenti nella funzione momento (numerazione in blu).

4 Statica - Fondamenti di meccanica strutturale /ed Copright 00 The Companies srl Come già commentato in precedenza, la funzione di momento flettente presenta delle discontinuità (i punti angolosi nel diagramma di Figura P.5); in tali punti la funzione momento non è derivabile, pertanto l equazione della linea elastica non può essere scritta se non per parti, escludendo cioè i punti di discontinuità. Per chiarire nel caso della nostra asta gli intervalli di definizione della funzione momento saranno 5, in tali intervalli si potrà anche scrivere la funzione della linea elastica. Supponendo la stessa rigidezza per tutta la trave, procediamo alla scrittura delle linee elastiche nei diversi intervalli assumendo come riferimento il riferimento cartesiano di Figura P.6 e crescente da 0 a.

5 Statica - Fondamenti di meccanica strutturale /ed Copright 00 The Companies srl.96q q/ 9.06q 0.6q 0.8q q 0.q.q Fig. P.6 5/ / Intervallo 0<< q q = 9.06q " = 9.06 = q Intervallo << q = 9.06q.6q( ) " = Intervallo << q = 9.06q.6q( ) 0.8q( ) " = Intervallo << q = 9.06q.6q( ) 0.8q( ) ) " = Si lascia al lettore la scrittura delle equazioni di momento i con i = 5, 6,, Intervallo << 5 q = 9.06q.6q( ) 0.8q( ) ) ) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) 5 ).96q( ) ) " = 5 Il passo successivo richiede l integrazione di tutte le equazioni " = ora scritte. Con la prima integrazione si i otterranno le rotazioni ϕ()= () e con la seconda integrazione gli spostamenti δ()=(). Intervallo 0<<

6 Statica - Fondamenti di meccanica strutturale /ed Copright 00 The Companies srl q = 9.06q C 6 8 ' = 9.06q Intervallo << q C C q ' = 7.6q.6q C q = 7.6q.6q 6 8 Intervallo << ' = 6.66q q = 6.66q.q 6 8 q.q C C C 5 5 C C 6 (E.) (E.) (E.) Intervallo << ' = 5.66q q = 5.66q 6.q 6 8 q 6.q C 7 C 7 C Si lascia al lettore la scrittura delle equazioni relative ai momento i con i = 5, 6,, 8 (E.) Intervallo << ' = 7.6q q = 7.6q 58q 6 8 q 58q C 9 C 9 C 0 (E.5) e 0 costanti di integrazione che compaiono nelle equazioni precedenti risultano incognite, la loro soluzione sarà possibile solo con l imposizione di altrettante condizioni al contorno. Come accennato in precedenza, le condizioni al contorno dipendono sia dai vincoli presenti sulla struttura, sia dai carichi che comportano discontinuità nella funzione momento (nel nostro caso i carichi concentrati N i reazioni vincolari delle bielle a sostegno della copertura). Pertanto: =0 (0)=0 abbassamento impedito dalla presenza della cerniera. = () = () abbassamento permesso, ma la continuità dell asta impone che sia uguale a destra e a sinistra () = () così come la rotazione della sezione in = = () = () () = () = () = () () = ()

7 Statica - Fondamenti di meccanica strutturale /ed Copright 00 The Companies srl Si lascia al lettore la scrittura delle condizioni al contorno per le sezioni di ascissa =m con m =,..., = () = () 5 () = () 5 Per quanto riguarda la sezione di ordinata =5/, dove vi è la presenza della biella di ancoraggio della trave al grande arco di sostegno, le condizioni al contorno diventano: =5/ (5/) = (5/) =0 condizioni (5/) = (5/) Imponendo il rispetto delle 0 condizioni ora scritte è possibile ottenere le rispettive 0 incognite. Il compito è abbastanza lungo e laborioso, pertanto qui di seguito viene fornito solo il valore dello spostamento del punto di ascissa = /; il risultato finale è: q δ ( ) =.6 Usando i valori assegnati nell esercizio precedente q=0n/m, = 7m e ipotizzando la rigidezza = EJ = 0 Nm con E = modulo di elasticità del materiale, o di Young (Capitolo 7, Tabella 7.) e J = momento di inerzia massimo della sezione, otteniamo un valore di δ = 0.0m che rappresenta circa un /500 della luce dell intera trave, valore ammesso dalla normativa, ma comunque molto elevato. Per poter abbassare tale valore di spostamento si dovrà aumentare il valore della rigidezza ; esempio: = 0 δ = 0.07m. pari a circa /000 della luce dell intera trave.