Testi e soluzioni dei compiti di esame di STATISTICA 1 c.l. Economia Aziendale. 6 febbraio 2010

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Testi e soluzioni dei compiti di esame di STATISTICA 1 c.l. Economia Aziendale. 6 febbraio 2010"

Transcript

1 Testi e soluzioni dei compiti di esame di STATISTICA 1 c.l. Economia Aziendale 6 febbraio

2 Elenco 33. Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del

3 67. Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del

4 1 Compito del Testo (1) Un azienda sita in Firenze manda usualmente un proprio funzionario nelle sedi di Roma, Siena e Bologna. Il viaggio sempre effettuato con le Ferrovie dello Stato: Firenze-Roma il 20% delle volte, Firenze-Bologna il 55 % delle volte e il rimanente 25% Firenze-Siena. Il funzionario partito di prima mattina ha comunicato solamente di essere arrivato in ritardo. (I) Quale la probabilit che esso sia a Siena? (II) E che sia a Roma? Ricorrere alla Tabella 1 delle statistiche annuali di percorrenza. Tabella 1: Statistiche annuali di percorrenza (numero treni nel 1997) sulle tratte considerate. Tratta Treni puntuali Treni totali Firenze-Siena Firenze-Bologna Firenze-Roma (2) In una classe delle medie superiori 3 studenti hanno elevate capacit ed elevato impegno, 6 studenti impegno regolare e capacit elevate, 11 studenti con elevato impegno e capacit regolari ed 3 studenti con impegno e capacit regolari. Un nuovo docente chiama tre studenti per un interrogazione orale. Quale la probabilit che i tre studenti siano: uno appartenente con elevato impegno e capacit, un altro con gruppo regolare impegno ed elevate capacit, un altro con regolare capacit? (3) Nella Tabella 2 sono riportate le tonnellate di marmo estratte da 3 cave differenti (A,B,C) in 4 mesi. Calcolare media, varianza, coeff. di variazione per il mese I, poi per il mese II. Calcolare un adeguato indice di connessione e ricavare la percentuale di variabilità spiegata dalla differenza tra cave. Tabella 2: Tonnellate di marmo (in centinaia) estratte da tre cave differenti. Cava - Mese I II III IV A B C (4) Un azienda produce fogli di materiale plastico trasparente di dimensione 3 m per 8 m, e con spessore assimilabile ad una variabile casuale gaussiana con media mm e varianza uguale a Il prodotto ha mediamente 0.1 difetti per m 2. Al momento della consegna ogni foglio esaminato dal compratore che chiede un risarcimento economico pari al numero di difetti riscontrati per lire 262 pi 799 se il foglio ha spessore non incluso nell intervallo [ 0.467, ]. Quale il valore atteso del risarcimento economico per un foglio prodotto da tale azienda? Si commenti brevemente la scelta della funzione di massa di probabilit per la variabile casuale numero di difetti. 1.2 Soluzioni (1) P(Ritardo) = (I) P(Siena Ritardo) = (II) P(Roma Ritardo) = (2) P(1 o = IE e CE) = 3/23, P(2 o = IR e CE 1 o = IE e CE) = 6/22, P(3 o = CR 2 o = IR e CE,1 o = IE e CE) = 14/21. Siccome non interessa l ordine occorre moltiplicare per le permutazioni di questi 3 elementi (3! = 6). Risultato =3/23*6/22*14/21*6 = (3) Media(I) = Media(II) = Varianza(I) = Varianza(II) = CV(I) = CV(II) = DevB = DevT = η 2 =

5 (4) E(Risarcimento) = 262*E(difetti) + 799*P(spessore / (0.467,0.567)) = 262*0.1*3*8+799* =

6 2 Compito del Testo (A) Una macchina industriale per la verniciatura impiega un certo solvente chimico. La verniciatura ottimale richiede una quantit di solvente compresa tra e kg. Assumendo che la quantit X di solvente impiegata dalla macchina sia assimilabile ad una variabile casuale Gaussiana con media µ e varianza σ 2, (1) come regolare il dispositivo di verniciatura perch la la probabilit dell evento E 1 = {X < } sia uguale a e la probabilit dell evento E 2 = {X > } sia uguale a ? Come sarebbe possibile ridurre i costi dovuti al solvente pur ottenendo una verniciatura ottimale? (B) Un azienda produce guanti in gomma, con un numero medio di micro-lacerazioni pari a per guanto. Quale la probabilit che una coppia di guanti rechi complessivamente pi di 2 micro-lacerazioni? (C) In una falegnameria industriale sono prodotti assi di legno con uno spessore che assimilabile ad una variabile casuale Gaussiana. Usando i dati in tabella, (1) effettuare il test bilaterale dell ipotesi nulla H 0 : σ 2 = a tre diversi valori di probabilit dell errore di primo tipo: 0.10, 0.05, (2) Commentare brevemente i risultati ottenuti. Tabella 1: Campione di 10 osservazioni (spessori in mm) (D) Su 28 salumerie operanti in un certo comune e con medesimo ammontare di vendite, 14 appartengono alla catena di negozi Appia e 14 alla catena di negozi Aurelia. Lo spessore della fetta di salume si distribuisce come una variabile casuale Gaussiana, nella catena di negozi Appia con media e varianza 0.16, mentre nella catena Aurelia con media e varianza Quale la probabilit che una fetta di salume adulterata sia stata acquistata in un negozio della catena Aurelia dato che il suo spessore di mm? 2.2 Soluzioni (A) (1) µ = σ = (2) µ = σ = 0 (B) P (X > 2) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] = da calcolare per X P oisson(λ = = ). (C) valore campionario della statistica test = (I) α = 0.1: regione accettazione = [ , ] α = 0.05: regione accettazione = [ , ] α = 0.01: regione accettazione = [ , ] (II) Al diminuire di α = P (rifiutare H 0 ) aumenta 1 α = P (accettare H 0 ) e quindi aumenta l ampiezza della regione di accettazione. f( Aurelia) (D) P (Aurelia x = ) = f( Aurelia) + f( Appia) = Note: f( Aurelia) e f( Appia) sono le densit della distribuzione normale corrispondente; le probabilit a priori P (Aurelia) e P (Appia), essendo entrambe 1/2 sono state semplificate. 6

7 3 Compito del Testo ( A ) Un produttore di nastri magnetici deve consegnare un lotto di 1174 unit. Prima di inviare il lotto, vengono estratti casualmente e controllati 18 pezzi. Nel caso in cui non siano riscontrati difetti, il lotto viene spedito, altrimenti si procede al controllo di ogni nastro. Quale è la probabilità che il lotto non sia consegnato se si assume che: 1) vi siano 22 nastri con difetti nel lotto; 2) vi siano 25 nastri con difetti nel lotto ( B ) Il fatturato annuale di 5 aziende toscane è risultato nel 1997 pari a: ; ; ;2.433 ; miliardi di lire 1) Procedere al calcolo di un appropriato indice di variabilità; 2) Rappresentare graficamente la concentrazione del fenomeno. ( C ) Un catalizzatore chimico è impiegato per aumentare il prodotto utile di una reazione (in Kg). La reazione è ripetuta in analoghe condizioni per 7 volte senza catalizzatore e per altre 7 volte con il catalizzatore. Sapendo che il catalizzatore non modifica la varibilità dei risultati, si effettui un test delle ipotesi per saggiare se vi siano differenze significative imputabili al catalizzatore. Effettuare i calcoli a livello di significatività : 0.10 ed Tabella 1: Campione di 7 osservazioni (spessori in mm). Senza: Con: ( D ) Il carico di rottura in Kg di una barra di materiale plastico assimilabile ad una variabile casuale gamma, con parametro α = 26 e β incognito. Una barra prodotta con un nuovo procedimento ha mostrato un carico di rottura pari a 62.1 Kg. Impiegando il rapporto di verosimiglianza, saggiare l ipotesi nulla H 0 : β = 0.26 verso l alternativa H 1 : β nell insieme {0.15, 0.30, 0.50}, con significativit uguale a 0.10, e in seguito con con significativit pari a 0.01 (si usi un chiquadro con un grado di libert). La funzione di densit di probabilit gamma definita da: f (x; α, β) = βα Γ(α) xα 1 e ( β x). 3.2 Soluzioni (A) ) ( ) ( 22 0 (1) P (NC) = 1 P (X = 0) = 1 18 ( ) = ( ) ( ) (2) P (NC) = 1 P (X = 0) = 1 18 ( ) = Se si utilizza l approssimazione binomiale i risultati vengono leggermente diversi. (B) (1) R = 2M = = (2) i p i q i

8 (C) Occorre fare un confronto fra medie per dati non appaiati. x = , y = , s 2 X = , s2 Y = , s2 p = Valore campionario della statistica test = α = 0.1: regione accettazione = [ , ] α = 0.01: regione accettazione = [ , ] (D) valore campionario della statistica test = α = 0.1: regione accettazione = [0, ] α = 0.01: regione accettazione = [0, ] 8

9 4 Compito del Testo ( A ) Dall urna U contenente palline di tre colori diversi (Tabella 0) sono estratte due palline con reimmissione. Se le due palline sono uguali allora si procede ad una terza estrazione da U. (1) Quale è la probabilità di procedere alla terza estrazione? (2) Quale è la probabilità che al termine dell esperimento statistico si abbia almeno una pallina nera tra le estratte? Tabella 0: Urna U. Bianche Rosse Nere ( B ) Si considerino 3 monete sbilanciate. In tabella 1 sono riportati i valori numerici impressi sulle due facce di ogni moneta e la relative probabilità. Per un lancio simultaneo delle tre monete, si calcoli: (I) La distribuzione campionaria del campo di variazione C; (II) La probabilità dell evento P [C 2]. Tabella 1: Caratteristiche di tre monete sbilanciate. Faccia 1 Faccia 2 Prob. Faccia 1 Moneta 1: Moneta 2: Moneta 3: (C) Il tempo richiesto per completare in corsa un giro di pista assimilabile ad una variabile casuale gaussiana. Utilizzando i tempi ottenuti da un campione di 7 atleti (Tabella 2), eseguire il test delle ipotesi sulla media con H 0 : µ = ed alternativa H 1 : µ > Si impieghi un livello di significativi uguale a 0.10, ed in seguito Tabella 2: Tempi ottenuti da un campione di 7 atleti (secondi) ( D ) Il diametro esterno in millimetri dei tubi prodotti da un azienda è assimilabile ad una variabile casuale X con funzione di densità di probabilità: f (X; α, β) = α (3 α + (X β) 2) 2 con parametro α = 0.09 e β incognito. Una tubo prodotto dall azienda ha diametro pari a millimetri. Impiegando il rapporto di verosimiglianza, saggiare l ipotesi nulla H 0 : β = 10 verso l alternativa H 1 : β nell insieme {9, 11, 12}, con significativit uguale a 0.10, e in seguito con con significativit pari a 0.01 (si usi un chiquadro con un grado di libert). 4.2 Soluzioni (A) III estraz :0.38 Almeno una nera :0.815 (B) Valori: 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5 Probabilità:0.1723; ; ; ; Probabilità evento: (C) Valore campionario della statistica test =

10 α = 0.10: Regione di rifiuto = (1.4398, + ) α = 0.05: Regione di rifiuto = (1.9432, + ) (D) Valore campionario della statistica test = α = 0.10: Regione di rifiuto = (2.7055, + ) α = 0.01: Regione di rifiuto = (6.6349, + ) 10

11 5 Compito del Testo (A) In un mazzo regolare di 52 carte, due carte sono estratte senza reimmissione. (I) Sapendo che la prima non una figura e che superiore a 5, calcolare la probabilit che essa non sia un 9 di colore rosso. (II) Sapendo che la prima un 9, quale la probabilit che la seconda carta sia di picche? ( B ) Nella Tabella 1 riportato il numero di blocchi di marmo estratti da 3 cave differenti (1,2,3) in 3 mesi differenti (1,2,3). Calcolare un adeguato indice di associazione e spiegare brevemente il risultato ottenuto. Tabella 1: Numero di blocchi di marmo estratti da tre cave differenti. Cava - Mese (C) L effetto di un nuovo integratore alimentare viene saggiato impiegando un gruppo di 5 corridori ciclisti. In Tabella 2 sono riportati i tempi di percorrenza della pista senza e con il nuovo integratore. Effettuare il test delle ipotesi (con significativit 0.10) che l integratore diminuisca il tempo di percorrenza. La decisione finale sarebbe cambiata scegliendo un valore di significativit uguale a 0.01? Tabella 2: Campione di 5 osservazioni (tempi). Corridore I II III IV V Senza: Con: (D) Si ipotizzi che il voto medio negli esami universitari dipenda linearmente dal numero di ore dedicate al sonno, a parit di ore di studio effettuate. Impiegare il metodo dei minimi quadrati per stimare coefficienti del modello impiegando i dati in Tabella 3, e verificare statisticamente l ipotesi formulata. 5.2 Soluzioni Tabella 3: Campione di 5 osservazioni (tempi). Voto Medio: Ore sonno: (A) (1) P(1 a non(9rosso) 1 a non(figura) e maggiore di 5) = 1-2/(5*4) = 0.9 (2) P(2 a picche 1 a = 9) = 1/4 = 0.25 (B) Valori dei principali indici di associazione C 1 C 2 C 1 rel C 2 rel T C P χ (C) Dati appaiati. Valore campionario della statistica test = α = 0.1: regione critica = (, ) α = 0.01: regione critica = (, ) (D) (1) β 1 = β 0 = σ 2 = (2) Valore campionario della statistica test = ; regione accettazione ( , ). 11

12 6 Compito del Testo (A) Una fotocopiatrice mediamente compie 3.67 errori per 1000 cm 2 di area fotocopiata. Copiando un foglio di dimensioni 21.7 cm per 29.7 cm: (I) quale la probabilit che non vi siano errori? (II) Quale la probabilit che il numero di errori sia compreso tra 3 e 5 (inclusi)? (B) Un dado arrotondato ha probabilit di fermarsi su di uno spigolo e probabilit per ciascuna delle sei facce recanti i numeri da 1 a 6. In un esperimento casuale se il dado al primo lancio si ferma sullo spigolo lanciato una seconda volta. (I) Quale complessivamente la probabilit di non osservare alcun esito numerico? (II) Quale complessivamente la probabilit di osservare il 6? (C) In Tabella 1 sono riportate le misure di durezza relative ad un campione casuale di 5 leghe metalliche differenti, effettuate con il metodo tradizionale e con un nuovo metodo elettronico economico. (I) Calcolare un conveniente indice di associazione. (II) E ragionevole impiegare il nuovo metodo? Perch? Tabella 1: Campione di 5 misurazioni effettuate con due metodi differenti. Tradizionale: Elettronico: (D) Un idrante agricolo eroga una media di 1201 Kg di acqua ad ogni operazione di irrigazione. In Tabella 2 sono riportati i valori di un campione casuale di 5 misurazioni. Assumendo il modello normale, (I) calcolare l intervallo di confidenza (livello 90%) della varianza. (II) Sottoporre a test l ipotesi che la varianza sia uguale a (alfa = 0.05), in alternativa ad un valore maggiore. 6.2 Soluzioni Tabella 2: Campione di 5 misurazioni dei Kg di acqua erogata all irrigazione. (A) X P oisson(λ = ) (I) P (X = 0) = (II) P (3 X 5) = (B) (I) P (X 1 = N X 2 = N) = (II) P (X 1 = N X 2 = N) = (C) (I) ρ = (D) Nota: µ nota (I) Intervallo = ( , ) (II) Valore campionario della statistica test = ; regione critica = ( , + ) 12

13 7 Compito del Testo (A) L ufficio federale americano di investigazione effettua un controllo sulla regolarit delle assunzioni in una azienda. Nei precedenti 10 anni, vi sono state 1271 domande da parte di bianchi e di neri, con assunzioni riassunte in Tabella 1. Tabella 1: Assunzioni per razza, dati decennali. Bianchi Neri Assunti Rifiutati Utilizzando le frequenze in tabella: (I) Quale la probabilit di assunzione per un bianco? E quale per un nero? (II) Quale la probabilit che un nuovo assunto sia nero? (B) Un reagente chimico prodotto in lotti. Sia X la variabile casuale associata alla qualit del lotto, con funzione di massa di probabilit riportata in Tabella 2. Tabella 2: Funzione di massa di probabilit. X p(x) L utile ricavabile dalla vendita di un lotto all estero dato da Y 1 = 5x , mentre dalla vendita in Italia Y 2 = 2x Sapendo che la probabilit di effettuare la vendita di un lotto all estero 0.192, (I) Quale l utile atteso dalla vendita di un lotto? (II) Quale la varianza dell utile per la vendita all estero, e quale la varianza complessiva? (C) In uno studio sulla prontezza di riflessi, un campione casuale di 5 individui devono premere un pulsante appena udito un segnale di allarme. In Tabella 3 sono riportati i tempi di risposta, assimilabili ad una gaussiana con varianza 25 ms 2. (I) Calcolare la stima puntuale e quella per intervallo (confidenza 90%) del parametro incognito. (II) Effettuare il test d ipotesi che il parametro sia uguale a 50 ms, in alternativa ad un valore maggiore ( α = 0.05 ). Tabella 3: Campione di 5 osservazioni ( D ) Un azienda produce componenti elettronici la cui durata assimilabile ad una variabile casuale gamma, con parametro α = 26 e β incognito. Un componente si guastato dopo 63.5 ore di funzionamento. Saggiare l ipotesi nulla H 0 : β = 0.26 verso l alternativa H 1 : β nell insieme {0.15, 0.30, 0.50}, ricorrendo al rapporto di verosimiglianza con significativit uguale a 0.10, e in seguito con con significativit pari a La funzione di densit di probabilit gamma definita da: f (x; α, β) = βα Γ(α) xα 1 e ( β x). 7.2 Soluzioni (A) 274 (I) P (A B) = = , P (A N) = = (II) P (N A) = = (B) (I) E(Y ) =

14 (II) V (Y 1 ) = V (Y 2 ) = V (Y ) = (C) (I) µ = 74.6, Intervallo per µ = [70.822,78.178] (II) Valore campionario della statistica test = ; regione critica = (1.6448, + ) (D) valore campionario della statistica test = α = 0.05: regione accettazione = [0, ] α = 0.01: regione accettazione = [0, ] 14

15 8 Compito del Testo (A) In un intervista telefonica, 10 soggetti hanno riferito le proprie spese mensili alimentari (Tabella 1, migliaia di lire). Calcolare: (1) L istogramma di frequenze relative con intervalli di base [500,750), [750,1500),[1500,5000] ed effettuarne la rappresentazione grafica. (2) La mediana, il venticinquesimo ed il settantacinquesimo percentile, il coefficiente di variazione. Tabella 1: Spese mensili alimentari di 10 soggetti (migliaia di lire) (B) Il numero atteso di reattori chimici venduti in un anno uguale a (1) Quale la probabilità di vendere almeno 3 reattori in due anni? (2) Se in seguito ad un cambiamento del mercato il tasso di vendita dovesse diventare 6.384, quale sarebbe il valore atteso del numero di reattori venduti in due anni? Quale la probabilità di non vendere alcun reattore? (C) In un confronto sul reddito pro-capite in due città diverse, si vuole calcolare il rapporto tra le varianze nelle due città considerate. Disponendo dell informazione campionaria riportata in Tabella 2, calcolare l intervallo di confidenza (livello 95%) per il rapporto delle varianze città A su B. Tabella 2: Campione di 5 osservazioni per città (in milioni). Città A Città B ( D ) In un esperimento statistico, una moneta che reca sulle facce rispettivamente il numero 1 ed il numero 2 è lanciata una volta, e l esito riportato è 2. Sia θ la probabilità di un risultato pari ad 1 e 1 θ di un esito pari a 2. (1) Sottoporre a test l ipotesi H 0 : θ = 0.95 in alternativa a H 1 : θ = , con significatività del 5%. (2) Calcolare la potenza del test e discutere i risultati ottenuti. 8.2 Soluzioni (A) Ordinata 1 : Ordinata 2 : Ordinata 3 : Mediana 3 : Q 1 = ; Q 3 = Coeff. variazione : (usando la varianza corretta) (B) Pr. almeno 3 reattori in 2 anni : Attesa due anni dopo cambiamento :12.77 Pr. vendita nessun reattore : (C) Media A: Dev.std A: Var A : Media B : Dev.std B : Var B :

16 rapporto varianze: Intervallo : ; (D) Rifiuto Potenza =

17 9 Compito del Testo (A) Tre tennisti A, B e C partecipano ad un torneo. L ordine degli incontri è stabilito mediante il lancio di una moneta. I tennisti che hanno ottenuto un esito identico giocano per primi. I lanci sono effettuati in ordine alfabetico, prima il tennista A e poi il B, mentre il tennista C lancia la moneta solo se i primi due lanci hanno dato esito diverso. Sapendo che la probabilità dell evento testa è 0.898: 1) Quale è la probabilitè che A e C giochino insieme? 2) Quale è la probabilità che B e C giochino insieme dato che il lancio di A ha dato esito croce? (B) Ad un campione casuale di 7 studenti universitari è stato chiesto di indicare il numero di ore di sonno prima dell esame di statistica ed il voto ottenuto il giorno successivo all esame (Tabella 1). Tabella 1: Campione di 7 studenti. Voto d esame ed ore di sonno nella notte precedente. Ore: Voto: (1) Rappresentare graficamente i risultati in tabella. (2) Calcolare un indice relativo di associazione tra voto e ore di sonno. (3) Discutere brevemente i risultati ottenuti. (C) In uno studio sulle vendite annuali di formaggio nei supermercati, sono stati ottenuti i valori relativi ad un campione casuale di 5 supermercati di caratteristiche similari. Impiegando i dati riportati in tabella ed assumendo un modello normale: (1) Effettuare la stima della media con affidabilità (2) Calcolare l informatività ottenuta. Tabella 2: Campione di 5 supermercati: vendite in migliaia di Kg ( D ) Un corriere di Firenze consegna pacchi in tre regioni del nord Italia. Il 6% delle volte si reca in Lombardia ed il numero medio di pacchi da consegnare è 54. Il 17% delle volte consegna in Veneto ed il numero medio di pacchi è 58. In Piemonte il numero medio di pacchi per consegna è di 17. Il corriere decide di partire nonostante abbia smarrito i documenti di consegna. Verso quale regione deve dirigersi avendo da consegnare 56 pacchi? Perchè? 9.2 Soluzioni (A) Pro[AC] = Pro[BC A==C] = (B) Correlaz: Stat test: Valore critico: 6.6 (C) Media : Varianza : Int.inf : Int.sup : Informatività : 16.6 (D) Lombardia :

18 Veneto : Piemonte: e-014 Denominatore : Post Lombardia : Post Veneto : Post Piemonte : 0 18

19 10 Compito del Testo (A) Un azienda produce fuochi d artificio a doppia camera. Se la camera C 1 esplode, la probabilità che la camera C 2 esploda è Se la camera C 1 non esplode, la probabilità che non esploda C Sapendo che la camera C 1 non esplode con probabilità 0.138: 1) Qual è la probabilità che effettuando il lancio non avvengano scoppi? 2) Avendo effettuato un lancio ed udito un solo scoppio, quale è la probabilità che esso sia avvenuto per l esplosione di C 2? (B) In una città vi sono 5 autoscuole. Il numero di promossi all esame di guida durante il 1999 è riportato in Tabella 1. Impiegando i dati riportati: (1) Valutare l equidistribuzione nel numero dei promossi per le autoscuole considerate. (2) Rappresentare graficamente i valori componenti il calcolo effettuato al punto (1). Tabella 1: Campione di 5 autoscuole: numero di promossi all esame. A1 A2 A3 A4 A (C) I risultati di un indagine finanziaria sull evasione fiscale in 1828 aziende sono stati riassunti per classi di dimensione aziendale (D, numero di dipendenti) e per classi di ammontare evaso (M, milioni). Tabella 2: Numero di aziende indagate per classi di evasione (M) e di dimensione (D). D: [1,50] (50,200] (200, ) M: (0, 99] (99, ) (1) Tabellare la funzione di massa di probabilità condizionata di D dato M=0. (2) Calcolare un indice di interconnessione relativo tra M e D che colga qualsiasi tipo di associazione eventualmente esistente. (D) Un azienda effettua uno studio sull efficacia del trattamento vitaminico SUPERLAV. Il rendimento lavorativo è stato misurato su di un campione casuale di 4 segretarie che hanno assunto per un mese il preparato SUPERLAV ed su un secondo campione casuale di 3 segretarie che non hanno assunto SUPERLAV. Impiegando i dati riportati in tabella 2 ed assumendo un modello normale per la variabile casuale rendimento lavorativo: (1) Decidere circa l efficacia del preparato SUPERLAV con probabilit di un errore di tipo I pari a 0.01, assumendo che il preparato SUPERLAV non diminuisca il rendimento. (2) Come aumentare la potenza senza cambiare la dimensione dei due campioni? Con quali ulteriori effetti? 10.2 Soluzioni Tabella 3: Rendimento lavorativo di due campioni di segretarie. Con SUPERLAV Senza SUPERLAV (A) Pro[0 botti] = P [C2 un solo scoppio] = = (B) 19

20 Pi : 0.2 Pi : 0.4 Pi : 0.6 Pi : 0.8 Pi : 1 Qi : Qi : Qi : Qi : Qi : 1 R : (C) C1Rel: C2Rel: Cp: Tschup: (D) Media1 : 47 Media2 : Var 1 : Var 2 : Test stat : Valore critico :

21 11 Compito del Testo (A) La serratura a combinazione di una valigia è composta da due cifre. Per aprire la valigia occorre scegliere un numero tra 1 e 8 sulla prima ed un numero tra 1 e 9 sulla seconda cifra. Avendo a disposizione tre soli tentativi, e verificando l apertura ad ogni estrazione: (1) Quale è la probabilità di trovare la combinazione estraendo completamente a caso le due cifre per un massimo di tre volte? (2) Quale è la probabilità di trovare la combinazione estraendo a caso le due cifre per un massimo di tre volte tenendo conto delle combinazioni già provate? (B) La serie storica del numero di forme di grana padano richieste al distributore italiano in un semestre è riportato in Tabella 1 sotto forma di numeri indice a base fissa (base = sesto mese). (1) Calcolare il numero indice del terzo mese con base uguale al primo mese. (2) Sapendo che il totale del numero di forme richieste nel semestre è di 3340, calcolare il numero di richieste relative al sesto mese. Tabella 1: Numeri indice del semestre (M = mese). M1 M2 M3 M4 M5 M (C) Un macchinario produce chiodi di lunghezza nominale pari a 6 cm. Un campione casuale di 7 chiodi è stato misurato per valutare la qualità dei chiodi prodotti. Assumendo un modello di tipo normale per Y (lunghezza del chiodo): (1) sottoporre a test l ipotesi che il valore atteso della lunghezza sia uguale alla lunghezza nominale (α = 0.05); (2) spiegare formalmente come si potrebbe sottoporre a test l ipotesi che la varianza nella lunghezza dei chiodi prodotti sia inferiore of uguale al valore 0.6 verso l alternativa che sia superiore al suddetto valore. Tabella 2: Lunghezze (cm) in un campione di 7 chiodi (D) In uno studio sulla relazione tra investimento pubblicitario, X, e fatturato aziendale mensile, Y, sono stati registrati i valori relativi ad un campione casuale di 5 aziende (vedi Tabella 3). Ipotizzando che il fatturato sia assimilabile ad una variabile casuale gaussiana: (1) Rappresentare graficamente i dati in tabella. (2) Assumendo che E[Y ] = β 0 + β 1 X effettuare la stima puntuale dei parametri. (3) Sottoporre a test l ipotesi che il coefficiente della spesa pubblicitaria sia nullo (α = 0.01). (4) Assumendo che un azienda investa milioni di lire in un certo mese, quale è l intervallo di confidenza (livello 0.95) per il valore del fatturato osservabile in tale mese? 11.2 Soluzioni (A) Pro1 = Pro2 = (B) M1I M3 : 0.4 M6 : 120 Tabella 3: Fatturato osservato (miliardi) per investimento effettuato (milioni). Fatturato Investimento

STATISTICA (I MODULO INFERENZA STATISTICA) Esercitazione I 27/4/2007

STATISTICA (I MODULO INFERENZA STATISTICA) Esercitazione I 27/4/2007 Esercitazione I 7/4/007 In una scatola contenente 0 pezzi di un articolo elettronico risultano essere difettosi. Si estraggono a caso due pezzi, uno alla volta senza reimmissione. Quale è la probabilità

Dettagli

ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola:

ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola: ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola: ISTRUZIONI: Per la prova è consentito esclusivamente l uso di una calcolatrice tascabile, delle tavole della normale e della t di Student. I risultati degli

Dettagli

Statistica corso base Canale N Z prof. Francesco Maria Sanna. Prove scritte di esame a.a. 2012-13

Statistica corso base Canale N Z prof. Francesco Maria Sanna. Prove scritte di esame a.a. 2012-13 Statistica corso base Canale N Z prof. Francesco Maria Sanna Prova scritta del 8/1/2013 Prove scritte di esame a.a. 2012-13 Esercizio 1 (5 punti). Nella seguente tabella è riportata la distribuzione delle

Dettagli

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione)

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Esercitazione #5 di Statistica Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Dicembre 00 1 Esercizi 1.1 Test su media (con varianza nota) Esercizio n. 1 Il calore (in calorie per grammo) emesso

Dettagli

Temi di Esame a.a. 2012-2013. Statistica - CLEF

Temi di Esame a.a. 2012-2013. Statistica - CLEF Temi di Esame a.a. 2012-2013 Statistica - CLEF I Prova Parziale di Statistica (CLEF) 11 aprile 2013 Esercizio 1 Un computer è collegato a due stampanti, A e B. La stampante A è difettosa ed il 25% dei

Dettagli

Continua sul retro 42.1 39.7 38.0 38.7 41.4 37.5 38.6 40.5 39.8 38.0 36.9 40.3 42.0 41.3 40.4 39.1 38.4 42.0

Continua sul retro 42.1 39.7 38.0 38.7 41.4 37.5 38.6 40.5 39.8 38.0 36.9 40.3 42.0 41.3 40.4 39.1 38.4 42.0 Statistica per l azienda Esame del 19.06.12 COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Esercizi di Probabilità e statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Proprietà fondamentali Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA

ELEMENTI DI STATISTICA Dipartimento di Ingegneria Meccanica Chimica e dei Materiali PROGETTAZIONE E GESTIONE DEGLI IMPIANTI INDUSTRIALI Esercitazione 6 ORE ELEMENTI DI STATISTICA Prof. Ing. Maria Teresa Pilloni Anno Accademico

Dettagli

Riassunto 24 Parole chiave 24 Commenti e curiosità 25 Esercizi 27 Appendice

Riassunto 24 Parole chiave 24 Commenti e curiosità 25 Esercizi 27 Appendice cap 0 Romane - def_layout 1 12/06/12 07.51 Pagina V Prefazione xiii Capitolo 1 Nozioni introduttive 1 1.1 Introduzione 1 1.2 Cenni storici sullo sviluppo della Statistica 2 1.3 La Statistica nelle scienze

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità

Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Statistica Applicata all edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 7 marzo 20 Indice Indici di curtosi e simmetria Indici di curtosi e simmetria 2 3 Distribuzione Bernulliana

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

Politecnico di Milano - Anno Accademico 2010-2011 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo

Politecnico di Milano - Anno Accademico 2010-2011 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Politecnico di Milano - Anno Accademico 200-20 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Esercitazione 9 2 Giugno 20 Esercizio. In un laboratorio per il test dei materiali,

Dettagli

Appunti: Teoria Dei Test

Appunti: Teoria Dei Test Appunti: Teoria Dei Test Fulvio De Santis, Luca Tardella e Isabella Verdinelli Corsi di Laurea A + E + D + G + R 1. Introduzione. Il test d ipotesi è un area dell inferenza statistica in cui si valuta

Dettagli

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza dei prezzi per camera di alcuni agriturismi, situati nella regione Basilicata.

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Statistiche campionarie

Statistiche campionarie Statistiche campionarie Sul campione si possono calcolare le statistiche campionarie (come media campionaria, mediana campionaria, varianza campionaria,.) Le statistiche campionarie sono stimatori delle

Dettagli

Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica. 18 dicembre 2008

Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica. 18 dicembre 2008 Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica 18 dicembre 008 Esame sull intero programma: esercizi da A a D Esame sulla seconda parte del programma: esercizi

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Stima puntuale per la proporzione Da un lotto di arance se ne estraggono 400, e di queste 180

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

Esercitazioni 2013/14

Esercitazioni 2013/14 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta

Dettagli

Esercitazione di riepilogo 23 Aprile 2013

Esercitazione di riepilogo 23 Aprile 2013 Esercitazione di riepilogo 23 Aprile 2013 Grafici Grafico a barre Servono principalmente per rappresentare variabili (caratteri) qualitative, quantitative e discrete. Grafico a settori circolari (torta)

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Introduzione Livelli di significatività Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale Verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale Verifica di ipotesi

Dettagli

Analisi statistica degli errori

Analisi statistica degli errori Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale

Dettagli

Statistica Statistica 1+2 (COSTANZO MISURACA) C. di L. in Economia Aziendale - Appello del 11/01/2013. Cognome Nome Matr Firma

Statistica Statistica 1+2 (COSTANZO MISURACA) C. di L. in Economia Aziendale - Appello del 11/01/2013. Cognome Nome Matr Firma Statistica Statistica 1+2 (COSTANZO MISURACA) C. di L. in Economia Aziendale - Appello del 11/01/2013 I seguenti dati rappresentano i valori di mercato di 30 azioni scambiate sulla borsa di New York (in

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

CAPITOLO III CONFRONTI TRA DISTRIBUZIONI

CAPITOLO III CONFRONTI TRA DISTRIBUZIONI CAPITOLO III CONFRONTI TRA DISTRIBUZIONI 3.1 CONFRONTI TRA DISTRIBUZIONI OSSERVATE E DISTRIBUZIONI TEORICHE OD ATTESE. Nella teoria statistica e nella pratica sperimentale, è frequente la necessità di

Dettagli

Esercitazione n.1 (v.c. Binomiale, Poisson, Normale)

Esercitazione n.1 (v.c. Binomiale, Poisson, Normale) Esercizio 1. Un azienda produce palline da tennis che hanno probabilità 0,02 di essere difettose, indipendentemente l una dall altra. La confezione di vendita contiene 8 palline prese a caso dalla produzione

Dettagli

Soluzioni degli Esercizi del Parziale del 30/06/201 (Ippoliti-Fontanella-Valentini)

Soluzioni degli Esercizi del Parziale del 30/06/201 (Ippoliti-Fontanella-Valentini) Soluzioni degli Esercizi del Parziale del 30/06/201 (Ippoliti-Fontanella-Valentini) Esercizio 1 In uno studio sugli affitti mensili, condotto su un campione casuale di 14 monolocali nella città nella città

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

R - Esercitazione 5. Lorenzo Di Biagio dibiagio@mat.uniroma3.it. Lunedì 2 Dicembre 2013. Università Roma Tre

R - Esercitazione 5. Lorenzo Di Biagio dibiagio@mat.uniroma3.it. Lunedì 2 Dicembre 2013. Università Roma Tre R - Esercitazione 5 Lorenzo Di Biagio dibiagio@mat.uniroma3.it Università Roma Tre Lunedì 2 Dicembre 2013 Intervalli di confidenza (1) Sia X 1,..., X n un campione casuale estratto da un densità f (x,

Dettagli

Analisi di dati di frequenza

Analisi di dati di frequenza Analisi di dati di frequenza Fase di raccolta dei dati Fase di memorizzazione dei dati in un foglio elettronico 0 1 1 1 Frequenze attese uguali Si assuma che dalle risposte al questionario sullo stato

Dettagli

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Statistica, CLEA p. 1/55 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica

Dettagli

Inferenza statistica. Inferenza statistica

Inferenza statistica. Inferenza statistica Spesso l informazione a disposizione deriva da un osservazione parziale del fenomeno studiato. In questo caso lo studio di un fenomeno mira solitamente a trarre, sulla base di ciò che si è osservato, considerazioni

Dettagli

Esercitazioni del corso di Statistica - III canale Prof. Mortera e Vicard a.a. 2010/2011

Esercitazioni del corso di Statistica - III canale Prof. Mortera e Vicard a.a. 2010/2011 Esercitazioni del corso di Statistica - III canale Prof. Mortera e Vicard a.a. 2010/2011 Esercizi di statistica descrittiva 1. Secondo i dati ISTAT 1997 sull occupazione, la Lombardia e il Veneto presentano

Dettagli

Soluzioni Esercizi elementari

Soluzioni Esercizi elementari Soluzioni sercizi elementari Capitolo. carattere: itolo di Studio, carattere qualitativo ordinato modalità: Diploma, Licenza media, Laurea, Licenza elementare unità statistiche: Individui. carattere: Fatturato,

Dettagli

Per forma di una distribuzione si intende il modo secondo il quale si dispongono i valori di un carattere intorno alla rispettiva media.

Per forma di una distribuzione si intende il modo secondo il quale si dispongono i valori di un carattere intorno alla rispettiva media. FORMA DI UNA DISTRIBUZIONE Per forma di una distribuzione si intende il modo secondo il quale si dispongono i valori di un carattere intorno alla rispettiva media. Le prime informazioni sulla forma di

Dettagli

La distribuzione Gaussiana

La distribuzione Gaussiana Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Biotecnologie Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione

Dettagli

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quando si considerano due o più caratteri (variabili) si possono esaminare anche il tipo e l'intensità delle relazioni che sussistono tra loro. Nel caso in cui

Dettagli

è decidere sulla verità o falsità

è decidere sulla verità o falsità I test di ipotesi I test di ipotesi Il test delle ipotesi consente di verificare se, e in quale misura, una determinata ipotesi (di carattere sociale, biologico, medico, economico, ecc.) è supportata dall

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

Statistica Medica. Verranno presi in esame:

Statistica Medica. Verranno presi in esame: Statistica Medica Premessa: il seguente testo cerca di riassumere e rendere in forma comprensibile ai non esperti in matematica e statistica le nozioni e le procedure necessarie a svolgere gli esercizi

Dettagli

Esercitazione n.2 Inferenza su medie

Esercitazione n.2 Inferenza su medie Esercitazione n.2 Esercizio L ufficio del personale di una grande società intende stimare le spese mediche familiari dei suoi impiegati per valutare la possibilità di attuare un programma di assicurazione

Dettagli

Dai dati al modello teorico

Dai dati al modello teorico Dai dati al modello teorico Analisi descrittiva univariata in R 1 Un po di terminologia Popolazione: (insieme dei dispositivi che verranno messi in produzione) finito o infinito sul quale si desidera avere

Dettagli

! Si suppone che il peso della popolazione maschile di tesserati di una certa Federazione

! Si suppone che il peso della popolazione maschile di tesserati di una certa Federazione ! Un paziente non-fumatore (e che non ha mai fumato) si presenta dal medico in quanto lamenta una forma di tosse cronica. Il paziente viene sottoposto a una biopsia al polmone. La biopsia fornisce tre

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di dottorato in medicina molecolare. a.a. 2002 2003. Corso di Statistica Medica. Inferenza sulle medie

Università del Piemonte Orientale. Corso di dottorato in medicina molecolare. a.a. 2002 2003. Corso di Statistica Medica. Inferenza sulle medie Università del Piemonte Orientale Corso di dottorato in medicina molecolare aa 2002 2003 Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie Statistica U Test z Test t campioni indipendenti con uguale varianza

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il problema di Monty Hill nel film 21 Elementare!! Statistiche, cambio di variabili. 1 Il coefficiente di correlazione tra Indicee Stipendio vale 0,94. E possibile asserire che

Dettagli

Statistica. L. Freddi. L. Freddi Statistica

Statistica. L. Freddi. L. Freddi Statistica Statistica L. Freddi Statistica La statistica è un insieme di metodi e tecniche per: raccogliere informazioni su un fenomeno sintetizzare l informazione (elaborare i dati) generalizzare i risultati ottenuti

Dettagli

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo.

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. Capitolo 1 9 Ottobre 00 Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. 000, Milano Esercizio 1.0.1 (svolto in classe [II recupero Ing. Matematica aa.00-0-rivisitato]nel

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Nome N. Matricola Ancona, 14 luglio 2015 1. Tre macchine producono gli stessi pezzi

Dettagli

Esercizi di probabilità discreta

Esercizi di probabilità discreta Di seguito, potete trovare i testi (con risposta) degli esercizi svolti (o proposti) nel corso di esercitazioni dell insegnamento di Matematica applicata. 1 Esercizi di probabilità discreta Algebra degli

Dettagli

Indice Prefazione xiii 1 Probabilità

Indice Prefazione xiii 1 Probabilità Prefazione xiii 1 Probabilità 1 1.1 Origini del Calcolo delle Probabilità e della Statistica 1 1.2 Eventi, stato di conoscenza, probabilità 4 1.3 Calcolo Combinatorio 11 1.3.1 Disposizioni di n elementi

Dettagli

21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I C.L. in Matematica

21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I C.L. in Matematica 21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I Ogni esercizio vale 5 punti. 1. Si gioca a nascondino in una casa di quattro stanze: cucina, salotto, bagno e camera da letto. Otto bambini

Dettagli

Tabella per l'analisi dei risultati

Tabella per l'analisi dei risultati Vai a... UniCh Test V_Statistica_Eliminatorie Quiz V_Statistica_Eliminatorie Aggiorna Quiz Gruppi visibili Tutti i partecipanti Info Anteprima Modifica Risultati Riepilogo Rivalutazione Valutazione manuale

Dettagli

ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE

ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114

Dettagli

CONTROLLI STATISTICI

CONTROLLI STATISTICI CONTROLLI STATISTICI Si definisce Statistica la disciplina che si occupa della raccolta, effettuata in modo scientifico, dei dati e delle informazioni, della loro classificazione, elaborazione e rappresentazione

Dettagli

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docente: dott. F. Zucca Esercitazione # Esercizi Statistica Descrittiva Esercizio I gruppi sanguigni di persone sono B, B, AB, O,

Dettagli

CP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010. Testo e soluzione

CP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010. Testo e soluzione Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2009-2010, II semestre 8 luglio, 2010 CP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010 Testo e soluzione 1. (6 pts 12 monete da 1 euro vengono distribuite tra

Dettagli

Esperienze del primo semestre del Laboratorio di Fisica I

Esperienze del primo semestre del Laboratorio di Fisica I Esperienze del primo semestre del Laboratorio di Fisica I 25 settembre 2003 Meccanica Pendolo semplice Il pendolo semplice, che trovate montato a fianco del tavolo, è costituito da una piccola massa (intercambiabile)

Dettagli

Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato

Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato Inferenza statistica I Alcuni esercizi Stefano Tonellato Anno Accademico 2006-2007 Avvertenza Una parte del materiale è stato tratto da Grigoletto M. e Ventura L. (1998). Statistica per le scienze economiche,

Dettagli

CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi

CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi Dott.ssa CATERINA CONIGLIANI Facoltà di Economia Università Roma Tre 1 Esercizi su sintesi di distribuzioni semplici Esercizio 1.1 Data la seguente distribuzione

Dettagli

Statistica. Esercitazione 15. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice

Statistica. Esercitazione 15. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice Esercitazione 15 Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () 1 / 18 L importanza del gruppo di controllo In tutti i casi in cui si voglia studiare l effetto di un certo

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011 VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011 1 RAPPRESENTARE I DATI: TABELLE E GRAFICI Un insieme di misure è detto serie statistica o serie dei dati 1) Una sua prima elementare elaborazione può

Dettagli

CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi

CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi 1 CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.) Esercizi Dott.ssa CATERINA CONIGLIANI Facoltà di Economia Università Roma Tre 1 Esercizi di statistica descrittiva Esercizio 1.1 (Prof. Pieraccini, 20 6-00) In

Dettagli

decidiamo, sulla base di un campione, se l ipotesi formulata è plausibile oppure no.

decidiamo, sulla base di un campione, se l ipotesi formulata è plausibile oppure no. LA VERIFICA D IPOTESI Alla base dell inferenza statistica vi è l assunzione che i fenomeni collettivi possano essere descritti efficacemente mediante delle distribuzioni di probabilità. Abbiamo già considerato

Dettagli

Statistica per l azienda 19.06.2014 (1)

Statistica per l azienda 19.06.2014 (1) Statistica per l azienda 19.06.2014 (1) COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato

Dettagli

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Questa raccolta comprende sia gli esercizi dell esercitazione del 14 febbraio sia gli esercizi di ricapitolazione sulle

Dettagli

Somma logica di eventi

Somma logica di eventi Somma logica di eventi Da un urna contenente 24 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero divisibile per 5 o superiore a 20, b) esce un numero

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

COORTI 2006/07 2010/11 Facoltà di Economia sede di Milano, corsi di laurea triennali diurni

COORTI 2006/07 2010/11 Facoltà di Economia sede di Milano, corsi di laurea triennali diurni COORTI 2006/07 2010/11 Facoltà di Economia sede di Milano, corsi di laurea triennali diurni immatricolati al primo anno (1), % iscritti al secondo anno (2), al terzo (3) % laureati Note entro di maggio

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale. Corso di Statistica e Biometria. Introduzione e Statistica descrittiva

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale. Corso di Statistica e Biometria. Introduzione e Statistica descrittiva Università del Piemonte Orientale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria Introduzione e Statistica descrittiva Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione

Dettagli

Esercizi di Statistica

Esercizi di Statistica Esercizi di Statistica Selezione di esercizi proposti durante le esercitazioni dei corsi di Statistica tenute presso la Facoltà di Economia dell Università di Salerno Versione del 17 ottobre 2006 2 Per

Dettagli

La regressione lineare multipla

La regressione lineare multipla 13 La regressione lineare multipla Introduzione 2 13.1 Il modello di regressione multipla 2 13.2 L analisi dei residui nel modello di regressione multipla 9 13.3 Il test per la verifica della significatività

Dettagli

Esercitazioni del corso di Statistica Prof. Mortera a.a. 2008/2009

Esercitazioni del corso di Statistica Prof. Mortera a.a. 2008/2009 Esercitazioni del corso di Statistica Prof. Mortera a.a. 2008/2009 Esercizi di statistica descrittiva 1. Secondo i dati ISTAT 1997 sull occupazione, la Lombardia e il Veneto presentano le seguenti distribuzione

Dettagli

Scuola Secondaria di 1 Grado Via MAFFUCCI-PAVONI Via Maffucci 60 Milano PROGETTO STRANIERI MAT 3

Scuola Secondaria di 1 Grado Via MAFFUCCI-PAVONI Via Maffucci 60 Milano PROGETTO STRANIERI MAT 3 Scuola Secondaria di 1 Grado Via MAFFUCCI-PAVONI Via Maffucci 60 Milano PROGETTO STRANIERI MAT 3 PESO SPECIFICO MISURA DEL TEMPO PERCENTUALE NUMERI PERIODICI STATISTICA CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ASSE CARTESIANO

Dettagli

Regressione Lineare con un Singolo Regressore

Regressione Lineare con un Singolo Regressore Regressione Lineare con un Singolo Regressore Quali sono gli effetti dell introduzione di pene severe per gli automobilisti ubriachi? Quali sono gli effetti della riduzione della dimensione delle classi

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 4 A. Si supponga che la durata in giorni delle lampadine prodotte

Dettagli

Corso di Probabilità e Statistica

Corso di Probabilità e Statistica Università degli Studi di Verona Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Corso di Probabilità e Statistica (Prof.ssa L.Morato) Esercizi a cura di: S.Poffe sara.poffe@stat.unipd.it A.A.

Dettagli

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ]

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ] IV A GAT PRIMA VERIFICA DI MATEMATICA 3 ottobre 0 Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; π ].. 3... 6. 7. 8. Risultati:. = π/6 e = 7π/6. =π/ ; =π/6 ; =π/6 3. =π/3 ; =π/3. =π/3 ; =π/3. π/

Dettagli

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio Indice 1 Probabilità 1 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio.. 1 1.2 Probabilità condizionata, indipendenza e teorema di Bayes.... 2 1 Probabilità 1.1 Primi esercizi di probabilità

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Nella verifica delle ipotesi è necessario fissare alcune fasi prima di iniziare ad analizzare i dati. a) Si deve stabilire quale deve essere l'ipotesi nulla (H0) e quale l'ipotesi

Dettagli

CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi

CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi CORSO DI STATISTICA N.O. - II CANALE Esercizi Dott.ssa CATERINA CONIGLIANI Facoltà di Economia Università Roma Tre 1 Esercizi su sintesi di distribuzioni semplici Esercizio 1.1 Data la seguente distribuzione

Dettagli

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati BIOSTATISTICA 3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO

Dettagli

Esercizi di riepilogo Statistica III canale, anno 2008

Esercizi di riepilogo Statistica III canale, anno 2008 Esercizio 1 - Esercizio 5 esame 22 giugno 2004 Esercizi di riepilogo Statistica III canale, anno 2008 Data la seguente distribuzione di 100 dipendenti di un azienda in base al tempo impiegato (in minuti)

Dettagli

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Esercizi su variabili aleatorie discrete Es.1 Da un urna con 10 pallina bianche e 15 palline nere, si eseguono estrazioni con reimbussolamento fino all estrazione

Dettagli

Grafici delle distribuzioni di frequenza

Grafici delle distribuzioni di frequenza Grafici delle distribuzioni di frequenza L osservazione del grafico può far notare irregolarità o comportamenti anomali non direttamente osservabili sui dati; ad esempio errori di misurazione 1) Diagramma

Dettagli

Statistica descrittiva univariata

Statistica descrittiva univariata Statistica descrittiva univariata Elementi di statistica 2 1 Tavola di dati Una tavola (o tabella) di dati è l insieme dei caratteri osservati nel corso di un esperimento o di un rilievo. Solitamente si

Dettagli

Esame di Statistica Prof.ssa Paola Zuccolotto

Esame di Statistica Prof.ssa Paola Zuccolotto Esame di Statistica Prof.ssa Paola Zuccolotto Tema 1 indicare cognome, nome e numero di matricola su tutti i fogli; utilizzare i fogli protocollo per effettuare i calcoli, indicando tutti i passaggi necessari

Dettagli

OCCUPATI SETTORE DI ATTIVITA' ECONOMICA

OCCUPATI SETTORE DI ATTIVITA' ECONOMICA ESERCIZIO 1 La tabella seguente contiene i dati relativi alla composizione degli occupati in Italia relativamente ai tre macrosettori di attività (agricoltura, industria e altre attività) negli anni 1971

Dettagli

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi

Dettagli

Come descrivere un fenomeno in ambito sanitario fondamenti di statistica descrittiva. Brugnaro Luca

Come descrivere un fenomeno in ambito sanitario fondamenti di statistica descrittiva. Brugnaro Luca Come descrivere un fenomeno in ambito sanitario fondamenti di statistica descrittiva Brugnaro Luca Progetto formativo complessivo Obiettivo: incrementare le competenze degli operatori sanitari nelle metodiche

Dettagli

STATISTICA IX lezione

STATISTICA IX lezione Anno Accademico 013-014 STATISTICA IX lezione 1 Il problema della verifica di un ipotesi statistica In termini generali, si studia la distribuzione T(X) di un opportuna grandezza X legata ai parametri

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 006 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli