Testi e soluzioni dei compiti di esame di STATISTICA 1 c.l. Economia Aziendale. 6 febbraio 2010

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1 Testi e soluzioni dei compiti di esame di STATISTICA 1 c.l. Economia Aziendale 6 febbraio

2 Elenco 33. Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del

3 67. Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del

4 1 Compito del Testo (1) Un azienda sita in Firenze manda usualmente un proprio funzionario nelle sedi di Roma, Siena e Bologna. Il viaggio sempre effettuato con le Ferrovie dello Stato: Firenze-Roma il 20% delle volte, Firenze-Bologna il 55 % delle volte e il rimanente 25% Firenze-Siena. Il funzionario partito di prima mattina ha comunicato solamente di essere arrivato in ritardo. (I) Quale la probabilit che esso sia a Siena? (II) E che sia a Roma? Ricorrere alla Tabella 1 delle statistiche annuali di percorrenza. Tabella 1: Statistiche annuali di percorrenza (numero treni nel 1997) sulle tratte considerate. Tratta Treni puntuali Treni totali Firenze-Siena Firenze-Bologna Firenze-Roma (2) In una classe delle medie superiori 3 studenti hanno elevate capacit ed elevato impegno, 6 studenti impegno regolare e capacit elevate, 11 studenti con elevato impegno e capacit regolari ed 3 studenti con impegno e capacit regolari. Un nuovo docente chiama tre studenti per un interrogazione orale. Quale la probabilit che i tre studenti siano: uno appartenente con elevato impegno e capacit, un altro con gruppo regolare impegno ed elevate capacit, un altro con regolare capacit? (3) Nella Tabella 2 sono riportate le tonnellate di marmo estratte da 3 cave differenti (A,B,C) in 4 mesi. Calcolare media, varianza, coeff. di variazione per il mese I, poi per il mese II. Calcolare un adeguato indice di connessione e ricavare la percentuale di variabilità spiegata dalla differenza tra cave. Tabella 2: Tonnellate di marmo (in centinaia) estratte da tre cave differenti. Cava - Mese I II III IV A B C (4) Un azienda produce fogli di materiale plastico trasparente di dimensione 3 m per 8 m, e con spessore assimilabile ad una variabile casuale gaussiana con media mm e varianza uguale a Il prodotto ha mediamente 0.1 difetti per m 2. Al momento della consegna ogni foglio esaminato dal compratore che chiede un risarcimento economico pari al numero di difetti riscontrati per lire 262 pi 799 se il foglio ha spessore non incluso nell intervallo [ 0.467, ]. Quale il valore atteso del risarcimento economico per un foglio prodotto da tale azienda? Si commenti brevemente la scelta della funzione di massa di probabilit per la variabile casuale numero di difetti. 1.2 Soluzioni (1) P(Ritardo) = (I) P(Siena Ritardo) = (II) P(Roma Ritardo) = (2) P(1 o = IE e CE) = 3/23, P(2 o = IR e CE 1 o = IE e CE) = 6/22, P(3 o = CR 2 o = IR e CE,1 o = IE e CE) = 14/21. Siccome non interessa l ordine occorre moltiplicare per le permutazioni di questi 3 elementi (3! = 6). Risultato =3/23*6/22*14/21*6 = (3) Media(I) = Media(II) = Varianza(I) = Varianza(II) = CV(I) = CV(II) = DevB = DevT = η 2 =

5 (4) E(Risarcimento) = 262*E(difetti) + 799*P(spessore / (0.467,0.567)) = 262*0.1*3*8+799* =

6 2 Compito del Testo (A) Una macchina industriale per la verniciatura impiega un certo solvente chimico. La verniciatura ottimale richiede una quantit di solvente compresa tra e kg. Assumendo che la quantit X di solvente impiegata dalla macchina sia assimilabile ad una variabile casuale Gaussiana con media µ e varianza σ 2, (1) come regolare il dispositivo di verniciatura perch la la probabilit dell evento E 1 = {X < } sia uguale a e la probabilit dell evento E 2 = {X > } sia uguale a ? Come sarebbe possibile ridurre i costi dovuti al solvente pur ottenendo una verniciatura ottimale? (B) Un azienda produce guanti in gomma, con un numero medio di micro-lacerazioni pari a per guanto. Quale la probabilit che una coppia di guanti rechi complessivamente pi di 2 micro-lacerazioni? (C) In una falegnameria industriale sono prodotti assi di legno con uno spessore che assimilabile ad una variabile casuale Gaussiana. Usando i dati in tabella, (1) effettuare il test bilaterale dell ipotesi nulla H 0 : σ 2 = a tre diversi valori di probabilit dell errore di primo tipo: 0.10, 0.05, (2) Commentare brevemente i risultati ottenuti. Tabella 1: Campione di 10 osservazioni (spessori in mm) (D) Su 28 salumerie operanti in un certo comune e con medesimo ammontare di vendite, 14 appartengono alla catena di negozi Appia e 14 alla catena di negozi Aurelia. Lo spessore della fetta di salume si distribuisce come una variabile casuale Gaussiana, nella catena di negozi Appia con media e varianza 0.16, mentre nella catena Aurelia con media e varianza Quale la probabilit che una fetta di salume adulterata sia stata acquistata in un negozio della catena Aurelia dato che il suo spessore di mm? 2.2 Soluzioni (A) (1) µ = σ = (2) µ = σ = 0 (B) P (X > 2) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] = da calcolare per X P oisson(λ = = ). (C) valore campionario della statistica test = (I) α = 0.1: regione accettazione = [ , ] α = 0.05: regione accettazione = [ , ] α = 0.01: regione accettazione = [ , ] (II) Al diminuire di α = P (rifiutare H 0 ) aumenta 1 α = P (accettare H 0 ) e quindi aumenta l ampiezza della regione di accettazione. f( Aurelia) (D) P (Aurelia x = ) = f( Aurelia) + f( Appia) = Note: f( Aurelia) e f( Appia) sono le densit della distribuzione normale corrispondente; le probabilit a priori P (Aurelia) e P (Appia), essendo entrambe 1/2 sono state semplificate. 6

7 3 Compito del Testo ( A ) Un produttore di nastri magnetici deve consegnare un lotto di 1174 unit. Prima di inviare il lotto, vengono estratti casualmente e controllati 18 pezzi. Nel caso in cui non siano riscontrati difetti, il lotto viene spedito, altrimenti si procede al controllo di ogni nastro. Quale è la probabilità che il lotto non sia consegnato se si assume che: 1) vi siano 22 nastri con difetti nel lotto; 2) vi siano 25 nastri con difetti nel lotto ( B ) Il fatturato annuale di 5 aziende toscane è risultato nel 1997 pari a: ; ; ;2.433 ; miliardi di lire 1) Procedere al calcolo di un appropriato indice di variabilità; 2) Rappresentare graficamente la concentrazione del fenomeno. ( C ) Un catalizzatore chimico è impiegato per aumentare il prodotto utile di una reazione (in Kg). La reazione è ripetuta in analoghe condizioni per 7 volte senza catalizzatore e per altre 7 volte con il catalizzatore. Sapendo che il catalizzatore non modifica la varibilità dei risultati, si effettui un test delle ipotesi per saggiare se vi siano differenze significative imputabili al catalizzatore. Effettuare i calcoli a livello di significatività : 0.10 ed Tabella 1: Campione di 7 osservazioni (spessori in mm). Senza: Con: ( D ) Il carico di rottura in Kg di una barra di materiale plastico assimilabile ad una variabile casuale gamma, con parametro α = 26 e β incognito. Una barra prodotta con un nuovo procedimento ha mostrato un carico di rottura pari a 62.1 Kg. Impiegando il rapporto di verosimiglianza, saggiare l ipotesi nulla H 0 : β = 0.26 verso l alternativa H 1 : β nell insieme {0.15, 0.30, 0.50}, con significativit uguale a 0.10, e in seguito con con significativit pari a 0.01 (si usi un chiquadro con un grado di libert). La funzione di densit di probabilit gamma definita da: f (x; α, β) = βα Γ(α) xα 1 e ( β x). 3.2 Soluzioni (A) ) ( ) ( 22 0 (1) P (NC) = 1 P (X = 0) = 1 18 ( ) = ( ) ( ) (2) P (NC) = 1 P (X = 0) = 1 18 ( ) = Se si utilizza l approssimazione binomiale i risultati vengono leggermente diversi. (B) (1) R = 2M = = (2) i p i q i

8 (C) Occorre fare un confronto fra medie per dati non appaiati. x = , y = , s 2 X = , s2 Y = , s2 p = Valore campionario della statistica test = α = 0.1: regione accettazione = [ , ] α = 0.01: regione accettazione = [ , ] (D) valore campionario della statistica test = α = 0.1: regione accettazione = [0, ] α = 0.01: regione accettazione = [0, ] 8

9 4 Compito del Testo ( A ) Dall urna U contenente palline di tre colori diversi (Tabella 0) sono estratte due palline con reimmissione. Se le due palline sono uguali allora si procede ad una terza estrazione da U. (1) Quale è la probabilità di procedere alla terza estrazione? (2) Quale è la probabilità che al termine dell esperimento statistico si abbia almeno una pallina nera tra le estratte? Tabella 0: Urna U. Bianche Rosse Nere ( B ) Si considerino 3 monete sbilanciate. In tabella 1 sono riportati i valori numerici impressi sulle due facce di ogni moneta e la relative probabilità. Per un lancio simultaneo delle tre monete, si calcoli: (I) La distribuzione campionaria del campo di variazione C; (II) La probabilità dell evento P [C 2]. Tabella 1: Caratteristiche di tre monete sbilanciate. Faccia 1 Faccia 2 Prob. Faccia 1 Moneta 1: Moneta 2: Moneta 3: (C) Il tempo richiesto per completare in corsa un giro di pista assimilabile ad una variabile casuale gaussiana. Utilizzando i tempi ottenuti da un campione di 7 atleti (Tabella 2), eseguire il test delle ipotesi sulla media con H 0 : µ = ed alternativa H 1 : µ > Si impieghi un livello di significativi uguale a 0.10, ed in seguito Tabella 2: Tempi ottenuti da un campione di 7 atleti (secondi) ( D ) Il diametro esterno in millimetri dei tubi prodotti da un azienda è assimilabile ad una variabile casuale X con funzione di densità di probabilità: f (X; α, β) = α (3 α + (X β) 2) 2 con parametro α = 0.09 e β incognito. Una tubo prodotto dall azienda ha diametro pari a millimetri. Impiegando il rapporto di verosimiglianza, saggiare l ipotesi nulla H 0 : β = 10 verso l alternativa H 1 : β nell insieme {9, 11, 12}, con significativit uguale a 0.10, e in seguito con con significativit pari a 0.01 (si usi un chiquadro con un grado di libert). 4.2 Soluzioni (A) III estraz :0.38 Almeno una nera :0.815 (B) Valori: 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5 Probabilità:0.1723; ; ; ; Probabilità evento: (C) Valore campionario della statistica test =

10 α = 0.10: Regione di rifiuto = (1.4398, + ) α = 0.05: Regione di rifiuto = (1.9432, + ) (D) Valore campionario della statistica test = α = 0.10: Regione di rifiuto = (2.7055, + ) α = 0.01: Regione di rifiuto = (6.6349, + ) 10

11 5 Compito del Testo (A) In un mazzo regolare di 52 carte, due carte sono estratte senza reimmissione. (I) Sapendo che la prima non una figura e che superiore a 5, calcolare la probabilit che essa non sia un 9 di colore rosso. (II) Sapendo che la prima un 9, quale la probabilit che la seconda carta sia di picche? ( B ) Nella Tabella 1 riportato il numero di blocchi di marmo estratti da 3 cave differenti (1,2,3) in 3 mesi differenti (1,2,3). Calcolare un adeguato indice di associazione e spiegare brevemente il risultato ottenuto. Tabella 1: Numero di blocchi di marmo estratti da tre cave differenti. Cava - Mese (C) L effetto di un nuovo integratore alimentare viene saggiato impiegando un gruppo di 5 corridori ciclisti. In Tabella 2 sono riportati i tempi di percorrenza della pista senza e con il nuovo integratore. Effettuare il test delle ipotesi (con significativit 0.10) che l integratore diminuisca il tempo di percorrenza. La decisione finale sarebbe cambiata scegliendo un valore di significativit uguale a 0.01? Tabella 2: Campione di 5 osservazioni (tempi). Corridore I II III IV V Senza: Con: (D) Si ipotizzi che il voto medio negli esami universitari dipenda linearmente dal numero di ore dedicate al sonno, a parit di ore di studio effettuate. Impiegare il metodo dei minimi quadrati per stimare coefficienti del modello impiegando i dati in Tabella 3, e verificare statisticamente l ipotesi formulata. 5.2 Soluzioni Tabella 3: Campione di 5 osservazioni (tempi). Voto Medio: Ore sonno: (A) (1) P(1 a non(9rosso) 1 a non(figura) e maggiore di 5) = 1-2/(5*4) = 0.9 (2) P(2 a picche 1 a = 9) = 1/4 = 0.25 (B) Valori dei principali indici di associazione C 1 C 2 C 1 rel C 2 rel T C P χ (C) Dati appaiati. Valore campionario della statistica test = α = 0.1: regione critica = (, ) α = 0.01: regione critica = (, ) (D) (1) β 1 = β 0 = σ 2 = (2) Valore campionario della statistica test = ; regione accettazione ( , ). 11

12 6 Compito del Testo (A) Una fotocopiatrice mediamente compie 3.67 errori per 1000 cm 2 di area fotocopiata. Copiando un foglio di dimensioni 21.7 cm per 29.7 cm: (I) quale la probabilit che non vi siano errori? (II) Quale la probabilit che il numero di errori sia compreso tra 3 e 5 (inclusi)? (B) Un dado arrotondato ha probabilit di fermarsi su di uno spigolo e probabilit per ciascuna delle sei facce recanti i numeri da 1 a 6. In un esperimento casuale se il dado al primo lancio si ferma sullo spigolo lanciato una seconda volta. (I) Quale complessivamente la probabilit di non osservare alcun esito numerico? (II) Quale complessivamente la probabilit di osservare il 6? (C) In Tabella 1 sono riportate le misure di durezza relative ad un campione casuale di 5 leghe metalliche differenti, effettuate con il metodo tradizionale e con un nuovo metodo elettronico economico. (I) Calcolare un conveniente indice di associazione. (II) E ragionevole impiegare il nuovo metodo? Perch? Tabella 1: Campione di 5 misurazioni effettuate con due metodi differenti. Tradizionale: Elettronico: (D) Un idrante agricolo eroga una media di 1201 Kg di acqua ad ogni operazione di irrigazione. In Tabella 2 sono riportati i valori di un campione casuale di 5 misurazioni. Assumendo il modello normale, (I) calcolare l intervallo di confidenza (livello 90%) della varianza. (II) Sottoporre a test l ipotesi che la varianza sia uguale a (alfa = 0.05), in alternativa ad un valore maggiore. 6.2 Soluzioni Tabella 2: Campione di 5 misurazioni dei Kg di acqua erogata all irrigazione. (A) X P oisson(λ = ) (I) P (X = 0) = (II) P (3 X 5) = (B) (I) P (X 1 = N X 2 = N) = (II) P (X 1 = N X 2 = N) = (C) (I) ρ = (D) Nota: µ nota (I) Intervallo = ( , ) (II) Valore campionario della statistica test = ; regione critica = ( , + ) 12

13 7 Compito del Testo (A) L ufficio federale americano di investigazione effettua un controllo sulla regolarit delle assunzioni in una azienda. Nei precedenti 10 anni, vi sono state 1271 domande da parte di bianchi e di neri, con assunzioni riassunte in Tabella 1. Tabella 1: Assunzioni per razza, dati decennali. Bianchi Neri Assunti Rifiutati Utilizzando le frequenze in tabella: (I) Quale la probabilit di assunzione per un bianco? E quale per un nero? (II) Quale la probabilit che un nuovo assunto sia nero? (B) Un reagente chimico prodotto in lotti. Sia X la variabile casuale associata alla qualit del lotto, con funzione di massa di probabilit riportata in Tabella 2. Tabella 2: Funzione di massa di probabilit. X p(x) L utile ricavabile dalla vendita di un lotto all estero dato da Y 1 = 5x , mentre dalla vendita in Italia Y 2 = 2x Sapendo che la probabilit di effettuare la vendita di un lotto all estero 0.192, (I) Quale l utile atteso dalla vendita di un lotto? (II) Quale la varianza dell utile per la vendita all estero, e quale la varianza complessiva? (C) In uno studio sulla prontezza di riflessi, un campione casuale di 5 individui devono premere un pulsante appena udito un segnale di allarme. In Tabella 3 sono riportati i tempi di risposta, assimilabili ad una gaussiana con varianza 25 ms 2. (I) Calcolare la stima puntuale e quella per intervallo (confidenza 90%) del parametro incognito. (II) Effettuare il test d ipotesi che il parametro sia uguale a 50 ms, in alternativa ad un valore maggiore ( α = 0.05 ). Tabella 3: Campione di 5 osservazioni ( D ) Un azienda produce componenti elettronici la cui durata assimilabile ad una variabile casuale gamma, con parametro α = 26 e β incognito. Un componente si guastato dopo 63.5 ore di funzionamento. Saggiare l ipotesi nulla H 0 : β = 0.26 verso l alternativa H 1 : β nell insieme {0.15, 0.30, 0.50}, ricorrendo al rapporto di verosimiglianza con significativit uguale a 0.10, e in seguito con con significativit pari a La funzione di densit di probabilit gamma definita da: f (x; α, β) = βα Γ(α) xα 1 e ( β x). 7.2 Soluzioni (A) 274 (I) P (A B) = = , P (A N) = = (II) P (N A) = = (B) (I) E(Y ) =

14 (II) V (Y 1 ) = V (Y 2 ) = V (Y ) = (C) (I) µ = 74.6, Intervallo per µ = [70.822,78.178] (II) Valore campionario della statistica test = ; regione critica = (1.6448, + ) (D) valore campionario della statistica test = α = 0.05: regione accettazione = [0, ] α = 0.01: regione accettazione = [0, ] 14

15 8 Compito del Testo (A) In un intervista telefonica, 10 soggetti hanno riferito le proprie spese mensili alimentari (Tabella 1, migliaia di lire). Calcolare: (1) L istogramma di frequenze relative con intervalli di base [500,750), [750,1500),[1500,5000] ed effettuarne la rappresentazione grafica. (2) La mediana, il venticinquesimo ed il settantacinquesimo percentile, il coefficiente di variazione. Tabella 1: Spese mensili alimentari di 10 soggetti (migliaia di lire) (B) Il numero atteso di reattori chimici venduti in un anno uguale a (1) Quale la probabilità di vendere almeno 3 reattori in due anni? (2) Se in seguito ad un cambiamento del mercato il tasso di vendita dovesse diventare 6.384, quale sarebbe il valore atteso del numero di reattori venduti in due anni? Quale la probabilità di non vendere alcun reattore? (C) In un confronto sul reddito pro-capite in due città diverse, si vuole calcolare il rapporto tra le varianze nelle due città considerate. Disponendo dell informazione campionaria riportata in Tabella 2, calcolare l intervallo di confidenza (livello 95%) per il rapporto delle varianze città A su B. Tabella 2: Campione di 5 osservazioni per città (in milioni). Città A Città B ( D ) In un esperimento statistico, una moneta che reca sulle facce rispettivamente il numero 1 ed il numero 2 è lanciata una volta, e l esito riportato è 2. Sia θ la probabilità di un risultato pari ad 1 e 1 θ di un esito pari a 2. (1) Sottoporre a test l ipotesi H 0 : θ = 0.95 in alternativa a H 1 : θ = , con significatività del 5%. (2) Calcolare la potenza del test e discutere i risultati ottenuti. 8.2 Soluzioni (A) Ordinata 1 : Ordinata 2 : Ordinata 3 : Mediana 3 : Q 1 = ; Q 3 = Coeff. variazione : (usando la varianza corretta) (B) Pr. almeno 3 reattori in 2 anni : Attesa due anni dopo cambiamento :12.77 Pr. vendita nessun reattore : (C) Media A: Dev.std A: Var A : Media B : Dev.std B : Var B :

16 rapporto varianze: Intervallo : ; (D) Rifiuto Potenza =

17 9 Compito del Testo (A) Tre tennisti A, B e C partecipano ad un torneo. L ordine degli incontri è stabilito mediante il lancio di una moneta. I tennisti che hanno ottenuto un esito identico giocano per primi. I lanci sono effettuati in ordine alfabetico, prima il tennista A e poi il B, mentre il tennista C lancia la moneta solo se i primi due lanci hanno dato esito diverso. Sapendo che la probabilità dell evento testa è 0.898: 1) Quale è la probabilitè che A e C giochino insieme? 2) Quale è la probabilità che B e C giochino insieme dato che il lancio di A ha dato esito croce? (B) Ad un campione casuale di 7 studenti universitari è stato chiesto di indicare il numero di ore di sonno prima dell esame di statistica ed il voto ottenuto il giorno successivo all esame (Tabella 1). Tabella 1: Campione di 7 studenti. Voto d esame ed ore di sonno nella notte precedente. Ore: Voto: (1) Rappresentare graficamente i risultati in tabella. (2) Calcolare un indice relativo di associazione tra voto e ore di sonno. (3) Discutere brevemente i risultati ottenuti. (C) In uno studio sulle vendite annuali di formaggio nei supermercati, sono stati ottenuti i valori relativi ad un campione casuale di 5 supermercati di caratteristiche similari. Impiegando i dati riportati in tabella ed assumendo un modello normale: (1) Effettuare la stima della media con affidabilità (2) Calcolare l informatività ottenuta. Tabella 2: Campione di 5 supermercati: vendite in migliaia di Kg ( D ) Un corriere di Firenze consegna pacchi in tre regioni del nord Italia. Il 6% delle volte si reca in Lombardia ed il numero medio di pacchi da consegnare è 54. Il 17% delle volte consegna in Veneto ed il numero medio di pacchi è 58. In Piemonte il numero medio di pacchi per consegna è di 17. Il corriere decide di partire nonostante abbia smarrito i documenti di consegna. Verso quale regione deve dirigersi avendo da consegnare 56 pacchi? Perchè? 9.2 Soluzioni (A) Pro[AC] = Pro[BC A==C] = (B) Correlaz: Stat test: Valore critico: 6.6 (C) Media : Varianza : Int.inf : Int.sup : Informatività : 16.6 (D) Lombardia :

18 Veneto : Piemonte: e-014 Denominatore : Post Lombardia : Post Veneto : Post Piemonte : 0 18

19 10 Compito del Testo (A) Un azienda produce fuochi d artificio a doppia camera. Se la camera C 1 esplode, la probabilità che la camera C 2 esploda è Se la camera C 1 non esplode, la probabilità che non esploda C Sapendo che la camera C 1 non esplode con probabilità 0.138: 1) Qual è la probabilità che effettuando il lancio non avvengano scoppi? 2) Avendo effettuato un lancio ed udito un solo scoppio, quale è la probabilità che esso sia avvenuto per l esplosione di C 2? (B) In una città vi sono 5 autoscuole. Il numero di promossi all esame di guida durante il 1999 è riportato in Tabella 1. Impiegando i dati riportati: (1) Valutare l equidistribuzione nel numero dei promossi per le autoscuole considerate. (2) Rappresentare graficamente i valori componenti il calcolo effettuato al punto (1). Tabella 1: Campione di 5 autoscuole: numero di promossi all esame. A1 A2 A3 A4 A (C) I risultati di un indagine finanziaria sull evasione fiscale in 1828 aziende sono stati riassunti per classi di dimensione aziendale (D, numero di dipendenti) e per classi di ammontare evaso (M, milioni). Tabella 2: Numero di aziende indagate per classi di evasione (M) e di dimensione (D). D: [1,50] (50,200] (200, ) M: (0, 99] (99, ) (1) Tabellare la funzione di massa di probabilità condizionata di D dato M=0. (2) Calcolare un indice di interconnessione relativo tra M e D che colga qualsiasi tipo di associazione eventualmente esistente. (D) Un azienda effettua uno studio sull efficacia del trattamento vitaminico SUPERLAV. Il rendimento lavorativo è stato misurato su di un campione casuale di 4 segretarie che hanno assunto per un mese il preparato SUPERLAV ed su un secondo campione casuale di 3 segretarie che non hanno assunto SUPERLAV. Impiegando i dati riportati in tabella 2 ed assumendo un modello normale per la variabile casuale rendimento lavorativo: (1) Decidere circa l efficacia del preparato SUPERLAV con probabilit di un errore di tipo I pari a 0.01, assumendo che il preparato SUPERLAV non diminuisca il rendimento. (2) Come aumentare la potenza senza cambiare la dimensione dei due campioni? Con quali ulteriori effetti? 10.2 Soluzioni Tabella 3: Rendimento lavorativo di due campioni di segretarie. Con SUPERLAV Senza SUPERLAV (A) Pro[0 botti] = P [C2 un solo scoppio] = = (B) 19

20 Pi : 0.2 Pi : 0.4 Pi : 0.6 Pi : 0.8 Pi : 1 Qi : Qi : Qi : Qi : Qi : 1 R : (C) C1Rel: C2Rel: Cp: Tschup: (D) Media1 : 47 Media2 : Var 1 : Var 2 : Test stat : Valore critico :

21 11 Compito del Testo (A) La serratura a combinazione di una valigia è composta da due cifre. Per aprire la valigia occorre scegliere un numero tra 1 e 8 sulla prima ed un numero tra 1 e 9 sulla seconda cifra. Avendo a disposizione tre soli tentativi, e verificando l apertura ad ogni estrazione: (1) Quale è la probabilità di trovare la combinazione estraendo completamente a caso le due cifre per un massimo di tre volte? (2) Quale è la probabilità di trovare la combinazione estraendo a caso le due cifre per un massimo di tre volte tenendo conto delle combinazioni già provate? (B) La serie storica del numero di forme di grana padano richieste al distributore italiano in un semestre è riportato in Tabella 1 sotto forma di numeri indice a base fissa (base = sesto mese). (1) Calcolare il numero indice del terzo mese con base uguale al primo mese. (2) Sapendo che il totale del numero di forme richieste nel semestre è di 3340, calcolare il numero di richieste relative al sesto mese. Tabella 1: Numeri indice del semestre (M = mese). M1 M2 M3 M4 M5 M (C) Un macchinario produce chiodi di lunghezza nominale pari a 6 cm. Un campione casuale di 7 chiodi è stato misurato per valutare la qualità dei chiodi prodotti. Assumendo un modello di tipo normale per Y (lunghezza del chiodo): (1) sottoporre a test l ipotesi che il valore atteso della lunghezza sia uguale alla lunghezza nominale (α = 0.05); (2) spiegare formalmente come si potrebbe sottoporre a test l ipotesi che la varianza nella lunghezza dei chiodi prodotti sia inferiore of uguale al valore 0.6 verso l alternativa che sia superiore al suddetto valore. Tabella 2: Lunghezze (cm) in un campione di 7 chiodi (D) In uno studio sulla relazione tra investimento pubblicitario, X, e fatturato aziendale mensile, Y, sono stati registrati i valori relativi ad un campione casuale di 5 aziende (vedi Tabella 3). Ipotizzando che il fatturato sia assimilabile ad una variabile casuale gaussiana: (1) Rappresentare graficamente i dati in tabella. (2) Assumendo che E[Y ] = β 0 + β 1 X effettuare la stima puntuale dei parametri. (3) Sottoporre a test l ipotesi che il coefficiente della spesa pubblicitaria sia nullo (α = 0.01). (4) Assumendo che un azienda investa milioni di lire in un certo mese, quale è l intervallo di confidenza (livello 0.95) per il valore del fatturato osservabile in tale mese? 11.2 Soluzioni (A) Pro1 = Pro2 = (B) M1I M3 : 0.4 M6 : 120 Tabella 3: Fatturato osservato (miliardi) per investimento effettuato (milioni). Fatturato Investimento

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