****** FUNZIONI MISURABILI E INTEGRAZIONE ******

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2 2 1. Fuzioi misurabili. I questo umero estediamo la ozioe di misurabilità alle fuzioi. Defiizioe 1. Siao u isieme o vuoto, Y uo spazio topologico e µ ua misura (estera) su. Ua fuzioe f : Y è µ-misurabile se per ogi isieme aperto U Y l isieme f 1 (U) è µ-misurabile. Osservazioe. Siao u isieme o vuoto, Y uo spazio topologico e µ ua misura (estera) su e f : Y. La famiglia A = {A Y : f 1 (A) è µ-misurabile} è ua σ-algebra. Se la fuzioe f è µ-misurabile, gli isiemi aperti di Y appartegoo alla famiglia A. Se si tiee coto che la famiglia {]α, [: α R} geera i R la σ-algebra di Borel, per le fuzioi a valori reali abbiamo la seguete defiizioe: Defiizioe 2. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su. Ua fuzioe f : R è µ-misurabile se l isieme {f > α} = f 1 (]α, [) è µ-misurabile per ogi α R. La stessa defiizioe vale per le fuzioi a valori reali estesi. Teorema 1. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su. Se f, g : R soo µ-misurabili, allora lo soo ache le fuzioi f + g, f 2, cf, fg, f +, f, f, max{f, g}, mi{f, g}, e f/g se g(x) 0 per ogi x. Teorema 2. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su. Se f : R è µ-misurabile per ogi, allora sup f e if f soo µ-misurabili. Dimostrazioe. Segue da {sup f > α} = {f > α} e {if f α} = {f α}. Corollario 1. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su. La fuzioe f : R è µ-misurabile se e solo se lo soo f + e f. Corollario 2. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su. Se f : R è µ-misurabile per ogi, allora lo soo ache lim sup f e lim if f.

3 3 Dimostrazioe. Segue da lim sup f = if (sup f k ) e lim if f = sup(if f k). k k Sia u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su. Ua fuzioe ϕ : [0, [ co ϕ = a iχ Ei, dove gli isieme µ- misurabili {E i : i = 1, 2,..., } soo ua partizie di, è detta semplice. Se a i a j o appea i j, allora la rappresetazioe della ϕ è detta stadard. Sussiste il seguete teorema di approssimazioe per le fuzioi misurabili. Lemma 1. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su e f : [0, ] ua fuzioe µ-misurabile. Esiste ua successioe crescete (ϕ ) di fuzioi semplici che coverge putualmete a f su. Se la f è limitata la covergeza è uiforme. Per ogi umero aturale cosideriamo gli i- Dimostrazioe. siemi Posto E,k = f 1 ([ k 1 2, k 2 [) k = 1, 2,..., 2 e F = f 1 ([, ]). ϕ = 2 k=1 k 1 2 χ E,k + χf, si verifica facilmete che (ϕ ) coverge putualmete a f su e che la covergeza è uiforme se la f è limitata. Sussiste il seguete teorema di prolugameto per fuzioi cotiue. Teorema 3. Siao K R u isieme compatto e f : K R m ua fuzioe cotiua. Esiste ua fuzioe f : R R m cotiua tale che f(x) = f(x) per ogi x K. Teorema 4 (Teorema di Lusi). Siao µ ua misura regolare di Borel su R e f : R R m ua fuzioe µ-misurabile. Sia A u sottoisieme µ-misurabile di R co µ(a) <. Per ogi ε > 0 esiste u compatto K A tale che (i) µ(a \ K) < ε (ii) f K è cotiua.

4 4 Dimostrazioe. Per ogi umero aturale i, sia {B ij } ua partizioe di R co B ij Boreliao e diam(b ij ) < 1/i per ogi j aturale. Sia A ij = A f 1 (B ij ), ciascuo di questi isiemi è µ-misurabile e A = A ij. Sia ν = µ A, ν è ua misura di Rado. Ciò assicura che i corrispodeza di ε > 0 esiste u isieme compatto K ij A ij co ν(a ij \ K ij ) < ε/2 i+j. Ne segue Da µ(a \ K ij ) = ν(a \ K ij ) ν( lim µ(a \ K ij ) = µ(a \ K ij ) (A ij \ K ij ) < ε 2 i. si deduce che esiste (i) tale che µ(a \ (i) K ij) < ε/2 i. Cosideriamo l isieme compatto D i = (i). Per ogi i e j sia b ij B ij fissato. La fuzioe g i : D i R m defiita da g i (x) = b ij per ogi x K ij (1 j (i)) è cotiua avedo gli isiemi K ij distaza positiva e f(x) g i (x) < 1/i per ogi x D i. Sia K = D i; l isieme K è compatto e µ(a \ K) µ(a \ D i ) < ε. Ifie da f(x) g i (x) < 1/i per ogi x D i, si deduce che g i coverge uiformemete alla fuzioe f su K e quidi f K è cotiua. Corollario 3. Siao µ ua misura regolare di Borel su R e f : R R m ua fuzioe µ-misurabile. Sia A u sottoisieme µ-misurabile di R co µ(a) <. Per ogi ε > 0 esiste ua fuzioe cotiua f : R R m tale che µ({x A : f(x) f(x)}) < ε. Teorema 5 (Teorema di Egoroff). Siao µ ua misura su R e f k : R R m (k = 1, 2,...) µ-misurabile. Sia A u sottoisieme µ- misurabile di R co µ(a) < e suppoiamo che f k g su A. Per ogi ε > 0 esiste u isieme µ-misurabile B A tale che (i) µ(a \ B) < ε, (ii) f k coverge uiformemete alla fuzioe g su B. Dimostrazioe. Fissato i N, sia H ik = {x : f k (x) g(x) > 2 i } e C ij = k j H ik. Per ogi j N risulta C i,j+1 C ij. L ipotesi che µ(a) < assicura che lim µ(a C ij) = µ(a ( C ij )) = 0. j

5 Fissato ε > 0 esiste (i) tale che µ(a C i,(i) ) > ε/2 i. Posto B = A \ C i,(i) risulta µ(a \ B) = µ(a ( C i,(i) )) µ(a C i,(i) ) < ε. Per cocludere basta osservare che f (x) g(x) 2 i per ogi i N, x B e (i). Così la successioe (f ) coverge uiformemete alla fuzioe g su B. 5

6 6 2. Itegrale di Lebesgue. L itegrale di Lebesgue si defiisce prima per le fuzioi semplici e successivamete per le fuzioi a valori o egativi. Sia u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su. Ua fuzioe ϕ : [0, [ co ϕ = a iχ Ei, dove gli isieme µ-misurabili {E i : i = 1, 2,..., } soo ua partizie di, è detta semplice. Se a i a j o appea i j, allora la rappresetazioe della ϕ è detta stadard. Defiizioe 3. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su e ϕ : [0, [ ua fuzioe semplice co rappresetazioe stadard ϕ = a iχ Ei. L itegrale di Lebesgue della ϕ è ϕdµ = a i µ(e i ). Si oti che l itegrale della ϕ o dipede dalla rappresetazioe utilizzata per defiirlo. Ifatti se ϕ = m b jχ Fj, dove gli isiemi µ- misurabili {F j : j = 1, 2,..., m} soo ua partizioe di, da m m m a i µ(e i ) = a i µ(e i F j ) = b j µ(e i F j ) = b j µ(f j ) segue quato detto. Proposizioe 1. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su e ϕ, ψ : [0, [ fuzioi semplici. (i) Se ϕ ψ, allora ϕdµ ψdµ, (ii) cϕdµ = c ϕdµ per ogi c 0, (iii) [ϕ + ψ]dµ = ϕdµ + ψdµ. Per ogi fuzioe f : [0, ] poiamo S f = {ϕ : [0, [ co ϕ f}. Defiizioe 4. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su e f : [0, ] ua fuzioe µ-misurabile. L itegrale di Lebesgue della f è dato da fdµ = sup ϕdµ. ϕ S f Se la fuzioe f : R è µ-misurabile lo soo ache le fuzioi f + e f. Se f + dµ e f dµ o soo etrambi uguali a, allora si poe fdµ = f + dµ f dµ.

7 L itegrale di Lebesgue su sottoisiemi µ-misurabili di si defiisce come segue. Sia A µ-misurabile, allora fdµ = fχ A dµ. A Proposizioe 2. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su e f, g : R due fuzioi µ-misurabili. (i) Se f g, allora fdµ gdµ, (ii) se A B soo µ-misurabili e f 0, allora fdµ fdµ, (iii) fdµ f dµ. A Dimostrazioe. (i) Se le fuzioi f e g soo a valori o egativi segue da S f S g. Per fuzioi a valori reali estesi si utilizzao le relazioi f + g + e g f. (ii) Si utilizza la (i). (iii) Si utilizza la (i). Proposizioe 3. Siao u isieme o vuoto, µ ua misura (estera) su e f : R + {0} ua fuzioe µ-misurabile. Allora f = 0 µ-q.o. se e solo se fdµ = 0. Proposizioe 4. Siao u isieme o vuoto, µ ua misura (estera) su e ϕ : [0, [ ua fuzioe semplice co rappresetazioe stadard ϕ = m a iχ Ei. Se A 1 A 2 A è ua successioe crescete di isiemi µ-misurabili tali che = A, allora ϕdµ = lim ϕdµ. A Dimostrazioe. Risulta m ϕdµ = a i µ(e i ) = La tesi segue osservado che B m a i µ( lim µ(e i A ) = µ( (E i A ). (E i A )). Teorema 6 (Teorema della covergeza mootoa). Siao u isieme o vuoto, µ ua misura (estera) su e f : [0, [ ua 7

8 8 fuzioe µ-misurabile. Se f 1 f 2 f, allora lim f dµ = lim f dµ. Dimostrazioe. Poiamo f = lim f. Si deduce facilmete che f dµ fdµ. lim Per verificare la disuguagliaza opposta, fissiamo t ]0, 1[, ϕ S f e cosideriamo gli isiemi µ-misurabili Risulta A = {x : f (x) tϕ(x) 0}. A 1 A 2 A e = Di cosegueza tϕdµ = lim tϕdµ lim f dµ lim f dµ A A e quidi fdµ lim f dµ. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su e f : R ua fuzioe µ-misurabile. La f è itegrabile secodo Lebesgue se f dµ <. Segue che la fuzioe f è itegrabile secodo Lebesgue se e solo se lo soo f + e f. Osservazioe. Siao u isieme o vuoto, µ ua misura (estera) su e f : [0, ] ua fuzioe µ-misurabile. Se la fuzioe f è itegrabile secodo Lebesgue, allora µ({x : f(x) = }) = 0. Utilizzado la parte positiva e la parte egativa di ua fuzioe si deduce che quato detto sussiste ache per le fuzioi a valori reali estesi. Teorema 7. Siao u isieme o vuoto e µ ua misura (estera) su e f, g : R itegrabili secodo Lebesgue, allora (i) cfdµ = c fdµ, A.

9 9 (ii) (f + g)dµ = fdµ + gdµ. Dimostrazioe. Proviamo la (i). Se c 0, allora e quidi cfdµ = Se c = 1, allora e quidi (cf) + = cf + e (cf) = cf cf + dµ cf dµ = c f + c f = c fdµ. ( f) + = f e ( f) = f + fdµ = f dµ Ifie se c < 0 da cf = ( c f) segue cfdµ = c fdµ = c f + dµ = fdµ. fdµ = c fdµ. Proviamo la (ii). Se f, g 0, allora esistoo ϕ f, ψ g, co (ϕ ), (ψ ) successioi di fuzioi semplici (µ-misurabili). Segue che ϕ + ψ f + g. Utilizzado il teorema della covergeza mootoa, deduciamo (f + g)dµ = lim (ϕ + ψ )dµ = lim (ϕ + ψ )dµ = lim ( ϕ dµ + ψ dµ) = fdµ + gdµ. Ifie se f, g soo a valori reali estesi si osserva che: e di cosegueza f + g = (f + g) + (f + g) = f + f + g + g (1) (f + g) + + f + g = (f + g) + f + g +. Si oti che la fuzioe f + g è itegrabile secodo Lebesgue poiché (f + g) + f + + g +, (f + g) f + g.

10 10 Le fuzioi che figurao ella (1) soo a valori o egativi e itegrabili secodo Lebesgue e quidi (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. Da questa uguagliaza si deduce che (f + g)dµ = fdµ + gdµ. Lemma 2 (Lemma di Fatou). Sia f : [0, ] ua fuzioe µ-misurabile per ogi N, allora lim if f dµ lim if f dµ. Dimostrazioe. Sia g = if k f k f per ogi N. Da lim if f = sup if f k, k deduciamo che g lim if f. Per cocludere si utilizza il teorema della covergeza mootoa che implica lim if f dµ = lim g dµ = lim if g dµ lim if f dµ. Teorema 8 (Teorema della covergeza domiata). Siao u isieme o vuoto, µ ua misura (estera) su e f : R ua successioe di fuzioi µ-misurabili. Se f f su ed esiste ua fuzioe itegrabile g : R tale che f g, allora fdµ = lim f dµ. Dimostrazioe. Si utilizza il Lemma di Fatou. Teorema 9 (Teorema di Beppo Levi). Sia f : [0, ] ua fuzioe µ-misurabile per ogi N, allora f dµ f dµ.

11 Dimostrazioe. Si utilizza il teorema della covergeza mootoa. f dµ = f k dµ lim = lim = lim k=1 k=1 k=1 f k dµ f k dµ = f dµ. Proposizioe 5. Sia f : R ua fuzioe itegrabile secodo Lebesgue e A, B due isiemi µ-misurabili co A B =, allora fdµ = fdµ + fdµ. A B Dimostrazioe. Si ha fdµ = f(χ A B )dµ = f(χ A + χ B )dµ A B = fχ A dµ + fχ B dµ = fdµ + A B A B fdµ. Proposizioe 6. Sia f : R ua fuzioe itegrabile secodo Lebesgue e (A ) 2 ua successioe disgiuta di isiemi µ-misurabili, allora fdµ = fdµ. A A Dimostrazioe. Da χ A = χ A, se la fuzioe f è a valori o egativi, si deduce che fdµ = fχ A dµ = f χ A dµ A = fχ A dµ = fχ A dµ = A fdµ. 11

12 12 Se la f è a valori reali fdµ = A f + dµ A f dµ A = = = f + dµ A f dµ A ( f + dµ A f dµ) A fdµ. A La fuzioe f deve essere itegrabile secodo Lebesgue? Proposizioe 7. Se f : [a, b] R è limitata e itegrabile secodo Riema, allora è itegrabile secodo Lebesgue e b f(x)dx = fdl. a Dimostrazioe. Dalla defiizioe di itegrale di Riema segue che esistoo due successioi (l ) e (u ) di fuzioi costati a tratti tali che l f u per ogi N e lim b a l dx = b a [a,b] f(x)dx = lim b a u dx. Cosideriamo le fuzioi L-misurabili L, U : [a, b] R co risulta e quidi Allora b a L = sup l e U = if u, l L f U u l dx [a,b] LdL [a,b] [a,b] N UdL (U L)dL = 0 b a u dx. e così f = U = L L q.o. i [a, b] e ciò implica che la f è L-misurabile ed essedo limitata è itegrabile secodo Lebesgue. Ovviamete risulta b f(x)dx = fdl. a [a,b]

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