Tecniche di approssimazione Differenze finite

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1 Tecnche d approssmaone Derene nte

2 Derene nte t Il metodo delle derene nte permette d trasormare un problema derenale n uno algebrco approssmato. Lmtando nalmente l problema al caso d una unone ncognta ad una sola arable, tale unone ene rappresentata con lnseme l'nseme de alor che essa assume n un opportuno nseme d punt del domno]a,b[; tal alor rappresentano le ncognte del problema algebrco approssmante. ( A - + B pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

3 Il metodo s può denre semplce e, per cert ers, anche ntuto; s tratta natt d sostture alla derata, denta come lmte d un rapporto ncrementale, l rapporto ncrementale stesso. Così, s sosttuscono nell equaone derenale alle derate rapport ncremental calcolat tramte alor della unone ncognta n alcun punt del ldomno d ( ( ( ( d - + pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 3

4 Per denre n modo raonale l approssmaone della derata della unone nel punto del domno, s determn n modo approssmato l alore d ( + sluppando la unone ( n sere d Talor, a partre dal punto ed arrestandos al temne lneare: ( ( da tale relaone è possble rcaare la ormula approssmata della derata: ( ( che ornsce la cosddetta ormula alle derene nte n aant. pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

5 Analogamente, s determn ora n modo approssmato l alore d ( - sluppando la unone ( n sere d Talor, a partre dal punto ed arrestandos al temne lneare: ( ( da tale relaone è possble rcaare la ormula approssmata della derata: ( ( che ornsce la cosddetta ormula alle derene nte all ndetro. L utlo d tal ormule, nelle pratche applcaon può rsultare non sempre completamente soddsacente. pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 5

6 Per mglorare l approssmaone del metodo, s determn l alore d ( + edlalored( - sluppando la unone (nsered Talor, a partre dal punto ed arrestandos al termne quadratco: ( ( ( ( pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 6

7 sottraendo membro a membro e sommando membro a membro le due equaon ottenute dalla sluppo n sere al secondo ordne s ottene: ( ( ( ( ( da cu s rcaa: ( ( ( ( ( che ornscono le ormule alle derene nte centrate della derata prma e seconda. L utlo d tal ormule, nelle pratche applcaon, conduce a rsultat certamente pù soddsacent d quelle ottenute precedentemente. pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 7

8 Un ulterore mgloramento delle ormule può essere ottenuto determnando alor d ( +, ( +, ( - e ( - tramte sluppo n sere d Talor della unone (, a partre dal punto ed arrestandos al termne quartco: ( ( ( ( ( ( ( pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 8

9 Rsolendo l sstema d equaon rspetto ad alor delle drate prma, seconda, tera e quarta della unone, s ottene: ( 8 ( 8 ( ( 3 ( 6 ( 3 ( 6 ( ( ( ( ( ( 3 3 ( ( 6 ( ( ( L utlo d tal ormule, nelle pratche applcaon, conduce a rsultat molto soddsacent. pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 9

10 ' '' O EA F Equaone del secondo ordne EA += equaone d campo ( = EA (L = F condon al contorno EA + Condon al contorno pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

11 Equaon Equaon EA c.c. 3 EA EA 3 EA campo d eq. EA EA EA c.c. EA F EA 8 6 pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

12 Sstema d equaon Sstema d equaon EA / EA EA EA / / / 3 A EA EA / / / 5 EA EA / / / 7 6 EA F / 8 Matrce de coecent a banda. All dl d dl l d All aumentare del numero de nod la soluone numerca tende a quella analtca. pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

13 E d l t d Equaone del quarto ordne Sa g( = ( ( ( ( g g( g( g g g( g( g ( ( ( ( ( ( 3 ( ( ( ( pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 3

14 ( ( ( ( ( ( g g( g( g( g ( ( ( ( ( ( ( ( 6 ( ( ( ( ( ( ( ( 6 ( ( ( pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

15 q '' ' q EI F O 3 ''' '''' EI q= equaone d campo EI - q = equaone d campo ( = condon al contorno ( = -EI (L = -EI (L = F EI q 6 EI (L F EI + Condon al contorno pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 5

16 Equaon 3 Equaon q~ 6 q~ q~ 6 q~ 6 q q~ 6 q~ 6 q 6 q q EI F ~ q 6 F F EI con pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 6

17 Sstema d equaon 6 3 q 6 q 6 5 q 6 6 q 6 7 q 6 8 q 9 3 F pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 7

18 Programma n MAPLE V pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 8

19 pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 9

20 pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

21 pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

22 Conronto de rsultat ottenut ncrementando l numero de nod Blue = 3 nod Nero = 5 nod Verde = nod Rosso = analtca pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

23 Stabltà dell equlbro S consder una trae soggetta a carco assale n equlbro n una conguraone deormata. Le equaon d equlbro della trae nella conguraone deormata ornscono: EI N N q Nel caso specco s pone: q N F L N per cu s ha: M N EI F L equaone derenale a coecent non costant. T T+dT +d M+dM N F pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 3

24 L equaone derenale, rsolta utlando l metodo delle derene nte, s trasorma per l nodo -esmo nell equaone algebrca: 3 n- n- n EI 6 F L Il problema è completato da opportune condon al contorno: M EI L n n nn M L EI pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

25 In denta s gunge al sstema d equaon omogeneo: M M M n M M... n n M n Mn Mnn n termn M j della matrce sono unon, n partcolare, della ora F e del carco assale dstrbuto. Volendo determnare l alore crtco d F s determna l alore d F che annulla l determnante della matrce M; analogamente, olendo determnare l alore crtco d s determna l alore d che annulla l determnante della matrce M. pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 5

26 Derene nte per l problema d Laplace D

27 Il problema d Neumann per l equaone d Laplace A n A su t n (t tangente 3 3 n n n n 3 t t t t pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 7

28 n n n 3 n t 3 pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 8

29 Derene nte pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 9

30 n: nod n A lungo (8 n: nod n A lungo ( nn = n + ( nn = n + ( ntot = nn nn ( = - + = + - = - nn + = +nn

31 Equaone d campo Equaone d campo nn nn nn nn Nota: nod,, e non sono necessar pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 3

32 nn nn Questa equaone ene scrtta per tutt nod del campo: =..9,..9, 3..39,..9, 5..59, 6..69, 7..79, 8..89, 9..99,..9 oero è scrtta n n n (8 nod pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 3

33 Equaon al contorno Lat /3 nn nn Per n (8 nod: =, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 3,, 5, 6, 7, 8, 9 Lat / Per n ( nod: =,, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 39, 9, 59, 69, 79, 89, 99, 9 S scrono così (n+n ( (36 equaon al contorno. Ulteror equaon s scrono annullando alor d ne nod tt ntrodott: pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 33

34 Il problema d Neumann per l equaone d Laplace ammette una soluone unca denta a meno d una costante. Cò sgnca che l sstema d equaon algebrche ottenuto a derena nte, costtuto da ntot equaon n ntot ncognte, ha rango par a ntot-. Per determnare la soluone n orma unoca è necessaro assegnare l alore d n un punto. Cò può, ad esempo, essere eettuato sosttuendo all equaone d campo determnata nel nodo np=ntot-nn- la seguente condone np =. pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 3

35 Prandtl: l problema d Drchlet per l equaone d Laplace 3 F G n A F su M t A FdA A F GF F n A F su A M t FdA G FdA A A pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 35

36 Derene nte F F F F F F F + F F F - + F F F F - pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 36

37 n: nod n A lungo (8 n: nod n A lungo ( - = - + = + - = -n + = +n

38 Equaone d campo F F F F F F nn nn Questa equaone ene scrtta per tutt nod ntern del domno, oero è scrtta n (n- (n- = 8 nod (8 Equaon al contorno F S scrono così (n+n- = 3 equaon al contorno. (3 (8 pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 38

39 B A Nota: F_AB F_AA B A B Fdd A (A-B (A-B (F_AB+F_AA+F_BB+F_BA Posto: F_BB A= B= + A= B= +n F_BA A B pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 39

40 Il problema della pastra nlessa (Krchho-Loe b appoggata sul contorno p D n A su A M M b M M a a pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

41 p D Derene nte pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

42 g g g g g g g g g pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

43 n: nod n A lungo (8 n: nod n A lungo ( nn = n + ( nn = n + ( ntot = nn nn ( = - + = + - = - nn + = +nn

44 Equaone d campo (6 8=8: solo nod ntern 6 6 q D pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture

45 Equaon al contorno =, =a =, =b =3 equaon = M = =a M = 8+8++=36 equaon = M = =b M = Nod nutl equaon equaon pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 5

46 Caratterstche Semplctà Inaccuratea nella determnaone delle derate Dcoltà nell mporre le condon al contorno Dcoltà nel rappresentare domn compless Dcoltà nel realare dscretaon non rettangolare e non unorm pro. Elo Sacco Meccanca Computaonale delle Strutture 6

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