Equazioni differenziali II. Elisabetta Colombo

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1 Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico ,

2 Eq. diff.ii Eq. diff.ii 1 2 I

3 differenziali Esercizio Quali delle seguenti funzioni sono soluzioni della seguente equazione differenziale y x + 1 y = 0 I (a)y = x 2 + 2x (b)y = x + 1 (c)y = x 1 (d)y = (x + 1) e x (a) y = x 2 + 2x y 1 = 2 (x 2 +2x) (2x + 2) = 1 soluzione (x 2 +2x) (x + 1) = x+1 y è

4 differenziali I (b)y = x + 1 y = 1 = x+1 x+1 = x+1 y è soluzione (c)y = x 1 y = 1 diverso da x+1 y = x+1 x 1 Non è soluzione (d)y = (x + 1) e x da x+1 y = x+1 (x+1)e x y = e x + (x + 1) e x e x (2 + x), diverso = e x Non è soluzione

5 differenziali o ( della ) Anche in questo caso la variabile indipendente è il tempo t. La funzione y(t) indica la al tempo t mentre y (t) è la velocità di crescita della (nella schematizzazione stiamo forzando il problema, la è una grandezza discreta e in crescita discreta mentre stiamo assumendo una crescita continua). L equazione differenziale che modella il problema è: I y (t) = ay(t) con a costante negativa (decrescita) o positiva (crescita) Come abbiamo visto le soluzioni di y (t) = ay(t) sono del tipo y(t) = Ae at con A costante arbitraria.

6 differenziali I o (diffusione di un epidemia) La variabile indipendente è sempre il tempo t, abbiamo un modello in cui la velocità di diffusione è proporzionale sia alla porzione di malata y(t), sia la porzione (1 y(t)) di non contagiata. (Per semplificare si è preso 1 per l intera ). L equazione che regola questo modello è detta equazione logistica ed è del tipo: y (t) = ay(t) (1 y(t)) con a costante che rappresenta il tasso di diffusione dell epidemia. La soluzione generale dell equazione logistica assume la 1 forma y(t) = 1 + Ae at con A costante arbitraria

7 differenziali I Per verificare che si tratta di una soluzione procediamo come sempre derivando. Derivo y(t) = Ae at : y (t) = 1 (1+Ae at ) 2 Aae at = a ( a Ae at ) ( 1 ( Ae at ) Ae at = ay(t) (1 y(t)) ) ( ) Ae at 1 + Ae at =

8 differenziali I o () Due organi diversi di uno stesso individuo (ad esempio fegato e cervello) crescono con velocità diverse ma esiste una relazione tra le velocità di crescita dei due organi. Indichiamo con x(t) e y(t) i volumi dei due organi all istante t. supponiamo siano proporzionali i rapporti tra la crescita dei volumi e i volumi stessi, per un fattore k > 0 : y (t) y(t) = k x (t) x(t) cioè y (t) x (t) = k y(t) x(t) invertendo la funzione x(t) in un intorno di un certo t 0 (se x (t 0 ) diverso da 0 si può) si ha y(x) = y(t(x)) e y (x) = y (t)t (x) = y (t) x (t)

9 differenziali I da cui, considerando x la variabile indipendente: y (x) = k y x La soluzione è y(x) = Ax k con A costante arbitraria. Infatti y (x) = kax k 1 = k Ax k x = k y(x) x.

10 differenziali Esercizio Stabilire per quali valori di A e B la funzione y(x) = Ae 1 5 x + B è soluzione dell equazione differenziale y (x) = 1 (y 18). 5 I Deriviamo: y (x) = 1 5 Ae 1 5 x da cui 1 5 Ae 1 5 x = 1 5 ( ) Ae 1 5 x + B 18 per cui necessariamente A = 0, B = 18

11 differenziali I Vogliamo ora affrontare il problema di determinare le costanti che appaiono nelle soluzioni delle equazioni differenziali che abbiamo esaminato fino ad ora. Un equazione differenziale è detta in forma normale se la derivata di ordine maggiore si scrive come funzione di x, di y e delle derivate di ordine inferiore. o (a) L equazione y = e ax y è in forma normale (b) L equazione cos (2x + y ) = y NON è in forma normale

12 differenziali I Vediamo il problema dell unicità delle soluzioni delle equazioni differenziali del primo ordine in forma normale o y = 2xy Assegnati 2 arbitrari valori alle variabili x e y otteniamo il valore corrispondente della derivata di y come funzione di x e y. Ad esempio se (x, y) = (2, 3) abbiamo y = 12. Quindi una eventuale funzione soluzione dell equazione differenziale con grafico passante per (2, 3) deve avere coefficiente angolare pari a 12. NOTA Le soluzioni dell equazione sono quindi tutte e sole le funzioni il cui grafico raccorda le tangenti. Abbiamo perciò informazioni sull andamento della funzione soluzione senza conoscerla.

13 differenziali I o Data l equazione y = e 2x y 2, certamente una sua soluzione sarà sempre non decrescente perchè la sua derivata non è mai negativa. L esistenza e unicità di una soluzione è garantita dal Teorema(di Cauchy) Sia y = F(x, y) un equazione differenziale del primo ordine in forma normale e sia (x 0, y 0 ) un punto nell insieme di definizione F(x, y). Allora per (x 0, y 0 ) passa una e una sola curva che sia il grafico di una soluzione NOTA (a) L esistenza ed unicità è stabilita localmente: nel punto (x 0, y 0 )! (b) La coppia di numeri (x 0, y 0 ) è detta la condizione iniziale

14 differenziali I La ricerca della soluzione particolare dell equazione differenziale è detto problema di Cauchy e si usa scrivere { y { = F(x, y) y o = F(x, y) y(x 0 ) = y 0 (x 0, y 0 ) Intuitivamente le curve che sono soluzione dell equazione differenziale possono essere pensate come traiettorie di un punto che si muove, tali che ogni punto ha un unica traiettoria e 2 traiettorie non si incontrano mai. Regola Data la soluzione generale dell equazione differenziale y = F(x, y), per determinare la soluzione particolare soddisfaciente a certe condizioni (x 0, y 0 ) basta sostituire i valori x 0, y 0 nella soluzione generale e calcolare il valore della costante.

15 differenziali I o Trovare la soluzione particolare dell equazione y = 2xy che soddisfa la condizione iniziale y(1) = 4. Abbiamo già visto che la soluzione generale è la funzione y = Ce x 2,sostituendo x = 1 e y = 4 si ha 4 = Ce 1 da cui C = 4 e quindi la soluzione particolare è y = 4e e x 2 = 4e 1 x 2 o Supponiamo che la crescita della di un dato territorio sia una funzione che soddisfa l equazione differenziale y = 2y. Supponiamo di voler trovare la soluzione particolare sotto l assunzione y(0) = La soluzione generale abbiamo visto essere la funzione y = Ce 2x, sostituendo x = 0 e y = 10 3 si ha 10 3 = Ce 0 da cui C = 10 3 quindi la soluzione particolare è y = 10 3 e 2x

16 differenziali I NOTASe ora si studiano equazioni differenziali in forma normale ma di ordini superiori al primo, in generale la condizione y(x 0 ) = y 0 non è sufficiente per individuare un unica soluzione particolare. Infatti abbiamo visto esempi di soluzioni di equazioni del secondo ordine che ammettono soluzioni generali che dipendono da 2 parametri. Nel caso di ordine 2 abbiamo bisogno quindi anche di y (x 0 ) = y 0. Teorema (di Cauchy) Sia y = F(x, y, y ) un equazione differenziale di ordine 2 in forma normale e sia ( x 0, y 0, y 0 ) un punto nell insieme di definizione di F(x, y, z). Allora per (x 0, y 0 ) passa una e una sola curva che sia il grafico di una soluzione che abbia in tale punto pendenza y 0.

17 differenziali Il corrispondente problema di Cauchy si usa scrivere y = F(x, y, y ) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 I

18 differenziali I o Trovare la soluzione particolare dell equazione y = g che soddisfa le condizioni y(0) = 15 e y (0) = 2. Abbiamo già visto che la soluzione generale è la funzione y = 1 2 gx 2 + Ax + B, quindi y = gx + A. Facendo le sostituzioni abbiamo { { 15 = 1 2g0 + A0 + B 15 = B da cui quindi la 2 = g0 + A 2 = A soluzione particolare è la funzione y = 1 2 gx 2 2x + 15

19 differenziali I o Data l equazione differenziale xy = 1 3 y (legge allometrica). (a) Verificare che y = C 3 x è soluzione (l abbiamo già visto): y = 1 3 Cx 2 3 da cui xy = x 1 3 Cx 2 3 = 1 3 Cx 1 3 = 1 3 y (b) Trovare la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale y(8) = 3 : 3 = C 3 8 = C2 da cui C = 3 2 e quindi la soluzione particolare è y = x

20 differenziali I Esercizio Data l equazione differenziale y = 2y + 3 (a) Verificare che ogni funzione del tipo y = Ce 2x è soluzione: y = 2Ce 2x = 2 ( Ce 2x + 3 2) = 2y + 3 (b) Trovare la soluzione particolare il cui grafico passa per il punto ( 2, 3 ) = Ce4 da cui C = 0 e quindi la soluzione particolare è y = 3 2

21 differenziali I Esercizio Data l equazione differenziale y y = 1 2x (a) Verificare che ogni funzione del tipo y = x + x 2 + Ae x + B è soluzione: y = 1 + 2x + Ae x, y = 2 + Ae x quindi y y = 2 + Ae x (1 + 2x + Ae x ) = 1 2x (b)trovare la soluzione particolare che soddisfa le condizioni y(1) = 2 e y (1) = 4 Facendo le sostituzioni abbiamo { 2 = Ae 1 { + B B = Ae 4 = Ae 1 cioè 1 = Ae { B = 1 A = e 1 da cui quindi la soluzione particolare è y = x + x 2 + e x 1 1

22 differenziali I Esercizio (a) Verificare che per qualunque valore di C, la funzione y(x) = 5 2 Ce 2x è soluzione dell equazione differenziale y = 2y + 5. Deriviamo: y (x) = 2Ce 2x = 2 ( Ce 2x ) = 2y + 5 (b) Trovare la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale y(0) = 1 sostituendo: 1 = 5 2 Ce 2 0 da cui C = = 3 2. Quindi la soluzione che soddisfa le condizioni è: y(x) = e 2x.