PRICING & HEDGING INTEREST RATE DERIVATIVES. Marco Bianchetti Financial Engineering Derivatives Modelling

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1 PRICING & HEDGING INERES RAE DERIVAIVES Marco Bianchei Financial Engineering Derivaives Modelling Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005

2 Summary Definiion of he business problem Example: Schermo oale One model Basic assumpions Soluion in closed form Calibraion Resuls Forward curve & pricing Greek leers & bookeeping From heory o rading he process & he characers Organisaion Compuing Plaforms, echnologies, archiecures References Some mah will be necessary... Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 2

3 Definiion of he business problem A) Example: Schermo oale - ermshee Deal characerisics: sar: 30 Jan mauriy: 30 Jan (3Y) nominal: 2 x 10 8 underlying CPI: HICP unrevised (Bloomberg: CPALEMU) reference CPI fixing : Oc Counerpary A pays o counerpary B: he income... upfron: XXX % (unknown o be deermined) I coupon: 3.5% (% annual, ac/ac, unadj.) II+III coupon: 0.80% + MAX[0%; 100% x (HICP f /HICP i -1)] (idem) Counerpary B pays o counerpary A: Euribor 3M + 24 bps (% quarerly, ac/360, adj.) Here is Srucuraion : creare srumeni complessi a parire da maoni semplici Payoff = Plain vanilla swap + inflaion-linked linked swap + opzione and here is he risk! Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 3

4 Definiion of he business problem B) Schermo oale - inflaion-linked cashflows Inflaion-linked linked cashflows mauriy cashflows: 30 Jan. 2005: 30 Jan. 2006: X 1 0 X Max oc. 05 1; 0 X oc. 04 Max oc. 04 ; Xoc. 03 Expeced cashflows a selemen dae (NPV): 30 Jan. 2005: 30 Jan. 2006: Expeced value Expeced value Now we need a model! ( ) 30 / 01 / 05 X / 01 / 05 d Oc. sel / / E sel + Esel [ opion] XOc. 03 ( ) 30 / 01 / 06 X / 01 / 06 d Oc. sel / / E sel + Esel [ opion] XOc. 04 Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 4

5 One model A) Basic assumpions 112,0 Assumpions on he underlying CPI X : HICP INFLAION INDEX 111,0 non-radable 110,0 109,0 monhly fixing wih lag δ 108,0 sochasic coninuous process 107,0 BS-ype diffusion dynamic: 106,0 105,0 dy 104,0 = µ () d + σ () dw, Y = X δ Y drif volailiy brownian moion gen-00 mar-00 mag-00 lu g -0 0 s e -0 0 nov-00 gen-01 mar-01 mag-01 lu g -0 1 s e -0 1 nov-01 gen-02 mar-02 mag-02 lu g -0 2 s e -0 2 Assumpions on he ineres rae r : a bank accoun B(), a spo Maringale measure and a shor rae r s.. >, δ c >δ: Hull-Whie diffusion dynamic: Exp. value a ( ) 1 E () B( ) ( ) d ( ) = = E exp rudu B P,δ c = () ( ) B E exp r udu X δ c forward conrac ( ) dr = κ ϑ r d + ξdw shor rae unknown mean reversion volailiy brownian moion Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 5

6 One model B) Soluion in closed form from spo o -forward measure: N sochasic facors dy = µ () d+ σ () dw, Y µ () = µ () ξσ () B(, ), ( ) dw = dw +ξ B, d Zero coupon price: Forward YoY coupon price: 1 ( δc δ ) P(, δ c) = d( ) E X X µ ( udu ) δ 1 δ c X = D ( ) e 1 δc X δc X δ P S,, c d E X S δc c ( δ ) = ( ) 1 End fixing, unknown Sar fixing, known Sar & end fixing, unknown ( δ ) ( ) ( δ ) ( ) Las published fixing, known Convexiy adjusmen, dipends on volailiy only P, c D S C( S,, c, ) δ σ = d ( ) e 1 P S, c D Call/pu opion price: Floored YoY coupon price: ( ) ( ) ( ) 0 P, δc,k, χ = d Max χ X,K ; δ =... c X δc P( S,, δc,k) = d( ) Max 1,K =... XS δc ( χ =±1) Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 6

7 One model C) Calibraion [1] 1s sep: shor rae calibraion: nominal mk raes [r mk θ] nominal mk cap/floor vols [σ cap/floor κ, ξ] 2nd sep: CPI volailiy calibraion: mk YoY inflaion raes [R YoY σ()] 3rd sep: CPI drif calibraion: mk ZC inflaion raes [R ZC µ()] Boosrapping! Oupu: shor rae mean reversion & volailiy (H.W.) + CPI drif & volailiy (B.S.) Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 7

8 One model D) Calibraion [2] Forecas CPI (Econ. Dep.): shor erm curve (1M-12M) 12M) Seasonaliy effecs Inflaion Cap/Floor Volailiy 2.30%-2.50% 2.50% 2.30% 2.10% 1.90% 1.70% 1.50% 1.30% 1.10% 0.90% 0.70% 0.50% 1Y Mauriy 3Y 5Y 7Y Srike %-2.30% 1.90%-2.10% 1.70%-1.90% 1.50%-1.70% 1.30%-1.50% 1.10%-1.30% 0.90%-1.10% 0.70%-0.90% 0.50%-0.70% CPI fixing Fig. 1: CPI Seasonaliy nov-03 dic-03 gen-04 feb-04 mar-04 apr-04 mag-04 giu-04 lug-04 ago-04 se-04 o-04 nov-04 HICP ex ob Monhly Inflaion 0.60% 0.40% 0.20% 0.00% -0.20% -0.40% Mk inflaion cap/floor calibraion: wo regimes marke -> wo facor model Monhly Inflaion Rae 9Y Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 8

9 Resuls A) Forward curve & pricing 2.5% Inflaion forward forward (%, annual) 2.3% 2.1% 1.9% 1.7% 1.5% Oc-03 Oc-04 Oc-05 Oc-06 Oc-07 fixing dae Oc-08 Oc-09 Oc-10 No seasonaliy! Yes seasonaliy! Expeced values a selemen dae 30 / 01/ 05 X / / E Oc. sel + Esel opion XOc. 03 [ ] 30 / 01/ 06 X / / E Oc. sel + Esel opion XOc. 04 [ ] Once he model is defined and calibraed, we are able o calculae expeced values Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 9

10 Resuls B) Greek leers & bookeeping Inflaion dela (double): Nominal dela: dnpv NPV NPV k NPV ξ = dri ri k ri ξ ri NPV σα σα k σα ξ N σα ξ + IPS ri k ri ri α = 1 NPV µ α µ α k µ α ξ + + µ α ξ ri k ri ri Nominal cap/floor vega:... hea (ime value):... dnpv NPV σ α NPV µ α = ZC N + ZC ZC dr = 1 σ α µ j a R j α R j Expeced Vs realized P&L Node Mauriy ZC swap curve YoY YoY swap curve 1M 12/01/ M 11/02/ M 11/03/ M 13/04/04 1,486-1,407 5M 11/05/04 3,456-3,168 6M 11/06/04 10,056-5,337 7M 12/07/04 8,541-7,635 8M 11/08/04 16,278-9,996 9M 13/09/04 12,305-12,613 10M 11/10/04 15,390-14,870 11M 11/11/04 16,833-17,401 12M 13/12/ ,985 1Y 13/12/04 19, Y 12/12/05-12, Y 11/12/06 1, Y 11/12/07-4, Y 11/12/ ,161 6Y 11/12/09 1,197-1,553 7Y 13/12/10-7,407-1,934 8Y 12/12/11 9,148-2,299 Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 10

11 Resuls C) Expeced Vs realised porfolio P&L Realised profi & loss: Expeced profi & loss: real real f i f i NPV = NPV NPV > exp exp f NPV = NPV NPV > i f i Exp. inflaion P&L: + Exp. nominal P&L: NPV = R = R + R NR NR NPV NPV ZC NPV YoY j ZC j YoY j j= 1 Rj j= 1 Rj Rj N r NPV f NPV = r, r = rk r r k = 1 k i k i k + Exp. Vega P&L + exp. hea P&L +... oal expeced P&L Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 11

12 From heory o rading A) he process &...he characers Map business ino equaions Scan lieraure Build a model Sofware implemenaion Prooypes release & es Documenaion Keyword: ime o marke Sofware engineering on arge plaform Documenaion User raining & help desk Marke evoluion... Keyword: indusrial sandards Financial Engineering, Fron Office, Economic Dep., Risk Managemen, Financial Conrol, Back Office, I, Organisaion, Managemen (CNP) Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 12

13 From heory o rading B) Organisaion Fig. 1: Inflaion o Be Il F.O prezza sul proprio Applix le nuove operazioni. A fine giornaa il F.O. inserisce su Kondor+ le operazioni. Il broker comunica via mail i dai di mercao sugli srumeni quoai sulll inflazione Il F.O invia una con un file che ripora l operazione inseria su Applix Il Fin.Con. copia sul proprio sisema Applix/CS++ l operazione comunicaa dal F.O. Il B.O. riceve la fiche caracea che descrive l operazione e la impua in SMD F.O. B.O. Il FinCon. salva la curva di rivaluazione e copia i dai sull inflazione inserii da FO sul suo sisema Applix, spunandoli con quelli del broker. FinCon Enro la maina successiva lancia la procedura di rivaluazione aprendo i book sul proprio sisema Applix/CS++ Aivazione della procedura di produzione ed expor dei file conenene i MM delle op. Expor del file di eso conenene NPV Impor sulla abella ExernalMarkeVal ue di Kondor+. Alimenazione linee di credio su Kredine Applicazioni Impor del file su CORINO Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 13

14 From heory o rading C) Compuing Problem: performances Soluions: improve he model opimise he sw empower he hw Improve compuing echnology Grid compuing = disribued compuing + parallel compuing Clien 1 Job 1 Clien 2 Job 2 Clien N Job N Server ask manager GRID Engine 1 ask 1 Engine 2 ask 2 Engine M ask M Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 14

15 From heory o rading D) Plaforms, echnologies &... Spreadshee/C ++ developmen: flexible as prooype poor performance and sabiliy scaling high operaional risk no suppored Inegraion wih sandard plaforms (SP): SP (weak, srong ) suppored (consulans) rigid & expensive echnological issues mus no be underesimaed... In house developmen of proprieary plaforms: in house developmen flessibile for produc innovaion expensive Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 15

16 From heory o rading E) archiecures Clien - server archiecures: Daa conribuor Clien (GUI) Daa enry Producion DB server Real ime Marke Daa Business Logic Pricing Server HP server Applicaion server EJB Engine Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 16

17 References [1] R. Jarrow, Y. Yldirim, Pricing IPS and Relaed Derivaives Using an HJM Model, Journal of Financial and Quaniaive Analysis, Vol. 38, No. 2, June 2003 (hp://sominfo.syr.edu/facsaff/yildiray) [2] F. Mercurio, Pricing of inflaion-linked derivaives, Quan Congress Europe 2004, London, 8-9 November 2004 (hp://www.fabiomercurio.i) [3] Caboo Inernal Repors: M. Pucci, Opions on non-radable Indexes, 3 aprile 2003 M. Bianchei, Sisema Inflaion-Linked Derivaives: implemenazione, marzo 2003 D. Poggi, Gesione del Book Inflaion-Linked Derivaives - procedura operaiva, aprile Banca Caboo Financial Engineering Uni: Derivaives Modeling: M. Bianchei, C. Duminuco, S. Frasson, M. Pucci Derivaives echnology: V. Miccoli, A. Marcarini, L. Perini, S. Ramolfo, S. Mancarella, E. Piccolini Corso di Ala Formazione in Finanza Maemaica - Bologna, 10 febbraio 2005 p. 17

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