Nome.Cognome classe 5D 21 Febbraio Verifica di matematica. (punti 1.5) x è sempre decrescente in R? (punti 1)

Transcript

1 Nome.Conome clsse 5D Febbrio Veriic di mtemtic Dt l unzione: ke k k per < per punti.5 Dimostr che k R è continu e derivbile R b Trov il vlore di k tle che l tnente l rico dell unzione nel suo punto di sciss bbi coeiciente nolre e rppresent ricmente. c Applic il teorem di Lrne li intervlli e nelle ipotesi del punto b. Di l deinizione di unzione decrescente. Per quli vlori di k l unzione k è sempre decrescente in R? punti Consider l unzione rcsin. Determin il suo dominio, dimostr che è invertibile e determin l equzione dell su invers. punti.5 4 Trov i vlori di e b in modo che le due curve di equzione: e ln b sino tnenti nel punto P; punti L unzione sin bcos h un estremo reltivo per ed è. Si trovino e b e si trcci il rico dell unzione. punti.5 6 Un prticell si muove sul pino e le sue coordinte in unzione del tempo sono: t cost t sin t con t [ ; ] Veriic che l triettori è un ellisse e clcol le componenti dell velocità e dell ccelerzione punti.5 b Veriic che l velocità non si nnull mi e clcol li istnti in cui il modulo è mssimo. punti

2 Soluzioni Dt l unzione: ke k k per < per punti.5 mostr che k R è continu e derivbile R L unzione è deinit trtti, in ciscun intervllo è continu e derivbile, l unico punto possibile di discontinuità è in cui l unzione pss d un espressione nlitic d un ltr. Per veriicre l continuità, per deinizione occorre vedere se ;poiché ke k e k k k, l condizione è veriict k R Per veriicre l derivbilità si può utilizzre il criterio suiciente per cui ' ' Utilizzndo le reole di derivzione ke ' k per < per > Poiché ke k k k l condizione è veriict k R b Trov il vlore di k tle che l tnente l rico dell unzione nel suo punto di sciss bbi coeiciente nolre e rppresent ricmente. Poiché l unzione è derivbile in l derivt in tle punto rppresent il coeiciente nolre dell rett tnente ll unzione, quindi l condizione d imporre è: ', potendo utilizzre per un delle due espressioni clcolte nel punto precedente: ' k. L unzione è quindi: e per < per Il cui rico è l unione di un trtto di esponenzile ed uno di prbol: 4

3 c Applic il teorem di Lrne li intervlli e nelle ipotesi del punto b. Il teorem è certmente pplicbile poiché l unzione è continu e derivbile in R per k R, in prticolre per k- Nell intervllo [ ;4] l espressione nlitic di è ovunque quindi bison trovre il punto c interno 4 ll intervllo tle che ' c che in eetti è interno ll intervllo Nell intervllo [ ;] l espressione nlitic di cmbi, il punto c interno ll intervllo tle che ' c e può essere soluzione di e se oppure e e se < e 5 Risolvendo l prim:. 5 4e 4 prl il teorem. che è interno ll intervllo [ ;] è quindi il punto c di cui Risolvendo l second: ln. 7 che però e non è ccettbile non essendo minore di. Di l deinizione di unzione decrescente. Per quli vlori di k l unzione k è sempre decrescente in R? punti Un unzione è decrescente in un intervllo se < >, per le unzioni derivbili è suiciente che l derivt prim si netiv. ' k

4 in enerle un polinomio di secondo rdo, è sempre netivo o nullo se <, quindi in questo cso k k Consider l unzione rcsin. Determin il suo dominio, dimostr che è invertibile e determin l equzione dell su invers. punti.5 L unzione rcseno è deinit solo per romenti compresi tr - e, quindi il dominio si trov risolvendo il sistem: < > [ ; D Per dimostrre che è l unzione è invertibile si può veriicre che è monton, cioè che l derivt prim h seno costnte, in eetti: ' è sempre netiv Per trovre l invers si scmbino le con le e si esplicit l unzione: rcsin sin sin sin sin sin sin 4 Trov i vlori di e b in modo che le due curve di equzione: e b ln sino tnenti nel punto P; punti.5 Due unzioni sono tnenti in un punto se: ' ' Clcolte le derivte ' ' noto il punto l condizione dell esercizio è ' ' b b Trccindo il rico delle due unzioni si può in eetti veriicre l tnenz ne punto P

5 L unzione sin bcos h un estremo reltivo per ed è. Si trovino e b e si trcci il rico dell unzione. punti.5 Trttndosi di un unzione derivbile con ' cos bsin, le condizioni espresse sono: 4 ' L unzione è quindi b b b b b sin cos, utilizzndo il metodo dell nolo iunto si può riscrivere come: cos / / / 4/ 5/ 6 Un prticell si muove sul pino e le sue coordinte in t cost unzione del tempo sono: con t [ ; ] t sin t Veriic che l triettori è un ellisse e clcol le componenti dell velocità e dell ccelerzione punti.5 Per determinre l equzione dell triettori è possibile determinre coseno e seno e utilizzre l identità oniometric ondmentle: cost sin t quindi 4 v ' sin t v ' cost ellisse con centro in C-; e semissi e b '' cost '' sin t

6 b Veriic che l velocità non si nnull mi e clcol li istnti in cui il modulo è mssimo. punti Poiché le due componenti dell velocità non si nnullno mi contempornemente l velocità non srà mi null. r v v v 4sin t cos t sin t per determinre l velocità mssim si può clcolre il mssimo dell unzione v sin t, cendo l sin t cost sint derivt e studindone il seno: v' sin t sin t il denomintore è sempre positivo, è suiciente studire il seno del numertore sin t k t k k t k, itndosi ll intervllo [ ;] si h: quindi t e t punto di mssimo, il mssimo è v