Quale matematica per il terzo anno di un liceo a vocazione non scientica?

Transcript

1 Quale matematica per il terzo anno di un liceo a vocazione non scientica? di Andrea Centomo Liceo F. Corradini di Thiene (VI) andrea.centomo@istruzione.it Lucca, 1 ottobre 2016

2 Problemi: Indicazioni Nazionali [1] con molte pretese, poco tempo... studenti... 2

3 1 Programmi svolti Programma senza NSA Mese Programma con NSA (3AL) ottobre Fattorizzazione polinomi Sezioni coniche Teorema di Runi Parabola (luogo) Frazioni algebriche Equazione canonica Equazioni di II grado Traslazioni novembre Equazioni con frazioni algebriche Funzioni quadratiche Fattorizzazione polinomi grado 2 Equazioni, disequazioni grado 2 dicembre Parabole ad asse verticale Tangente al graco NSA Studio di funzioni quadratiche Problemi di II grado Tabella 1. Primo periodo Nota 1. Studio delle funzioni quadratiche senza monotonia 3

4 Programma senza NSA Mese Programma con NSA gennaio Disequazioni di II grado Funzioni polinomiali di III grado Disequazioni di grado maggiore Segno e zeri Disequazioni fratte Fattorizzazione polinomi III grado Sistemi di disequazioni Divisione euclidea febbraio Luoghi (circonferenza, parabola) Teorema di Runi Circonferenza Equazioni, disequazioni grado 3 Teoremi sulla circonferenza Massimi e minimi NSA Fermat Poligoni inscritti Studio completo di cubiche marzo Equazione della circonferenza Elementi di calcolo combinatorio Circonferenza per tre punti Funzioni omograche (iperbole) aprile Richiami sulle rette Equazioni e disequazioni fratte Problemi di geometria analitica Asintoti e studio omograche NSA Tabella 2. Secondo periodo 4

5 Programma senza NSA Mese Programma con NSA maggio Parabola Circonferenza (luogo) Problemi di geometria analitica Ellisse (luogo) Problemi di geometria analitica giugno Ellisse e iperbole Iperbole (luogo) Tabella 3. Fine secondo periodo! Entrambi i programmi svolti sono in linea con le Indicazioni Nazionali Ma solo il programma con NSA soddisfa in modo adeguato l'indicazione II biennio... studierà le funzioni elementari dell'analisi e dei loro graci, in particolare le funzioni polinomiali, razionali... (Relazioni e funzioni) Indicazione fondamentale... taciuta nei libri di testo e trascurata nella didattica! 5

6 2 Innitesimi e funzioni quadratiche Un numero iperreale innitesimo =/ 0 è caratterizzato da 1 n < < 1 n 8n 2 N ed è un numero intuitivamente molto piccolo in valore assoluto (lente o zoom). Gli innitesimi sono molto utili! Prendiamo, ad esempio, la funzione quadratica y(x) = x 2 e il punto P = (2; 4) che appartiene al suo graco. Il punto Q = (2 + ; (2 + ) 2 ) = (2 + ; ) appartiene al graco di y(x) e, siccome è un innitesimo, è vicino a P. 6

7 La pendenza della retta passante per P e Q è y x = e dierisce dal valore 4 per un innitesimo. = 4 + La pendenza della retta tangente al graco di y(x) sarà, per denizione, m = st(4 + ) = 4; quindi l'equazione della retta tangente al graco della funzione in P è y 4 = 4(x 2), y = 4x 4: 7

8 Figura 1. Tangente e graco localmente si confondono (vedi I. Bivens) 8

9 Si può generalizzare al caso y(x) = ax 2 + bx + c; a =/ 0 e ricavare la formula della pendenza m della retta tangente al graco in un punto di ascissa x P facendo notare anche che m = 0 quando m = 2ax P + b x P = b 2a ossia in corrispondenza del vertice della parabola che è graco della funzione. Importante 2. Insistere sul fatto che NON appartiene al graco di y(x). (x + ; ax 2 + bx + c + ) Importante 3. Il simbolo dx per gli innitesimi va evitato. 9

10 3 Cubiche Problema delle botti di Keplero (1615): trovare il punto di massimo della cubica p(x) = ax 3 + bx per x 0, dove a < 0 e b > 0. Figura 2. Graco cubica problema di Keplero 10

11 Metodo di Fermat [2] Sia x > 0 allora il punto appartiene al graco di p(x). (x; p(x)) = (x; ax 3 + bx) Se è un innitesimo non nullo, il punto (x + ; p(x + )) = (x + ; a(x + ) 3 + b(x + )) è un punto del graco di p(x) vicino al primo. Ora la dierenza p(x) = p(x + ) p(x) = (3ax 2 + b) + 3ax 2 + a 3 è innitesima e se si divide per si ha p(x) = (3ax 2 + b) + 3ax + a 2 : 11

12 Il punto di massimo x M si ottiene, secondo Fermat, come soluzione dell'equazione r 3ax 2 + b = 0 ) x M = b > 0: 3a La conferma che trattasi di un massimo si ha osservando che p(x M ) = 3ax M 2 + a 3 < 0: Nota 4. La condizione posta da Fermat equivale ovviamente a pendenza nulla della retta tangente al graco della funzione nel punto di massimo... derivata prima nulla! A questo punto del corso sono stati introdotti i termini derivata e monotonia derivata come sinonimo di pendenza della retta tangente crescenza stretta e decrescenza stretta in intervalli che corrispondo ad andamenti in salita e in discesa del del graco persuadendo gli studenti che in intervalli con p 0 (x) > 0 c'è crescenza stretta... In questo modo sono stati posti i fondamenti per lo studio delle cubiche. 12

13 Nel corso del terzo anno sono state studiate cubiche del tipo p(x) = ax 3 + bx c(x) = ax 3 + bx 2 g(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d le ultime solo nel caso in cui si potesse ricorrere al teorema di Runi per la determinazione degli zeri. La formula di derivazione è stata dimostrata. D(ax 3 + bx 2 + cx + d) = 3ax 2 + 2bx + c I passaggi dallo studio della monotonia attraverso la derivata prima al graco e viceversa dal graco (con GeoGebra) allo studio della monotonia sono stati percorsi in entrambe le direzioni più volte. Ma senza dimostrazione del teorema di monotonia. Si è rimarcata la non sucienza di derivata prima nulla per gli estremi. 13

14 4 Funzioni omograche e inniti denita sul dominio naturale h(x) = ax + b cx + d dom h = R c =/ 0; ad cb =/ 0 d : c Come sempre si è partiti da esempi semplici, ma istruttivi. Sia data y(x) = 1 x denita in D = R f0g. Il calcolo della derivata in un punto si riduce a da cui per ogni x 2 D. 1 x + 1 x y x = 1 = x(x + ) y 0 1 (x) = st = 1 x(x + ) x 2 < 0 14

15 Si conclude che la funzione è strettamente decrescente in ( 1; 0) e in (0; +1) La funzione non è strettamente decrescente in D. A questo punto è stato introdotto il concetto di asintoto verticale e orizzontale Se > 0 è un innitesimo allora! = 1/ è un numero iperreale innito e positivo e h(!) = a! + b c! + d a! c! = a c da cui si ha che la retta di equazione y = a/c è asintoto orizzontale destro per h(x). Ma h(!) = h(!) quindi y = a/c è anche asintoto orizzontale sinistro per h(x). In modo simile, per l'asintoto verticale si osserva che h dc = + ad c + a + b c che è sempre un innito (si tratta solo di stabilire il suo segno). 15

16 Figura 3. Iperbole equilatera e asintoti Per gli esercizi è stata usata la formula (non ricavata in generale) h 0 (x) = ad cb (cx + d) 2: 16

17 Conclusioni a) l'introduzione di elementi di NSA al terzo anno di corso non presenta particolari dicoltà concettuali per gli studenti; b) la NSA permette di riabilitare in modo ecace il registro graco per lo studio di zero e segno delle funzioni polinomiali di terzo grado e delle funzioni omograche; c) agli studenti sono state date delle dispense ma servirebbe un libro completo di matematica per il terzo anno (un libro piccolo) con elementi NSA; d) gli elementi di NSA introdotti in terza possono essere fruttuosamente utilizzati anche al IV anno di corso nello studio delle funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche; Bibliograa essenziale [1] Indicazioni Nazionali per i licei disponibili online nuovilicei.indire.it [2] M.G. Katz, D.M. Schaps, S. Shnider (2013), Almost equal: the method of adequality from Diophantus to Fermat and beyond, Perspectives on sciences, 21 (3), pag