Matematica Computazionale Relative all'anno accademico

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1 Dispese di Mtemtic Computziole Reltive ll'o ccdemico Corsi di lure i: Iformtic Tecologie Iformtiche Docete: Prof.ss B. Dell Vecchi Rielborzioe e pputi cur degli studeti: Cio Debor D'Epifio Stefo Gobbi Mtteo Him Eri Perfetto Stefo Veschii Adre (debor.cio87@lice.it) (sdepifio@hotmil.it) (mtteogobbi@mtteogobbi.it) (lfsite777@hotmil.com) (stefo.perfo@gmil.com) (.veschii@gmil.com)

2 Questi pputi soo soggetti d ggiormeti. Per questo motivo gli studeti soo ivitti cotrollre periodicmete l pgi iteret del corso i cerc di evetuli ggiormeti. Cpitolo : Sistemi lieri - Metodi per l risoluzioe di sistemi lieri - Metodi diretti - Metodo di elimizioe di Guss - Fttorizzzioe LU (Lower Up) - Risoluzioe del sistem trmite fttorizzzioe LU - L formul PA = LU - Risoluzioe - Metodo di Cholesky - Clcolo dell mtrice ivers dt u mtrice trigolre iferiore - Il costo computziole dell trigolzioe - Metodi itertivi - Metodo di Jcobi - Metodo di Guss-Seidel - Metodo del sovrrilssmeto (SOR) Cpitolo 2: Autovlori - Teorem di Gershgori - Metodo delle poteze - Metodo delle poteze iverse Cpitolo 3: Iterpolzioe poliomile - Motivzioi - Che cos'è? Dimo u defiizioe mtemtic - Prim soluzioe: metodo dei coefficieti idetermiti - Secod soluzioe: poliomi fodmetli di Lgrge - Terz soluzioe: poliomio iterpolte di Lgrge espresso trmite rppresetzioe di Newto (o metodo delle differeze divise) - Stim dell'errore (resto dell'iterpolzioe) - Covergez dell'iterpolzioe - Feomeo di Ruge

3 Cpitolo 4: Equzioi o lieri - Metodi itertivi - Metodo di Newto Rphso - Iterpretzioe geometric - Test di covergez Cpitolo 4: Qudrtur umeric - Formule di Newto-Cotes - Formul dei trpezi - Formul di Cvlieri-Simpso - Formule composite - Formule di Guss - Fuzioi peso - Strtegie di qudrtur umeric Cpitolo 5: Approssimzioe - Itroduzioe - Norm di Chebyshev - Teorem di Weierstrss - Norm qudrtic - I poliomi di Chebyshev - Zeri di Chebyshev - Il problem dell migliore pprossimzioe - Poliomio di qusi migliore pprossimzioe - Approssimzioe i miimi qudrti Cpitolo 6: Mlcodiziometo - Norm - Come vedere se u sistem è mlcodizioto - L'errore è sempre mplificto - Esempio di problem codizioto

4 Cpitolo 7: Equzioi differezili (del primo ordie) - Itroduzioe - Metodo di Eulero - Metodo di Eulero-Cuchy - Metodi psso-psso (step by step) - Metodo di Mile - Metodi di Ruge - Kutt Appedice: Domde frequeti per l'esme Coclusioi

5 Cpitolo. SISTEMI LINEARI I l problem fodmetle dell lgebr liere è risolvere u sistem di equzioi lieri. I mtemtic, e più precismete i lgebr liere, u equzioe liere è u equzioe di primo grdo co u certo umero d icogite. U sistem di equzioi lieri (o sistem liere) è u isieme di equzioi lieri, che devoo essere verificte tutte cotemporemete: i ltre prole, u soluzioe del sistem è tle se è soluzioe di tutte le equzioi. L soluzioe è quidi, l'isieme di vlori x... x che, sostituiti lle icogite, rede le equzioi delle idetità. I questo cpitolo ci propoimo di costruire metodi efficieti per l determizioe dell soluzioe di sistemi lieri di equzioi i icogite, cioè di sistemi lieri qudrtici, essedo questo il cso più iteresste e che si preset ell mggior prte delle ppliczioi, si esplicitmete el modello mtemtico ssocito l feomeo fisico i esme, si come psso itermedio o file ell risoluzioe umeric del modello i questioe, rppresetto per esempio, d equzioi differezili. Comicimo co u esempio: 2x y 0 x 2y 3 A questo sistem di equzioi possimo ssocire u mtrice compost di coefficieti delle icogite x e y. U mtrice o è ltro che u vettore rettgolre di umeri. Mtrice dei coefficieti A 2 x y b vettore dei termii oti vettore delle icogite x Ax b ; A ; b, x

6 Adesso ci propoimo di risolvere il sistem liere, cioè trovre x e y che soddisfo si l prim si l secod equzioe: c (,2) Quli puti soddisfo l prim equzioe? Tutti quegli che giccioo sull lie blu ovvimete (d qui equzioe liere). I puti che soddisfo l secod equzioe soo tutti e soli quegli che giccioo sull lie ross. L soluzioe del ostro sistem e il puto c (x=, y=2) che gice su tutte e due le liee. Iterpretdo ivece l ostr mtrice per coloe otteimo u'ltr vist del problem: 2 0 x y 2 3 Ciò che quest equzioe ci st chiededo e di trovre u giust combizioe liere tr il primo vettore 2 e il secodo 0 per otteere il vettore. Ed ecco l geometri che st 2 3 dietro l equzioe: (0,3) (-,2) ()x + (2)y (-,2) Or ci fccimo u domd. Simo oi, i grdo di risolvere questo sistem per ogi possibile vlore del vettore di termie oto, cioè per ogi b? I questo cso l rispost e si! L isieme di tutte le combizioi lieri i questo cso fiisce per ricoprire l itero pio. Iterpretdo l mtrice per coloe divet chiro che il sistem mmette soluzioe se e solo se il vettore b pprtiee llo spzio (liere) geerto dlle coloe di A.

7 .2 METODI PER LA RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI Di orm i metodi umerici per l risoluzioe di sistemi lieri vegoo suddivisi i due clssi: I. Metodi diretti II. Metodi Itertivi Co i metodi diretti l estt soluzioe viee costruit i ssez di errori di rrotodmeto i u umero fiito di pssi. Per sistemi co mtrici A dese, i metodi diretti soo di solito i più efficieti. I metodi itertivi ivece soo geerlmete utilizzti per l risoluzioe di mtrici A sprse 2, e di ordie elevto. Sistemi sprsi soo preseti i umerose ppliczioi. A cus dell elevto ordie delle mtrici coivolte i problemi di questo tipo (d lcue miglii sio 0 5 e oltre) i metodi diretti o soo sempre utilizzbili. Iftti, questi ultimi ottegoo l soluzioe x i u umero fiito di pssi medite u successioe (fiit) di trsformzioi del problem iizile i problemi equivleti, cioè co l stess soluzioe x, m co mtrici dei coefficieti diverse; zi, co il procedere del metodo di risoluzioe, il umero di elemeti o ulli preseti i queste mtrici geerlmete cresce, e può be presto sturre lo spzio dispoibile ell memori cetrle del clcoltore. I questi csi e utile, e spesso idispesbile, utilizzre metodi itertivi, i quli, operdo sempre e solo co gli elemeti dell mtrice iizile A, geero u successioe ifiit di vettori covergete, sotto opportue codizioi, ll soluzioe cerct. Poiché il processo itertivo lsci iltert l mtrice A, e sufficiete memorizzre gli elemeti o ulli di A. I. Metodi diretti Vtggio -risoluzioe del sistem i u umero fiito di pssi. -soluzioe estt. Svtggio -el cso i cui ci trovssimo di frote mtrici sprse( molti elemeti =0) lterdo l mtrice ci ritroveremo co u mtrice più compless. II. Metodi itertivi -lter l mtrice di prtez (quidi o è ecessrio slvrsi l mtrice i memori) -richiede u qutità costte di memori -soluzioe pprossimtiv -costruzioe di u successioe di vettori covergeti. U mtrice des è u mtrice co pochi elemeti pri zero. 2 U mtrice co molti elemeti pri zero è ivece u mtrice sprs.

8 .2. METODI DIRETTI. IL METODO DI ELIMINAZIONE DI GAUSS Il metodo diretto più oto e più utilizzto è sez dubbio quello delle elimizioi successive di Guss. Il metodo di Guss è u metodo molto semplice e turle per l risoluzioe di u sistem liere. E il metodo che tutti (e che i softwre pckge) usimo ogi qul volt ci cpit di risolvere u semplice sistem liere. All bse di questo metodo vi è il presupposto secodo il qule risolvere u mtrice che bbi form trigolre superiore o iferiore si molto semplice e immedito. x x x b 2 2 x x b x b Soluzioe ultim rig dell mtrice: x b Soluzioe dell k-esim rig dell mtrice: x k ( b x ) k J k kk kj j Quest cosiderzioe ci suggerisce di esmire l possibilità di trsformre u geerico sistem o trigolre i u sistem equivlete(ovvero co le stesse soluzioi) di form trigolre. Se l mtrice coivolt è u mtrice buo llor il metodo di elimizioe fuzioerà e oi otterremmo l ostr rispost, ed che i u mier efficiete. Vedremmo poi che i csi, se esistoo, che possoo fr fllire questo metodo. Due soo i pssi fodmetli che dobbimo eseguire: ) Elimizioe b) Sostituzioe ivers(o permutzioe)

9 Cei prtici e teorici sulle teciche per operre su u mtrice: Fccimo u esempio teorico prim di procedere co l dimostrzioe del metodo di Guss per vedere come vegoo pplicti i due pssi fodmetli citti i precedez.. Quest volt ci propoimo di risolvere il sistem liere di 3 equzioi i 3 icogite seguete: x 2y z = 2 3x +8 y z =2 4y z = 2 ) Elimizioe Elemeto PIVOT: deve sempre essere 0; A (2,) (3, 2) U Chimimo desso, u volt e per sempre, quest mtrice trigolre superiore equivlete ll mtrice A di prtez U (U st per upper trigolr). Lo scopo dell iter elimizioe er rrivre d A U. Pssre d A U e u (o che il ) problem FONDAMENTALE. Quest è l operzioe più comue dell computzioe scietific che i mtemtici o smettoo di chiedersi come si può fre più velocemete! Il processo di elimizioe si port vti sostituedo successivmete le righe dell mtrice co l giust combizioe liere dell rig i questioe co le precedeti, dove per giust combizioe liere itedimo quell che ci f ulre l elemeto precedete(ell rig) l pivot. U combizioe liere si ottiee ogi volt che:. Sostituimo u rig co l stess moltiplict per u umero rele (sclre) 2. Sostituimo u rig co l multipl di se stess(operzioe ) + u'ltr rig dello stesso sistem ll qule evetulmete gli bbimo pplicto l operzioe. Formlmete: Si V uo spzio vettorile su u cmpo K. Sio vettori di V. U combizioe liere di questi è il vettore idividuto dll seguete scrittur dove soo sclri, cioè elemeti di K. Gli sclri ell precedete espressioe possoo essere scelti d rbitrio e soo detti coefficieti dell combizioe liere. L operzioe e 2 soo gli uici operzioi legli che possimo fre sull mtrice (operzioi che o cmbio l soluzioe dell sistem).

10 b) Sostituzioe ivers o premutzioe Se voglimo permutre(o scmbire) due righe di u mtrice idetità bst moltiplicre quest ultim co u'ltr mtrice per A: di ftto permuteremo le righe corrispodeti di A. P 2 0 * 0 b c d c d b L effetto dell mtrice P -2 è scmbire l prim rig co secod. Spiegzioe del metodo di Guss: Predimo u geerico sistem x x x... x b x x x... x b x x x... x b (*) e trsformimolo i uo equivlete trigolre. Suppoimo 0 (ipotesi che rilsceremo piu vti): possimo elimire l icogit x dlle ultime ( ) equzioi, cioe dll 2,3,, esim,sommdo ll i-esim equzioe, i 2,3,, l prim moltiplict per: Per esempio per i=2 i mi, i 2,3,, ( x x x... x ) b ( ) x x... b (**) Or eseguo l somm tr l prim equzioe del ostro sistem e l secod che ho ppe trovto(ovvero sommo (*) co (**)): x ( ) x x... b (2) (2) Ripplichimo il procedimeto (di elimizioe) lle ultime (-) equzioi. Se elimire l icogit x 2 dll 3,4, esim equzioe: e sufficiete porre (2) 22 0 possimo m, i 3,, (2) i2 i2 (2) 22

11 e sommre ll i-esim equzioe l secod moltiplict per m i2. Avremo u uovo sistem equivlete quello di prtez. Dopo (-) pssi rriveremo,suppoedo tutti gli elemeti di pivot o ulli, l seguete sistem trigolre: Lo scem di clcolo seguete rissume l descrizioe del metodo di Guss: ) L elimizioe delle vribili viee eseguit i (-) pssi; l psso k-esimo, k,2,, ( ) gli elemeti k ( k ), i e j > k, e b vegoo trsformti i ccordo co le formule ij i m ik ( k ) ik ( k ) kk i k m j k ( k ) ( k ) ( k ),, : ij ij ik kj,,, b bi m b ( k ) ( k ) ( k ) i ik k 2) L soluzioe del sistem trigolre file risult: x k x b ( b x ) k J k kk kj j Possimo risolvere il sistem co sole 2 operzioi ritmetiche. 2 N.B. Se l elemeto dell prim rig dell prim colo, fosse stto ugule zero, llor mi srei dovuto fermre e dire che o si può dre vti? No!

12 I questo cso srebbe possibile scmbire quest rig co u'ltr del sistem e cosi fcedo, vrei risolto il problem. Cioè se l elemeto l posto del pivot è zero, posso (e devo) scmbire(o permutre) l equzioe co u equzioe successiv del sistem. Il metodo di elimizioi di Guss dimostr che e sempre possibile medite u umero fiito di permutzioi e combizioi lieri, trsformre u geerico sistem, i u sistem trigolre 3. Esempio di esecuzioe del metodo di Guss: Osservzioi fili Il procedimeto delle elimizioi di Guss può essere portto termie sez permutre l ordie iizile delle equzioi, ovvero i successivi elemeti pivot soo tutti o ulli, se e solo se det( Ak ) 0, k,2,,. Ciò e sez ltro vero, per esempio, qudo l mtrice A e digole domite per righe o per coloe( ii i, j )oppure e simmetric defiit positiv 4. I lcui csi però che se il ostro pivot ( k ) kk ( k ) kk 0 m ssume u vlore molto piccolo è ecessrio, per ssicurre u mggiore stbilità umeric permutre l ordie delle equzioi 3 Equivlete, cioe, co le stesse soluzioi del sistem origile. 4 U mtrice è defiit simmetric e positiv qudo è u mtrice qudrt che h l proprietà di essere l trspost di se stess e i suoi elemeti soo tutti mggiori di zero.

13 usdo l strtegi del pivot przile:ovvero dto u pivot geerico rk scelgo r i modo che si ( k) ugule l più piccolo itero ( mx ) e successivmete scmbierò l equzioe k-esim co l r-esim. rk ik k i Se l geerico psso k-esimo il processo di elimizioe o viee effettuto solo sulle righe successive ll k-esim, m che sulle precedeti, llor dopo -pssi otteimo u sistem digole: () 0 x 0 0 x (2) 2 22 x (3) 33 3 b b b () (2) 2 (3) ( ) ( ) x b Quest vrizioe del metodo di Guss e ot co il ome di Metodo Di Jord. Il umero delle operzioi richieste dl Metodo di Guss è Il umero delle operzioi richieste dl Metodo Di Jord è FATTORIZZAZIONE LOWER UP (LU) Ci propoimo di iterpretre il metodo di Guss come successioe fiit di trsformzioe dell mtrice A e del termie oto b, cioè come moltipliczioi di A e b per u umero fiito di opportue mtrici. Quest iterpretzioe ci cosetirà di riformulre l lgoritmo di Guss i due prti distite: l prim, l più costos i termii di operzioi ritmetiche, ci determierà u mtrice o sigolre G tle che GA=U, co U di form trigolre superiore l secod, utilizzdo l mtrice G, ci cosetirà di risolvere il sistem Ax=b: GAx Gb Ux b Osservimo prelimirmete che lo scmbio di due equzioi del sistem Ax=b (per esempio l i- esim co l j-esim), può essere iterprett come prodotto(d siistr) di etrmbi i membri del sistem per l mtrice

14 L mtrice Pi,j è u mtrice di permutzioe dove soo stte scmbite le righe i e j. P i, j Rig j Rig i Alogmete, l sostituzioe dell equzioe i-esim co l riduzioe per l j-esim moltiplict per il coefficiete m i, jpuò essere otteut moltiplicdo Ax=b per l mtrice M i, j Quidi co il metodo di Guss determio implicitmete delle mtrici P, P2,... P di tipo I(idetità) qudo o vvegoo scmbi di equzioi e P i, j (mtrici di permutzioi)ltrimeti, e delle mtrici M, M2,... M, co M M... M M j j j 2, j j, j tle che il uovo sistem M P MiPAx i M P... MPb ssum l form trigolre superiore Ux b, ossi M P... M PA U N.B. Posto G= M P... MP deotimo quest decomposizioe co GA=U N.B.2 Ricordimo che quest decomposizioe h come costo computziole 3 3 Osservzioi (i) Nelle ppliczioi è superfluo costruire esplicitmete G poiché G verrà utilizzt solo per trsformre mtrici e vettori: è quidi sufficiete memorizzrsi i coefficieti m i, j e le permutzioi effettute. I molteplici m i, j verro memorizzti elle corrispodeti posizioi dell mtrice A e l termie dell trigolrizzzioe l posto dell mtrice iizile A vremo

15 (ii) Ache l costruzioe di Pi, jè superflu. Poiché l loro uic fuzioe è di provocre scmbi di righe, possimo riprodurre tli zioi semplicemete memorizzdo gli scmbi effettuti i u ltro vlore pivot di - compoeti. Per esempio se l psso k viee effettut l permutzioe tr l rig k e l rig r pogo pivot(k)=r, ivece se l rig k-esim rime iltert llor vrò pivot(k)=k. I defiitiv: Note le mtrici G e U, per risolvere il sistem Ax=b è sufficiete porre GAx=Gb cioè b Gb M P... M Pb 4.RISOLUZIONE DEL SISTEMA TRAMITE LA FATTORIZZAZIONE LU 4. L formul PA=LU L riformulzioe del problem di Guss i due fsi divise(ell prim trsformimo solo l mtrice A, metre ell secod costruimo il vettore b Gb e risolvimo il sistem trigolre Ux b )ci cosete di risolvere i modo efficiete sistemi del tipo Ax Ax b b 2 2 ATTENZIONE:VANTAGGIO! E l stess mtrice che và decompost u sol volt Ax b Suppoimo di ver già determito l decomposizioe di Guss. L cooscez delle mtrici P i ci cosete di riordire le successive trsformzioi di A: M i, Questo è proprio G M P... M PA = ( M... M 2 M )( P... P2 P ) A così che posto M M... M 2 M e P P... P2 P

16 possimo scrivere: M PA U PA M U Di coseguez possimo ffermre pertto che il metodo di Guss può essere utilizzto che per determire u mtrice di permutzioe P, u mtrice trigolre iferiore co digole uitri L(chimto L= M ) e u mtrice trigolre superiore U, tli che PAx LUx Pb Pb 4.2 Risoluzioe Not l fttorizzzioe LU per determire l soluzioe del sistem Ax=b è sufficiete risolvere i segueti 2 sistemi trigolri PAx LUx Pb Pb Ly Ux Pb y Se il metodo di Guss o richiede scmbio di righe sppimo come P=I e quidi A LU LDU dove L e U che soo mtrici trigolri co digoli uitrie e D è u mtrice che cotiee tutti gli elemeti pricipli che pprivo i U. Metodo di Cholesky T Qudo A è simmetric bbimo U L (cioè l trspost di L), ioltre gli elemeti ( D) ii soo tutti positivi se e solo se A è defiit positiv(ovvero o ci soo stte permutzioi).questo ftto ci cosete di cocludere che esiste llor u'uic mtrice trigolre iferiore L, co elemeti T digoli positivi, tle che A LL dove /2 L LD dove co /2 digole che h come elemeti digole ( D ) ( D ). ii ii /2 D deotimo l mtrice Gli elemeti di quest mtrice possoo veire determiti dlle segueti formule: l l 2 22 L l l l l l l l... l 2 3

17 l ii ii j l ( l l ) / l i, j ij ik jk jj k l ( l ) ii ii ik i k 2 / 2 3 Il costo computziole di questo metodo è operzioi ovvero proprio l metà 6 rispetto ll fttorizzzioe LU 5. CALCOLO DELLA MATRICE INVERSA DATA UNA MATRICE TRIANGOLARE INFERIORE Dt l mtrice trigolre iferiore Possimo clcolre l su mtrice ivers e e e 2 22 L e e e e e e... e 2 3 y y 2 22 Y L y3 y32 y33 y y y y... y 2 3 trmite questo semplice lgoritmo: y jj e jj Per j =.. y ij i h j e y e ik ii kj

18 N.b.M perché è cosi importte il clco dell mtrice ivers?? Perché il clcolo dell ivers dell mtrice A è legto l clcolo dell mtrice ivers di L e U Moltiplichimo etrmbi i membri per U Moltiplichimo etrmbi i membri per P PA LU A AU P LU P L AU L P AU L P I A U L P Moltiplichimo etrmbi i membri per P Moltiplichimo etrmbi i membri per L A è molto più fcile d clcolre cosiderdo che L e U soo mtrici co form trigolre 6.IL COSTO COMPUTAZIONALE DELLA TRIANGOLAZIONE Riflettimo desso sul costo del metodo di Guss per pssre d u mtrice A quluque u mtrice trigolre superiore equivlete U. L prte dell mtrice coivolt el clcolo ll i-esimo psso ( ) Il costo computziole per pssre d A U e ( ) e l itegrle di 2 ( 2 x dx ). Il costo dell colo dei termii oti che ci portimo dietro durte l elimizioe è 2. OSSERVAZIONE

19 Abbimo precisto che durte l fse dell elimizioe, o ccettimo pivot ulli. Per l verità o solo o ccettimo pivot ulli, m o cetimo eche pivot tropo piccoli o tropo grdi 5. Tle esigez discede dl ftto che pivot tropo piccoli/grdi potrebbero itrodurre el sistem istbilità umeric.(vedi osservzioe del prgrfo sul metodo di Guss)..2.3 METODI ITERATIVI I lcue situzioi, per esempio ell soluzioe di equzioi derivte przili di tipo ellittico co metodi lle differeze fiite o gli elemeti fiiti, i sistemi d risolvere soo sprsi e di dimesioi 3 6 tli (( 0 0 ) d redere iutilizzbile, o quto meo iefficiete, il metodo di Guss che co i moderi clcoltori di grde cpcit. Iftti, metre i questi csi l mtrice iizile h u umero di elemeti o ulli p 2, il processo delle elimizioi successive del metodo di Guss cmbi le equzioi del sistem d ogi psso, cosi che l mtrice dei coefficieti può divetre sempre meo sprs e richiedere quidi l memorizzzioe di u umero eccessivo di elemeti. I metodi itertivi ivece o ltero mi l mtrice iizile A. Prtedo d u pprossimzioe iizile pprossimzioi o sigolre 6. METODO DI JACOBI (0) x essi defiiscoo u successioe di 2 x, x, covergete, sotto opportue ipotesi, ll soluzioe x del sistem Scrivimo esplicitmete il sistem Ax b: Ax b. x x x b 2 2 x x x b x x x b 2 2 co le equzioi ordite i modo tle che ii 0 i,2,, provimo quidi risolvere il ostro sistem cercdo i vlori delle ostre icogite: x b j j x j x 2 b 2 2j j 2 22 x j 5 Quest è u ecessit del clcolo umerico, o dell lgebr. 6 O meglio, ll soluzioe x del sistem perturbto Ax b

20 x 3 b 3 3j j 3 33 x j x i b i ij j j i ii x x ( x, x,..., x ) (0) (0) (0) (0) 2 Come possimo dedurre dll esempio l mi icogit x è legt d ltre x. Allor pplichimo il metodo di Jcobi il qule cosiste el clcolre, ot u pprossimzioe (0) (0) iizile x (oppure prtedo d x 0 7), le pprossimzioi successive: ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) x ( x, x2,, x ) k 0,, 2, iserimo i vlori del vettore iizile elle formule: x () b x j j j (0) x 2 () b 2 2j j 2 x 22 j (0) x 3 () b 3 3 j 2 j 3 x 33 (0) co il uovo vettore delle mie pprossimzioi ed i uovi vlori eseguo lo stesso processo: x (2) b j j x j () x 2 (2) b 2 2j j 2 x 22 j () x 3 (2) b 3 3j j 3 x 33 j () Come è possibile vedere il metodo llor si può sitetizzre i quest relzioe: x ( k ) bi ijx j ( k ) j, j i i ii i, 2,, N.b. L ipotesi secod l qule questo metodo coverg è che l ostr mtrice A si digole ) domite(ovvero qudo ii, i j 7 Questo o è uo zero m besì idic come il ostro vettore delle pprossimzioi iizile si il vettore ullo

21 2. METODO DI GAUSS-SEIDEL Nel metodo di Jcobi ogi sigol compoete di precedete ( k ) x. ( k ) x dipede uicmete dll pprossimzioe x (2) b j j x j () x 2 (2) b 2 2 j 2 x 22 () x 3 (2) b j 3 x 33 () Possimo otre però come qudo dimo clcolre () x che se bbimo clcolto già il vlore di geericmete possimo dire che clcolt ell determizioe di x ( k ) 3, e cosi vi. x ( k ) 2,e poi utilizzre (2) x 2 io iserisc ell (2) x. L stess cos vle per () x j il vlore di (2) x 3. Allor più ( k ) x potremmo già utilizzre questo uovo vlore x e ( k ) x (più ( k ) 2 Questo procedimeto rppreset il metodo di Guss-Seidel. i ( k ) ( k) i ij j ij j j j i ( k) ( k) x4,, x ) el clcolo di b x x ( k ) xi i, 2,, ii Ache questo metodo, come quello di Jcobi, coverge si qudo l ostr mtrice è digole domite per righe ( ii, )o digole domite per coloe( kk ik ) i j 3. METODO DI SOVRARILASSAMENTO (SOR) Ripredimo il metodo di Guss-Seidel. Dll relzioe (*) sottredo otteimo: x d mbo i membri, ( k ) i r x x b x x i, 2,, i ( k) ( k ) ( k) ( k ) ( k) i i i i ij j ij j ii j j i dove r rppreset l correzioe d pportre ( k ) i x per otteere l uov pprossimzioe: ( k ) i x x r ( k ) ( k) ( k) i i i k 0,, 2, L formul scritt sopr defiisce u uovo metodo detto di rilssmeto. Scegliere il prmetro o è cosi semplice i quto bisogerà sceglierlo i modo d ccelerre il più possibile l covergez dell ostr successioe ( k ) x. Per esempio se 2 il vlore otteuto dll iterzioe ttule viee icremetto per il vlore ssoluto: si st ssumedo che l soluzioe si sti muovedo troppo letmete verso l covergez, e i questo cso si prl di

22 sovrrilssmeto. D mettere i rislto è il cso prticolre i cui cso il metodo si idetific co quello di Guss_Seidel si ugule : i questo Dimostrzioe: x x r ( k ) ( k) ( k) i i i x x r ( k ) ( k) ( k) i i i m: r x x b x x i, 2,, i ( k) ( k ) ( k) ( k ) ( k) i i i i ij j ij j ii j j quidi: x ( k ) i i ( k ) ( k) i ij j ij j j j i b x x ii Cioè proprio l formul di Guss- Siedel

23 Rewrite by Mtteo Gobbi Mtricol: Per esme di Mtemtic Computziole teuto dll Dott.ss Bicmri Dell Vecchi Cpitolo 2 Autovlori Gli utovlori, e di coseguez gli utovettori, possoo esserci molto utili i mtemtic. Ad esempio per digolizzre u mtrice, oppure per poter scoprire se c'è qulcos che rime immutto dopo l'ppliczioe di u trsformzioe liere, etc. Dti: se: mtrice righe ed coloe sclre (2.0.) dove x è u vettore o ullo llor si dice AUTOVALORE delle mtrice A e x il corrispodete AUTOVETTORE. L'equzioe (2.0.), può essere riscritt come: e successivmete, rccogliedo x come: (2.0.2) Pertto richiedimo che il sistem (2.0.2) mmett soluzioi diverse dll soluzioe ull, cioè il sistem (2.0.2) mmett più di u soluzioe e questo dll'lgebr sppimo che equivle richiedere che: (2.0.3)

24 (Se questo determite fosse diverso d zero, llor il sistem (2.0.2) mmetterebbe solo u soluzioe, quell ble x=0, che oi o voglimo). Sviluppdo duque il determite (2.0.3) otteimo: Pertto gli utovlori crtteristic (2.0.3). coicidoo co le rdici dell'equzioe Quest relzioe sembr suggerire l determizioe degli utovlori, come le rdici dell'equzioe crtteristic.tuttvi questo pproccio risult poco efficiete, pertto soo stti sviluppti metodi d hoc. Per scegliere u metodo efficiete, occorre rispodere lle segueti domde: è richiesto solo l'utovlore più grde i modulo ed il corrispodete utovettore? soo richiesti tutti gli utovettori e gli utovlori corrispodeti? l mtrice h proprietà specili (simmetric, tridigole, sprs)? A secod delle risposte queste domde possimo idividure metodi più efficieti di ltri. I u mtrice utovettori, dto che: vremo duque utovlori ed dove pputo: soo gli AUTOVETTORI soo i corrispodeti AUTOVALORI

25 2. Teorem di Gershgori Dimo or u criterio semplice per l loclizzzioe degli utovlori di u mtrice A. Defiimo: somm dei vlori ssoluti degli elemeti fuori dell digole, dell rig i-esim: somm dei vlori ssoluti degli elemeti fuori dell digole, dell colo j-esim: Chimimo duque, Cerchi di Gershgori, i cerchi del pio complesso di cetro e rggio : e i cerchi del pio complesso di cetro e rggio : Ifie, defiimo i due isiemi R e C, rispettivmete uioe di tutti i cerchi e : Simo or proti per eucire il teorem di Gershgori: Teorem: Dt u mtrice A e gli isiemi R e C (ppe defiiti), llor gli utovlori di A pprtegoo ll'isieme.

26 Ogi compoete di R o di C, cioè ogi uioe coess mssimle di cerchi Ri o Cj, cotiee tti utovlori di A, quti soo i cerchi dell compoete, teedo coto dell molteplicità di ogi utovlore e di ogi cerchio. Vedimo or u esempio: Applichimo il teorem ll mtrice: i cui utovlori soo Tutti gli utovlori pprtegoo ll'isieme R uioe dei cerchi segueti: L regioe R è formt dlle due compoeti segte i eretto. I u vi soo 4 cerchi e quidi 4 utovlori; l'ltr, essedo formt d solo cerchio, cotiee utovlore. Tutti gli utovlori pprtegoo però che ll regioe C uioe dei cerchi Cr:

27 L regioe C (segt i eretto) h due compoeti: l prim cotiee 4 utovlori, l secod. Possimo pertto cocludere che tutti gli utovlori devoo gicere ell regioe itersezioe.

28 2.2 Metodo delle Poteze Il metodo delle poteze, è u metodo utilizzto per determire l'utovlore di modulo mssimo. Questo utovlore gioc u ruolo crucile i molti problemi umerici, d esempio el clcolo del umero di codiziometo di u sistem liere. Tle metodo è pplicbile sotto l'ipotesi i cui:. esist u solo utovlore di modulo mssimo: 2. sio utovettori liermete idipedeti. Sotto queste ipotesi simo certi che: cioè che il ostro utovlore di modulo mssimo, si u umero rele o complesso, poiché se lo fosse, llor i modulo srebbe ugule l suo coiugto, cotrddicedo duque l'uicità, ovvero le ostre ipotesi: Adimo duque d pplicre il metodo:. Predimo u vettore qulsisi, e scrivimolo come combizioe liere degli utovettori (possimo frlo per l'ipotesi 2): (possimo sempre supporre diverso d zero). 2. Scrivimo il vettore come il prodotto dell mtrice A per il vettore :

29 3. Ricordimo che l defiizioe di utovlore per il geerico vle: e quidi sostituedo il vlore co, otteimo: 4. Ripetimo il psso 2, m quest volt per il vettore : 5. Quidi sempre i vigore del puto 3, sostituedo il vlore co, otteimo: 6. E cor: 7. Ripetimo lo stesso procedimeto. Otteimo quidi l'espressioe del vettore k-esimo:

30 8. No essedo defiit l'operzioe di rpporto fr vettori, procedimo clcoldo il rpporto delle coordite j-esime dei vettori e, ovvero: (2.2.) 9. Clcolimo il del rpporto l primo membro i (2.2.): 0. Osservdo che: segue che se, risult quidi: per cui: L covergez dell successioe:

31 l limite, dipede dll potez: L covergez è tto più rpid quto più piccolo è il rpporto: Abbimo quidi trovto u modo per clcolre l'utovlore di modulo mssimo.

32 2.3 Metodo delle poteze iverse Ci propoimo di rffire u'pprossimzioe p di u utovlore (cioè cooscimo u vlore pprossimto grossolmete p, per l'utovlore e voglio vere u'pprossimzioe più ccurt). Prtimo dll defiizioe di utovlore: e moltiplichimo mbo i membri dell'equzioe per : l qule divet quidi: Or moltiplichimo mbo i membri per otteedo l'equzioe: l qule, sfruttdo il ftto che il prodotto di u mtrice per uo sclre è u'operzioe commuttiv, possimo riscrivere come: e divet quidi: (2.3.) Sppimo quidi, che se è u utovlore per, llor è u utovlore per. Or, se p è l ostr pprossimzioe di determire), possimo scrivere che: (che voglimo d cui: ovvero Sostituedo l mtrice col suo utovlore, bbimo:

33 che rccogliedo x può essere riscritto come: Duque: Sppimo quidi che è u utovlore dell mtrice e dll coclusioe (2.3.) che è u utovlore dell mtrice. Defiimo or: Perciò qudo l'pprossimzioe di p è buo (ovvero p è molto vicio ), l differez è molto piccol, pertto il deomitore di divet molto grde. Posso quidi immgire che se è molto grde, si l'utovlore di mssimo modulo per l mtrice. Quidi possimo pplicre il metodo delle poteze visto el prgrfo precedete, per otteere u vlore pprossimto per. Pertto, poiché: trovo u vlore più ccurto per.

34 Iterpolzioe poliomile: Motivzioi: Molto spesso, i problemi mtemtici o ddirittur ell costruzioe stess di metodi mtemtici di bse, emerge l ecessità di pprossimre u fuzioe f x, defiit ttrverso u su rppresetzioe litic oppure ot solo i lcui puti {x i }, co u'ltr fuzioe, che chimeremo f x, di form più semplice su cui si poss fcilmete operre (derivre, itegrre, ecc...). Fccimo u'ipotesi: bbimo eseguito delle misurzioi {yi} (d esempio di u feomeo fisico, chimico, i cmpo socile, zoologico, ecc...) ed bbimo dei corrispodeti vlori fissti {x i }. Si vuole or costruire u modello mtemtico (el ostro cso u fuzioe) che descriv sufficietemete* bee il feomeo i questioe e che ci permett di vere delle stime ttedibili i quello che ccde i puti x diversi di ostri odi {x i }. Per questo si utilizz l'iterpolzioe! Che cos'è? Dimo u defiizioe mtemtic: Dti puti distiti ed u fuzioe pprossimte g x diremo che g iterpol i puti dti se: g x i = y i per i=0,,..., cioè se il grfico di g pss per i puti dti. Se l fuzioe g è u poliomio prleremo di iterpolzioe poliomile, se è u fuzioe rziole prleremo di iterpolzioe rziole, se g è trigoometric prleremo di iterpolzioe trigoometric etc.... Fccimo degli esempi: Se vessimo due puti: x 0, y 0 e x, y ; e volessimo determire l rett psste per etrmbi, bsterebbe risolvere il sistem: Alogmete, dti 3 puti x 0, y 0, x, y e x 2, y 2 possimo determire l * vedremo poi che cos itedimo per sufficietemete.

35 prbol psste per tli puti risolvedo il sistem: Prim soluzioe: Metodo dei coefficieti idetermiti Più i geerle, dti puti x 0, y 0, x, y... x, y, possimo clcolre il poliomio psste per tli puti risolvedo il sistem: Si dimostr che se i odi di iterpolzioe soo distiti tr loro (cioè: se i j llor x i x j ), il determite dell mtrice dei coefficieti è diverso d 0 e il sistem mmette u ed u sol soluzioe. A tle proposito: Teorem: Esiste uo ed u solo poliomio di grdo che ssume vlori y i i corrispodez degli puti distiti x i co i=0,,,. Quidi il poliomio iterpolte di Lgrge è uico! Abbimo detto duque che l mtrice dei coefficieti del poliomio iterpolte h l seguete crtteristic: det A 0 se e solo se per i j llor x i x j. Duque l mtrice dei coefficieti risult essere u mtrice di Vdermode: Tle mtrice h però il difetto di essere fortemete ml codiziot (vedi ml codiziometo). Ioltre si ot fcilmete che che l risoluzioe del sistem richiede u grde sforzo i termii di operzioi ritmetiche.

36 L'lisi di questo metodo ci è stto però utile per dimostrre l'esistez e l'uicità del poliomio iterpolte di grdo. Ci redimo duque coto che per trovre il poliomio iterpolte è ecessrio cercre rppresetzioi ltertive be codiziote e, possibilmete, meo costose i umero di operzioi ritmetiche. Secod soluzioe: Poliomi fodmetli di Lgrge U possibile soluzioe l problem è quell di scrivere il poliomio iterpolte medite i poliomi di Lgrge (iterpolzioe di Lgrge): Formul di iterpolzioe di Lgrge: P x è il poliomio iterpolte di Lgrge di grdo e y k = f x, k. Esmiimo or il fttore l, k x : Si ot fcilmete che, per come soo defiiti tli poliomi si h che: I questo modo il poliomio di iterpolzioe P x, defiito dll mtrice dei coefficieti (vedi sopr), viee espresso come combizioe liere dei poliomi {l, k x }, ed i coefficieti di tle combizioe soo proprio le ordite {y i }. I poliomi {l, k x } soo detti poliomi fodmetli di Lgrge ssociti i odi {x i }.

37 Vtggi: Il umero di operzioi ritmetiche dimiuisce di molto. Questo ccde soprttutto ei csi i cui l fuzioe che l'iterpolte deve simulre è per gr prte ugule 0 o molto vici tle vlore (d esempio u curv gussi molto strett). Co fuzioi del geere i odi {x i } che ci vegoo dti ll'iizio soo qusi tutti uguli 0 e gli uici elemeti che prtecipo ll sommtori dell formul (e che quidi do origie d u operzioe ritmetic) soo quelli diversi d 0. Svtggi: Quest rppresetzioe è però soggett istbilità umeriche ed i prticolre l feomeo dell ccellzioe umeric. Questo perché se si ho 2 puti (chimimoli x j ed x j ) molto vicii tr loro, el clcolo di l, j x e di l, j x si vrà u deomitore molto vicio llo 0! Terz soluzioe: Poliomio iterpolte di Lgrge espresso trmite rppresetzioe di Newto (o metodo delle differeze divise) Procedimo col riscrivere il poliomio iterpolte ell seguete formul: P x = y 0 x x 0 [ x 0, x ; f ] x x 0 x x [ x 0,x, x 2 ; f ]... x x 0... x x [ x 0,...,x ; f ] Per cpire quest uov rppresetzioe del poliomio iterpolte occorre prim cpire cos soo quegli elemeti tr pretesi qudre; soo delle uove qutità che chimeremo Differeze divise: [,b; f ]= f b f b Quest (sopr) è l differez divis del primo ordie su due puti.

38 L differez divis del secodo ordie su tre puti è l seguete: [b,c; f ] [,b ; f ] [,b,c; f ]= c Quell di ordie 3 su 4 puti: [b, c, d ; f ] [,b, c ; f ] [,b, c, d ; f ]= d e così vi. Solo per mggiore chirezz ggiugimo l differez divis di ordie 0: [ ; f ]= f e quell geerle: [ 0,..., ; f ]= [,..., ; f ] [ 0,..., ; f ] 0 Notimo duque come costruire queste differeze divise si u lvoro ricorsivo! Fccimo vedere che, co quest rppresetzioe, vedo 2 puti x 0, y 0 e x, y si ottiee direttmete l'equzioe dell rett psste per questi 2 puti: P = y= y y 0 x x 0 x x 0 Er comuque ovvio che utilizzdo il poliomio iterpolte co questi 2 puti si srebbe otteut l rett psste per essi dto che è proprio quello che si cerc di otteere co l'iterpolzioe; quello che slt ll'occhio è però l fcilità co cui ciò ccde oostte l formul di prtez si u formul geerle. Vtggi: Il mggiore vtggio di questo metodo cosiste el ftto che è possibile costruire ricorsivmete tutti i coefficieti 0,,, di P x. Ci possimo redere coto iftti che: 0 = y 0 =[ x 0, x ; f ] 2 =[ x 0, x, x 2 ; f ] =[x 0,..., x ; f ] Che soo le differeze divise preseti ell formul origile.

39 Ci redimo subito coto che per vlori molto vicii (limite) dei 2 puti l differez divis del primo ordie equivle ll derivt prim di f : [,b; f ]= f b f = f ' b Alogmete, i presez di vlori molto vicii, si h che : [, b, c; f ]= f ' ' 2 e procededo: [, b, c, d ; f ]= f ' ' ' 3! Si può cotiure ll'ifiito; i geerle si h: [,b,..., ; f ]= f! Ovvimete questo risolve il problem dell ccellzioe umeric che si er presetto co il precedete metodo (poliomi fodmetli di Lgrge); o è più u problem clcolre u poliomio iterpolte qudo si ho dei odi molto vicii (zi, il clcolo è che più diretto!). Svtggi: Soprttutto dlle ultime rgometzioi illustrte si cpisce che quest rppresetzioe h seso soltto se l fuzioe d iterpolre è derivbile.

40 Stim dell'errore (Resto dell'iterpolzioe): Dt u successioe di puti ed u fuzioe iterpolte voglimo spere quto tle fuzioe si discost dll rele fuzioe di prtez i u certo puto x, cioè: R f, x = f x P x L'espressioe R f, x viee chimt resto o errore dell'iterpolzioe lgrgi. Possimo di uovo rppresetre tle qutità ell form delle differeze divise: R f, x =[ x, x 0,..., x ; f ] x x 0... x x Or, dll'lisi ftt prim (vedi sopr) sppimo che per quest espressioe esisterà u puto ξ tle che: R f, x = f! x x 0... x x Sppimo dell'esistez del puto ξ, m o simo i grdo di stbilire dove si trovi. Beché questo ftto si purmete teorico e quidi o può essere utilizzto dl puto di vist pplictivo, ci permette di esplorre il seguete cso prticolre: Se l fuzioe f (l'isieme di tutti i poliomi di grdo ), llor l su derivt esim srà pri 0 (zero) e di coseguez: R f, x =0 e quidi P x = f x cioè l'iterpolte drà coicidere co l fuzioe f (che ricordimo essere u poliomio). Quidi se per iterpolre u poliomio di grdo utilizzimo lmeo puti l fuzioe risultte srà il poliomio stesso. Iftti spevmo già d prim che per iterpolre u rett (poliomio di grdo ) bsto 2 puti e per iterpolre u prbol (poliomio di grdo 2) bsto 3 puti ecc...; er lecito duque spettrci u risultto del geere! Or lizzeremo il comportmeto dell'iterpolte l crescere dei puti di iterpolzioe.

41 Covergez dell'iterpolzioe: Si dimostr che: mx R f, x ce f, c R dove E f = mi P mx [x 0, x ] f x P x E' l'errore di migliore pprossimzioe uiforme. L'espressioe di E f i prtic esprime il ftto che si sceglie tr tutti i poliomi di grdo quello che si discost meo d f e si prede l'errore mssimo di iterpolzioe che si trov co quel poliomio. Metre: = mx [ x 0, x ] l,k x k=0 E' l' -esim costte di Lebesgue. Tto più l fuzioe f è regolre, tto più l'errore di iterpolzioe covergerà rpidmete 0 (zero) per che tede (ifiito). I prticolre: se f C 0 E f coverge 0 ; se f C r E f coverge 0 come / r ; C 0 C idic che l fuzioe è cotiu; che l fuzioe è derivbile i ogi suo puto volte. Le qutità tedoo d ifiito l crescere di ed i prticolre si h che: c log

42 Per bilcire il cttivo comportmeto delle qutità rispetto l buo comportmeto dei E f ffiché il resto R f, x ted il più possibile velocemete 0, bisog operre delle scelte oculte sui puti di iterpolzioe x i. se x i = zeri dicebicev log (Scelt ottimle) se x i = zeri di poliomi ortogoli se x i equidistti e (Scelt peggiore) Quidi, fcedo qulche esempio: se f C e x i = zeri di Cebicev si vrà: E f e log per cui: R f, x Metre, log e quidi (dto che tede d ifiito) R f, x 0 se f C 0 e x i equidistti si vrà: E f 0 e e per cui co tedete d ifiito: R f, x Si vede duque che l qulità dell'iterpolzioe dipede dl tipo di fuzioe d iterpolre ed cor più fortemete dlle scelte che si opero per i puti di iterpolzioe! U ltro esempio: Cosiderimo l fuzioe f = x e studimo l covergez dell'iterpolzioe scegliedo puti x i equidistti: L fuzioe f x C 0 poiché come vedimo preset u puto 0, 0 i cui l fuzioe o è derivbile; ioltre dto che i puti x i scelti soo equidistti, si vrà

43 che e e quidi l'iterpolte preseterà umerose oscillzioi (feomei di overflow ed uderflow), metre ivece E f tederà 0 (zero) molto letmete. Per cui l'errore ( R f, x ) tederà d ifiito piuttosto che ridursi ll'umetre dei puti di iterpolzioe. Feomeo di Ruge: Esmiimo l fuzioe f x = x 2 i [-5, 5] Ruge si ccorse che per quest fuzioe (oostte si u fuzioe litic, cioè derivbile ifiite volte) l fuzioe iterpolte o coverge i tutto l'itervllo [-5, 5]. Iftti se estedimo l fuzioe l cmpo dei complessi si vede che il deomitore si ull i x=± dto che i 2 =. Chimimo questi puti (quelli i cui x=± ) puti di sigolrità. Quidi se i puti di iterpolzioe vegoo scelti ll'itero del pio complesso di rggio i l'iterpolte coverge sicurmete, metre se si estede l'itervllo cerchi più grdi che icludoo i puti di sigolrità l'iterpolte diverge.

44 Equzioi o lieri Per equzioi o lieri si itedoo equzioi dell form f (x) = x x + cos x + log(x ) oppure fuzioi ppretemete più semplici f (x) = x,98 + x + che o soo risolvibili medite i metodi dell lisi clssic. É possibile però otteere u pprossimzioe dell soluzioe di tli fuzioi sotto lcue semplici ipotesi:. f (x) è cotiu ell itervllo [, b] i cui stimo lizzdo l fuzioe. 2. f () f (b) < 0 : richiedimo che l fuzioe ssum segi lteri ll itero dell itervllo; questo implic che esisterà lmeo u puto dell fuzioe che pss per l sse x (zero dell fuzioe). 3. f 0 : l fuzioe deve essere priv di flessi. I questo modo evitimo situzioi i cui ci trovimo i presez di rdici multiple. 4. [, b] sufficietemete piccolo. Quest ultimo requisito segue dllo sviluppo di Tylor, d cui sppimo che l errore dello sviluppo del poliomio è direttmete proporziole ll dimesioe dell itervllo. Sotto queste ipotesi è possibile pplicre i cosiddetti metodi itertivi. Metodi itertivi Dto u puto iizile x 0 detto puto di iesco si costruisce u successioe di vlori x, x 2,..., x medite u fuzioe di iterzioe g tle che x + = g(x ). L successioe così costruit, l crescere di, coverge llo zero dell fuzioe, o i ltre prole lim x = x e f (x) = 0

45 Metodo di Newto-Rphso I questo metodo l successioe dei vlori che pprossim l soluzioe dell fuzioe, viee clcolt medite l seguete formul: ovvero: x + = x f (x ) f (x ) g(x) = x f (x) f (x) Poiché deomitore compre l derivt prim di f (x), per poter pplicre questo metodo dovremo richiedere che, oltre lle ipotesi precedeti, vlg che che f (x) 0, cosi d evitre divisioi per 0. Questo metodo h covergez qudrtic, tuttvi risult essere computziolmete costoso poiché, d ogi iterzioe, è ecessrio clcolre l derivt di f (x). Iterpretzioe geometric Il metodi di Metodo di Newto-Rphso è che oto come metodo delle tgeti perché per clcolre x +, d ogi iterzioe si trcci l tgete ll curv el puto di coordite (x, f (x )) e il puto cercto è dto dll itersezioe dell tgete co l sse delle x. Figur : Metodo di Newto-Rphso Test di covergez (criterio di stop) Cerchimo or di cpire qule iterzioe del metodo di Newto-Rphso fermrci per otteere u buo pprossimzioe dello zero dell fuzioe che stimo esmido. Ad u prim lisi potremo decidere di fermrci el mometo i cui l -esimo vlore clcolto si più piccolo di u certo vlore fissto (es. 000 ), ovvero f (x ) ε 2

46 Tuttvi tle criterio o risult essere efficce ei csi i cui, d esempio, l fuzioe cresc rpidmete. Per quto visto quidi, si potrebbe pesre di fermre il metodo o l differez tr due puti clcolti si piccol cioè: x + x < ε Purtroppo che questo criterio o risult essere ottimle i quto el cso di fuzioi che crescoo letmete rischieremo di fermrci troppo presto come mostrto dll figur. Proprio per escludere questi csi limite, si dimostr che u ottimo criterio di stop è dto dlle segueti due formule ( che devoo essere etrmbe verificte ) x + x < ε x + x < ε x 3

47 Qudrtur umeric Le formule di qudrtur umeric permettoo di otteere u pprossimzioe del vlore degli itegrli di fuzioi f(x) qudo tli fuzioi risulto difficili d clcolre medite i metodi clssici dell lisi mtemtic. I geerle b f(x) dx = w i f(x i ) dove gli x i soo odi e i w i soo pesi. Si dimostr che se l crescere di wi k l qudrtur coverge, ltrimeti, se l somm dei pesi o è limit, diverge. Formule di Newto-Cotes Si pplico scegliedo odi equidistti. Dto che l crescere di il modulo dell somm dei pesi w i tede d ifiito, queste formule vegoo geerlmete pplicte su due o tre puti mssimo. Formul dei trpezi b f(x) dx = b 2 i= L formul pprossim l itegrle ll re del trpezio l di sotto del segmeto b e quidi i molti csi forisce u stim poco ccurt. Formul di Cvlieri-Simpso b f(x) dx = h 3 [f() + f(b)] dove h = b () [f() + 4f(M) + f(b)] (2) dove M rppreset il puto medio tr e b. Formule composite Proprio cus del comportmeto istbile l crescere dei puti utilizzti, bbimo detto che è preferibile utilizzre le formule di Newto-Cotes per due o tre puti l mssimo. Tuttvi, dovedo utilizzre obbligtorimete odi equidistti, si può pesre di suddividere l itervllo di ppliczioe [, b] i itervlli più piccoli di ugule mpiezz e su ciscuo di questi pplicre le formule precedeti, cioè: b f(x) dx = i=0 i + i f(x) dx

48 A questo puto l formul i () pplict su più itervlli divet: b metre l formul (2) divet: b f(x) dx = h 2 [f() + f(b) + f( + ih)] f(x) dx = h 3 [f() + 2 f( + 2ih) + h f( + (2i )h) + f(b)] i= Ache i questo cso le formule presette risulto essere molto semplici m poco ccurte. Formule di Guss A differez delle formule precedeti, le formule di Guss ho il vtggio di essere covergeti (questo vuol dire che l crescere del umero dei odi utilizzti w i k, o i ltre prole l somm dei pesi è limitt); di cotro però l loro costruzioe è leggermete più complict. Si itroduce u fuzioe peso w(x) tle che. w(x) 0 2. b w(x) dx = A prtire d w(x) si costruisce u successioe di poliomi P 0 di grdo 0, P di grdo,..., P di grdo (successioe di poliomi ortogoli) tle che: { b 0, se m, m w(x)p (x)p m (x) dx = 0, se = m Ioltre, se l itegrle risult essere ugule d, diremo che l successioe è ortoormle. Fuzioi peso Di seguito vegoo electe lcue delle fuzioi peso più ote i lettertur. i=0 i= 2

49 fuzioe w(x) itervllo di vlidità ome (, ) poliomi di Legedre x 2 (, ) poliomi di Cebicev di prim specie x 2 (, ) poliomi di Cebicev di secod specie e x (0, + ) poliomi di Lguerre e x2 (, + ) poliomi di Hermite Costruzioe Si P l -esimo poliomio ortogole i [, b]. Si idividuo gli zeri (o rdici) di tle poliomio rispetto ll fuzioe peso w, cioè quei puti x i tli che P (x i ) = 0 (P h rdici reli e distite i [, b]). Co questi puti si dimostr che b w(x)f(x) dx = w i f(x i ) Le formule di Guss ho pesi positivi, cioè si dimostr che w i > 0 per i = 0,..., ; questo comport che w i = w i = i quto tli formule soo estte per f = e soo quidi covergeti per quto detto fio d or. Per idividure gli x i e i w i si us solitmete u softwre (QUADPACK) che prtire d [, b] e w forisce i mier utomtic i vlori cercti. Esempio Clcolimo l itegrle seguete medite le formule di qudrtur di Guss: Scegliedo w(x) = x 2 immeditmete che i= x 5 x 2 dx (poliomio di Cebicev di prim specie) si vede x 5 x 2 dx = w i x 5 i I questo cso ioltre si dimostr che w i = π e che x i = cos π (2i + ). 2 I geerle, voledo pplicre u formul di qudrtur per clcolre l itegrle di u fuzioe g(x), si può moltiplicre e dividere l itegrdo i= 3

50 per u fuzioe peso opportu e quidi pplicre l formul di qudrtur come mostrto di seguito: b g(x) dx = dove f(x) = g(x) x 2. b g(x) x 2 x 2 dx = b f(x) x 2 dx Not Se l formul itegrd f P 2 (ovvero è u poliomio di grdo l più 2 llor l formul di qudrtur è esttmete ugule l vlore dell itegrle cioè b w(x)f(x) dx = w i f(x i ) I questo cso si dice che l formul di qudrtur h grdo di precisioe (o di esttezz) 2. Quidi ell esempio precedete, poiché x 5 P 2, possimo sostituire il simbolo = co il simbolo di = e quidi x 5 x 2 dx = i= w i x 5 i = π i= i= cos 5 π (2i + ) 2 Si dimostr che 2 è il mssimo grdo di precisioe possibile per formule di qudrtur di questo tipo e quidi le formule gussie soo ottimli. Strtegie di qudrtur utomtic I softwre di qudrtur utomtic come il QUADPACK, cerco di pplico formule viste fio d or i mier combit l fie di otteere dei vlori che si vvicio il più possibile i vlori estti degli itegrli. Suppoimo di voler clcolre l itegrle dell fuzioe rppresett i figur. I questo cso il softwre tederà suddividere il grfico i due prti: l prte i B più regolre verrà clcolt utilizzdo pochi puti medite le formule di Guss; l prte i A ivece, che preset u dmeto meo regolre, richiederà l utilizzo di più puti e l uso delle formule di Newto- Cotes. 4

51 Approssimzioe. Itroduzioe Suppoimo che si u serie o u fuzioe molto complict, i molti csi, può essere utile sostituirl co u più semplice che si più fcile d trttre (es. poliomio, fuzioe trigoometric, etc). Dt quidi u fuzioe, si utilizz u fuzioe che pprossim l fuzioe di prtez. Voglimo spere quto si scost d, cioè quto è l'errore dovuto ll'pprossimzioe: 2. Norm di Chebyshev Per vlutre l distz dell pprossimzioe dll fuzioe origile si itroduce l Norm di Chebyshev (o Norm ifiito o del mssimo ) defiit come: Defiizioe: Si u fuzioe cotiu i u itervllo chiuso e limitto [,b], e si u fuzioe cotiu i [,b], si dice Approssimzioe di Chebyshev dell fuzioe rispetto ll fuzioe l orm: Se co U esempio di successioe di poliomi pprossimti u fuzioe cotiu è dto di poliomi di Berstei. I poliomi di Berstei reltivi d u fuzioe i [0,] covergoo uiformemete i [0,] ll. 3. Teorem di Weierstrss Il problem che si preset ello studio dell' pprossimzioe poliomile è il seguete: Dt u fuzioe è sempre possibile costruire u successioe di poliomi coverg uiformemete i [,b], cioè tle che? che L soluzioe questo problem è dt dl Teorem di Weierstrss: Assegt u fuzioe cotiu i u itervllo chiuso e limitto [,b] esiste lmeo u successioe di poliomi covergete uiformemete verso i [,b].u qulsisi successioe di poliomi che coverge uiformemete si chim successioe di poliomi pprossimti. V ioltre osservto che esistoo più successioi di poliomi co tle proprietà (es. i poliomi di Berstei, usti che i grfic per le loro proprietà mimiche).

52 Se, m, si può comuque trovre u buo pprossimzioe: voglimo sostituire l, che è difficilissim, co u fuzioe più semplice, di cui sppimo fre le derivte, e poi vlutre l'errore che viee commesso. 4. Norm qudrtic Voglimo trovre quidi l cosiddett Norm qudrtic che è defiit come: Defiizioe: Si u fuzioe defiit, e geerlmete cotiu, i u itervllo chiuso e limitto [,b] e di qudrto itegrbile e si u successioe di fuzioi ch'esse geerlmete cotiue e di qudrto itegrbile i [,b], si chim Approssimzioe i medi qudrtic di rispetto d l orm: Nelle fuzioi di qudrto itegrbile o possimo clcolre il mssimo (come quell defiit ell orm di Chebyshev) poiché o è cotiu. U risultto importte ci dice che esistoo più fuzioi cotiue i [,b] che formo u sistem ortoormle e prtire d queste e costruimo l formul: si dimostr che quest h u proprietà importte: l qutità è miim se i coefficieti soo uguli i coefficieti (coefficieti di Fourier):, dove

53 5. I poliomi di Chebyshev Dimo or l defiizioe dei poliomi ortogoli di Chebyshev,molto oti el clcolo umerico e i vri cotesti dell mtemtic. L costruzioe dei poliomi di Chebyshev viee eseguit co u semplice formul: l Relzioe di ricorrez tre termii. Secodo quest'ultim bst cooscere due termii per ricvre il terzo: posto,, risult, otteedo così poliomi di grdo. 5. Zeri di Chebyshev Gli zeri di Chebyshev soo dti d semplici espressioi,soo qutità reli e distite l'u dll'ltr(e quest è u'iformzioe importte per vrie ppliczioi):, co k=0,..., Si vuole or dimostrre che i poliomi costituiscoo, ell'itervllo (-,) u sistem di fuzioi ortogoli rispetto ll fuzioe peso : Si può dimostrre che: = 0 se m = se >0 = se =0 che è proprio l codizioe di ortogolità. Notimo poi che il sistem di poliomi, = 0,,..., co

54 è ortoormle i (-,) rispetto ll fuzioe peso ; iftti è possibile dimostrre che: =0 se = se Questi poliomi trovo ppliczioe ell qudrtur Gussi (vedi prgrfo) e ell qusi migliore pposimzioe.(vedi prgrfo 6.) 6. Il problem dell migliore pprossimzioe Se si sseg u poliomio che pprossim i u itervllo chiuso e limitto [,b], questo corrispode u be determit pprossimzioe dt d: m se si fiss solo il grdo del poliomio l'pprossimzioe vri l vrire dei coefficieti. Or ci chiedimo se ssegt u fuzioe cotiu, esiste u poliomio di grdo o mggiore di, per il qule l'pprossimzioe ssum il vlore miimo. U poliomio che relizzi l migliore pprossimzioe si chim poliomio di migliore pprossimzioe. Teorem: Assegt u fuzioe cotiu ell'itervllo chiuso e limitto [,b] d ogi itero positivo corrispode uo ed u solo poliomio di grdo o mggiore di che relizz l migliore pprossimzioe di i [,b]. Questo teorem ssicur l'esistez e l'uicità del poliomio. Si può dire, quidi, che l successioe è quell che ell'itervllo (,b) coverge più rpidmete verso.purtroppo, però, l determizioe del poliomio di migliore pprossimzioe, prte che per pochi csi prticolri, è estremmete lborios.

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