Misure ed incertezze di misura

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1 Misure ed incertezze di misur

2 Misurzione e Misur Misurre signiic quntiicre un grndezz isic chimt misurndo trmite un processo (misurzione) il cui risultto detto misur. L misur deve poter essere ripetut nche d ltri e quindi v comunict in modo inequivocbile. Pertnto, con l misur bisogn ornire lmeno il vlore, l incertezz e l unità di misur:

3 Vlore, Incertezz e Unità Il vlore che quntiic il misurndo il risultto del conronto tr il misurndo e un grndezz di rierimento (CAMPIONE). L incertezz dell misur il grdo di dispersione dei vlori ttribuiti l misurndo in occsione di diverse misurzioni ed, quindi, indictiv del pregio (e nche del costo) dell strumentzione di misur e nche dell metodologi dottt. L unità di misur che deve essere internzionlmente riconosciut i ini di un migliore comuniczione del risultto.

4 Esempi di Misur Tensione vuoto di un btteri (9,6 ±,) V Resistenz di un resistore (1,5 ±,1) W Si comunic il vlore, l incertezz, e l unità di misur.

5 Errori e incertezze (eetti csuli) Nel processo di misur intervengono molti ttori (grndezze) di inluenz: l tempertur, l umidità, vibrzioni o disturbi di tipo elettrico e elettromgnetico dell mbiente in cui si svolge l misur, etc. Tutti questi ttori (grndezze di inluenz) intergiscono in vri modi nel processo di misur, per cui se questo ripetuto si ottengono risultti diversi determinndo un dispersione dei vlori misurti. Questi ttori citti intervengono in modo csule nel processo di misur pertnto se si ripete N volte l misur (con N ) e si oper un medi il loro eetto tende d nnullrsi (eetti csuli).

6 Errori e incertezze (eetti sistemtici) L misur nche inluenzt di comportmenti non ideli dei vri elementi del sistem di misur (dietti nei modelli e nei cmpioni) che dnno luogo scrti sempre nell stess direzione (eetti sistemtici) (non si possono rimuovere con un processo di medi). Con rierimento questi ultimi, in lcuni csi si in grdo di stimre l entità e il segno dello scrto e pertnto si in grdo di correggere l misur (trtur) in questo cso si prl di errori (errori sistemtici). Tuttvi, nche qundo possibile eetture un trtur permngono sempre degli errori residui dovuti lle non idelità degli stndrd di trtur usti. Inine, in ltri csi, gli scrti non si possono quntiicre e quindi correggere (es. prmetri meccnici o mgnetici in un mperometro nlogico).

7 Espressione dell misur In conclusione, l misur srà sempre ett d un cert incertezz che quindi crtterizz l dispersione dei vlori che possono essere rgionevolmente ttribuiti l misurndo. Per eetto dell incertezz il risultto di un misur non espresso d un vlore, m d un intervllo per cui l misur di un grndezz m srà espress come: M ± e dove M, vlore centrle dell intervllo, l stim migliore del misurndo ed e l semimpiezz dell sci di incertezz.

8 Vlore ssoluto e reltivo I I o ± e I I I o ± h I %

9 Legme db -> % x ( db) log 1 æ 1 x (%) 1 ö ø x ( db) (%) log 1 æ 1 x 1 ö ø 1 x ( db) 1 x (%) 1 x (%) æ 11 x ( db) ö -1 ø

10 Scrittur del risultto di un misur Per scrivere correttmente il risultto di un misur bisogn re lcune considerzioni: Cire decimli di un numero sono le cire dopo l virgol (es 7, > cire decimli 54364) Cire signiictive di un numero sono le cire dopo gli zeri (es,54 cire signiictive 54)

11 Misur con incertezz ssolut Qundo si eettu un misur si riport inizilmente il vlore letto sullo strumento con tutte le sue cire decimli (es 7,54364). In seguito si vlut l incertezz con tutte le sue cire decimli (es,54). Si scrive l incertezz considerndo l mssimo due cire signiictive rrotondndo l vlore superiore (es,6). Si scrive il vlore con le stesse cire decimli dell incertezz rrotondndo l più vicino (es 7,5436) Si scrive l misur: m 7,5436 ±,6

12 Vlutzioni di tipo A Se si suppone che l misur si ett solo d incertezze di tipo csule, l incertezz può essere vlutt con metodi sttistici. Questi metodi di vlutzione dell incertezz si dicono di tipo A. Se si ripete l misur nelle stesse condizioni per molte volte e si trcci l istogrmm si vede che questo tende d un gussin (Teorem del limite centrle) p ( x) s 1 é expê- p êë ( x - x ) con x m vlore medio e s vrinz. l probbilità che un vlore preso cso tr le misurzioni eettute cd nell intervllo x m ± s del 68.4%. s m ù ú úû

13 Stime L teori sttistic dimostr che, per qulunque p(x), l stim migliore del vlor medio (x m ) dt dll medi sperimentle (o cmpionri) m N ottenut su N osservzioni indipendenti x k come: m L stim migliore dell vrinz dt dll vrinz del vlor medio delle misure deinit come: s M 1 N å N x k N k 1 1 N N( N -1) k 1 å( m - m ) k N

14 Volendo quindi quntiicre l incertezz si ssume s M come stim sperimentle dell incertezz. s M dett scrto o incertezz stndrd di tipo A sperimentle ed indict con l letter u. Come noto si h che l probbilità che un vlore preso cso cd nell intervllo del 68.4%. Se non si ritiene suiciente l probbilità del 68.4% si può umentre questo vlore introducendo l incertezz estes K u dove K detto ttore di copertur. Con K si h un probbilità del 95.4% (u). Con K 3 si h un probbilità del 99.7% (3u). Quindi si può esprimere l misur come: x m ± N Ku

15 Vlutzioni di tipo B In quest clsse, rientrno tutte le vlutzioni di incertezze che non vengono ricvte trmite l devizione stndrd di misure ripetute (come per quell di tipo A).

16 Procedur per vlutzioni di tipo B Nelle vlutzioni di tipo B in primo luogo si un stim dei limiti delle vrizioni sull misur custe d un sorgente d incertezz, ovvero si vlut lo scrto mssimo. In seguito si ssume un cert distribuzione di probbilità tr questi limiti. Inine, si clcol un devizione stndrd equivlente che rppresent l incertezz stndrd di tipo B.

17 Distribuzione rettngolre L distribuzione rettngolre si utilizz qundo si conoscono i limiti di vrizione e si può ssumere che tutti i vlori sino equiprobbili ovvero qundo non si hnno inormzioni sull distribuzione tr questi limiti. - In questo cso l relzione tr incertezz stndrd u e i limiti di vrizione (scrto mssimo ± ) : s ò - p(x)(x - x m ) dx ò - 1 x dx 1 éx ê êë 3 3 ù ú úû - 3 u

18 Altre distribuzioni distribuzione normle u.5 - distribuzione tringolre u - distribuzione d U -

19 Incertezz per misure dirette Le misure dirette si distinguono tr misure singole e misure ripetute. L prim strtegi di solito si dott qundo si utilizzno metodi e strumenti non troppo sensibili, cosicché ci si spett di ottenere sempre lo stesso risultto L second strtegi si dott con strumenti e metodi tnto sensibili d mettere in evidenz le vrizioni indotte sull misur dlle numerose grndezze di inluenz.

20 misure singole Nelle misure singole l incertezz si ottiene, dopo ver corretto eventuli errori sistemtici, combinndo le incertezze di tipo B dovute ll strumentzione e d ltre cuse. Per l vlutzione dell incertezz occorre speciicre se si clcolto l errore mssimo o l incertezz stndrd. Per cui nel primo cso si vrà: δy å N i 1 δy i Mentre nel secondo cso si h: å u y u i N i 1

21 misure ripetute Nelle misure ripetute l stim migliore dt dll medi delle vrie misure e l incertezz totle v clcolt combinndo le incertezze csuli e quelle sistemtiche. Anche in questo cso si deve speciicre se si clcolto l errore mssimo: δ y δy tot o l incertezz stndrd A δy B tot A u u u B

22 Vlutzione di cso peggiore (pproccio deterministico) per l errore di misure indirette (propgzione dell errore) In lcuni csi, il misurndo y non stimbile trmite un misur dirett m un unzione di ltre N quntità x i correlte d esso ttrverso un relzione unzionle: Nel cso di tre grndezze di ingresso possimo scrivere: y (,b,c ) Per le grndezze di ingresso il vlore srà noto ll interno di un sci di incertezz; quindi si vrà: m ± d b ± db c ± dc bm cm y (,b, ) c vlore dell misur

23 sviluppo in serie di Tylor ( ) ( ) c c b b,c,b c b,c,b y y,c,b,c,b,c,b d d d d d d d ø ö æ ø ö æ ø ö æ c c b b y c,,b,c,b,c,b d d d d ø ö æ ø ö æ ø ö æ

24 Scrto mssimo Nel cso di vlutzione pessimistic (deterministic) si prendono tutte le derivte in modulo, e l errore mssimo coincide con lo scrto mssimo su y, per cui si h: dy d b db c,b,c,b,c,b, c dc Formul di propgzione dell errore

25 Se richiest un vlutzione di tipo probbilistico, in ssenz di correlzione tr le grndezze, l vrinz clcolbile come: E il modello che deve essere utilizzto nell stim delle incertezze nell emissione di certiicti uicili; nche il modello suggerito dll Guid ll espressione dell incertezz di misur (CEI UNI). Pssndo dlle vrinze lle incertezze si h: Vlutzione probbilistic dell incertezz per misure indirette (propgzione dell incertezz) c,c,b b,c,b,c,b y c b s ø ö æ s ø ö æ s ø ö æ s c,c,b b,c,b,c,b y u c u b u u ø ö æ ø ö æ ø ö æ

26 Poiché sono coinvolte più grndezze, l distribuzione tende quell gussin e l s y ssume il signiicto di incertezz tipo u y con un iduci del 68.4%. Se si vogliono vere probbilità più elevte bisogn moltiplicre u y per un ttore di copertur.