Capitolo. Il comportamento dei sistemi di controllo in regime permanente. 6.1 Classificazione dei sistemi di controllo. 6.2 Errore statico: generalità

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1 Capitolo 6 Il comportamento dei itemi di controllo in regime permanente 6. Claificazione dei itemi di controllo 6. Errore tatico: generalità 6. Calcolo dell errore a regime 6.4 Eercizi - Errori a regime 6.5 I diturbi additivi: generalità 6.6 Eercizi Effetti dei diturbi additivi 6.7 Senibilità di una funzione alle variazioni parametriche 6.8 Eercizi - Senibilità della f.d.t. alle variazioni parametriche

2 6. CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI DI CONTROLLO AD ANELLO CHIUSO PER TIPI La claificazione dei itemi ad anello chiuo per tipo, viene fatto in relazione al numero di poli nell origine della f.d.t. ad anello aperto. Il tipo del itema indica il numero dei poli che la G() H() preenta nell origine N. dei poli nulli della G() H() claificazione 0 itema di tipo zero ( al denominatore ) itema di tipo uno ( al denominatore ) itema di tipo due Nel progetto di un itema di controllo ad anello chiuo occorre tener conto, della preciione e della enibilità ai diturbi additivi e parametrici. 6. ERRORE A REGIME La preciione rappreenta la capacità di un itema di produrre una ripota la più imile poibile a quella deiderata, ma in un itema di controllo reale l ucita non è mai eattamente quella deiderata ma è affetto da errore La preciione di un itema è evidenziata dall errore tatico, cioè l errore permanente o a regime. u t e il valore realmente Eo è definito come differenza tra il valore d ucita deiderata 0 ( ) () t gradino; rampa; parabola e( ) lim u ( t) u( t) ottenutou a tranitorio eaurito, quando vengono applicati in ingreo i egnali tipici: Si dimotra che: e( ) lim R() 0 H0 G() H 0 [ ] t 0 dove H o guadagno del blocco di reazione L errore tatico viene calcolato in funzione del tipo di egnale in ingreo R() e viene indicato come errore: - di poizione (ε p ) nel cao di ingreo a gradino - di velocità (ε v ) per la rampa - di accelerazione (ε a ) per la parabola VI-

3 I coefficienti di poizione k a di velocità k v e di accelerazione k a ono definiti nel modo eguente k a lim G( ) ; k v lim G() ; k a lim G() In figura ono riportati gli errori tatici per i tre tipi di itema, Con l errore nullo, dopo la fae tranitoria l ucita ha l andamento deiderato Con l errore cotante l ucita i dicota dall andamento voluto di un valore cotante Con l errore infinito l ucita i dicota empre più con il paare del tempo dall andamento deiderato VI-

4 6. CALCOLO DELL ERRORE A REGIME Conideriamo il itema in figura e dimotriamo che l errore a regime vale ε ( ) lim R() 0 H0 G() H 0 [ ] - Ricaviamo l ucita ideale complea. U o () cioè il valore che aume l ucita quando ε()0 ε() R() V R () R() U() H() 0 R() U o () H() - Ricaviamo l ucita effettiva complea U() cioè il valore che aume l ucita quando ε() 0 () U G () R() G() H() - Ricaviamo l errore Ε() E() U 0 ()-U() otituendo i ha: E() R() H() G()R() R() - G()H() H() G()H() [ ] coniderando H() cotante H o E() H R() [ G() ] 0 H 0 - Per il teorema del valore finale e( ) lim e(t) lim E() t otituendo i ha: e( ) lim R() [ ] 0 H G() 0 H 0 VI-4

5 6.4 ESERCIZI ERRORI A REGIME Eercizio - Errori a regime - Sitema di tipo zero Determinare il tipo di itema e calcolare l errore di poizione ε p, di velocità ε v e di accelerazione ε a e i coefficienti k p, k v e ka per egnali d ingreo a gradino a rampa e a parabola Soluzione Il itema è di tipo 0, poiché la f.d.t. ad anello aperto non ha poli nell origine. 0 G()H() ( + )( + ) L errore a regime applicando il teorema del valore finale è uguale a e( ) lim R() 0 H0[ G() H 0 ] Queto errore è: per un egnale a gradino unitario r(t) R() / ε p e( ) lim 0 lim 0 ( + )( + ) ( + )( + ) k lim G() 0 p 0 lim 0 ( + )( + ) per un egnale a rampa unitaria r(t) t R() / ε v e( ) lim 0 lim 0 ( + )( + ) ( + )( + ) k v lim G() lim ( + )( + ) 6 0 VI-5

6 per un egnale a parabola unitaria R(t) t R() / ε a e( ) lim k lim G() a 0 ( + )( + ) lim lim ( + )( + ) 6 0 ( + )( + ) 0 VI-6

7 Eercizio - Errori a regime - Sitema di tipo uno Determinare il tipo di itema e calcolare l errore di poizione ε p, di velocità ε v e di accelerazione ε a e i coefficienti k p, k v e ka per egnali d ingreo a gradino a rampa e a parabola Soluzione Il itema è di tipo, poiché nella della f.d.t. ad anello aperto compaiono un polo nullo. 5( + ) G()H() ( + )( + ) L errore a regime è uguale a e( ) lim 0 H R() [ G() ] 0 H 0 Queto errore è: per un egnale a gradino unitario r(t) R() / ε p e( ) lim 5( + ) 5 ( + )( + ) 0 kp lim G() lim 5( + ) ( + )( + ) 0 0 per un egnale a rampa unitaria r(t) t R() / ε v e( ) lim 5( + ) lim 5( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) lim 5( + ) lim 6 5( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) 6 k v lim G() lim 5( + ) 0 0 ( + )( + ) lim 5( + ) 5 0 ( + )( + ) 6 VI-7

8 per un egnale a parabola unitaria R(t) t R() / ε a e( ) lim 5( + ) lim 5( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) lim 5 ( + ) lim 5( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) k a lim G() lim 5( ) + 0 ( + )( + ) lim 5( + ) 0 0 ( + )( + ) VI-8

9 Eercizio - Errori a regime - Sitema di tipo due Determinare il tipo di itema e calcolare l errore di poizione ε p, di velocità ε v e di accelerazione ε a e i coefficienti k, k e k per egnali d ingreo a gradino a rampa e a parabola. p v a Soluzione Il itema è di tipo, poiché nella della f.d.t. ad anello aperto compaiono due poli nulli. 0( + )( + 4) G()H() ( + 5) L errore a regime è uguale a ) lim R() e( H0[ G() H 0 ] Queto errore è: per un egnale a gradino unitario r(t) R() / ε p e( ) lim 0( + )( + 4) 0 4 ( + 5) 0 k p lim G() lim 0( + )( + 4) ( + 5) 0 0 per un egnale a rampa unitaria r(t) t R() / ε v e( ) lim 0( + )( + 4) lim 0( + )( + 4) ( + 5) ( + 5) lim 0( + )( + 4) lim 0 0( + )( + 4) ( + 5) ( + 5) 0 k v lim G() lim 0( + )( + 4) 0 0 ( + 5) lim 0( + )( + 4) 40 0 ( + 5) 0 VI-9

10 per un egnale a parabola unitaria R(t) t R() / ε a e( ) lim 0( + )( + 4) lim 0( + )( + 4) ( + 5) ( + 5) lim 0 ( + )( + 4) lim 0( + )( + 4) ( + 5) ( + 5) k a lim G() lim 0( + )( + 4) 0 ( + 5) lim 0( + )( + 4) 48 0 ( + 5) VI-0

11 Eercizio 4- Errore a regime - Sitema di tipo due - Progetto Sapendo che l errore a tranitorio eaurito vale,5 per un egnale d ingreo a parabola unitaria, determinare il valore di k Soluzione Il itema è di tipo, poiché nella della f.d.t. ad anello aperto compaiono due poli nulli. L errore a regime è uguale a e( ) lim H R() [ G() ] 0 H 0 Per un egnale a parabola unitaria r(t) t e R() e( ) ε a lim k ( + 6)( + 0) lim ( + 6)( + 0) ( + 6)( + 0) + k Poto ε a uguale a,5 i ricava k lim lim 0 ( + 6)( + 0) ( + 6)( + 0) + k queto errore è: ( + 6)( + 0) + k ( + 6)( + 0) 60 k 0 k ε a 0 0,5 k 80 k, 5 Metodo alternativo (mediante l uo della tabella) k a lim G() lim k k 0 ( + 6)(S + 0) 60 R k ε a,5,5 k H 0 k a k ,5 VI-

12 Eercizio 5- Errore a regime - Sitema di tipo uno Progetto Ricavare il valore di k affinché l errore a regime ia minore del % per un egnale d ingreo a gradino unitario. Soluzione Il itema è di tipo 0, poiché la f.d.t. ad anello aperto non ha poli nell origine. 0,4k G()H() + 0,4 + 0,04 L errore a regime è uguale a ) lim R() e( H0[ G() H 0 ] Per un egnale a gradino unitario r(t) e R() / queto errore è: ε p e( ) lim 0,4k lim 0,4k + 0,4 + 0,04 + 0,4 + 0,04 0,4k 0,04 Poto ε p < /00 i ricava k 0,4k 0,04 < 00 0,4k 0,4k > 50 > 49 0, 04 0, ,04 k > k > 4, 9 0,4 VI-

13 Eercizio 6- Errore a regime - Sitema di tipo uno - Progetto Determinare i parametri u cui agire per diminuire l errore, quando in ingreo è applicata una rampa unitaria r(t) t Soluzione Il itema è di tipo, poiché nella della f.d.t. ad anello aperto compare un polo nullo L errore a regime è uguale a ) lim R() e( H0 G() H 0 [ ] per un egnale a parabola r(t) t e R() ε v e( ) lim k lim k lim ( + a) ( + a) lim a k k + ( + a) Per diminuire l errore a regime è biogna aumentare k oppure diminuire a k + ( + a) VI-

14 + 6.5 I DISTURBI ADDITIVI: GENERALITÀ I diturbi additivi ono egnali indeiderati che entrano nel itema e i ommano al egnale utile Ad eempio in un itema di ricaldamento la variazione della temperatura eterna è un diturbo additivo che provoca una variazione non deiderata del valore della grandezza fiica. Per valutare l effetto prodotto da uno o più diturbi ulla ripota i applica il principio di ovrappoizione degli effetti. 6.6 ESERCIZI - EFFETTI DEI DISTURBI ADDITIVI Eercizio Diturbo ul blocco di andata - Ripota a regime Determinare la ripota a regime del itema in figura ollecitato da un egnale a gradino unitario. Il diturbo ha ampiezza 0,. Soluzione Per determinare l ucita applichiamo e il principio di ovrappoizione degli effetti: coniderando l ucita come omma dell ucita U (S) dovuta al egnale R(), e U (), dovuta al diturbo. Conideriamo agente olo il egnale R() poniamo () 0 VI-4

15 Riducendo i due blocchi in cacata ad un olo blocco con fdt G G i ha G G W U W R G G H 8 ( + )( + )( + ) 8 W () ( + )( + )( + ) + ( ( + )( + )( + ) ( )( + ) )( + ) + 8 ( fdt del itema in aenza del diturbo) Avendo in ingreo un gradino di ampiezza unitaria R()/ : 8 U() (ucita complea in aenza del diturbo) U f lim U() 0, (valore a regime) Conideriamo ora, agente olo il diturbo () poniamo R() 0 Nota: il blocco è dovuto al nodo ommatore che ora volge la funzione invertente Lo chema è equivalente Riducendo i due blocchi in cacata ad un olo blocco i ha VI-5

16 W U G G G W H W 8 8 ( + )( + ) ( + )( + ) 8( + ) W ( + )( + )( + ) + ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ) 8( + ) Avendo in ingreo un diturbo di ampiezza 0, ()0,/ otituendo i ha : 0, 8( + ) U () (ucita complea dovuta al olo diturbo) U f lim U() lim 0, 8( + ) lim 8( + ) , 4 U f 0,06 (valore a regime dovuto al olo diturbo) 8 La ripota compleiva a regime è U f Uf + Uf 0,0,06 0,7 VI-6

17 Eercizio Diturbo all ingreo e ul blocco di andata - Ripota a regime Determinare la ripota a regime del itema in figura ollecitato da un egnale a gradino unitario. I diturbi hanno entrambi ampiezza 0, Per determinare l ucita applichiamo e il principio di ovrappoizione degli effetti: coniderando l ucita come omma dell ucita U 0 (S) dovuta al egnale R(), U (), dovuta al diturbo () e U(), dovuta al diturbo () Conideriamo agente olo il egnale R(), poniamo 0 () 0 e () 0 0 ( + )( + 5) W 0 () 50 ( + )( + )( + 5) 0( + ) ( + )( + 5) 0( + )( + 5) ( + )( + )( + 5) + 50 ( + + )( + 5) ( + )( + )( + 5) U0() W () R() Avendo in ingreo un gradino di ampiezza unitaria R()/, otituendo i ha: U 0 () 0( + ) (ucita complea in aenza dei diturbi) U f 0 lim U0() 0( + ) , (valore a regime) 60 Conideriamo ora agente olo il diturbo () 0, poniamo R() e () 0 VI-7

18 0( + ) W () W 0 () ; U() W () () Avendo in ingreo un diturbo di ampiezza 0, ()/, otituendo i ha: 0, 0( + ) U () (ucita complea dovuta al diturbo ) , 0( + ) 0 U f lim U0() 0,0 (valore a regime ) Conideriamo infine agente olo il diturbo () 0, poniamo R() e 0 () 0 ( + ) W () 50 ( + )( + )( + 5) ( + )( + 5) ; U() W () () Avendo in ingreo un diturbo di ampiezza 0, ()/, otituendo i ha: 0, ( + )( + 5) U () (ucita complea dovuta al diturbo ) , ( + )( + 5) U f lim U0() 0,07 (valore a regime) Nota: L effetto del diturbo che i introduce nel blocco di andata è minore di quello all ingreo. U f Uf 0 + U f + U f 0,+0,0+0,07 0,8 VI-8

19 6.7 SENSIBILITÀ DI UNA FUNZIONE ALLE VARIAZIONI PARAMETRICHE Le variazioni di alcune caratteritiche del itema coneguente alle variazioni dei parametri è detta enibilità. F() Si definice enibilità di una funzione F() ripetto a un parametro p e i indica S p il rapporto tra la variazione percentuale della funzione e la variazione percentuale del parametro F() F() F() F() p F() F() p S S p per p 0 p p p F() p F() p F() è la derivata parziale della funzione F() calcolata ripetto al parametro p p 6.8 ESERCIZI - SENSIBILITÀ DELLA FDT ALLE VARIAZIONI PARAMETRICHE VI-9

20 VI-0

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