Sui Linguaggi Regolari: Teorema di Kleene - Pumping Lemm

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1 Sui Linguaggi Regolari: Teorema di Kleene - Pumping Lemma N.Fanizzi - V.Carofiglio 6 aprile 2016

2 1 Teorema di Kleene 2 3 o 1 o 3 o 8

3 Teorema di Kleene Vale la seguente equivalenza: L 3 L FSL L REG Dimostrazione. Lo schema di dimostrazione è il seguente: 1 (ed anche ) 2 3

4 Tesi I. Sia L L 3 cioè G = (X, V, S, P), G di tipo 3: L(G) = L Si deve costruire un FSA M = (Q, δ, q 0, F ) tale che T (M) = L(G) Algoritmo. Input: G = (X, V, S, P), G di tipo 3 Output: M = (Q, δ, q 0, F ) FSA 1 X alfabeto di ingresso per M 2 Q = V {q}, q V 3 q 0 = S 4 F = {q} {B B λ P} 5 δ : Q X (Q) 1 B ac P : C δ(b, a) 2 B a P : q δ(b, a)

5 Osservazione: l algoritmo può generare NDA (passi 5.a e 5.b) Occorre dimostrare anche la correttezza dell automa: L(G) = T (M) L(G) T (M): sia w = x 1 x 2 x k L(G) w può essere generata con una derivazione: S = x 1 X 2 = x 1 x 2 X 3 = = x 1 x 2... X k = x 1 x 2... x k Per la sua def. l automa M, avendo in input w, compie una serie di transizioni che portano da S a X 1, X 2,..., X k fino a q. T (M) L(G): analogamente

6 Inoltre, si dimostra in maniera costruttiva Algoritmo. Input: M = (Q, δ, q 0, F ) FSA Output: G = (X, V, S, P) lineare 1 X alfabeto di ingresso per M 2 V = Q 3 S = q 0 4 P = {q xq q δ(q, x)} {q x δ(q, x) F } Per esercizio: L(G) = T (M)

7 Tesi II. Sia L L FSL cioè M = (Q, δ, q 0, F ) FSA tale che: T (M) = L Supponiamo Q = {q 0, q 1,..., q n } Si definisca il linguaggio: R ij = {w X δ (q i, w) = q j } contenente le stringhe che fanno transitare M da q i a q j. Per def. di linguaggio accettato da FSA, risulta: T (M) = q j F R 0j quindi basta dimostrare che ogni linguaggio R ij è regolare 0 i, j n

8 R k ij = {w X δ (q i, w) = q j senza transitare in q k, q k+1,..., q n } osservi che: R n+1 ij = R ij Si

9 dimostriamo per induzione su k che R k ij L REG i, j : 0 i, j n (k = 0) R 0 ij = {w X δ(q i, w) = q j } L REG perchè finito (k > 0) per ipotesi: Rij k L REG i, j : {0,..., n} Dimostriamo che R k+1 ij L REG Sia w R k+1 ij per definizione la lettura di w non fa transitare M in nessuno degli stati q k+1, q k+2,..., q n. Si possono avere 2 casi (vedi figura): 1 w non fa transitare M nemmeno in q k, quindi w R k ij ed R k ij cioè regolare, per ipotesi. 2 w fa transitare M in q k. In tal caso riscriviamo w come concatenazione di m > 1 sottostringhe: w = w 1 w 2 w m 1 w m con: w 1 R k ik w t R k kk 1 < t < m w m R k kj

10 Data la genericità di w si può scrivere: w Rik k (Rk kk )m 2 Rkj k (con m > 1) per cui: w Rik k (Rk kk ) Rkj k Ne consegue allora che: R k+1 ij Rij k Rk ik (Rk kk ) Rkj k ma ovviamente: Rij k Rk ik (Rk kk ) Rkj k Rk+1 ij quindi il linguaggio R k+1 ij = R k ij R k ik (Rk kk ) R k kj è regolare perchè espresso come unione, concatenazione e iterazione di linguaggi che sono regolari (per ipotesi induttiva) Risulta dimostrato che k [0, n] R k ij L REG perciò T (M) = q j F R 0j = q j F è regolare perchè unione di linguaggi regolari R n+1 0j

11 Algoritmo alternativo [Hopcroft et al.] eliminando uno stato alla volta occorre preservare i cammini che portano dallo stato iniziale a stati finali si considerano gli stati predecessori q 1,..., q m e successori p 1,..., p k dello stato s da eliminare (ins. non disgiunti)

12 archi etichettati con espressioni regolari anzichè con simboli: infinite parole possono portare da uno stato ad un altro eliminando s, per ogni (q i, p j ), si etichetta l arco con l espressione regolare: R ij + Q i S P j un arco assente nell automa originario si denota con l espressione

13 1 per ogni stato finale q F si eliminano tutti gli stati tranne q 0 e q: applicando l algoritmo si produce un automa con archi etichettati da espr. regolari 2 se q q 0 allora risulta un automa a due stati soluzione: (R + SU T ) SU 3 altrimenti risulta un automa ad un stato soluzione: R 4 output: somma di tutte le espressioni ottenute al variare di q

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15 Tesi III. Sia L L REG quindi vale una delle seguenti condizioni: L è finito L = L 1 L 2 con L 1, L 2 regolari L = L 1 L 2 con L 1, L 2 regolari L = (L 1 ) con L 1 regolare

16 Dimostrazione per induzione sulla costruzione di L base L finito L = {w 1, w 2,..., w n } allora si può scrivere come unione di linguaggi lineari L i che generano ognuno una stringa di w i e la classe L 3 è chiusa rispetto all unione: L = n i=0 Si può facilmente dimostrare che i [0, n]: L i L 3 passo In tutti i tre casi possiamo considerare i linguaggi L 1 e L 2 come lineari per ipotesi di induzione. Anche la loro unione/concatenazione/iterazione è in L 3 per la chiusura di L 3 rispetto a queste operazioni. Quindi L L 3 L i

17 Teorema. Sia M = (Q, δ, q 0, F ) FSA con n = Q e sia z T (M), z n. Allora z = uvw e uv w T (M), cioè t 0: uv t w T (M) Dimostrazione. Sia z = x 1 x 2 x k T (M) con k n Si rappresenta il riconoscimento di z con: Se si ha z n si deve passare per almeno n + 1 stati ma n = Q quindi c è uno stato ripetuto: i, j, 0 i < j k : q i = q j

18 Si osservi che z si può scrivere come uvw ove: u = x 1 x 2 x i v = x i+1 x i+2 x j w = x j+1 x j+2 x k Avendo in ingresso z T (M), M si porta nello stato: δ (q 0, z) F ma questo è lo stesso stato in cui si giunge tramite le stringhe: uvvw, uvvvw etc.,... (ciclando t volte tra q i e q j ) Dunque: t 0: uv t w T (M)

19 Teorema di Kleene o 1 o 3 o 8 1 Determinare la grammatica di tipo 3 che genera il linguaggio descritto da b + (ab) 2 Data la grammatica lineare G = (X, V, S, P) con X = {a, b, c}, V = {S, A, B} e P = {S ba as b, A ab cs a, B ba cb c} determinare un espressione regolare per L(G) 3 Sia L = S(R) ove R = (aa + aaa) costruire un automa che riconosce L trasformare l NDA del punto 1. in FSA 4 Determinare una grammatica G di tipo 3 tale che: L(G) = {w {a, b} w ha un numero pari di a e dispari di b}

20 o 1 o 3 o 8 5 Sia L = S(R) ove R = ab(bb) c trovare un automa (NDA) per riconoscere L trasformare l automa NDA nell FSA equivalente 6 Data la grammatica lineare G = (X, V, S, P) con X = {a, b}, V = {S, B} e P = {S ab B ab bs a} determinare un automa FSA M tale che: T (M) = L(G) 7 Determinare una grammatica lineare G tale che: L(G) = {w {a, b} w αaaβ, α, β {a, b} } 8 Dimostrare che non sono regolari i linguaggi: L 1 = {a k b k k > 0} L 2 = {a n b m c k n > k, n, m, k > 0} 9 Dimostrare che il linguaggio non è regolare: L = {a n b m c k m > k, n, m, k > 0}

21 o 1 o 3 o 8 o 1. Determinare la grammatica di tipo 3 che genera il linguaggio descritto da b + (ab) Vediamo qual é il linguaggio corrispondente: S(b + (ab) ) = S(b ) S((ab) ) = (S(b)) (S(ab)) = {b} (S(a) S(b)) = {b} ({a} {b}) = {b} {ab} G 1 = (X 1, V 1, S 1, P 1 ) con X 1 = {b}, V 1 = {S 1 }, P 1 = {S 1 bs 1 λ} G 2 = (X 2, V 2, S 2, P 2 ) con X 2 = {a, b} V 2 = {S 2, B 2 }, P 2 = {S 2 ab 2, B 2 b} G 3 = (X 3, V 3, S 3, P 3 ) con X 3 = X 2, V 3 = V 2 {S 3 } P 3 ={S 3 λ} (P 2 \ {S 2 λ}) {S 2 w P 2 } {A xs 3 A x P 2 } = ={S 3 λ} P 2 {S 3 ab 2 } {B 2 bs 3 } = ={S 3 λ, S 2 ab 2, B 2 b, S 3 ab 2, B 2 bs 3 } = ={S 3 λ ab 2, S 2 ab 2, B 2 b bs 3 }

22 o 1 o 3 o 8 Osservazione: S 2 è inutile: P 3 = {S 3 λ ab 2, B 2 b bs 3 } Quindi L(G 3 ) = {ab} Per chiudere: G = (X, V, S, P) ove: X = X 1 X 3 V = V 1 V 3 {S} = {S, S 1, B 2, S 3 } P = {S w S 1 w P 1 } {S w S 3 w P 3 } P 1 P 3 = = {S bs 1 ab 2 λ, S 1 bs 1 λ, S 3 ab 2 λ, B 2 bs 3 b}

23 o 1 o 3 o 8 o 3. Sia L = S(R) ove R = (aa + aaa) 1. costruire un automa che riconosce L 2. trasformare l NDA del punto 1. in FSA 1. Dato X = {a}, determiniamo le grammatiche G 1 per L 1 = {aa} e G 2 per L 2 = {aaa}: G 1 = (X, V 1, S 1, P 1 ) con V 1 = {S 1, A} e P 1 = {S 1 aa, A a} G 2 = (X, V 2, S 2, P 2 ) con V 2 = {S 2, B, C} e P 2 = {S 2 ab, B ac, C a} Sia G 3 = (X, V 3, S 3, P 3 ) la grammatica per L 3 = L 1 L 2 : con V 3 = V 1 V 2 {S 3 } = {S 3, S 1, S 2, A, B, C} e P 3 ={S 3 w S 1 w P 1 } {S 3 w S 2 w P 2 } P 1 P 2 ={S 3 aa ab} P 1 P 2 che contiene produzioni inutili e quindi NT superflui (S 1, S 2 )

24 o 1 o 3 o 8 Per l iterazione di L 3 costruisco: G = (X, V, S, P) con V = V 3 {S} = {S, S 3, A, B, C} P ={S λ} (P 3 \ {S 3 λ}) {S w S 3 w P 3 } {N bs N b P 3 } {N bs N bm, b λ, M λ P 3 } = ={S λ} {S 3 aa ab, A a, B ac, C a} {S aa ab} {A as, C as} ={S aa ab λ, A as a, B ac, C as a}

25 o 1 o 3 o 8 2. L automa a stati finiti si ottiene mediante l algoritmo dato nella dimostrazione del teorema di Kleene: Q = V {q} = {S, A, B, C, q} q 0 = S F = {q, S} δ definita dalla matrice di transizione (trasposta): δ S A B C q a {A, B} {S, q} {C} {S, q}

26 o 1 o 3 o 8 graficamente: per esercizio: trasformare l automa in un FSA deterministico

27 o 1 o 3 o 8 o 8. Dimostrare che L 1 = {a k b k k > 0} non è regolare Supponendo che L L REG, per il teorema di Kleene sarà anche L L FSL quindi M = (Q, δ, q 0, F ), tale che T (M) = L Sia Q = n e si consideri w = a n b n L. Leggendo le a di w, M deve passare per almeno n + 1 stati, quindi ci devono essere almeno 2 stati coincidenti: q i e q j con i < j Quindi nel cammino da q 0 ad uno stato finale c è un ciclo di lunghezza j i. Allora si può ciclare un numero arbitrario di volte, aggiungendo ogni volta una sottostringa a j i Per il Pumping lemma dovrebbe essere a n+k(j i) b n T (M) k 0 Ma queste non sono stringhe di L (assurdo) pertanto L non è regolare