SCIENTIFICO COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA PROBLEMA 1. = lim

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1 SCIENTIFICO COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA PROBLEMA 1 La funzione f: R R è così definita: sen() f() = { per 1 = 1) Prova che f è una funzione pari e che essa è derivabile in =. Dimostra inoltre che la funzione f ha un massimo assoluto in =. Per dimostrare che la funzione è pari occorre dimostrare che f( ) = f() per ogni del dominio. Se = la proprietà è chiaramente verificata. Per si ha: f( ) = sen( ) = sen() = sen() = f(), c. v. d. Dimostriamo che la funzione è derivabile in =. In tale punto la funzione è chiaramente continua, essendo, in base ad un ite notevole: sen() f() = = 1 = f() Dimostriamo che la funzione è derivabile in = applicando la definizione di derivata: sen(h) f( + h) f( ) f( + h) f() = = h h h h h h h 1 = h sen(h) h h 2 Per calcolare tale ite possiamo utilizzare la formula di Taylor, secondo cui, per h risulta: sen(h) = h h3 + 3! o(h3 ), dove o(h 3 ) indica un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad h 3, quindi: h sen(h) h h 3 h h 2 = 3! + h o(h3 ) h 3 h h 2 = 3! h h 2 = = f () Allo stesso risultato si può arrivare utilizzando la regola di de l Hȏpital, di cui sono soddisfatte le condizioni: h sen(h) h h 2 = h cos(h) 1 2h = 1 2 h (1 cos(h))(1+cos(h)) h(1+cos(h)) = 1 2 h sen 2 (h) h 2 = 1/ 5

2 = 1 4 sen 2 (h) h h 2 h = 1 4 (sen(h) h h 2 ) h = 1 4 h 1 h = Dimostriamo che la funzione f ha un massimo assoluto in =. Risulta sen() 1 infatti, come si può notare dal grafico seguente, è sen() Siccome per = la funzione vale 1, possiamo concludere che la funzione ha il massimo assoluto (che vale 1) per =. 2) Traccia, in uno stesso diagramma, i grafici indicativi delle tre funzioni y = f() y = 1 y = 1 e mostra che il grafico di f è tangente agli altri due in infiniti punti. È vero che tali punti di tangenza sono anche massimi o minimi relativi della funzione f? Essendo 1 sen() 1 risulta: 1 sen() 1 In particolare, per >, risulta sen() intero. Risulta invece, sempre per >, sen() = 1 se > e 1 sen() 1 se < = 1 quando sen() = 1 cioè per = 2 quando sen() = 1 cioè per + 2n con n = n con n intero. Quanto detto permette di concludere che il grafico di f è tangente in infiniti punti ai grafici delle altre due funzioni: 2/ 5

3 Notiamo esplicitamente che la f si annulla quando sen() =, quindi se = n con n intero relativo non nullo ( = ±, ±2, ±3, ); inoltre, per il teorema del confronto, risulta; ± sen() =. I punti di tangenza NON sono punti di massimo o minimo relativo per la funzione f. La funzione f è infatti ovunque derivabile, quindi nei punti di massimo o minimo relativi la derivata si deve annullare; essendo i punti in questione i punti di tangenza con i grafici delle funzioni y = 1 y = 1, si dovrebbe annullare anche la derivata di queste funzioni, cosa che non si verifica mai (le due derivate sono rispettivamente 1 e 1 ). 2 2 Si può anche osservare che la derivata della funzione f è: f () = D ( sen() cos() sen() ) = 2 che nei punti di tangenza non si annulla, infatti: se = + 2n il numeratore vale -1, se = 3 + 2n il numeratore vale ) Detta R la regione piana di area finita deitata dal grafico di f, dall asse e dall asse y, si indica con V il volume del solido generato ruotando R intorno all asse y. Si indica inoltre con R n la regione piana deitata dal grafico di f e dal tratto dell asse compreso tra n e (n + 1), qualsiasi sia n N, e con V n il volume del rispettivo solido di rotazione. Dimostra che risulta: Rappresentiamo la regione R : V = V n = 4 Il volume V si può calcolare con il metodo dei gusci cilindrici (si veda il seguente approfondimento: ): V = (2)f()d Quindi: V = 4. sen() = 2 d = 2 sen()d = 2[ cos ()] = 2(1 + 1) 3/ 5

4 Calcoliamo ora in modo analogo V n dopo aver notato che n e (n + 1) sono due zeri della f consecutivi (per esempio e 2, 2 e 3, ): (n+1) V n = n (2)f()d (n+1) = 2 n sen() (n+1) d = 2 sen()d = n = 2 [ cos ()] (n+1) n = 2(1 + 1) = 4 (osserviamo che se n è pari [ cos()] (n+1) n = 2 mentre se n è dispari è uguale a -2). Quindi: V n = V = 4. 4) Sia definita la funzione: Tenuto conto del fatto che F() = f(t)dt + F() = 2 traccia un grafico indicativo dell'andamento della funzione F, individuandone, in particolare, le ascisse dei punti di massimo e di minimo (Nota: la primitiva della funzione f non è esprimibile tramite le usuali funzioni analitiche). Osserviamo che essendo f() pari funzione F() è dispari; infatti, per il teorema fondamentale del calcolo integrale risulta F () = f(), quindi F () è pari, ne segue che F() è dispari (ricordiamo che se una funzione è pari la sua derivata è dispari e viceversa). Studiamo quindi F() = f(t)dt per. Si tratta di una funzione continua e derivabile in tutto il suo dominio ed è F()=; inoltre, essendo + F() =, abbiamo l asintoto orizzontale y = per + (e di 2 2 4/ 5

5 conseguenza l asintoto y = 2 per ). Osservando le aree delle regioni R, R 1, ecc. (oppure pensando che F () = f() quindi la F cresce dove f è positiva e decresce dove f è negativa) possiamo dire che la funzione cresce da a, decresce da a 2, cresce da 2 a 3 e così via. In generale: F è crescente se n < < (n + 1) per n pari F è decrescente crescente se n < < (n + 1) per n dispari Pertanto (per >) abbiamo dei punti di massimo relativi per = n con n dispari (, 3, 5, ecc. ) e dei punti di minimo relativo per = n con n pari non nullo (2, 4, 6, ecc. ). Grafici qualitativi di F (su intervalli via via crescenti): Con la collaborazione di Angela Santamaria 5/ 5