RICERCA OPERATIVA (a.a. 2015/16) Nome: Cognome: Matricola:

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1 o Appello //6 RICERCA OPERATIVA (a.a. /6) Nome: Cognome: Matriola: ) Si rappresenti il ono finitamente generato C = ono,, R ome ono poliedrio, giustifiando algebriamente le risposta fornita. Per derivare la rappresentazione di C ome ono poliedrio sriviamo la sua definizione espliita: C = x x = µ µ, µ µ. x µ µ Si tratta del aso fortunato in ui i generatori di C formano una matrie A quadrata invertibile. Possiamo quindi srivere he Poihé x = Aµ, µ A x = µ, µ A x A x. = / / / / C è equivalentemente definito dal sistema di disuguaglianze x x x x x.,

2 o Appello //6 ) Si risolva geometriamente, per mezzo dell algoritmo del Simplesso Primale, il problema di PL in figura a partire dalla base B = {,}; si noti he è ollineare ad A e ad A e perpendiolare ad A. Per ogni iterazione si fornisano la base, la soluzione primale di base x e la direzione di spostamento ξ (riportandoli direttamente sulla figura), il segno delle variabili duali in base, e gli indii usente ed entrante, giustifiando le risposte. Al termine, se l algoritmo ha determinato una soluzione ottima si disuta l uniità delle soluzioni ottime primale e duale del problema. A A 4 A x x 4 = ξ ξ A x = x A it. ) B = {,}, y = e y < poihé appartiene al ono generato dal solo A, ome mostrato in a); quindi, h =. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza al vinolo, attivo ma non in base: quindi k =, e si ompie un iterazione degenere. it. ) B = {,}, y < e y > poihé appartiene (è interno) al ono generato da A ed A, ome mostrato in b); quindi, h =. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza di vinoli 4 e : quindi k = 4 per la regola antiilo di Bland. it. ) B = {,4}, y < e y 4 > poihé è interno al ono generato da A ed A 4, ome mostrato in ); quindi, h =. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene infatti in orrispondenza al vinolo, attivo ma non in base; quindi k = e si esegue anora un ambio di base degenere. it. 4) B = {4,}, y 4 = e y > poihé è ollineare ad A. La base è quindi duale ammissibile, e l algoritmo termina avendo determinato una oppia di soluzioni ottime. ξ a) -A A A A A b) -A A A 4 ) -A La soluzione ottima primale è ovviamente non unia: poihé è ollineare ad A, tutto lo spigolo del poliedro di ui x 4 è un vertie (la faetta orrispondente al vinolo ) è formato da soluzioni ottime. Di onseguenza, per ontro la soluzione duale ottima è unia. Infatti, prendendo una qualsiasi soluzione ottima x alternativa a x 4 all interno del suddetto spigolo, qualsiasi soluzione duale ottima deve rispettare le ondizioni degli sarti omplementari on x : iò signifia he solamente y può essere diversa da zero, e quindi la soluzione ottima deve oinidere on quella di base determinata dall algoritmo.

3 o Appello //6 ) Si fornisano le due definizioni equivalenti della proprietà di integralità di un poliedro P = {x R n : Ax b} non vuoto e he non ammette direzioni di linealità (ossia, per ui rango(a) = n), e se ne dimostri l equivalenza. Le due definizioni equivalenti sono: I) tutti i punti estremi di P appartengono a Z n ; II) dato qualsiasi vettore R n, se il problema di PL max{x : Ax b} ha ottimo finito allora ammette almeno una soluzione ottima he appartiene a Z n. I) = II) è ovvio: il problema non è vuoto ed il poliedro ammette punti estremi, quindi per qualsiasi tale he il problema ha valore ottimo finito esiste almeno una soluzione ottima he è un punto estremo di P, e pertanto appartiene a Z n. Per dimostrare II) = I) proediamo per assurdo: assumiamo he esista un punto estremo x di P tale he x / Z n, ma sia omunque vera II). Per l equivalenza tra punti estremi e vertii, esiste almeno una base B tale he x è la soluzione di base orrispondente: in altri termini, la matrie di base A B è invertibile e x = A B b B. Essendo u Z n il vettore avente tutte le omponenti pari ad, si onsideri il vettore = ua B. Per tale vettore, la soluzione duale di base orrispondente alla base B è ȳ = [ȳ B, ȳ N ] = [ A B, ] = [u, ]. Pertanto, la base B è primale ammissibile e duale ammissibile per il problema he ha funzione obiettivo, e quindi x è una soluzione primale ottima del problema. Ma poihé la base è duale non degenere (ȳ B = u > ), per il teorema degli sarti omplementari x è l unia soluzione primale ottima del problema; poihé x / Z n, questo ontraddie II), dimostrando pertanto l equivalenza.

4 o Appello //6 4 4) Si risolva il problema di flusso di osto minimo relativamente all istanza in figura utilizzando l algoritmo dei ammini minimi suessivi. Per ogni iterazione si mostri lo pseudoflusso orrente on gli sbilaniamenti dei nodi, l albero dei ammini minimi determinato on le relative etihette, il ammino selto e la quantità di flusso inviata. 7, - 4, b i b ij, u j ij, -4,,4 i j -,, 6,,4,4-4 4, 6 Durante l inizializzazione viene saturato l aro (, 4), l unio di osto negativo. Le iterazioni sono mostrate in figura, dall alto in basso. A sinistra è rappresentato lo pseudoflusso (minimale) ed i orrispondenti sbilaniamenti dei nodi, a destra l albero dei ammini minimi (rappresentato sul grafo originario) on le relative etihette ed il ammino selezionato (arhi evidenziati). 4 - θ = θ = θ =

5 o Appello //6 ) Le Winx stanno preparando l ultima e deisiva (per questa serie) battaglia ontro le malvagie Trix ed il perfido inserire il attivo di turno per la salvezza dell Universo Magio. Ciasuna delle 7 Winx w W = { Bloom, Stella, Flora, Musa, Aisha, Tena, Roxy } ha individuato sulla mappa (il piano Cartesiano) tre punti (x w i,yw i ), i =,...,, nei quali può posizionarsi per assorbire la quantità di energia magia neessaria ad effettuare il proprio attao alla massima potenza. Affinhé il loro potere Harmonix sia effiae, peró, le Winx devono irondare ompletamente, da ogni lato, il ovo del perfido inserire il attivo di turno (senza perdita di generalità, l origine). Sapendo he la potenza di un attao magio diminuise on la terza potenza della distanza dall obiettivo, he un attao Harmonix ha la potenza del suo omponente più debole, e he tutte le Winx hanno la stessa potenza di partenza tranne Bloom (la protagonista) he ne ha il % e Roxy (l ultima arrivata) he ne ha l 8%, si aiuti Tena ad aiutare le Winx a salvare (per l n-esima volta) l Universo Magio formulando ome PLI il problema di determinare l attao Harmonix ammissibile di potenza massima. Introduiamo le variabili binarie z w i he indiano se la Winx w W si posiziona nel punto i I = {,,}. Il onetto k punti irondano ompletamente da ogni lato un punto dato si può ragionevolmente riondurre a quello il punto dato appartiene all inviluppo onvesso dei k punti. Per questo introduiamo anhe variabili ontinue θ w i per (w, i) W I he rappresentano i orrispondenti moltipliatori onvessi, ed una singola variabile di soglia v. Infine, per iasuna oppia (w,i) W I definiamo p w i = w( (x w i ) +(y w i )), dove w =. per w = Bloom, w =.8 per w = Roxy, e w = per le altre Winx. Una formulazione del problema è: max v v i I zw i pw i w W () i I zw i = w W () w W i I xw i θw i = (4) w W w W i I yw i θw i = () i I θw i = (6) θ w i z w i i I, w W (7) z w i {,} i I, w W (8) La funzione obiettivo () insieme ai vinoli () massimizza la potenza minima tra tutti gli attahi, onsiderata la distanza del punto selezionato dal ovo del perfido inserire il attivo di turno e la potenza di partenza. I vinoli () garantisono he ogni Winx selga uno ed un solo punto di attao. I vinoli (4), () e (6) garantisono he l origine (,) appartenga all inviluppo onvesso dei punti selezionati, onsiderato he la variabile θ w i può essere usata solamente se z w i =, ome garantito dal vinolo (7). Infine, (8) sono i neessari vinoli di integralità sulle z w i. ()

6 o Appello //6 6 6) Si determini una soluzione ammissibile per l istanza del Weighted Vertex Cover in figura utilizzando l euristia primale-duale. Per ogni iterazione si indihino i ambiamenti apportati alle soluzioni primali e duali, giustifiando le risposte. Si usi la seguente strategia di selezione del lato: si seleziona il vertie non anora inserito nella over on osto minimo, e tra tutti i lati ad esso lati inidenti quello on l altro vertie di osto aggiornato ( i {i,j} y ij) massimo (in aso di paritá si selga sempre il vertie di indie minore). Al termine si valuti la qualità della soluzione intera determinata, e si stimi la qualità della soluzione duale determinata rispetto all ottimo del rilassamento ontinuo Detto G = (V,E) il grafo, la soluzione iniziale è x i = per i V e y ij = per {i,j} E; inoltre, si pone l insieme dei lati non operti Q pari ad E. Usiamo la notazione y(i) = {i,j} S(i) y ij dove S(i) è la stella del nodo i; hiaramente, nella soluzione iniziale si ha y(i) = per ogni i V. a iterazione. Si seleziona il vertie, avente osto (al pari di, e 7, ma on indie minore), e tre i lati ad esso inidenti si seleziona {,} Q, poihé ha il osto aggiornato massimo (al pari di 8, ma on indie minore). Si alola min { y(), y() } = min {, } = ; si pone pertanto y =. Poihé on la nuova soluzione duale (di valore ) si ha = y() e > y(), si pone x =, ottenendo quindi una soluzione primale di valore, e si eliminano da Q tutti i lati inidenti in. a iterazione. Si seleziona il vertie, avente osto (al pari di e 7, ma on indie minore), e tre i lati ad esso inidenti si seleziona {,4} Q, poihé 4 ha il osto aggiornato massimo. Si alola min { y(), 4 y(4) } = min {, } = ; si pone pertanto y 4 =. Poihé on la nuova soluzione duale (di valore 4) si ha = y() e 4 > y(4), si pone x =, ottenendo quindi una soluzione primale di valore 4, e si eliminano da Q tutti i lati inidenti in. a iterazione. Siselezionail vertie, aventeosto(al paridi 7, ma onindie minore), etre ilati adessoinidenti si seleziona{,6} Q,poihé6hailostoaggiornatomassimo. Sialolamin { y(), 6 y(6) } = min {, } = ; si pone pertanto y 6 =. Poihé on la nuova soluzione duale (di valore 6) si ha = y() e 6 > y(6), si pone x =, ottenendo quindi una soluzione primale di valore 6, e si eliminano da Q tutti i lati inidenti in. 4 a iterazione. Si seleziona il vertie 7, avente osto, e tre i lati ad esso inidenti si seleziona {7,8} Q, poihé 8 ha il osto aggiornato massimo. Si alola min { 7 y(7), 8 y(8) } = min {, } = ; si pone pertanto y 78 =. Poihé on la nuova soluzione duale (di valore 8) si ha 7 = y(7) e 8 > y(8), si pone x 7 =, ottenendo quindi una soluzione primale di valore 8, e si eliminano da Q tutti i lati inidenti in 8. Poihé Q è vuoto l algoritmo termina, avendo individuato la Vertex Cover {,,,7} di osto 8 e la soluzione duale di osto 8; pertanto, la over ottenuta è dimostrabilmente ottima. Peraltro, questo mostra he la soluzione duale ottenuta è ottima per il rilassamento ontinuo. Infatti, è noto he l algoritmo mantiene soddisfatta, oltre alla duale ammissibilità, anhe la parte degli sarti omplementari ( x i i {i,j} S(i) y ) ij = ome infatti è immediato verifiare. In generale, l altra parte degli sarti omplementari y ij ( xi +x j ) = non sempre viene rispettata; questo però aade in questo aso. Infatti, per tutti i lati {i,j} per ui y ij > uno ed uno solo dei vertii adiaenti ha x i =. Pertanto, la soluzione duale ottenuta rispetta le ondizioni degli sarti omplementari on una soluzione primale ammissibile, ed è quindi ottima (essendo anh essa ammissibile). Questo era failmente deduibile anhe notando he il valore delle due soluzioni ammissibili è uguale: pertanto, esse neessariamente rispettano le ondizioni degli sarti omplementari, e omunque sono entrambe ottime per il teorema debole della dualità. 6

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