Esercitazione: 16 novembre 2009 SOLUZIONI

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1 Esercitazione: 16 novembre 009 SOLUZIONI Esercizio 1 Scrivere [ ] equazione vettoriale, parametrica [ ] e cartesiana della retta passante 1 per il punto P = e avente direzione d =. 1 x 1 Soluzione: Equazione vettoriale: y 1 Equazione parametrica: x = t y = t + 1, t R. Equazione cartesiana: facendo riferimento all equazione parametrica, abbiamo x = t t = x; sostituendo questa condizione nella seconda equazione, otteniamo: y = ( x) + 1, da cui y = x 5. Esercizio Considerare la retta avente equazione cartesiana: y = x + 5 ricavare le corrispondenti equazioni in forma parametrica e vettoriale. Soluzione: Equazione parametrica: x = t y = t + 5, t R. Equazione vettoriale: x 1 0 y 5 [ ] [ ] 1 Esercizio Dati i punti A = e B = : 4 a) scrivere [ ] l equazione [ ] vettoriale della retta passante per A e B; dire se i punti 5 P = e Q = appartengono o meno alla retta passante per A e B. b) Scrivere l equazione vettoriale della semiretta uscente da B e avente direzione A B; c) scrivere l equazione vettoriale del segmento AB e determinare due punti appartenenti ad esso (diversi da A e B).

2 Soluzione: a) Equazione vettoriale: possiamo scrivere l equazione richiesta nella forma: X = t[a B] + A, t R. Abbiamo:. Quindi la retta cercata ha equazione: Punto P 1 A B = = 4 1 x y 1 [ ] Controlliamo se il punto P = 5 appartiene o no alla retta. 5 = t + = t + t = 1 = t + t = 1 = 1 + Dalla prima equazione ricaviamo t = 1, che verifica anche la seconda. Il punto P appartiene alla retta: attribuendo al parametro t il valore 1, otteniamo il punto P. Punto Q [ ] Controlliamo se il punto Q = appartiene o no alla retta. = t + = t + + t = 1 Dalla seconda equazione ricaviamo t = 1, che non verifica però la prima equazione. Il punto Q non appartiene alla retta. b) Dobbiamo determinare: X = B + t(a B), t 0. Quindi: x 1 = + t, t 0. y 4 1 c) Possiamo ottenerlo tramite: X = B + t(a B), t [0, 1].

3 x 1 = t +, t [0, 1]. y 1 4 Determiniamo] due punti appartenenti al segmento AB: [ 1 t = 1, P = 7 [ t =, Q = 1 10 ; ]. Esercizio 4 Considerare l equazione vettoriale determinata al punto a) dell Esercizio. a) Scrivere [ ] l equazione di una retta parallela a quella data e passante per il punto 5 P = ; 6 b) Scrivere [ ] l equazione di una retta ortogonale a quella data e passante per il punto 4 Q = ; c) Dire [ ] quale[ è la ] posizione [ ] reciproca tra la retta data e le rette seguenti: x c.1) = k +, k R. y 1 1 [ ] [ ] x 9 c.) = h, h R. y x 9 c.) = k +, k R. y Soluzione: l equazione di riferimento è quella trovata al punto a) dell Esercizio, riportata di seguito: x y 1 a) Per la condizione di parallelismo, i vettori direzione delle due rette devono essere proporzionali: x 5 = k +, k R. y 1 6 Per la condizione di ortogonalità, il prodotto scalare tra i vettori direzione delle due rette deve essere uguale a zero:

4 x 1 4 b) = h +, h R. y c) Consideriamo una alla volta le tre rette date, andando a studiare, per ciascuna di esse, la posizione reciproca con la retta di equazione: x y 1 x c.1) = k +, k R. y 1 1 Notiamo che i vettori direzione non sono proporzionali tra di loro, quindi le due rette non sono parallele. Equazione parametrica della retta di riferimento: x = t + y = t +, t R (1) Equazione parametrica della retta data al punto c.1): t + = k + t + = k + 1 x = k + y = k + 1 t = k k + = k + 1, k R () t = 1 k = 1 Il sistema ammette un unica soluzione data dalla coppia (1, 1). Le due rette sono incidenti in un punto. Per determinare [ ] il punto basta sostituire t = 1 nella (1) oppure 5 k = 1 nella (). Il punto è P =. Il prodotto scalare tra i vettori direzione delle due rette è: [ ] [ 1] = 9 1 = Quindi le due rette non sono ortogonali.

5 [ ] [ ] x 9 c.) = k, k R. y Notiamo che il vettore direzione di questa retta è proporzionale a quello della retta di riferimento. Le due rette risultano quindi parallele. Se andate a risolvere il sistema: t + = 9k t + = k, t, k R questo non ha soluzione. Il significato è: le due rette sono parallele e non hanno punti in comune. x 9 c.) = k +, k R. y Il vettore direzione di questa retta è proporzionale a quello della retta di riferimento. Questa volta volta però, andando a risolvere il sistema: t + = 9k + t + = k +, t, k R t = k t = k, t, k R trovate 1 soluzioni. Il significato è: le due rette sono parallele e in particolare coincidono; tutti i punti che appartengono ad una retta, appartengono anche all altra. 4 1 Esercizio 5 Dati i seguenti vettori: u =, v =, w =, 6 4 a) verificare che u può essere scritto come combinazione lineare di v e w; b) scrivere l equazione della semiretta uscente da w e avente direzione v u; c) calcolare la norma di ciascuno dei vettori dati. Soluzione: a) verifichiamo che riusciamo a trovare due moltiplicatori: λ 1, λ R, tali che: u = λ 1 v + λ w Sostituiamo: 4 1 u = = λ 1 + λ 6 4

6 A questo punto risolviamo il sistema: 4 = λ 1 + λ 6 = λ 1 + 4λ, λ 1, λ R λ = 4 λ 1 6 = λ 1 + 4(4 λ 1 ) λ = λ 1 = 1 b) equazione della semiretta uscente da w e avente direzione v u: X = w + k(v u), k 0 Sostituendo, otteniamo: x 1 = + k, k R y 4 8 c) calcoliamo la norma di ciascuno dei vettori dati: u = u T u = = = 5 = 1; v = v T v = + ( ) = = 8 = ; w = w T w = = = 17.

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