Matematica e Arte: Simmetria e rottura di simmetria

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1 Matematica e Arte: Simmetria e rottura di simmetria Nicoletta Sala Accademia di Architettura Università della Svizzera Italiana Largo Bernasconi CH 6850 Mendrisio (Svizzera) Abstract La simmetria è stata spesso utilizzata dagli artisti nella realizzazione delle loro opere. La moderna arte ha però scoperto il fascino della rottura di simmetria. Lo scopo di questo lavoro è di presentare alcuni esempi artistici che coinvolgono questi due importanti concetti. Il lavoro è organizzato nel seguente modo: nel paragrafo 1 vi è un introduzione che descrive i diversi tipi di simmetria (bilaterale, di rotazione e di traslazione) e i gruppi di simmetria. Il paragrafo 2 descrive alcuni esempi di simmetria nell arte, nel paragrafo 3 vi sono esempi artistici di rottura di simmetria. Le conclusioni sono nel paragrafo 4; mentre il paragrafo 5 è dedicato alla bibliografia. 1. Introduzione Il concetto di simmetria, che unisce estetica e pratica, scienza ed economia, filosofia e matematica, ha origini che si perdono nel tempo [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Questo concetto risale infatti ai tempi dell Antica Grecia, in quel periodo però aveva un significato diverso da quello attuale, era infatti legato ai concetti di proporzione e di armonia. Di questa nozione antica di simmetria si appropriò il mondo latino e rimase dominante per tutto il Rinascimento. All inizio dell età moderna, alla nozione antica di simmetria si sovrappose una visione moderna, fondata non più su rapporti di proporzione, ma su un rapporto di uguaglianza tra le parti di una figura. È questa uguaglianza tra le parti che permette di distinguere la simmetria antica da quella moderna. Questa caratteristica rese possibile lo sviluppo in senso matematico della nozione di simmetria e permise di porre le basi per lo sviluppo della nozione scientifica di simmetria. La simmetria ha attualmente importanza nella descrizione dei fenomeni naturali. In questo ambito la simmetria diviene [2, 5]: classificatoria, permette di classificare gli oggetti in relazione alle proprietà di simmetria; definitoria, consente di definire gli oggetti quando le proprietà di simmetria sono vincoli essenziali per gli oggetti stessi; normativa, permette di usare la simmetria come vincolo per una determinata teoria; esplicativa, consente di spiegare molti fenomeni naturali come conseguenze più o meno dirette della presenza di simmetria; unificatrice, permette di unificare; euristica, consente di prevedere, in base a determinate proprietà di simmetria, l occorrenza e l evoluzione di certi fenomeni. La nozione di simmetria in senso matematico è strettamente connessa alla nozione moderna di simmetria e quindi fa riferimento a uguaglianza delle parti. In questo modo, una figura si può definire simmetrica se non cambia quando le parti uguali che la compongono sono trasformate le une nelle altre. È importante notare che il tipo di simmetria che caratterizza una figura dipende dal tipo di operazione (o trasformazione) che lascia invariata la figura stessa. Una figura può avere: simmetria per riflessione se è invariante rispetto a operazioni di riflessione, simmetria di rotazione se è invariante rispetto a operazioni di rotazione, simmetria di traslazione se è invariante rispetto a operazioni di traslazione.

2 La caratterizzazione della simmetria in termini moderni si basa non più sui numeri, ma su uno strumento matematico introdotto nei primi decenni dell Ottocento dal geniale e precoce matematico francese Evariste Galois ( ). Il problema risolto da Galois riguardava la classificazione delle equazioni algebriche risolubili per radicali. Il concetto di gruppo, introdotto da Galois allo scopo, consente per così dire di misurare il grado di simmetria delle soluzioni di un equazione algebrica. Si definisce gruppo un insieme G, ad esempio di operazioni di simmetria, con un operazione di composizione (o prodotto, indicata con o) tale che per ogni elemento g 1 e g 2 appartenenti a G valgono le seguenti proprietà: g 1 o g 2 (si legge g 1 composto con g 2 ) appartiene ancora G (proprietà di chiusura). Per tutti i g 1, g 2 e g 3 che appartengono a G vale: g 1 o (g 2 o g 3 ) = (g 1 og 2 ) o g 3 (proprietà associativa). Esiste un elemento e (identità o elemento neutro) tale che per ogni elemento g 1 che appartiene a G si ha: g 1 o e = e o g 1 = g 1. Per ogni elemento g 1 che appartiene a G esiste un unico inverso, indicato g 1-1 che appartiene a G tale che: g 1 o g 1-1 = g 1-1 o g 1 = e. 2. La simmetria nell arte La produzione artistica è da sempre influenzata dalla simmetria. L arte dell antica Roma ha utilizzato la simmetria e le proporzioni come strumenti per realizzare le sue opere, ad esempio le figure e i visi riprodotti nei mosaici bizantini presentano un evidente simmetria assiale. Nell arte medioevale non vi era ancora una conoscenza della prospettiva che consentiva di riprodurre fedelmente ciò che l occhio vede. Per questo motivo le immagini erano frontali o al più di tre quarti. La loro costruzione seguiva tuttavia schemi e regolarità di tipo matematico. L arte ha applicato anche i gruppi di invarianza delle figure geometriche nei rosoni, che non contengono traslazioni, nei fregi che contengono traslazioni in una sola direzione e nei mosaici che contengono traslazioni in direzioni diverse. L insieme dei rosoni si divide in due sottoinsiemi: i gruppi ciclici (gruppi che contengono rotazioni di angoli sottomultipli dell angolo giro) e i gruppi diedrali (gruppi che contengono non solo rotazioni, ma anche riflessioni). La realizzazione dei rosoni, due esempi in figura 1, ha contribuito allo sviluppo dell arte del vetro. Essa è a sua collegata principalmente proprio alla costruzione delle chiese ed ebbe il suo massimo splendore tra il XII ed il XV secolo, quando in tutta Europa iniziarono a sorgere le cattedrali che del vetro fecero ampio uso, soprattutto nella realizzazione di splendide vetrate [5]. Figura 1 - Esempi di rosoni I fregi e i mosaici sono due interessanti esempi di gruppi di invarianza applicati all arte. Si definisce fregio un gruppo infinito di motivi ripetuti che contiene traslazioni in un unica direzione. Esistono solo sette tipi di fregi, il cui schema è illustrato in figura 2. Si definisce mosaico (o gruppo cristallografico del piano) un gruppo infinito di motivi ripetuti che contiene due traslazioni indipendenti. All Alhambra, il grande complesso architettonico costruito tra il 1230 e il 1354 a Granada al culmine della cultura moresca in Spagna, sono presenti tutti i diciassette possibili tipi di mosaico nella complessa decorazione geometrica dei soffitti e delle pareti. Il nome Alhambra, deriva dall arabo e significa la rossa in quanto è costruita su una collina di argilla che al tramonto dà alle mura della fortezza un aspetto infuocato [5]. La figura 3 riassume i diciassette possibili mosaici, mentre le figura 4 e 5 illustrano rispettivamente alcuni esempi di mosaici presenti

3 all Alhambra e tre mosaici che appartengono alla stessa categoria ma provengono da culture diverse con la loro classificazione [2, 6]. In tutte le civiltà i sette gruppi dei fregi ed i diciassette dei mosaici sono stati usati da artisti ben prima che si arrivasse alla classificazione matematica di questi gruppi, anche se ciò non significa che esistesse la consapevolezza del fatto che non vi fossero altre possibilità. Figura 2 - I sette tipi di fregi a)

4 b) c) Figura 3 - I diciassette possibili tipi di mosaico ( o gruppi cristallografici del piano) Ogni gruppo cristallografico in dimensione 2 (o gruppo cristallografico del piano, in inglese: wall paper), viene indicato con un nome che ha una simbologia internazionale che sfrutta le lettere p, c, m, g e i numeri 1, 2, 3, 4, 6. La lettera p sta per primitive e si riferisce ad un reticolo fatto di celle primitive, ossia ad un reticolo formato da copie del parallelogramma di base che non contengono al loro interno altri punti del reticolo. Solo nel caso in cui il reticolo è rettangolare centrale si parla di celle non-primitive e si usa c per indicare un reticolo centrato. Il simbolo m sta per mirror (in italiano specchio) e indica una riflessione, g invece sta per glide e indica una glissoriflessione (o glissosimmeria). Infine il numero 1 viene utilizzato per la trasformazione identica e i numeri 2, 3, 4, 6 indicano rotazioni di ordini corrispondenti. La tabella 1 illustra la classificazione dei diciassette gruppi cristallografici del piano.

5 Gruppo Riflessio Glissorifless Rotazioni di Rotazioni di Rotazioni di Rotazioni ni ioni ordine 2 ordine 3 ordine 4 ordine 6 p pg pm cm p pmm pmg pgg cmm p p31m p31m p p4m p4g p p6m di Tab. 1 - Classificazione dei mosaici (gruppi cristallografici di dimensione 2 p4 p4g p4m Figura 4 - Esempi di mosaici presenti all Alhambra a) b) c) Figura 5 Esempi di mosaici di gruppo p4 provenienti dall Egitto a), dalla cultura bizantina in Italia b) e in Francia c)

6 La proprietà della simmetria è stata usata nell arte figurativa da molti artisti, uno splendido esempio di simmetria di riflessione si ha nel Narciso ( ) di Caravaggio ( ), in figura 6. Figura 6 - Narciso ( ) di Cavaraggio presenta una simmetria per riflessione Un artista che invece ha utilizzato i gruppi di simmetria per realizzare le sue opere è stato Maurits Cornelis Escher ( ), famoso anche per i suoi studi strettamente connessi alla geometria di Poincaré. Egli fu affascinato dai mosaici moreschi dell Alhambra durante una sua visita, effettuata nell estate del 1936 e rimase colpito soprattutto dalla ripetizione regolare di figure geometriche e dalla possibilità di continuarle all infinito [2]. La ricchezza delle decorazioni, la dignità e la semplice bellezza dell intero edificio lo commossero. Nei giorni seguenti s impegnò a lungo per schizzare questi motivi e più tardi egli stesso dichiarerà che essi furono la più ricca fonte di ispirazione che egli avesse mai incontrato. Lavorò basandosi quasi esclusivamente sulla tassellazione del piano e sul suo riempimento mediante figure isometriche. Escher cercò di aumentare il numero delle figure rappresentate, mediante il progressivo rimpicciolimento delle figure stesse. In seguito egli sostituì i motivi geometrici con motivi di fantasia (angeli, diavoli, fantasmi, rettili, animali immaginari). Come scrisse più tardi: Per quanto mi riguarda, il limitarmi a figure geometriche mi risulta inammissibile, dato che la possibilità di riconoscere le figure è il motivo principale del mio permanente interesse per questa materia. In molte sue opere il motivo di base si ripete mediante traslazioni, simmetrie, rotazioni, glissometrie e la loro composizione, oppure mediante similitudini. Chiari esempi di divisione del piano sono presenti nel ciclo delle sue opere intitolato Metamorfosi, mentre nella litografia Rettili (1943) è presente un accenno di tassellazione dalla quale fuoriescono dei piccoli rettili. Nel 1954 l artista incontrò il matematico Donald Coxeter ( ) il quale gli inviò il suo libro intitolato A Symposium on Symmetry che conteneva una figura basata su un modello elaborato da Jules Henri Poincaré ( ) del piano iperbolico. Escher trovò nel modello Poincaré uno strumento per potere realizzare ciò che da tanto tempo desiderava: ricoprire la superficie interna alla circonferenza che delimita tale piano con figure piuttosto grandi poste al centro, che diventano sempre più piccole a mano a mano che ci si avvicina al bordo del cerchio. Fece diversi tentativi in questo senso, il primo fu Limite del cerchio I a cui seguirono le xilografie Limite del cerchio II, Limite del cerchio III e Limite del cerchio IV. Le figure 7a e 7b illustrano rispettivamente uno studio di Escher inerente i mosaici dell Alahmbra (1936) e Limite del cerchio III (1959) [6].

7 a) b) Figura 7 - Schizzo di Escher (1936) inerente un mosaico dell Alhambra a) in cui appare una divisione del piano e Limite del cerchio III (1959) b) che è stato creato utilizzando la geometria di Poicaré 3. La rottura della simmetria nell arte Molti artisti contemporanei hanno subito il fascino della simmetria infranta, come strumento che permette di introdurre nuovi linguaggi nell arte [7, 8, 9, 10]. Il mondo artistico del primo Novecento ebbe un movimento di breve durata, che si è basato su forme cubiche e poliedriche, che rivoluzionò il linguaggio figurativo: il Cubismo ( ). Il cubismo consisteva in una scomposizione delle forme in poliedri multipli e in una riduzione dei colori a una gamma che comprende i grigi, i blu, i beige e i marroni. Le forme sono ridotte alla loro struttura geometrica (poliedri, coni e cilindri), chiaroscuro ed effetti atmosferici sono eliminati, mentre permangono gli effetti di profondità anche se non obbediscono più alle regole prospettiche; ocra e grigi, sapientemente assortiti, tendono quasi alla monocromia: il colore non coincide più con la forma né rispetta il colore reale degli oggetti; lo spazio perde la propria omogeneità. II risultato che ne deriva è un immagine ermetica che difficilmente lo spettatore può ricomporre mentalmente. Il cubismo non fu cercato, ma fu semplicemente trovato da Pablo Picasso ( ), grazie al suo particolare atteggiamento di non darsi alcun limite, ma di sperimentare tutto ciò che era nelle sue possibilità. Il cubismo viene solitamente diviso in due fasi principali: una prima definita cubismo analitico ed una seconda definita cubismo sintetico. Il cubismo analitico è caratterizzato da un procedimento di numerose scomposizioni e ricomposizioni, che danno ai quadri di questo periodo la loro inconfondibile trama di angoli variamente incrociati. Il cubismo sintetico, invece, si caratterizza per una rappresentazione più diretta ed immediata della realtà che vuole evocare, annullando del tutto il rapporto tra figurazione e spazio. In questa fase, compaiono nei quadri cubisti dei caratteri e delle scritte, e infine anche i papier collés : ossia frammenti, incollati sulla tela, di giornali, carta da parati, carte da gioco e frammenti di legno. Il cubismo sintetico, più di ogni altro movimento pittorico, rivoluzionò il concetto stesso di quadro portandolo ad essere esso stesso realtà e non rappresentazione della realtà [2]. Autoritratto cubista (1923), in figura 8a, di Salvador Dalì ( ) è un interessante esempio di non simmetria. Arnaldo Pomodoro è uno scultore che rompe la simmetria. Le sue opere più note sono probabilmente le Sfere, che sintetizzano le caratteristiche formali e contenutistiche della sua poetica, grandi forme in bronzo dorato, magiche, perfette, di levigata bellezza, che egli scompone e lacera con sezioni frastagliate e tormentate quasi a scoprirne l interno. La figura 8b illustra Sfera con sfera (1991), realizzata in bronzo del diametro di 330 centimetri. La scultura evidenzia la sofferta differenza

8 tra la perfetta levigatezza della forma geometrica e l oscura complessità del suo interno, simbolo e metafora del drammatico confronto tra interno ed esterno, tra spirito e materia, tra apparenza e realtà. a) b) Figura 8 - Autoritratto cubista (1923) di Dalì a) e Sfera con sfera (1991) di Pomorodoro b) sono due esempi di rottura di simmetria Jackson Pollock ( ) è il rappresentante più emblematico dell Action Painting, la corrente che rappresenta il contributo americano all informale. Le sue opere non possono essere interpretate utilizzando una chiave di lettura che si basa sulla simmetria ma si deve utilizzare una chiave di interpretazione che fa riferimento alla complessità e alla geometria frattale [10, 11, 12]. La figura 9 mostra il suo dipinto intitolato Blue Poles: Number 11 (1952), un chiaro esempio di non simmetria e di complessità. Figura 9 - Blue Poles: Number 11 (1952) di Pollock 4. Conclusioni Il linguaggio dell arte ha spesso utilizzato formalismi matematici, come ad esempio la simmetria, la sezione aurea, le curve, le superfici e i poliedri [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Ciò evidenzia lo stretto legame esistente tra matematica e arte. In questo breve lavoro abbiamo concentrato la nostra attenzione sulla simmetria e la rottura di simmetria. La storia e l analisi delle caratteristiche essenziali del concetto di simmetria hanno permesso di comprenderne le sue caratteristiche e di seguirne gli sviluppi. La presenza di simmetria e di equilibrio

9 proporzionale nelle più elevate espressioni creative dell uomo testimonia, fin dall antichità, lo stretto rapporto che tali concetti realizzano tra scienza, estetica e arte. L esigenza di individuare nell arte un linguaggio decifrabile di forme ha indotto da sempre gli artisti ad utilizzare i canoni geometrici, a volte anche intuitivamente, anticipando in alcune conclusioni i matematici stessi. L arte contemporanea ha invece trovato nella rottura della simmetria e nella geometria frattale dei potenti strumenti per introdurre nuovi canoni estetici non più basati sull armonia delle parti [10, 11, 12, 21, 22, 23]. 5. Bibliografia [1] Bouleau C. (1988), La geometria segreta dei pittori, Electa, Milano. [2] Sala N. e Cappellato G. (2003), Viaggio matematico nell arte e nell architettura, Franco Angeli, Milano. [3]Fivaz R. (1988), L ordre et la volupté, Press Polytechniques Romandes, Lausanne. [4]Hargittai I. e Hargittai M. (1996), Symmetry a unifying concept, Shelter Pubblications, Inc, Bolinas, California. [5]Castellani E. (2000), Simmetria e natura, Laterza, Roma-Bari [6] Sala N. (1999), Matematica, arte e architettura, Didattica delle Scienze e Informatica, n. 200, pp [7]Hofstadter D.R. (1990), Gödel, Escher, Bach: un eterna ghirlanda brillante, Adelphi, Milano. [8]Gombrich E.H. (1984), Il senso dell ordine, Einaudi, Torino. [9]Caglioti G. (1983), Simmetrie infrante nella scienza e nell arte, CLUP, Milano. [10]Sala N. e Cappellato G. (2004), Architetture della complessità, la geometria frattale tra arte, architettura e territorio, Franco Angeli, Milano. [11] Taylor R.P. (2000), Jackson Pollock: Nature, chaos and fractals, Masters Thesis, University of New South Wales, Australia. [12] Taylor R.P., Spehar B., Wise J.A., Clifford C.W.G, Newel B.R., Hagerball C.M., Purcell T. e Martin T.P. (2005), Perceptual and Physiological Responses to the Visua Complexity of Fractal Patterns, Nonlinear Dynamics, Psycology, and Life Sciences, Volume 9, Number 1, p [13] Ghyka M.C. (1997), Le nombre d or, Gallimard, Paris (prima edizione 1931). [14] Montù A. (1980), Sezione aurea e forme pentagonali, ERAT, Milano. [15] Snijders C.J. (1993), La Sezione Aurea. Arte, natura, matematica, architettura e musica, Franco Muzzio Editore, Como. [16] Cresci L. (1998), Le Curve Celebri. Invito alla storia della matematica attraverso le curve piane più affascinanti, Franco Muzzio, Padova. [17] Hargittai I. (1992), Spiral symmetry, World Scientific, Singapore. [18] Manna F. (1988), Le chiavi magiche dell universo, Ed. Liguori, Napoli.

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