INTRODUZIONE ALLA RELATIVITÀ SPECIALE: Dalla seconda legge di Newton a E = mc 2. 8 marzo 2017

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1 INTRODUZIONE ALLA RELATIVITÀ SPECIALE: Dalla seconda legge di Newton a E = mc 2 8 marzo 2017

2 Piano della presentazione Trasformazioni di Lorentz Red Shift Relatività e leggi di Newton Galileo Seconda Legge di Newton Energia relativistica E = mc 2 quadri-velocità e quadri-impulso Conservazione del 4-impulso Fissione Centrale nucleare

3 Trasformazioni di Lorentz t = γ(t vx c 2 ) { x 0 = γ(x 0 βx) } x { = γ(x vt) x = γ(x βx 0 ) } y = y z = z γ = 1 1 =: 1 v 2 1 β 2 c 2 Per v c 1, β 0, γ 1 e riotteniamo le usuali trasformazioni di Galileo!!

4 Red Shift Consideriamo una sorgente luminosa, a riposo in S che emette luce di lunghezza d onda λ e frequenza ν (in S). Vogliamo calcolare la lunghezza d onda λ e la frequenza ν che vede un osservatore S che si muove verso S con velocità v

5 Red Shift Consideriamo una sorgente luminosa, a riposo in S che emette luce di lunghezza d onda λ e frequenza ν (in S). Vogliamo calcolare la lunghezza d onda λ e la frequenza ν che vede un osservatore S che si muove verso S con velocità v

6 Se T è il tempo (misurato in S ) che intercorre tra l emmissione di due fronti d onda, nello stesso tempo la sorgente si è mossa verso S di un tratto vt di modo che la distanza tra due massimi sarà: λ = ct vt. Ricordando che λ ν = c otteniamo ν = c (c v)t

7 Se T è il tempo (misurato in S ) che intercorre tra l emmissione di due fronti d onda, nello stesso tempo la sorgente si è mossa verso S di un tratto vt di modo che la distanza tra due massimi sarà: λ = ct vt. Ricordando che λ ν = c otteniamo ν = c (c v)t

8 Se T è il tempo (misurato in S ) che intercorre tra l emmissione di due fronti d onda, nello stesso tempo la sorgente si è mossa verso S di un tratto vt di modo che la distanza tra due massimi sarà: λ = ct vt. Ricordando che λ ν = c otteniamo ν = c (c v)t

9 Se T è il tempo (misurato in S ) che intercorre tra l emmissione di due fronti d onda, nello stesso tempo la sorgente si è mossa verso S di un tratto vt di modo che la distanza tra due massimi sarà: λ = ct vt. Ricordando che λ ν = c otteniamo ν = c (c v)t

10 Ma T = γt ν = ν = ν oss. = 1 (v 2 /c 2 ) 1 (v/c) 1+(v/c) 1 (v/c) ν ν da cui: 1+(v/c) 1 (v/c) ν sorgente Notiamo che in questo caso: la sorgente si avvicina, ν oss > ν sorgente ; nel caso opposto: la sorgente si allontana, 1 (v/c) ν oss. = ν sorgente e ν oss < ν sorgente. 1+(v/c)

11 Ma T = γt ν = ν = ν oss. = 1 (v 2 /c 2 ) 1 (v/c) 1+(v/c) 1 (v/c) ν ν da cui: 1+(v/c) 1 (v/c) ν sorgente Notiamo che in questo caso: la sorgente si avvicina, ν oss > ν sorgente ; nel caso opposto: la sorgente si allontana, 1 (v/c) ν oss. = ν sorgente e ν oss < ν sorgente. 1+(v/c)

12 Ma T = γt ν = ν = ν oss. = 1 (v 2 /c 2 ) 1 (v/c) 1+(v/c) 1 (v/c) ν ν da cui: 1+(v/c) 1 (v/c) ν sorgente Notiamo che in questo caso: la sorgente si avvicina, ν oss > ν sorgente ; nel caso opposto: la sorgente si allontana, 1 (v/c) ν oss. = ν sorgente e ν oss < ν sorgente. 1+(v/c)

13 Ma T = γt ν = ν = ν oss. = 1 (v 2 /c 2 ) 1 (v/c) 1+(v/c) 1 (v/c) ν ν da cui: 1+(v/c) 1 (v/c) ν sorgente Notiamo che in questo caso: la sorgente si avvicina, ν oss > ν sorgente ; nel caso opposto: la sorgente si allontana, 1 (v/c) ν oss. = ν sorgente e ν oss < ν sorgente. 1+(v/c)

14 Redshift delle galassie La luce emessa dalle galassie contiene una distribuzione continua di lunghezze d onda perché la galassia contiene milioni di stelle che emettono in tutte le frequenze. All interno di questo spettro continuo si possono individuare delle linee strette in corrispondenza della radiazione assorbita da gas più freddo all interno della galassia. In particolare una nube di atomi di calcio ionizzato produce un forte assorbimento intorno a 394nm per una galassia a riposo rispetto alla terra. Nel caso della galassia Hydra, a 200 anni luce dalla terra, questo assorbimento si trova a 475nm. A che velocità si muove rispetto alla terra?

15 Siccome λ oss > λ sorgente e λν = c, Hydra si sta allontanando. In questo caso ν oss. = λ oss. = 1 (v/c) 1 + (v/c) ν sorgente da cui 1 + (v/c) 1 (v/c) λ sorgente v c v c = λ2 oss. λ 2 sorgente λ 2 oss. + λ 2 sorgente ossia = = dunque Hydra si sta allontanando da noi a una velocità v = 0.185c = m/s

16 Relatività e leggi di Newton Le trasformazioni di Lorentz mettono in crisi la conservazione dell impulso. Consideriamo il seguente urto anelastico:

17 Nel centro di massa (S) abbiamo: prima dell urto p 1 = mvu x ; p 2 = mvu x e quindi p prima tot = p 1 + p 2 = 0; la conservazione dell impulso implica che dopo l urto la velocità nel sistema S sia 0: = p prima tot = 0 p dopo tot e quindi, nel centro di massa le due masse si uniscono e restano ferme!

18 Analizziamo lo stesso urto in un riferimento che si muova da sinistra a destra con velocità v, avremo:

19 Galileo v 1 = 0, e v 2 = ( v v)u x = 2vu x di modo che prima dell urto p prima tot = 2mvu x, mentre dopo l urto: V = vu xequindi p dopo tot = 2mvu x dunque la legge della conservazione degli urti è verificata in meccanica Newtoniana. Facciamo la stessa analisi ma stavolta usiamo le trasformazioni di Lorentz nel passaggio da S a S :

20 Lorentz Dovremo usare le leggi di composizione delle velocità: u x = u y = u z = u x v 1 ( u x ) v c 2 u y γ [ 1 ( u x )] v c 2 u z γ [ 1 ( u x )] v c 2 Dove u x e v sono i moduli della velocità del corpo e del sistema di riferimento rispettivamente.

21 avremo: v 1 = v 2 = V = v 1 v 1 ( v 1 v c 2 ) = v 2 v 1 ( v 2 v c 2 ) = V v 1 ( Vv c 2 ) = v v 1 ( v 1 v c 2 ) = 0 v v 2v ( ) = 1 ( v)v 1 + c v ( (0)v c 2 ) = v ( v 2 c 2 )

22 dunque in S avremo: p prima tot = mv 1 + mv 2 = m(0) + m 2v 1 + ( v 2 c 2 ) = 2mv 1 + ( v 2 c 2 ) p dopo tot = 2mV = 2mv ossia l impulso non è conservato!!!

23 Impulso relativitico Affinché lo sia dobbiamo porre p = γmu = mu 1 (u 2 /c 2 ) dove m è la massa a riposo, ossia la massa misurata nel riferimento solidale alla particella, e u è la velocità della particella rispetto al riferimento S in cui si vuole analizzare il moto.

24 Verifichiamo in S: p prima tot = γ 1 mv 1 + γ 2 mv 2 = = p dopo tot = γmv = 0 1 mv v 1 2 c mv + m( v) = 0 1 v 2 c 1 ( v)2 2 c 2 1 mv 2 1 v 2 2 c 2 OK

25 Nel riferimento S : p prima tot = γ 1 mv 1 + γ 2 mv 2 1 = m(0) + ( 1 1 c 2 = 2mv 1 v 2 c 2 p dopo tot = γmv = 2mv 1 v 2 c 2 NON SI TROVA!!! 2v ( ) 1+ v 2 c 2 ) m 2v 1 + ( v 2 c 2 )

26 Seconda Legge di Newton (relativistica) F = dp dt = d dt (γmu) nel limite di piccole velocità: u c riotteniamo l usuale 2 a legge di Newton! Ma l accelerazione di una particella soggetta a una forza costante (diretta lungo u) è datat da: (1 u2 ) 3/2 a = F m c 2 e quindi per u c tende a zero: non possibile accelerare una particella a una velocità maggiore o uguale a c!!

27 Esempi Un elettrone si muove a una velocità v = 0.8c, calcolare il suo impulso classicamente e relativisticamente: (massa dell elettrone m = kg p class. = mu = (0.8) = kgm/s p rel. = γmu = (0.8) = kgm/s Quindi nel caso relativistico si ha un 70% in più!!

28 Energia relativistica La modifica della espressione dell impulso implica una modifica della forma relativistica dell energia cinetica. Infatti (assumendo tutto diretto lungo x): x2 x2 dp W = Fdx = x 1 x 1 dt dx se la particella è accelerata da 0 a u, x2 dv u = m dt dx = m vdv = 1 2 mu2 x 1 0

29 Ma relativisticamente W = dp dt W = W = x2 x 1 Fdx = x2 x 1 dp dt dx = d mu dt 1 (u 2 /c 2 ) = m du dt [1 (u 2 /c 2 )] 3/2 ossia, se la particella è accelerata da 0 a u, x2 ( x 1 m du dt udt = m [1 (u 2 /c 2 3/2 )] mc 2 1 (u 2 /c 2 ) ) u 0 = u 0 udu [1 (u 2 /c 2 )] 3/2 mc 2 1 (u 2 /c 2 ) mc2

30 Energia cinetica relativistica Ricordando che il teorema lavoro-energia stabilisce che il lavoro fatto da una forza su una particella è uguale alla variazione di energia cinetica della particella concludiamo che l energia cinetica relativistica della particella che si muove a velocità u è: K = mc 2 1 (u 2 /c 2 ) mc2

31 Energia cinetica relativistica Nel caso u c, ricordando che (1 x 2 ) 1/ x abbiamo ( K mc u 2 ) 2 c mc 2 = 1 2 mu2 che è la vecchia espressione dell energia cinetica.

32 Energia relativistica Notiamo che l energia cinetica si può scrivere: K = γmc 2 mc 2, il secondo pezzo non dipende in alcun modo dalla velocità, per questo si chiama energia a riposo della particella. La somma dell energia cinetica e dell energia a riposo è quello che chiamiamo energia totale della particella: E = K + mc 2 = γmc 2 Equazione di Einstein sull equivalenza tra massa ed energia.

33 Invariante relativistico Da E = γmc 2 e p = γmu otteniamo (mc 2 ) 2 = E 2 p 2 c 2 e, siccome m e c sono invarianti per trasformazioni di Lorentz anche E 2 p 2 c 2 deve essere invariante

34 Massa a riposo ed energia a riposo Quando si dice l elettrone ha massa (a riposo) 0.5MeV in realtà si pensa all energia a riposo: m e c 2 = kg( m/s) 2 = J = J J ev = ev = 0.511MeV quindi ( ) MeV m e = c 2 = ev J ( m/s) 2 = Kg

35 Un elettrone viaggia a velocità u = 0.8c, calcolare energia totale ed energia cinetica: E tot = γmc 2 = MeV = 0.852MeV ; K = E mc 2 = = 0.341MeV

36 Supponiamo ora di avere un protone ( m p c 2 = 938MeV ) con la stessa energia cinetica, a che velocità si muoverà? Quanto vale la sua energia? E il suo impulso? K = γm p c 2 m p c 2 quindi 1 1 u 2 /c 2 = K m p c = = u = c = 0.027c E tot = γm p c 2 = = MeV ( p = γm p u = MeV ) c c ( ) MeV = c

37 quadri-velocità e quadri-impulso Nella 3-geometria di Galileo definiamo velocità il vettore tangente alla traiettoria della particella. Nella 4-geometria definiamo la quadri-velocità come il vettore tangente alla linea di universo, e lungo c nel riferimento solidale alla particella

38 In questo modo: U 0 = γc, p 0 = mu 0 U 1 = γv p 1 = mu 1 e E/c = p 0 = γmc c mv 2 cioè energia a riposo più energia cinetica Galileiana

39 Conservazione del 4-impulso In un urto il 4-impulso totale è conservato p µ (p 0, p) (E, p) con E = γmc 2, p = γmu, e (mc 2 ) 2 = E 2 p 2 c 2 : Pµ tot,prima = Pµ tot,dopo P tot,prima 0 = P tot,dopo 0 = E tot,prima = E tot,dopo P tot,prima = P tot,dopo

40 Torniamo all analisi dell urto e chiediamoci quanto vale la massa a riposo della particella che si forma dopo l urto?: La conservazione della componente 0 del 4-impulso richiede (nel centro di massa dove, dopo l urto, le particelle sono ferme) E tot,prima = E tot,dopo ossia γ 1 m 1 c 2 + γ 2 m 2 c 2 = Mc 2 da cui, poiché γ 1 = γ 2 =: γ, m 1 = m 2 = m M = 2m γ(2m) = 1 v 2 c 2

41 Nel riferimento S : p prima tot = γ 1 mv 1 + γ 2 mv 2 1 = m(0) + ( 1 1 c 2 = 2mv 1 v 2 c 2 2v ( ) 1+ v 2 c 2 ) m 2v 1 + p dopo tot = γmv = γ(γ(2m))( v) = 2γ 2 mv = 2mv 1 v 2 c 2 SI TROVA!!! ( v 2 c 2 )

42 Fissione Consideriamo un nucleo radioattivo (a riposo) che decade in più (3) particelle di massa m i e velocità u i. La conservazione della energia relativistica totale implica Mc 2 = i γ i m i c 2 = γ 1 m 1 c 2 + γ 2 m 2 c 2 + γ 3 m 3 c 2 Siccome γ > 1, M > m 1 + m 2 + m 3 e la perdita di massa M (m 1 + m 2 + m 3 ) appare come energia di moto dei prodotti di disintegrazione : Q = [M (m 1 + m 2 + m 3 )]c 2 = mc 2

43 Centrale nucleare In una centrale nucleare un nucleo di uranio decade in rubidio +cesio secondo la seguente reazione: U Rb Cs n, quanto vale l energia di disintegrazione? M U = u; M Rb = u; M Cs = u; M n = 1.009u m = (89.915u ) = 0.177u = Kg = Kg quindi l energia prodotta sarà Q = mc 2 = 0.177(931.5 MeV c 2 ) = MeV

44 Quindi, se teniamo conto che in 1Kg di uranio ci sono N = nuclei, otteniamo che 1Kg di uranio può fornire circa E = NQ = = MeV = ( KWh/MeV ) = KWh

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