γ : y = 1 + 2t 1 + t 2 z = 1 + t t2

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1 Politcnico di Milano Inggnria Industrial Analisi Gomtria Esrcizi sull curv. Si considri la curva x t + t : y 6 + 4t t t t R. z t t (a) Stabilir s la curva piana. (b) Stabilir s la curva smplic. (c) Stabilir s la curva rgolar. (d) Dtrminar la rtta tangnt a nl punto P corrispondnt a t. () Stabilir s il punto Q (,, 4) appartin alla curva. In caso affrmativo, dtrminar la rtta tangnt a in Q. (f) Dtrminar il piano osculator a nl punto P corrispondnt a t. (g) Dtrminar i punti di intrszion dlla curva con il piano coordinato xy.. Si considri la curva x t + t + t : y + t + t z + t t + t t R. (a) Mostrar ch la curva piana dtrminar il piano ch la contin. (b) Dtrminar il piano osculator di in un suo gnrico punto.. Si considri la curva x t + t : y t t z t [, ]. t (a) Mostrar ch una curva rgolar. (b) Calcolar la lunghzza di. (c) Calcolar la massa total di, risptto alla dnsità di massa δ(t) t. (d) Calcolar l intgral di lina I 4x + 4y + (x + y)z ds. 4. Si considri la curva x θ cos θ sin θ : y θ sin θ + cos θ θ [, π]. z θ (a) Stabilir s una curva rgolar. (b) Calcolar la lunghzza di. (c) Dtrminar il baricntro G di.

2 5. Si considri la curva x θ cos θ + θ sin θ : y θ sin θ θ cos θ θ [, ]. z θ θ (a) Mostrar ch una curva rgolar. (b) Calcolar la lunghzza di. (c) Calcolar la coordinata z dl baricntro di. (d) Calcolar l intgral di lina I (x + y z ) ds. 6. Si considri la curva x t : y t+t t R. z t t (a) Mostrar ch una curva rgolar. (b) Dtrminar il punto P ch si ottin pr t. (c) Dtrminar i vrsori dl rifrimnto intrinsco di nl punto P. (d) Dtrminar il piano osculator a nl punto P. () Stabilir s una curva piana. (f) Dtrminar la curvatura, il raggio di curvatura il cntro di curvatura di P. nl punto 7. Si considri la curva x cos θ : y sin θ cos θ z sin θ θ [ π, π]. (a) Mostrar ch una curva sfrica. (b) Mostrar ch una curva chiusa. (c) Dtrminar il punto P ch si ottin pr θ. (d) Dtrminar i vrsori dl rifrimnto intrinsco di nl punto P. () Dtrminar il piano osculator a nl punto P. (f) Stabilir s una curva piana. (g) Dtrminar la curvatura, il raggio di curvatura il cntro di curvatura di P. (h) Calcolar l intgral di lina I z + x ds. 8. Si considri la curva x 6 t : y t t R. z t nl punto (a) Mostrar ch la curva rgolar. (b) Dtrminar la curvatura κ di. (c) Mostrar ch non sistono punti divrsi di con ugual curvatura.

3 (d) Dtrminar i possibili valori dlla curvatura di. () Stabilir s la curva birgolar. (f) Calcolar la curvatura total di, l intgral di lina gnralizzato K κ ds. 9. Si considri la curva x artg t : y ln + t z t R. + t (a) Mostrar ch la curva rgolar. (b) Mostrar ch la curva smplic. (c) Mostrar ch t il paramtro arco di (risptto a un opportuno punto inizial). (d) Dtrminar la curvatura κ di. () Dtrminar i punti di in cui la curvatura massima o minima. (f) Dtrminar i possibili valori dlla curvatura di. Una curva birgolar quando la curvatura non si annulla mai.

4 Soluzioni. (a) Considriamo il gnrico piano π : ax+by +cz +d imponiamo ch sia contnuta in sso: a( t + t ) + b(6 + 4t t t ) + c( t t ) + d t R a + 6b + c + d + ( a + 4b c)t + (a b c)t bt a + 6b + c + d a + 4b c a b c b a + a + d a a a c b a b c d. t R Poiché tutti i cofficinti sono nulli, non sist alcun piano ch contnga la curva. (b) Posto f(t) ( t + t, 6 + 4t t t, t t ), si ha t + t u + u f(t) f(u) 6 + 4t t t 6 + 4u u u t t u u t u t + u t u + t u 4t + 4u t u + t u (t u)(t + u) (t u) (t u)(t + tu + u ) + (t u)(t + u) 4(t u) (t u)(t + u) + t u (t u)(t + u ) (t u)(t + tu + u + t + u 4) (t u)(t + u + ) t u. Prtanto la funzion f inittiva la curva smplic. (c) Si ha f (t) ( + t, 4 t t, t). Poiché f (t) pr ogni t R, la curva rgolar. (d) Il punto di corrispondnt a t il punto P f() (, 6, ). La rtta tangnt a nl punto P ha quazion vttorial x f() + f ()t. Poiché f () (, 4, ), si hanno l quazioni paramtrich x t y 6 + 4t z t. 4

5 () Si ha Q t + t 6 + 4t t t t t 4 t t + t + t 4t 4 t + t 6 (t )(t ) (t + )(t + )(t ) (t + )(t ) t. Prtanto, il punto Q (,, 4) appartin alla curva pr t. Poiché f () (,, 5), la rtta tangnt a in Q ha quazioni paramtrich x + t y t z 4 5t. (f) Si ha f (t) (, 6t, ). Poiché f () (, 4, ) f () (,, ), il piano osculator a nl punto P (, 6, ) ha quazion x x() y y() z z() x () y () z () x () y () z () x y 6 z 4 5(x ) 4(y 6) (z ) 5x + 4y + z 4. (g) Pr dtrminar i punti di intrszion dlla curva con il piano coordinato xy basta porr z(t), t + t, da cui si ricava t,. Si hanno cos` i punti A (, 8, ) B (,, ).. (a) Considriamo il gnrico piano π : ax+by +cz +d imponiamo ch sia contnuta in sso: a t + t + t + b + t + t t + c + t + t + d t R a( t + t ) + b( + t) + c( + t t ) + d( + t ) t R a + b + c + d + ( a + b + c)t + (a c + d)t t R 5

6 a + b + c + d a + b + c a c + d a b + c d c a b b + c + b + c b a c b c d b 4c. Poiché qusto sistma ammtt almno una soluzion non nulla (ad smpio: a, b, c, d 4 ), sist un piano ch contin tutti i punti di, piana. Il piano ch contin π : x + y z 4. (b) Poiché piana, il piano osculator in ogni suo punto coincid con il piano ch la contin, con il piano π : x + y z 4.. (a) Posto f(t) (t + t, t t, t ), si ha f (t) ( + t, t, t ) f (t) ( + t ) + ( t ) + ( t ) + 4 t + 4 4t + 4 t + 4 4t + 8 t ( + 4 t + 4 4t ) ( + t ), f (t) ( + t ). Poiché f (t) pr ogni t [, ], la curva rgolar. (b) La lunghzza di L ds f (t) dt ( + t ) dt [t + t]. (c) La massa total di, risptto alla dnsità di massa δ(t) t, M δ ds δ(t) f (t) dt t ( + t ) dt (t + t t ) dt. Intgrando pr parti, si ha t t dt t t t dt t t t + c. Quindi, risulta M [ t + tt t ] ( + + ) ( ) + +. (d) Sia F (x, y, z) 4x + 4y + (x + y)z. Lungo la curva, si ha F (f(t)) 4(t + t ) + 4(t t ) + (t + t + t t ) 8 t 4(t + t + 4t + t t + 4t + 4t t ) 8(t + t t + 4t ) 8(t + t ) F (f(t)) (t + t ). 6

7 Prtanto, si ha I 4 F (f(t)) f (t) dt (t + t ) ( + t ) dt (t + t + t t + 4t ) dt [ t 4 + t + tt t + 4t [ ] t 4 + tt + 4t ( ) ( + ). ] 4. Si ha x cos θ θ sin θ cos θ θ sin θ y sin θ + θ cos θ sin θ θ cos θ z θ. (a) Posto f(θ) (θ cos θ sin θ, θ sin θ + cos θ, θ ), si ha f (θ) ( θ sin θ, θ cos θ, θ) f (θ) θ sin θ + θ cos θ + 4θ θ + 4θ 5 θ 5 θ. Prtanto, rgolar trann ch nl punto inizial, corrispondnt a θ. (b) La lunghzza di L ds π f (θ) dθ π (c) Il baricntro di il punto G (x G, y G, z G ) dov Pr la prima coordinata, si ha x G 5 π π x G x ds L L y G y ds L L z G z ds L L 5 θ dθ [ 5 θ π π π (θ cos θ sin θ) 5 θ dθ π x(θ) f (θ) dθ y(θ) f (θ) dθ z(θ) f (θ) dθ. π ] π 5 π. (θ cos θ θ sin θ) dθ. Intgrando pr parti, si ha θ sin θ dθ θ cos θ + cos θ dθ θ cos θ + sin θ + c θ cos θ dθ θ sin θ θ sin θ dθ θ sin θ + θ cos θ sin θ + c. 7

8 Prtanto, risulta x G [ π ] π θ sin θ + θ cos θ sin θ + θ cos θ sin θ [ π θ sin θ + θ cos θ sin θ 6π π π. Pr la sconda coordinata, si ha y G 5 π π (θ sin θ + cos θ) 5 θ dθ π ] π π (θ sin θ + θ cos θ) dθ. Intgrando pr parti, si ha θ cos θ dθ θ sin θ sin θ dθ θ sin θ + cos θ + c θ sin θ dθ θ cos θ + θ cos θ dθ θ cos θ + θ sin θ + cos θ + c. Prtanto, risulta y G [ π ] π θ cos θ + θ sin θ + cos θ + θ sin θ + cos θ [ π θ cos θ + θ sin θ + cos θ 4π π. Infin, pr l ultima coordinata, si ha z G 5 π π Prtanto, il baricntro di 5. (a) Si hanno l drivat θ 5 θ dθ π G π θ dθ π ( ),, π. π ] π [ θ 4 4 ] π x θ cos θ θ sin θ θ sin θ + θ cos θ ( θ + θ ) cos θ ( θ + θ ) sin θ ( θ + θ )(cos θ sin θ) y θ sin θ + θ cos θ + θ cos θ + θ sin θ ( θ + θ ) sin θ + ( θ + θ ) cos θ ( θ + θ )(cos θ + sin θ) z θ + θ. 6π 4 π π. 4 Poiché z pr ogni θ [, ], si ha f (θ) pr ogni θ [, ], si ha ch la curva rgolar. (b) Si ha f (θ) ( θ + θ ) [(cos θ sin θ) + (cos θ + sin θ) + ] ( θ + θ ) Prtanto, la lunghzza di L ds f (θ) dθ f (θ) ( θ + θ ) cosh θ. cosh θ dθ [ ] sinh θ sinh (+ ). 8

9 (c) La coordinata z dl baricntro di z G zds z(θ) f (θ) dθ L L [ ( θ θ θ ) dθ L L (d) Lungo la curva, si ha L + θ ] ( θ θ )( θ + θ ) dθ ( + ) +. x + y z ( θ cos θ + θ sin θ) + ( θ sin θ θ cos θ) ( θ θ ) Prtanto, si ha I θ + θ θ + θ θ + θ +. ( θ + θ + ) f (θ) dθ ( θ + θ + ) ( θ + θ ) dθ ( θ + θ + θ + θ ) dθ [ θ + θ θ θ ( ) ] 6. Si ha x t t y ( + t) t+t z ( t) t t x ( + t ) t y t+t + ( + t) t+t z t t + ( t) t t. Inoltr, sia f(t) ( t, t+t, t t ), pr ogni t R. (a) Poiché x, y z non si annullano mai simultanamnt, la curva rgolar. (b) Pr t, si ha P f() (,, ). (c) Si ha f () (,, ) f () (,, ). Il vrsor tangnt in P Poiché il vrsor binormal in P Infin, il vrsor normal in P t() f () (,, ) f. () i j k f () f () ( 4,, ) (,, ) f () f () 6, b() f () f () (,, ) f () f () (,, ). 6 6 n() b() t() 6 i j k (,, ) (,, ). 9

10 (d) L quazion cartsiana dl piano osculator a nl punto P x x() y y() z z() x () y () z () x () y () z () Si ha così l quazion x y + z. x y z. () S foss una curva piana, il piano osculator sarbb costant lungo tutta. Quindi, tutti i punti di dovrbbro appartnr al piano π : x y + z, trovato nl punto prcdnt. Qusto, tuttavia, non avvin. Considriamo, ad smpio, il punto P (,, ) ch si ottin pr t. Sostitundo l coordinat di P nll quazion di π, si ottin ( ) qusto falso, poiché. Quindi P π non piana. (f) La curvatura di nl punto P κ() f () f () f () 6. Prtanto, il raggio di curvatura in P il cntro di curvatura in P r() κ() C() f() + r() n() (,, ) + (,, ) ( 4, 4, ). 7. Si ha x sin θ cos θ x sin θ cos θ y cos θ sin θ y 4 sin θ cos θ z cos θ z sin θ Inoltr, sia f(θ) (cos θ, sin θ cos θ, sin θ), pr ogni θ [ π, π].. (a) Poiché x +y +z cos 4 θ+sin θ cos θ+sin θ cos θ(cos θ+sin θ)+sin θ cos θ+sin θ, la curva giac sulla sfra di quazion x + y + z quindi sfrica. (b) Poiché f( π) (,, ) f(π), la curva chiusa. (c) Si ha P f() (,, ). (d) Si ha f () (,, ) f () (,, ). Il vrsor tangnt in P t() f () (,, ) f. () Poiché i j k f () f () (,, ) (,, ) f () f (),

11 il vrsor binormal in P Infin, il vrsor normal in P b() f () f () (,, ) f () f () (,, ). n() b() t() i j k (,, ) (,, ). () Il piano osculator a nl punto P ha quazion y z. b(), X P (,, ), (x, y, z) (f) S foss una curva piana, tutti i suoi punti dovrbbro appartnr al piano osculator trovato nl punto prcdnt, qusto non accad. Infatti, il punto f(π/) (,, ) non appartin a tal piano. Quindi non piana. (g) La curvatura di nl punto P κ() f () f () f (). Prtanto, il raggio di curvatura in P il cntro di curvatura in P (h) Si ha r() κ() C() f() + r() n() (,, ) + (,, ) (,, ). f (θ) 4 sin θ cos θ + cos 4 θ sin θ cos θ + sin 4 θ + cos θ cos 4 θ + sin θ cos θ + sin 4 θ + cos θ (cos θ + sin θ) + cos θ + cos θ Prtanto, si ha I π π π π π π π π f (θ) + cos θ. z(θ) + x(θ) f (θ) dθ sin θ + cos θ + cos θ dθ sin θ( + cos θ) dθ (sin θ + sin θ cos θ) dθ [ cos θ cos θ. ] π π

12 8. Si ha x 6 t y 6 t z 6 t x 6 t y t z 8 t. (a) Posto f(t) ( t, t, t ), si ha f (t) 6 t (, t, t ). Poiché f (t) pr ogni t R, rgolar. (b) Si ha f (t) 6 t + t + 4t 6 t ( + t ). Inoltr, ssndo f (t) 6 t (, t, t ), si ha i j k f (t) f (t) (6 t ) t t t t 6 t ( t, t, t ) 6 t ( t, t, ) f (t) f (t) 6 t 4t + t + 6 t ( + t ). Prtanto, la curvatura di κ(t) f (t) f (t) f (t) 6 t ( + t ) 6 t ( + t ) (c) Poiché κ (t) t ( + t ) < ( + t ). pr ogni t R, la funzion κ strttamnt dcrscnt quindi inittiva ( punti divrsi di hanno divrsa curvatura). (d) Poiché κ una funzion continua strttamnt dcrscnt lim κ(t) t si ha ch la sua immagin l intrvallo (, ), < κ(t) < lim κ(t), t + pr ogni t R. () Poiché κ(t) pr ogni t R, la curva birgolar. (f) Si ha K 9. Si ha κ ds + κ(t) f (t) dt + Posto u t, si ha du t dt, dt du u, K + u du + u u + x + y t + t z t + t 6 t ( + t ) ( + t ) dt + t dt. + t du + u [ ] + artg u π π. x t ( + t ) y t ( + t ) z ( + t ). /

13 (a) Si ha f (t) ( + t ) + t ( + t ) + t + t + t + t + t f (t). Prtanto la curva rgolar. (b) Poiché la prima coordinata x(t) artg t data da una funzion inittiva, inittiva anch la funzion f(t) ch paramtrizza, smplic. (c) Sclto il punto P f() (,, ) s t t f (u) du ch si ottin pr t, il paramtro arco di t du t. (d) Poiché t il paramtro arco di, la curvatura di data da κ(t) t f 4t (t)) ( + t ) 4 + ( t ) ( + t ) 4 + ( + t ) ( + t ) + ( + t ) κ(t) + t ( + t ) + t + t + t. () Si ha κ (t) ( + t ) t( + t ) ( + t ) t( + t ) + t ( + t ) 6 ( + t ) t( + t ) t( + t ) + t ( + t ) 4 + t t( + t 6 t ) + t ( + t ) t(5 + t ) + t ( + t ) + t. Poiché κ (t) ss t, la curvatura di assum valor massimo pr t, nl punto P f() (,, ). (f) Poiché κ una funzion continua pari ch ammtt valor massimo κ() lim κ(t) lim κ(t), t t + si ha ch la sua immagin l intrvallo (, ].

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