ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I Sessione suppletiva

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy), sono assegnate le parabole di equazione: y (a ) a a dove a è un parametro reale diverso da. a) Determinare quali tra esse hanno punti in comune con l asse e quali no. b) Trovare le due parabole che hanno il vertice in un punto di ascissa a. c) Stabilire se le due parabole trovate sono congruenti o no, fornendo un esauriente spiegazione della risposta. d) Scrivere l equazione del luogo geometrico L dei vertici delle parabole assegnate e disegnarne l andamento dopo averne determinato in particolare asintoti, estremi e flessi. e) Calcolare l area della regione finita di piano delimitata dalla curva L e dalla retta di equazione y. PROBLEMA In un trapezio rettangolo ABCD, circoscritto a un cerchio, AB è la base maggiore, CD la minore e BC il lato obliquo. Le misure, considerate rispetto alla stessa unità di misura, del raggio del cerchio e del perimetro del trapezio sono nell ordine e 8. a) Calcolare le misure dei lati del trapezio. b) Riferito il piano della figura a un conveniente sistema di assi cartesiani (Oy), scrivere le coordinate dei vertici del trapezio. c) Tra le centro-affinità di equazioni: a by y c dy trovare quella che trasforma il vertice B del trapezio nel vertice C e il vertice C nel vertice D. d) Stabilire se la centro-affinità trovata presenta rette unite. e) Calcolare l area della figura trasformata del cerchio inscritto nel trapezio in base alla centro-affinità trovata sopra. Zanichelli Editore, 006

2 QUESTIONARIO 5 6 Nota lunghezza di una corda di un cerchio di dato raggio, calcolare quella della corda sottesa dall angolo al centro uguale alla metà di quello che sottende la corda data. (Nota La risoluzione del problema è stata usata da Tolomeo, II sec. d.c., per la costruzione di una tavola trigonometrica in maniera equivalente alla nostra formula di bisezione del seno.) Nello spazio ordinario sono dati due piani e e una retta r. Si sa che r è parallela ad e perpendicolare a. Cosa si può concludere circa la posizione reciproca di e? Fornire un esauriente spiegazione della risposta. Il dominio della funzione f () è l insieme degli reali tali che: A 0 e/o ; B 0 e/o ; C 0 e/o ; D 0 e/o. Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un esauriente spiegazione della scelta operata. Si consideri un polinomio di grado n nella variabile reale con coefficienti reali. Dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinché esso ammetta due zeri uguali al numero reale è che il valore del polinomio e quello della sua derivata prima si annullino per. Stabilire se esistono i limiti della funzione f () ( ) per: a) ; b) ; c) 0; e, in caso di risposta affermativa, determinarli. Si consideri il seguente sistema di equazioni nelle incognite, y, z: k y z 0 ky z 0 y kz 0 dove k è un parametro reale. Dire se l affermazione: «il sistema ammette la sola soluzione 0, y 0, z 0 per ogni valore di k diverso da» è vera o falsa e fornire una spiegazione esauriente della risposta. 7 8 Utilizzando il procedimento preferito, dimostrare la formula che fornisce l area della regione piana racchiusa da un ellisse di semiassi noti. In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy) sono date le affinità di equazioni: (a ) by a y (a ) by dove a, b sono parametri reali. Dimostrare che fra esse vi è una similitudine diretta e di questa trovare il punto unito. Zanichelli Editore, 006

3 9 0 Un urna contiene 0 palline uguali in tutto e per tutto fuorché nel colore: infatti 8 sono bianche e nere. Vengono estratte a caso, una dopo l altra, due palline. Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia bianca sapendo che la prima: a) è bianca e viene rimessa nell urna? b) è bianca e non viene rimessa nell urna? c) è messa da parte senza guardarne il colore? Considerata l equazione in : a b c 0 dove a, b, c sono numeri reali qualsiasi, con a 0, scrivere un algoritmo che ne determini le soluzioni reali e le comunichi, esaminando tutti i casi possibili. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 006

4 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 00 Sessione suppletiva PROBLEMA a) Per determinare i punti di intersezione tra le parabole y (a ) a a con a e l asse, risolviamo l equazione (a ) a a 0, che è un equazione di secondo grado per qualunque valore di a, essendo a per ipotesi. Per trovare le radici reali dell equazione, calcoliamo il discriminante ridotto: a (a )a a ( a). Si ha: 0 a ( a) 0 a 0 a (essendo a sempre non negativo). Più sinteticamente si può dire che le parabole date hanno punti in comune con l asse per a. b) Data la parabola di equazione y (a ) a a, a l ascissa del suo vertice è V. (a ) Quindi la parabola data ha vertice in un punto di ascissa a se: a a a a(a ) a(a ) 0 a 0 a. (a ) O Le due parabole che hanno il vertice in un punto di ascissa a sono (figura ) : a 0 y. a y. y= c) Le due parabole determinate nel punto b) e disegnate in figura hanno entrambe asse parallelo all asse y e hanno medesimo valore assoluto dell apertura, che è il coefficiente Figura. di. La parabola y è congruente alla parabola y perché la seconda si ottiene dalla prima con la simmetria centrale di centro (; 0) che è il punto medio del segmento che congiunge i vertici delle due parabole. Le equazioni della simmetria centrale sono: y 0 y y y Sostituendo in y otteniamo: y ( ) y. Pertanto le due parabole sono congruenti perché si corrispondono in una isometria. y y= + Zanichelli Editore, 006

5 a d) Nel punto b) è stata determinata l ascissa del vertice delle parabole date: V. L ordinata è a y V a a. Le equazioni parametriche del luogo L sono quindi: a a a. y a a a Ricaviamo a in funzione di dalla prima equazione : a a a con, e sostituiamo nella seconda equazione del luogo: y ( ) ( ) ( con. ) L equazione cartesiana del luogo L dei vertici delle parabole date è: y con. ( ) Studiamo la funzione f (). ( ) Campo di esistenza: ],[], [. Segno: la funzione può essere scritta nel seguente modo: f (), quindi il segno di f è concorde ( ) con il segno di : f () 0 0 ; f () 0 ; f () 0 e. Limiti: lim f () lim ( ) lim e tenendo presente il segno della funzione, che in un intorno di è sempre positiva, si ha: lim f () lim e lim f () lim ( ). ( ) Quindi la retta è asintoto verticale. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui di equazione: y m q, con m lim f ( ) e q lim [ f () m ]. Si ha: 5 Zanichelli Editore, 006

6 lim f ( ) lim lim ( ) lim [ f () m ] lim ( ) lim lim 0. ( ) ( ) Quindi la retta y è asintoto obliquo di f. Derivate. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) f () ( ) ( ) ( ) 0 +. f' ( ) ( ) 0 f Essendo sempre maggiore di 0, f si annulla in 0 Figura. e il segno di f è concorde al segno di come illustrato ( ) in figura assieme alle conseguenze sulla crescenza e decrescenza di f. Quindi 0 è punto di minimo relativo per f e f (0) 0. Il punto non è estremante di f perché non appartiene al suo campo di esistenza. La derivata seconda: f () ( 6 )( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( 6 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si annulla in. Dallo studio del segno di f, riportato in figura assieme alle conseguenze sulla concavità di f, segue che è punto di f'' f Figura. flesso per f e f () 6. 9 Figura. Il grafico di f () ed i suoi asintoti sono illustrati in figura. y= y y= ( ) F O y= = 6 Zanichelli Editore, 006

7 e) Determiniamo le intersezioni tra la curva L e la retta y risolvendo l equazione ( ) con. Si ottiene l equazione di terzo grado 6 0. Per un teorema dell algebra, le eventuali radici razionali del polinomio di terzo grado a coefficienti interi sono frazioni il cui numeratore è un divisore del termine noto e il cui denominatore è un divisore del coefficiente del termine. Quindi le possibili radici appartengono all insieme,,,. Siccome p 8 6 0, il polinomio è divisibile per. Applicando la regola di Ruffini: otteniamo la fattorizzazione: 6 ( 6) ( )( ). Quindi: 6 0. Le ascisse dei punti estremi della regione finita di piano di cui si vuole calcolare l area (vedi figura ) sono e. Area 0 0 f () d 0 0 ( ) d. Notiamo che ( ), quindi: Area 0 0 ( ) d [ ] [ ] Area 0 Per calcolare d 5 ( ) 8 d ( ) 0 0 d cerchiamo i valori A e B che rendono vera l identità: ( ) A. ( ) ( ) ( B) A Essendo ( ) ( B) A A B si ha: ( ) A A ( ) ( ) ( B) A B 0 A B d. ( ) 7 Zanichelli Editore, 006

8 e quindi. ( ) ( ) ( ) 0 0 d ( 0 ) 0 d ( 0 ) 0 d ( ) ln ( ) ln ln( ). Possiamo infine determinare l area della regione limitata richiesta: Area d 5 0 ( ) 8 ln ln( ) Area 5 ln( ). 8 PROBLEMA a) Siano H, K, L ed M i punti di tangenza del cerchio di centro T ai lati del trapezio rettangolo ABCD, come si osserva in figura 5. I raggi condotti alle tangenti sono perpendicolari alle tangenti stesse, quindi, essendo per ipotesi AB AD e AD DC, si ha TH TL e TK TL. Inoltre, poiché LA AH e LD DK, in quanto segmenti di tangente condotti da punti esterni alla circonferenza, i quadrilateri AHTL e LTKD sono entrambi due quadrati, di lato, quindi AD. Per ipotesi p AB BC DC AD 8. Ricordiamo che, per un teorema di geometria euclidea, in un quadrilatero circoscritto la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. Quindi: L D A K H T C M P B Figura 5. AD BC 9 BC 5 AB DC 9 AB DC 9. AD AD Sia P il punto in cui la perpendicolare ad AB per C incontra il lato AB. Si ha CP AD, quindi per il teorema di Pitagora: PB BC AD ed essendo AB AP PB DC PB, vale: AB DC 9 DC PB 9 DC 9. I lati del trapezio misurano: AD, AB 6, BC 5, DC. b) Scegliamo un sistema di assi cartesiani Oy che ha origine O coincidente con il vertice A, asse la retta AB orientata da A verso B, asse y la retta AD orientata da A verso D (figura 6). Le coordinate dei vertici del trapezio rispetto al sistema di riferimento sono: A(0; 0); B (6; 0); D (0; ); C (; ). y D OA Figura 6. C T B 6 8 Zanichelli Editore, 006

9 c) Una centro-affinità è un affinità in cui l origine del sistema di riferimento è un punto unito. Il sistema di riferimento scelto è adeguato, infatti B, C e D non sono punti uniti mentre A può esserlo. Determiniamo l affinità t: a by y c dy per cui: t(6; 0) (; ); t(; ) (0; ). Imponendo la condizione t(6; 0) (; ) si ottiene: 6a 6c a. c Imponendo la seconda condizione t(; ) (0; ) si ottiene: a b 0 e sostituendo i valori di a e c trovati si ha: c d Le equazioni dell affinità cercata sono: 8 y y y Calcoliamo t (; ) ; e disegniamo il quadrilatero A B C D, che è il trasformato mediante t del trapezio rettangolo ABCD (figura 7). Si noti che il quadrilatero A B C D è ancora un trapezio, essendo A B //C D, ma non è più un trapezio rettangolo. Infatti una generica affinità preserva il parallelismo ma non la perpendicolarità. d) Per determinare le eventuali rette unite, occorrono le equazioni della trasformazione inversa t. Scriviamo t in forma matriciale X AX: 8 y y. b 8. d D' y C' B' A'AO Figura 7. Essendo det(a) 0, la trasformazione inversa t esiste ed ha la forma matriciale: X A X. 9 Zanichelli Editore, 006

10 Calcoliamo A : A A de t( A) A de t( A) A de t( A) A de t( A). y Quindi: y e le equazioni della trasformazione inversa sono: y. y y In alternativa, le stesse equazioni si possono ottenere come segue. 8 y Dalle equazioni y y ricaviamo e y in funzione di e y. Si ha: 8 y y 8 y y 8 y 6y 8 y y 8 y y y 8 y y y y y y Con queste equazioni trasformiamo la retta generica r di equazione y m q. Si ottiene: y m y q. Togliamo gli apici e semplifichiamo: m y m q. Notiamo subito che se m 0 allora la retta r non è unita, perché t (r) sarebbe parallela all asse 0 Zanichelli Editore, 006

11 delle ordinate mentre r non lo è. Possiamo quindi supporre m 0 m e scrivere: m q y. m m Affinché le rette siano unite si deve verificare che: m m q m m q 9m 6 0 mq 0 che è un sistema impossibile, quindi nessuna retta di equazione y m q è unita per t. Cerchiamo eventuali rette unite per t parallele all asse y delle ordinate. La retta di equazione a viene trasformata da t nella retta di equazione y a, che non è in nessun caso parallela all asse delle ordinate. Si conclude che non esistono rette unite per t. e) Un importante proprietà delle affinità è che il rapporto tra l area S di una figura e quella della sua trasformata S è costante e vale la relazione: A S det(a) A S dove A è la matrice associata all affinità. Essendo det(a), l area della figura trasformata del cerchio inscritto, che è un ellisse, è la metà dell area del cerchio ed è quindi pari a (). QUESTIONARIO Il testo del quesito suggerisce la risoluzione per via trigonometrica. Si consideri nel cerchio di centro O e raggio dato r di figura 8 la corda AB, sottesa dall angolo al centro AÔB e di lunghezza nota l, e la corda AC sottesa dall angolo al centro AÔC AÔB. Indichiamo con e gli angoli al centro AÔC e AÔB rispettivamen- te. I corrispondenti angoli alla circonferenza che sottendono le A l r α C α O l B corde AB e AC misurano allora e. Per il teorema della corda si ha: α α AB r sen e AC r sen. Dalla prima relazione, poiché AB l, si ha: l sen. r Figura 8. Zanichelli Editore, 006

12 Per la formula di bisezione del seno: sen ( co s ), nel nostro caso sen ( co s ) essendo 0 0 cos 0. Per la relazione fondamentale della trigonometria: cos sen l r. Quindi: e sen ( co s ) AC r r r l rr r l r r l. e quindi sen 0 e r r l r r l r In figura 9 sono riportati i piani e e la retta r parallela ad e perpendicolare a. Si vuole dimostrare che i due piani e sono perpendicolari. B Sia s la retta s, spigolo del diedro formato dai piani e. A γ Sia P il punto in cui la retta r interseca il piano e tracciamo sul t piano da P la perpendicolare alla retta s e sia Q il piede della r perpendicolare. Per il teorema delle tre perpendicolari il piano contenente r e Q origina una sezione normale del diedro formato da e. Sia t la retta t. Essendo r / ed essendo t complanare di r rispetto al piano, si ha che le rette r e t sono parallele. Q P Infatti, se così non fosse, r e t dovrebbero incontrarsi nel punto s di incidenza, e quindi anche il piano, cui t appartiene, e la retta β r dovrebbero incontrarsi, cosa che è contraria all ipotesi r /. Quindi gli angoli PQˆB e QPˆA sono supplementari, perché angoli coniugati interni rispetto alla coppia di rette parallele r e t e alla trasversale per PQ, ed essendo QPˆA retto per costruzione si ha α che anche PQˆB è retto. Quindi una sezione normale del diedro genera un angolo retto e quindi e sono perpendicolari. Figura 9. Affinché i radicali abbiano entrambi senso deve essere: 0 che equivale al sistema 0 ( ) 0 che ha soluzioni Il campo di esistenza della funzione data è quindi 0 e la risposta esatta è D. Sia p () un polinomio di grado n a coefficienti reali. Se p () ammette due zeri uguali al numero reale esso si può fattorizzare come p () ( ) q () con q () polinomio di grado n. Dimostriamo la prima implicazione: p () ( ) q () e q () 0 p () 0, p () 0. Essendo p () ( ) q () ( ) q (), si ha p () 0 e p () 0. Dimostriamo la seconda implicazione: p () 0, p () 0 è radice almeno doppia di p () 0. Zanichelli Editore, 006

13 Essendo p () 0 si può scrivere la fattorizzazione p () ( ) s () con s () polinomio di grado n. Inoltre p () s () ( ) s () p () s (), quindi p () 0 s () 0 e allora s () è divisibile per ( ) e si può fattorizzare nel seguente modo: s () ( ) q () con q () polinomio di grado n. Sostituendo nella fattorizzazione di p () si ottiene: p () ( ) s () p () ( ) ( ) q () ( ) q () e quindi è almeno radice doppia di p (). 5 Il campo di esistenza della funzione f () ( ) è ], 0[ ]0, [. Non ha allora senso cercare il lim f (). Il lim ( ) è una forma indeterminata della forma. Posto, si ottiene il limite notevole 0 y lim y y y e. Il lim ( ) è una forma indeterminata del tipo 0. Si ha lim ( ) lim e ln(). Quando sia il numeratore che il denominatore di ln( ) tendono a, quindi si può applicare la regola di De l Hospital: lim ln( ) lim 0. Allora: lim ( ) e Un sistema omogeneo ammette la sola soluzione nulla se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo. Calcoliamo il determinante della matrice associata al sistema omogeneo dato: k det k k(k )(k)(k)(k)(k k)(k)(k)(k)(k) (k). k Si ha det 0 k k, quindi l affermazione «il sistema ammette la sola soluzione 0, y 0, z 0 per ogni valore di k diverso da» è falsa perché anche per k (che è un valore diverso da ) il sistema ammette soluzioni non nulle oltre a quella nulla. La formula dell area dell ellisse di semiassi noti a e b è ab. Dimostriamola utilizzando le proprietà delle affinità. Trasformiamo l ellisse di equazione a b mediante l affinità: y a. y y b Si ottiene la circonferenza di equazione y di area. Un importante proprietà delle affinità è che il rapporto tra l area S di una figura e quella della sua trasformata S è costante e vale la relazione: A S det(a) A S dove A è la matrice associata all affinità. Nel nostro caso det(a) e A S, quindi A a b S Area ellisse A S ab. de t( A) 8 y y y La generica affinità è diretta se det 0, ed è una similitudine se sono verifi- Zanichelli Editore, 006

14 cate le seguenti condizioni:. 0 (a ) by a Quindi l affinità è una similitudine diretta se valgono le seguenti condizioni: y (a ) by (a ) (a ) b b (a )b (a ) b 0 b(a ) b(a ) 0 Dalla seconda equazione si ottiene a, e sostituendo nelle altre si ha: b b a a. 9b 0 La similitudine richiesta è quindi: y. y y Cerchiamo il punto unito. Poniamo: a b b ab b 0 ab 0 y y y da cui: y 0 y 0 Il punto unito ha coordinate 7 ; 9. y y y y 9 a) La prima pallina estratta viene rimessa nell urna, quindi la probabilità della seconda estrazione è indipendente da quanto successo nella prima estrazione e vale: P b) Dopo la prima estrazione rimangono nell urna 9 palline di cui 7 bianche, quindi P 7. 9 c) Non avendo informazioni sulla prima estrazione, per quanto riguarda la seconda estrazione possiamo solo dire che la pallina estratta sarà una delle 0 palline di cui 8 bianche e nere. Quindi P Verifichiamo il ragionamento usando il teorema della probabilità totale. Indichiamo con E, A e B gli eventi: E La seconda pallina estratta è bianca, A La prima pallina estratta è bianca, B La prima pallina estratta è nera. Si ha: P (E ) P (A) P (E A) P (B) P (E B) , Zanichelli Editore, 006

15 e abbiamo ritrovato il risultato precedente. 0 Affinché l equazione di secondo grado a b c 0, con a 0, abbia due radici reali deve essere b ac 0. In tal caso le due radici sono: - distinte e della forma, b se 0, a - coincidenti e della forma, b se 0. a Esprimiamo l algoritmo in linguaggio di progetto: Inizio; Ripeti Leggi a, b, c; finché a 0; Assegna b ac a ; se 0, allora Scrivi Le radici non sono reali ; Se 0, allora Assegna b a ; a Assegna b a ; a Scrivi Le radici sono distinte:,, e,,; Se 0 allora Assegna b a ; a Scrivi Le radici sono coincidenti:, ; Fine. 5 Zanichelli Editore, 006

16 Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema Problema pag. L 9 punti a) e b) Problema 88 pag. L Problema 89 pag. L Problema pag. W 9 Problema 6 pag. W 0 Esercizio 76 pag. V 65 Problema 5 pag. J Problema pag. J Problema Quesito 8 pag. J 9 Problema pag. J Problema 0 pag. J Esercizio 55 pag. J Esercizio 5 pag. J Esercizio 505 pag. J 0 Quesito Esercizio pag. Q Quesito 0 pag. W 69 Quesito Quesito 7 pag. 96 Esercizio pag. 7 Quesito 0 pag. Quesito 9 pag. W 65 Quesito Test pag. U Problema 0 pag. U punto a) Esercizio 06 pag. U 8 Quesito Quesito 5 pag. W 7 Quesito 5 Quesito 6 pag. U 07 Quesito 7 pag. U 07 Esercizio 58 pag. U 7 Quesito 6 Test 7 pag. T Quesito 7 pag. W 8 Quesito 9 pag. W 8 Quesito 7 Quesito 8 pag. J 9 Esercizio 500 pag. J 09 Quesito 8 Esercizio 5 pag. J Quesito pag. W 7 Quesito 9 Quesito pag. 9 Problema 0 pag. 99 Problema pag Zanichelli Editore, 006