ESERCIZI SULL EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE, DI UN SITEMA DI PUNTI E DI UN CORPO RIGIDO

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1 ESERCIZI SULL EUILIBRIO DI UN PUNTO MTERILE, DI UN SITEM DI PUNTI E DI UN CORPO RIGIDO Equilibrio di un punto materiale Esercizio n.1 Determinare le posizioni di equilibrio di un punto materiale di peso p, appartenente ad un piano verticale e vincolato a scorrere lungo una guida scabra di coefficiente d attrito µ, avente forma di un ramo di iperbole di equazione xy= α. y 5 µ O x x Essendo il punto vincolato ad appartenere alla guida, il sistema è caratterizzato da un grado di libertà (gdl =1) e come coordinata libera si può assumere l ascissa x (x > 0). Le forze agenti sul punto sono il peso p e la reazione vincolare Φ. y, j p n t Φ O x, i Per l equilibrio del punto materiale dovrà essere verificata la seguente equazione vettoriale: R = p + Φ =0 (1)

2 6 La forza p è facilmente ³ esprimibile se si considerano i versori del sistema di riferimento globale i, j ; invece, per la forza Φ risulta più conveniente utilizzare i versori della terna intrinseca(riferimentolocale) t, n : p = p j Φ = Φ t t + Φ n n I³ versori t e n possono essere espressi in funzione di i e j. Il vettore posizione O è il seguente: O = x i + y (x ) j = x i + α j x Il versore t èdefinito come: d O t = ds = d O dx dx ds = Ã i α x 2 j! dx ds in cui s è l ascissa curvilinea. Per il teorema di Pitagora si ha: ds = s q (dx) 2 +(dy) 2 = 1+ µ 2 r dy ³ dx = 1+ α 2 dx dx x 2 da cui: dx ds = 1 q 1+ α2 x 4 = ³ t = λ x 2 i α j, λ = x 2 q α 2 + x 4 1 q α 2 + x 4 (2) Il versore normale n potrebbe essere ottenuto mediante definizione, ma è più semplice costruirlo a partire dal versore t: ³ n = t y i + t x j = λ α i + x 2 j (3) Il risultante R (Eq.1a) può essere proiettato secondo due direzioni distinte; ciò equivale a "proiettare l equazione vettoriale di equilibrio" (Eq.1b) secondo le due direzioni scelte, in modo da ottenere un sistema di due equazioni scalari. Se si scelgono, ad esempio, le direzioni individuate dai versori i e j, si ottiene: ½ R i = p i + Φ i =0 R j = p j + Φ j =0 ovvero ½ p j i + Φ t t i + Φ n n i =0 p j j + Φ t t j + Φ n n j =0

3 7 che, utilizzando le espressioni (2) e (3), divengono: ½ Φt λx 2 + Φ n λα =0 p Φ t λα + Φ n λx 2 =0 Risolvendo il sistema si ricava: ½ Φt = λαp Φ n = λx 2 p In ultimo, le posizioni di equilibrio possono essere determinate mediante la relazione che governa l attrito tra il punto materiale elaguida: Φ t µ Φ n λαp µ λx 2 p relazione che, essendo λ, α, p, µ positivi, si semplifica nella seguente α µx 2 x r α µ Dunque, le posizioni di equilibrio sono rappresentate dai punti (infiniti) del ramo di iperbole con ascissa magiore o uguale a q α µ y equilibrio O (α/µ) 1/2 x Si noti che, in alternativa, si sarebbe potuto proiettare secondo le direzioni individuate dai versori t e n: ½ R t = p t + Φ t =0 R n = p n + Φ n =0 ovvero ½ p j t + Φ t t t + Φ n n t =0 p j n + Φ t t n + Φ n n n =0

4 8 In questo modo si ottengono due equazioni disaccoppiate: utilizzando le espressioni (2) e (3), si ha: ³ p j λ x 2 i α j + Φ t =0 ³ p j λ α i + x 2 j + Φ n =0 da cui, immediatamente, si ricava la stessa soluzione ottenuta in precedenza: ½ Φt = λαp Φ n = λx 2 p Le posizioni di equilibrio si determinano come sopra. In conclusione, si noti che se come coordinata libera si fosse assunto l angolo γ che il versore tangente t forma con l asse orizzontale (x), y, j γ p n t Φ O γ x, i si sarebbe ottenuto: tan (γ) = t y t x = α x 2 x 2 = α tan (γ) α µ ovvero tan (γ) µ che, definendo l angolo di attrito φ =arctan(µ), diviene: γ φ L interpretazione di queste ultime relazioni è immediata: l equilibrio è garantito se il piano (tangente) di scorrimento ha una pendenza inferiore al coefficiente di attrito, ovvero se forma con l orizzontale un angolo minore dell angolo di attrito. Esercizio n.2 Determinare le posizioni di equilibrio di un punto materiale di peso p, connesso ad una molla di costante elastica k, appartenente ad un piano verticale e vincolato

5 a scorrere lungo una guida scabra di coefficiente d attrito µ, avente forma di una parabola di equazione y = αx 2. 9 O x x k µ y = α x 2 y Essendo il punto vincolato ad appartenere alla guida, il sistema è caratterizzato da un grado di libertà (gdl =1) e come coordinata libera si può assumere l ascissa x (x > 0). Le forze agenti sul punto sono il peso p, la forza di richiamo della molla r e la reazione vincolare Φ. O x n r Φ p t y Per l equilibrio del punto materiale dovrà essere verificata la seguente equazione vettoriale: R = p + r + Φ =0 (4) Le tre forze possono convenientemente essere espresse come: p = p j r = k O = k O Φ = Φ t t + Φ n n

6 10 I³ versori t e n possono essere espressi in funzione di i e j. Il vettore posizione O è il seguente: O = x i + y (x ) j = x i + αx 2 j (5) Il versore t èdefinito come: d O t = ds = d O dx dx ³ ds = dx i +2αx j ds in cui s è l ascissa curvilinea. Per il teorema di Pitagora si ha: s q µ 2 q dy ds = (dx) 2 +(dy) 2 = 1+ dx = 1+(2αx) 2 dx dx da cui: dx ds = 1 q 1+4α 2 x 2 ³ t = λ 1 i +2αx j, λ = q 1+4α 2 x 2 (6) Il versore normale n potrebbe essere ottenuto mediante definizione, ma è più semplice costruirlo a partire dal versore t: ³ n = t y i + t x j = λ 2αx i + j (7) Il risultante R (Eq.4a) può essere proiettato secondo due direzioni distinte; ciò equivale a "proiettare l equazione vettoriale di equilibrio" (Eq.4b) secondo le due direzioni scelte, in modo da ottenere un sistema di due equazioni scalari. Scegliendo le direzioni individuate dai versori t e n le equazioni che si ottengono risultano disaccoppiate rispetto alle incognite Φ t e Φ n : ½ R t = p t + r t + Φ t =0 R n = p n + r n + Φ n =0 ovvero p j t k O t + Φ t t t + Φ n n t =0 p j n k O n + Φ t t n + Φ n n n =0 che, utilizzando le espressioni (6), (7) e (5) e semplificando, forniscono: ½ Φt = 2λpαx + λk x +2α 2 x 3 Φ n = pλ λkαx 2 Le posizioni di equilibrio possono essere determinate mediante la relazione che governa l attrito tra il punto materiale e la guida: Φ t µ Φ n 2λpαx + λk x +2α 2 x 3 µ pλ λkαx 2

7 11 relazione che, essendo λ, α, p, k positivi, si semplifica nella seguente ³ 2 pα ³ αp k +1+2α2 x 2 αx µ k + α2 x 2 0 Definite le seguenti quantità adimensionali ξ = αx, η = pα k la disequazione diviene 1 2η +2ξ 2 ξ µ η + ξ 2 0 (8) Nelcasodiguidaliscia(µ =0)si ha 1 2η +2ξ 2 ξ 0 1 2η +2ξ 2 ξ =0 ovvero si ottengono le posizioni di equilibrio: ξ 1 = 0 (per η 0) r ξ 2 = + η 1 µ per η r ξ 3 = η 1 µ per η ueste soluzioni possono essere rappresentate graficamente sul piano (ξ,η) mediante le curve: ξ =0 e η = ξ2 2.5 η ξ = 0 η = 0.5+ξ le cui intersezioni con la retta η = η forniscono una o tre soluzioni a seconda che sia, rispettivamente, η 1 o 2 η>1, cioè p k o p> k. 2 2α 2α Nel caso di guida scabra (µ >0), dalla disequazione (8) si ottiene: ½ (1 2η) ξ +2ξ 3 µ η + ξ 2 (1 2η) ξ +2ξ 3 µ η + ξ 2 ξ

8 12 ovvero, dopo alcune semplificazioni algebriche: ξ µ 2, η 2ξ2 µ ξ +1 2 ξ + µ ξ > µ 2, 2ξ 2 µ ξ +1 2 ξ + µ ξ ξ η 2ξ2 + µ ξ +1 2 ξ µ relazioni che sul piano(ξ,η) individuano un dominio, la cui intersezione con la retta η = η fornisce uno o tre intervalli di equilibrio. ξ 2.5 η ξ Esercizio n.3 Determinare le posizioni di equilibrio del sistema in figura composto da un punto materiale di peso p, appartenente ad un piano verticale e connesso ai punti fissi O e (posti a distanza relativa a) mediante due molle di rigidezza k 1 e k 2. a O k 1 k 2 Il punto non è vincolato; il sistema è dunque caratterizzato da due gradi di libertà (gdl =2)e,definito il sistema di riferimento cartesiano con origine in O rappresentato nella figura seguente, come coordinate libere si scelgono le coordinate x e y.

9 Le forze agenti sul punto sono il peso p e le forze di richiamo delle molle, r 1 e r 2. a 13 O x, i r 1 r 2 p y, j Per l equilibrio del punto materiale dovrà essere verificata la seguente equazione vettoriale: R = p + r 1 + r 2 =0 (9) Le tre forze possono essere espresse come: p = p j ³ r 1 = k 1 O = k 1 O = k 1 x i + y j ³ ³ h i r 2 = k 2 = k 2 = k 2 (x a) i + y j L equazione (9) diviene: h i R = p j k 1 ³x i + y j k 2 (x a) i + y j =0 Proiettando secondo i versori i e j si ottiene il sistema: ½ R i = k 1 x k 2 (x a) =0 R j = p k 1 y k 2 y =0 che, risolto, fornisce le coordinate dell unica configurazione equilibrata: ½ x = k 2 p a, y = k 1 + k 2 k 1 + k 2 Nel caso particolare in cui k = k 1 = k 2 si ha: n x = a 2, y = p 2k Esercizio n.4 Determinare le posizioni di equilibrio di un punto materiale di peso p, connesso al punto O mediante una molla di costante elastica k, appartenenteadunpiano

10 14 verticale e vincolato a scorrere lungo un piano inclinato scabro con coefficiente d attrito µ. µ k α Essendo il punto vincolato a muoversi lungo il piano (con vincolo bilatero), il sistema è caratterizzato da un grado di libertà (gdl =1) e come coordinata libera si può assumere l ascissa x. Le forze agenti sul punto sono il peso p, la forza di richiamo della molla r e la reazione vincolare Φ. y, j O r p n t Φ α x, i x Per l equilibrio del punto materiale dovrà essere verificata la seguente equazione vettoriale: R = p + r + Φ =0 (10) Le tre forze possono convenientemente essere espresse come: p = p j r = k O = k O Φ = Φ t t + Φ n n I³ versori t e n possono essere espressi in funzione di i e j. Il vettore posizione O è il seguente: O = x i +(b x )tan(α) j (11) Il versore t èdefinito come: d O t = ds = d O dx dx h i ds = dx i tan (α) j ds

11 15 in cui s è l ascissa curvilinea. Ne consegue che: da cui: t = dx ds =cos(α) h i tan (α) ji cos (α) =cos(α) i sin (α) j (12) Il versore normale n si può costruire a partire dal versore t: n = t y i + t x j =sin(α) i +cos(α) j (13) Il risultante R (Eq.10a) può essere proiettato secondo le due direzioni individuate dai versori t e n; le equazioni che si ottengono risultano disaccoppiate rispetto alle incognite Φ t e Φ n : ½ R t = p t + r t + Φ t =0 R n = p n + r n + Φ n =0 ovvero p j t k O t + Φ t t t + Φ n n t =0 p j n k O n + Φ t t n + Φ n n n =0 che, utilizzando le espressioni (12), (13) e (11) e semplificando, forniscono: ½ Φt = p sin (α)+ k x b sin 2 (α) cos(α) Φ n = p cos (α)+kb sin (α) Le posizioni di equilibrio possono essere determinate mediante la relazione che governa l attrito tra il punto materiale eilpiano: Φ t µ Φ n p sin (α)+ k x b sin 2 (α) µ p cos (α)+kb sin (α) cos (α) relazione che, essendo b, α, p, k positivi, si semplifica nella seguente p sin (α)+ k x b sin 2 (α) µ [p cos (α)+kb sin (α)] 0 cos (α) Definite le seguenti quantità adimensionali ξ = x b, η = p kb la disequazione diviene 1 η sin (α)+ ξ sin 2 (α) µ [η cos (α)+sin(α)] 0 (14) cos (α) Nelcasodiguidaliscia(µ =0)si ha 1 η sin (α)+ ξ sin 2 (α) 0 cos (α) 1 η sin (α)+ ξ sin 2 (α) =0 cos (α)

12 16 ovvero si ottiene la posizione di equilibrio: ξ = η sin (α)cos(α)+sin 2 (α) uesta soluzione può essere rappresentata graficamente sul piano (ξ,η) mediante le semi-retta: ξ η sin (α)cos(α) sin 2 (α) =0 η ξ η sin(α) cos(α) sin 2 (α) = 0 ξ = sin 2 (α) ξ le cui intersezioni con la retta η = η 0 forniscono la soluzione. Si noti che se p =0(ovvero η =0)laconfigurazione equilibrata è: ξ =sin 2 (α) x = b sin 2 (α) a cui corrisponde la minima distanza tra e O, ovvero il vettore ortogonale al piano inclinato: O t = = O h i h i x i +(b x )tan(α) j cos (α) i sin (α) j = h b sin 2 (α) i + b b sin 2 (α) i h i tan (α) j cos (α) i sin (α) j = = b sin 2 (α)cos(α) b sin (α) 1 sin 2 (α) tan (α) j = = b sin 2 (α)cos(α) b sin 2 (α)cos(α) =0 O t Nel caso di superficie scabra (µ >0), dalla disequazione (14) si ottiene: ( η sin (α)+ 1 cos(α) ξ sin 2 (α) µ [η cos (α)+sin(α)] η sin (α)+ 1 cos(α) ξ sin 2 (α) µ [η cos (α)+sin(α)] ovvero, dopo alcune semplificazioni: ξ 1 (η) ξ ξ 2 (η) ξ 1 (η) =[η +tan(α)] [tan (α) µ]cos 2 (α) ξ 2 (η) =[η +tan(α)] [tan (α)+µ]cos 2 (α) relazioni che sul piano(ξ,η) individuano un dominio, la cui intersezione con la è

13 17 retta η = η fornisce, anche graficamente, l intervallo di equilibrio [ξ 1,ξ 2 ]. η ξ = ξ 1 (η) ξ = ξ 2 (η) η = η ξ ξ 1 ξ 2 Esercizio n.5 Determinare le posizioni di equilibrio e la reazione vincolare per un punto materiale di peso p, connesso ai punti e B mediante due molle di costanti elastiche k 1 e k 2, appartenente ad un piano verticale e vincolato a scorrere lungo una guida semi-circolare liscia di raggio R. R + k 1 k 2 B Essendo il punto vincolato a muoversi lungo la guida (con vincolo bilatero), il sistema è caratterizzato da un grado di libertà (gdl =1) e come coordinata libera si può assumere l angolo ϑ. Le forze agenti sul punto sono il peso p, le forze di richiamo delle molle r 1 e r 2 e la reazione vincolare Φ che, essendo la guida liscia (µ =0), ha direzione radiale. ϑ + B x, i r 1 p n t Φ r 2 y, j

14 18 Per l equilibrio del punto materiale dovrà essere verificata la seguente equazione vettoriale: R = p + r 1 + r 2 + Φ =0 (15) Le forze possono convenientemente essere espresse come: p = p j ³ ³ r 1 = k 1 = k 1 r 2 = k 2 B = k 2 B Φ = Φ n n I³ versori t e n possono essere espressi in funzione di i e j. Il vettore posizione e B sono i seguenti: ³ = (R R cos (ϑ)) i + R sin (ϑ) j (16) B = ( R R cos (ϑ)) i + R sin (ϑ) j (17) Il versore t èdefinito come: ³ ³ d d dϑ h i dϑ t = = ds dϑ ds = R sin (ϑ) i + R cos (ϑ) j ds in cui s è l ascissa curvilinea. Ne consegue che: dϑ ds = 1 R da cui: t =sin(ϑ) i +cos(ϑ) j (18) Il versore normale n si può costruire a partire dal versore t: n = t y i t x j =cos(ϑ) i sin (ϑ) j (19) Il risultante R (Eq.15a) può essere proiettato secondo le due direzioni individuate dai versori t e n; le equazioni che si ottengono risultano disaccoppiate rispetto all incognita Φ n : ½ R t = p t + r 1 t + r 2 t + Φ t =0 R n = p n + r 1 n + r 2 n + Φ n =0 ovvero ³ p j t k 1 t k 2 B t + Φ n n t =0 ³ p j n k 1 n k 2 B n + Φ n n n =0 che, utilizzando le espressioni (18), (19), (16) e (17) e semplificando, forniscono: ½ tan (ϑ) = p (k 1 k 2 )R Φ n = p sin (ϑ) (k 1 + k 2 ) R +(k 1 k 2 ) R cos (ϑ) espressioni che individuano un unica configurazione di equilibrio.

15 Equilibrio di un sistema di punti materiali Esercizio n.6 Un sistema è composto da due punti materiali e B vincolati a scorrere lungo una guida semi-circolare liscia di raggio R, posta in un piano verticale. I due punti materiali e B sono soggetti a due forze peso, rispettivamente p e q, esono mutuamente connessi mediante una molla di costante elastica k. ssumendo che la configurazione rappresentata in figura sia di equilibrio, determinare i valori dei pesi p e q (problema "inverso"). 19 R k B + Essendo i punto e B vincolati a muoversi lungo la guida (con vincolo bilatero), il sistema è caratterizzato da due gradi di libertà (gdl =2)ecomecoordinatelibere si possono assumere gli angoli ϑ e ϕ. Le forze agenti sul punto sono il peso p, la forza di richiamo della molla r e la reazione vincolare Φ che, essendo la guida liscia (µ =0), ha direzione radiale. Sul punto B agiscono il peso q, la forza di richiamo della molla r B elareazione vincolare Φ B, con direzione radiale. Φ p n t t B q ϑ ϕ + n B r r B Φ B B Per l equilibrio di ciascun punto materiale dovranno essere verificate la seguenti equazioni vettoriali: R = p + r + Φ =0 (20) R B = q + r B + Φ B =0 (21) Le forze trasmesse dalla molla sono: r = k B = k r B = k B B = r B Non essendo richiesta la determinazione delle reazioni vincolari Φ e Φ B,ledue relazioni vettoriali (Eq.20) e (Eq.20) possono essere proiettate, rispettivamente,

16 20 secondo le due direzioni individuate dai versori t e t B ;leequazionichesiottengono sono: ½ R t = p t + r t + Φ t =0 R B t B = q t B + r B t B + Φ B t B =0 ovvero p [ cos (ϑ)] + k q [ cos (ϕ)] + k B t =0 B t B =0 (22) I termini B t e B t B possono essere ricavati mediante alcune considerazioni trigonometriche. B H ϑ π ϑ ϕ + ϕ J ³ B t = Bcos ˆBH = BH = R sin (π ϕ ϑ) =R sin (ϕ + ϑ) ³ B t B = Bcos BÂJ = J = R sin (π ϕ ϑ) =R sin (ϕ + ϑ) Le equazioni (22) diventano le seguenti: ½ p [ cos (ϑ)] + Rk sin (ϕ + ϑ) =0 q [ cos (ϕ)] + Rk sin (ϕ + ϑ) =0 Essendo nota la configurazione di equilibrio (corrispondente a ϑ = π 3 e ϕ = π 6 )si possono ricavare p e q: sin (ϕ + ϑ) sin (ϕ + ϑ) p = Rk =2Rk, q = Rk = 2 Rk cos (ϑ) cos (ϕ) 3 Equilibrio di un corpo rigido Esercizio n.7 Il sistema rappresentato in figura è composto da un asta rigida di lunghezza b edi peso specifico γ (per unità di lunghezza), vincolata nell estremo con una cerniera e connessa mediante un filo, applicato nell estremo B, ad un punto materiale C di peso c. Inoltre, all estremità B dell asta è fissato un punto materiale di peso q. Determinare, per ogni possibile configurazione, il corrispondente valore del peso

17 21 c che garantisce l equilibrio (problema "inverso"). D b C B b L equilibrio del punto materiale C richiede che il filo sia in tensione. Ne consegue che il sistema è caratterizzato da un grado di libertà (gdl = 1)ecome coordinata libera si può assumere l angolo ϑ indicato in figura. Se si separa il filo dalla massa C e dall asta si possono mettere in evidenza le forze di reazione scambiate tra filo e massa e tra filo e asta. Le forze agenti sul punto C sono il peso c e la tensione T C fornita dal filo che, per definizione, è parallela al filo, ovvero verticale. Sull asta, in B, agiscono il peso q elatensione T B del filo. D T C C c s ϑ/2 + π/4 T B B ϑ q γ L equilibrio del filo, che scorre senza attrito attorno a D, imponet = T C = T B. L equilibrio del punto C richiede: R C = c + T C =0 ovvero, proiettando in direzione verticale: c + T C =0, T = T C = c L equilibrio dell asta può essere imposto anche senza eliminare il vincolo in. Infatti, il movimento permesso dalla cerniera in all asta è una rotazione attorno ad (descritta dalla variabile ϑ). Di conseguenza, l equazione di equilibrio che si può scrivere è la seguente: M =0 (23)

18 22 Inoltre, essendo il sistema di forze appartenente ad un piano, i loro momenti rispetto ad sono rappresentati da vettori aventi tutti retta d azione ortogonale a tale piano. L equazione vettoriale (23) può essere proiettata secondo la direzione ortogonale al piano, con verso positivo se concorde col vettore B D (ovvero se "uscente" dal piano). uest ultima assunzione equivale a considerare positivi i momenti nel piano se anti-orari. Definita lungo l asta l ascissa s con origine in, si può dunque scrivere: M = Z b 0 ³ [s cos (ϑ)] γds qbcos (ϑ)+t B sin ˆBD =0 Essendo il triangolo BD isoscele, si ha ˆBD = π + ϑ 4 2. Sinoticheilcontributo al momento M dato dal peso proprio dell asta equivale al momento del risultante (γb) posto nel punto medio dell asta (a distanza b da ): 2 µ π c sin 4 + ϑ = µγb b2 2 cos (ϑ)+qbcos (ϑ) Da questa equazione si può ricavare il peso c in funzione della configurazione. Posto ψ = π 2 + ϑ esiricava: D C B ψ ovvero: c sin µ ψ ³ = µγ b qb cos ψ π 2 c sin µ ψ = µγ b qb sin (ψ) che si traduce nelle espressioni: c (ψ) = γb 2 +2qb µ ψ cos, 0 < ψ π 2 c (ψ) 0, ψ =0

19 Esercizio n.8 Il sistema rappresentato in figura è composto da un asta rigida di lunghezza b e di peso specifico γ (per unità di lunghezza), appartenente ad un piano verticale, appoggiata nell estremo ad una superficie verticale liscia e in B ad un piano orizzontale scabro con coefficiente d attrito µ. ssumendo i due vincoli come bilateri, determinare le posizioni di equilibrio e le reazioni vincolari che agiscono sull asta. 23 b B µ Il sistema è caratterizzato da un grado di libertà (gdl =1) e come coordinata libera si può assumere l angolo ϑ indicato in figura. Si assume 0 <ϑ π 2. Se si isola l asta, si possono mettere in evidenza le forze di reazione agenti su di essa. Essendo il piano verticale liscio, la forza Φ agente nell estremo ha retta d azione orizzontale. Φ γ ϑ s n Φ B B t Φ B L equilibrio dell asta richiede l annullarsi del vettore risultante R delle forze applicate e del loro vettore momento M calcolato rispetto ad un polo arbitrariamente scelto. In questo caso si sceglie il polo B, in modo che nell equazione rimanga solo l incognita Φ : R = Φ + Φ B + M B = Z b B Φ + 0 γ ds=0 Z b 0 ³ K (s) B γ ds=0 Proiettando R nelle direzioni orizzontale e verticale e M B in direzione ortogonale

20 24 al piano in cui giace l asta, si ottiene: ovvero: Φ + Φ t B =0 Φ n B Z b 0 γds=0 b Φ sin (ϑ)+ Z b 0 Φ t B = γb 2tan(ϑ) Φ n B = γb γb Φ = 2tan(ϑ) sγ cos (ϑ) ds =0 L equilibrio è però garantito solo se è rispettata la relazione di attrito: Φ t B µ Φ n B γb 2tan(ϑ) µ γb ovvero: tan (ϑ) 1 2µ

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