Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi

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1 Geometri Anlitic Domnde, Risposte & Esercizi. Dre l definizione di iperole come luogo di punti. L iperole è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del pino le cui distnze d due punti fissi F e F detti fuochi, hnno differenz costnte in vlore ssoluto (). Con riferimento ll figur si h P F P F ' Q F Q F ' costnte. L iperole. Come si ottiene l iperole come sezione conic? Considerimo il cono circolre retto costituito dlle rette genertrici che con il suo sse formno un ngolo di mpiezz α. Considerimo poi un pino secnte che form un ngolo β con l sse del cono. Se si h β < α l sezione ottenut è un iperole.

2 . Qul è l equzione dell iperole in form cnonic? L equzione dell iperole in form cnonic (centro nell origine e ssi prlleli gli ssi e y) è: y. Quli sono le coordinte dei vertici dell iperole? L ellisse intersec gli ssi coordinti in punti detti vertici, denominti A e A ; come nell ellisse, essi hnno coordinte: A (-; 0 ), A ( ; 0). Per l costruzione del grfico dell iperole è utile individure nche le coordinte dei due punti B (0; - ), B (0; ) detti pseudo- vertici.. Quli sono le coordinte dei fuochi dell iperole? I due fuochi F ed F hnno coordinte: F (-c; 0 ) e F (c; 0 ). 6. Qule relzione mtemtic esiste tr i prmetri, e c? Tr i prmetri, e c sussiste un relzione: c + oppure c +. Cos sono gli ssi e i semissi dell iperole? Il segmento A A è detto sse trsverso dell iperole, di lunghezz ; OA e OA sono i semissi trsversi, di lunghezz. 8. Che cos è l semidistnz focle? Il segmento F F è detto distnz focle;i segmenti OF e OF, di lunghezz c, rppresentno l semidistnz focle (distnz dei fuochi dl centro).. Che cos è l eccentricità dell iperole? L eccentricità, indict con il simolo e, si definisce: e per qunto detto prim risult Poiché nell iperole risult sempre c e c + e +. c >, l eccentricità è sempre superiore d ( e > ).. Che cos sono gli sintoti dell iperole? Gli sintoti dell iperole sono due rette pssnti per l origine, centro dell iperole, di equzioni rispettive: y e y +. Gli sintoti sono rette tngenti ll iperole ll infinito: questo signific che l distnz tr sintoto ed iperole tende zero mno mno che ci si llontn dll origine.. Quli sono le equzioni esplicite dell iperole? Risolvendo l equzione dell iperole rispetto ll vriile y si ottengono le due equzioni esplicite:

3 y ± So osservi come le equzioni sino un d considerre con il segno +, y positive, nel I e II qudrnte, e l ltr con il segno -, y negtive, III e IV qudrnte. Come si può osservre, l vriile indipendente non può ssumere tutti i possiili vlori, m dev essere: U (Cmpo di esistenz dell iperole) L vriile dipendente y può invece ssumere tutti i possiili vlori reli: < y < + (Codominio dell iperole). Come si trcci il grfico dell iperole? Le costruzione geometric più ust per trccire il grfico dell iperole è quell che f uso dell equzione esplicit e dell tell -y. Si possono seguire i seguenti pssi: ) Si trccino sul pino crtesino i vertici A e A e i punti B(0; ) e B (0; -) (pseudo vertici), come se volessimo disegnre un ellisse. Successivmente si disegni il rettngolo con centro nell origine e pssnte per i punti suddetti. L iperole è tutt l di fuori di questo rettngolo. ) Si trccino le digonli del rettngolo e le si prolunghino; i prolungmenti di tli digonli rppresentno i due sintoti dell iperole. ) Utilizzndo l equzione esplicit, trmite l tell -y si ricvino o 6 punti con sciss superiore l vlore. Ricordimo che nche per l iperole esiste l costruzione del girdiniere, che f uso di un cordicell inestensiile e di un sticell rigid, m tle costruzione è più rticolt rispetto quell dell ellisse ed è pertnto poco ust.. Quli sono le proprietà ottiche dell iperole? L iperole, come già visto per l prol e l ellisse, possiede proprietà ottiche. Supponimo di vere un riflettore di form iperolic, e ponimo un sorgente luminos in uno dei due fuochi d esempio F. Allor i rggi vengono riflessi come se provenissero dll ltro fuoco F. Le triettorie dei rggi riflessi si ottengono cioè congiungendo l ltro fuoco F con il punto di riflessione.

4 y Esercizio. Anlisi dell iperole. Dt l iperole di equzione, determinre: Svolgimento. i. le coordinte dei vertici A, A; ii. le coordinte dei fuochi F, F; iii. l eccentricità e; iv. le equzioni degli sintoti; v. le due equzioni esplicite; vi. il grfico su crt millimetrt utilizzndo le equzioni esplicite. ) VERTICI e PSEUDO-VERTICI A ;0 A ;0 ( ) ( ) A' ( ;0) A' ( ;0) B( 0; ) B( 0;) B' ( 0; ) B( 0; ) ) FUOCHI c + +,8 F( c;0) F(,8;0 ) F' ( c;0) F' (,8;0 ) c) ECCENTRICITÁ c,8 e, d) ASINTOTI y ± y ± e) EQUAZIONI ESPLICITE y ± y ± f) GRAFICO con EQUAZIONE ESPLICITA Dopo ver trccito i due vertici, gli pseudo-vertici, si trcci il rettngolo che pss per A -B-A-B. Prolungndo le digonli, si ottengono i due sintoti. Si procede poi con il clcolo dell equzione esplicit in o 6 punti prtire d 6 y ± 6 y 6 6,, y,0, 8 y 8 6 6,, y 8 6,8, y 0 8,66, 0 y 6,80, 88

5 Si trcci così il grfico del primo rco di iperole. Per simmetri si ricv quello inferiore e poi il rmo di sinistr. Esercizio. Intersezione iperole-rett. Dt l rett di equzione y m + q e y l iperole di equzione, verificre se l rett è tngente, estern o secnte rispetto ll iperole e clcolre gli eventuli punti di intersezione. Svolgimento. Per verificre se l rett è tngente, secnte o estern rispetto ll iperole si possono seguire due strde: quell grfic e quell lgeric; nel primo cso è sufficiente trccire sullo stesso pino crtesino i grfici dell rett e dell iperole ed osservre le posizioni reltive, ricvndo in mnier pprossimtiv le coordinte degli eventuli punti di intersezione. Nel secondo cso, st impostre il sistem lgerico tr l rett e l iperole. y. m + q Tle sistem si può risolvere per sostituzione: si ottiene un equzione di II grdo di cui si clcolerà il ; potremo vere tre csi possiili: ) se > 0 il sistem vrà due soluzioni distinte i punti di intersezione tr l iperole e l rett srnno due distinti l rett srà secnte l iperole; ) se 0 il sistem vrà due soluzioni coincidenti ci srà un unico punto di intersezione tr l rett e l iperole l rett srà tngente ll iperole; c) se < 0 il sistem non vrà soluzioni reli non vi srnno punti di intersezione tr l iperole e l rett l rett srà estern ll iperole. Esempio numerico. Dt l rett di equzione y e l iperole di equzione y, verificre se l rett è tngente, estern o secnte rispetto ll iperole e clcolre le coordinte degli eventuli punti di intersezione. In primo luogo trccimo sullo stesso pino crtesino il grfico dell iperole e quello dell rett. L iperole è l stess dell esercizio precedente; il grfico dell rett si ottiene velocemente con l solit tell -y.

6 Si può suito osservre che l rett è secnte, producendosi punti di intersezione. Ecco il digrmm: Clcolimo desso lgericmente i punti d intersezione. y sostituisco: ( ) cmindo segno e semplificndo per l prim equzione si ottiene: c ( ) ( 8)( ) > 0 Poiché il è positivo, ne segue che l rett è secnte. ± 0 ±, 8 6 Le soluzioni srnno due: 80 H) K) + 0 8, ,6,6 I punti di intersezione H e K hnno llor coordinte: H ( ; 0) K(,6 ;,6) 6

7 Esempio numerico. Dt l rett di equzione y e l iperole di equzione y 0, verificre se l rett è tngente, estern o secnte rispetto ll iperole e clcolre le coordinte degli eventuli punti di intersezione. In primo luogo trccimo sullo stesso pino crtesino il grfico dell iperole e quello dell rett. Determinimo i vertici e gli pseudo-vertici dell iperole: 0 A ;0 A ;0 A' ;0 A' ;0 ( ) ( ) ( ) ( ) B( 0; ) B( 0;) B' ( 0; ) B' ( 0; ) Scrivimo poi le equzioni esplicite y ± y ± 0 Dopo ver trccito i due vertici, gli pseudo-vertici, si trcci il rettngolo che pss per A -B-A-B. Prolungndo le digonli, si ottengono i due sintoti. Si procede poi con il clcolo dell equzione esplicit in 6 punti prtire d y ± 0 y ± 0 y 0, y 0 6 6, y 0, 6 y 0, 8 y 0 6, 8 6 y , Si trcci il primo rco di iperole, ricvndo per simmetri quello inferiore e poi il rmo di sinistr. Il grfico dell rett si trov con l solit tell -y: y y - ( ) 0 ( 0) 0 8 ( ) 8 ( ) Si può suito osservre che l rett è secnte, producendosi punti di intersezione. Ecco il digrmm:

8 Clcolimo desso lgericmente i punti d intersezione ttrverso il sistem. y 0 y risolvo per sostituizione: 0 y 600 y 6 0 y 600 y 0 6 y ± y y, ± y y ±, Le due soluzioni sono quindi: +, H) y,,68 K) y, (,),68 I punti di intersezione H e K hnno llor coordinte H (,;,68) K (, ;,68) Esempio numerico c. Dt l rett di equzione + y 0 e l iperole di equzione y, verificre se l rett è tngente, estern o secnte rispetto ll iperole e clcolre le coordinte degli eventuli punti di intersezione. Con le stesse modlità degli esercizi precedenti, trccimo i grfici dell iperole e dell rett sullo stesso digrmm: 8

9 Come si vede, l rett è evidentemente estern ll iperole, non essendovi nessun punto di conttto. Pssimo poi ll nlisi lgeric, impostndo il sistem: y + y 0 rendo l rett in form esplicit y + Sostituisco ( + ) c ( 0) ( 6)( ) < 0 Poiché è negtivo, l rett è estern. Esercizio. Determinzione dell equzione dell iperole ) Determinre l equzione dell iperole vente per vertici i punti '( ;0) A( ;0) punti C' ( 0;0) C( 0;0). A e per fuochi i ) Determinre l equzione dell ellisse vente distnz focle c 8 ed eccentricità e,0. Svolgimento ) Dll conoscenz dei vertici A e A ricvimo suito il vlore del coefficiente : ( ;0) A( ;0) A ' Dll conoscenz dei fuochi F e F ricvimo il vlore di c: ( 0;0) C( 0;0) c 0 C ' Essendo c + h: c + ; ricvimo poi, si elev l qudrto e si : c c 0 e infine :, L equzione risulterà quindi: 00 y y Svolgimento ) Poiché c 8 si h c e,0 c Essendo e si ricv c, e,0 Risult poi: c, 6, 8, L equzione risulterà quindi: y y, 6, 8,88 6,

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