1.1 Legge di trasformazione del vettore di posizione per traslazioni del sistema di riferimento

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1 Cpitolo V Geometi delle Aee 1. L VEORE POZONE 1.1 Legge di tsfomzione del vettoe di posizione pe tslzioni del sistem di ifeimento Le coodinte e di un posto geneico del pino, nel sistem di ifeimento, sono legte lle coodinte e dello stesso posto nel sistem di ifeimento tslto, Fig. 1, medinte le elzioni seguenti: (1) (1b) ove con e so ste indicte le coodinte, ispetto gli ssi pimitivi e, dell oigine o del sistem tslto.

2 cienz delle Costuzioni: esecizi e complementi p p ϑ > o o o o ) pe tslzione; b) pe otzione. Fig. 1 - Cmbimento di ifeimento li leggi di tsfomzione possono essee iscitte in fom vettoile come segue: () ove con {, } è stto indicto il vettoe di posizione di un posto geneico nel ifeimento oiginio, con {, } il vettoe di posizione dello stesso posto nel ifeimento tslto e con {, } dell oigine o del sistem di ifeimento tslto nel ifeimento oiginio. 1.1 Legge di tsfomzione del vettoe di posizione pe tslzioni del sistem di ifeimento Le coodinte e del posto geneico del pino, nel ifeimento sono poi legte lle coodinte e dello stesso posto nel sistem di ifeimento uotto, Fig. 1b, medinte le elzioni seguenti: Cosϑ + enϑ, - enϑ + Cosϑ, () Ugo A. Andeus - CENZA ELLE CORUZON Pogetto Leondo - Editice Esculpio - Bologn

3 . Geometi delle Aee ove con ϑ è stto indict l mpiezz dell ngolo di otzione del secondo ifeimento ispetto l pimo (positivo se l otzione vviene in senso ntioio). li leggi di tsfomzione possono essee iscitte in fom mticile come segue: [N] (4) ove con {, } è stto indicto il vettoe di posizione di un posto geneico nel ifeimento, con {, } il vettoe di posizione dello stesso posto nel ifeimento uotto e con [N] l mtice otogonle; Cosϑ enϑ enϑ [ N ] Cosϑ. L VEORE E MOMEN AC i considei un qulsivogli dominio pino, chiuso (cioè contenente l su fontie) e limitto (cioè non contenente posti ll infinito). i considei poi un sistem di ifeimento ctesino, di ssi otogonli comunque oientti, con l oigine o colloct in un posto qulsisi del pino, Fig. 1. ui definisce vettoe dei momenti sttici o vettoe dei momenti del 1 odine, eltivo l dominio e clcolto nel sistem di ifeimento, il seguente vettoe due componenti: : (5).1 Legge di tsfomzione del vettoe dei momenti sttici pe tslzioni del sistem di ifeimento i considei un sistem di ifeimento tslto ispetto l sistem oiginio, Fig. 1. econdo l definizione dt in pecedenz, il vettoe dei momenti sttico, sempe eltivo l dominio m quest volt clcolto nel sistem tslto, può essee espesso nel modo seguente:

4 4 cienz delle Costuzioni: esecizi e complementi : l poblem che ci si pone in questo pgfo è quello di individue l elzione che leg il vettoe, clcolto nel ifeimento oiginio, l vettoe, clcolto nel ifeimento tslto. Utilizzndo l legge di tsfomzione del vettoe di posizione pe tslzioni del sistem di ifeimento, cioè l Eq. (), l Eq. (6) divent: ( ) (7) i noti che il vettoe è stto potto fuoi del segno di integzione poiché si ttt di un vettoe costnte (cioè un vettoe componenti costnti, indipendenti dlle coodinte del posto geneico). Ricodndo l Eq. (5), e indicndo con A l e totle del dominio, si ottiene infine l legge di tsfomzione cect: (6) A (8) Quest ultim elzione vettoile è equivlente lle due elzioni scli: A A (9) (9b) Ci si popone o di tove tutti i sistemi di ifeimento, tslti ispetto l ifeimento oiginio, ispetto i quli è nullo il momento sttico. L condizione d impoe è l seguente: d cui si ottiene A (1) / A (11) Noto quindi il momento sttico e l e A, si isle immeditmente ll infinità di ifeimenti ispetto i quli si nnull. le infinità è costituit d tutti quei ifeimenti tslti ispetto l ifeimento oiginio, oizzontlmente dell quntità / Ugo A. Andeus - CENZA ELLE CORUZON Pogetto Leondo - Editice Esculpio - Bologn

5 . Geometi delle Aee 5 A, e veticlmente di un quntità vibile t e +. l medesimo gionmento si può ipetee pe, e si tov che si nnull pe: / A (1) L infinità di ifeimenti, ispetto i quli si nnull, è costituit d tutti quei ifeimenti tslti ispetto l ifeimento oiginio, oizzontlmente di un quntità vibile t e +, e veticlmente dell quntità / A. e o si impone contemponemente l nnullmento si di si di, le due Eqq. (11) e (1) sono comptibili e individuno quell unico ifeimento, tslto ispetto l ifeimento oiginio, ispetto l qule i momenti sttici sono entmbi nulli. Le coodinte dell oigine o di questo pticole ifeimento, ispetto gli ssi pimitivi e, sono le seguenti: (1) A A (1b A A ) l posto c A è detto Cento d Ae del dominio ed è un posto ctteistico del dominio, nel senso che è indipendente dll scelt del sistem oiginio di ifeimento.. Legge di tsfomzione del vettoe dei momenti sttici pe otzioni del sistem di ifeimento i considei un sistem di ifeimento uotto ispetto l sistem, Fig. 1b. l vettoe dei momenti sttici, eltivo l dominio e clcolto nel sistem uotto, si può espimee utilizzndo l Eq. (4), cioè l legge di tsfomzione del vettoe di posizione pe otzioni del sistem di ifeimento: : [ N] [ N ] (14) i noti che l mtice [N] è stt pott fuoi del segno di integzione poiché si ttt di un mtice, i cui elementi sono indipendenti dll coodinte. Ricodndo l Eq. (6) si ottiene infine l legge di tsfomzione del vettoe dei momenti sttici pe otzioni del sistem di ifeimento:

6 6 cienz delle Costuzioni: esecizi e complementi [N] (15) Quest elzione mticile è equivlente lle due seguenti elzioni scli: Cosϑ + enϑ, - enϑ + Cosϑ (16) lle Eqq. (16) discendono due impotnti ossevzioni. momenti sttici soni nulli ispetto qulsisi coppi di ssi centli. n lte pole, se l oigine o è scelt coincidente con il Cento d Ae c A del dominio, llo il vettoe, ottenuto pe un otzione geneic del sistem di ifeimento ttono l Cento d Ae, è in tutti i csi il vettoe nullo. e l oigine o del sistem di ifeimento non coincide con il Cento d Ae del dominio, non esiste lcun ngolo ϑ di otzione del sistem di ifeimento pe cui i momenti sttici si nnullino entmbi. nftti dlle Eqq. (16) si h: Cosϑ + enϑ ϑ Acn (- / ) (17) (17b) e - enϑ + Cosϑ ϑ Acn ( / ) (18) (18b) Come si può note, le Eqq. (17) e (18), sull ngolo ϑ di otzione del sistem di ifeimento, sono incomptibili.. Legge di tsfomzione del vettoe dei momenti sttici pe ototslzioni del sistem di ifeimento e si conside un sistem di ifeimento, ottenuto tslndo e poi uotndo il sistem di ifeimento oiginio, Figg. 1,b, si può fomule l legge genele di tsfomzione del vettoe dei momenti sttici pe ototslzioni del sistem di ifeimento, componendo semplicemente le pecedenti leggi pzili Eqq. (8) e (15): [N]( A ) (19) L Eq. (19) può essee denomint fomul di ototslzione diett. L fomul di ototslzione inves può essee ottenut dll pecedente moltiplicndo sinist entmbi i membi pe [N] [N] -1 : Ugo A. Andeus - CENZA ELLE CORUZON Pogetto Leondo - Editice Esculpio - Bologn

7 . Geometi delle Aee 7 [N] ( + A ) () L Eq. () espime il vettoe dei momenti sttici nel ifeimento inizile in funzione del vettoe dei momenti sttici nel ifeimento ototslto.. L ENORE E MOMEN NERZA i considei il seguente podotto mticile: { } i definisce tensoe dei momenti d inezi o tensoe dei momenti del secondo odine, eltivo l dominio e clcolto nel sistem di ifeimento, il seguente tensoe simmetico del odine: [] : (1).1 Legge di tsfomzione del tensoe dei momenti d inezi pe tslzioni del sistem di ifeimento i considei un sistem di ifeimento tslto ispetto l sistem oiginio, Fig. 1. econdo l definizione dt in pecedenz, il tensoe dei momenti d inezi eltivo l dominio A e clcolto nel sistem tslto, si può espimee come segue: ' ' ' ' ' ' '' '' [] ' : '' '' ' ' () l poblem è o quello di detemine l elzione che leg il tensoe [], clcolto nel sistem di ifeimento, l tensoe [ ], clcolto nel ifeimento tslto. Utilizzndo l legge di tslzione del vettoe di posizione pe tslzioni del sistem di ifeimento, cioè l Eq. (), l Eq. () divent:

8 cienz delle Costuzioni: esecizi e complementi Ugo A. Andeus - CENZA ELLE CORUZON Pogetto Leondo - Editice Esculpio - Bologn 8 [ ] ( )( ) () Poiché l tspost dell somm di due mtici è ugule l somm delle tsposte, si h: [ ] ( )( ) Eseguendo i podotti mticili e spezzndo l integle nell somm di qutto integli, si h: [ ] + (4) Ricodndo le Eqq. (6) e (1), si ottiene l legge di tsfomzione cect: [ ] [] + A - (5) L Eq. (5) può essee esplicitt come segue: { }+ + A { } { } + A (6) Quest ultim elzione tensoile è equivlente lle te seguenti elzioni scli: + A (7) + A (7b) + A - (7c) Le pecedenti elzioni si semplificno nel cso in cui l oigine del ifeimento pimitivo coincid con il Cento d Ae del dominio. n tl cso inftti si h, e le Eqq. (7) ssumono l fom delle note leggi di HUYGEN:

9 . Geometi delle Aee 9 + A (8) + A (8b) + A (8c) Pe qunto igud le pime due delle Eqq. (8), si può note come il momento d inezi centle si il minimo t tutti quelli eltivi d un infinità di ette pllele. 1. Legge di tsfomzione del tensoe dei momenti d inezi pe otzioni del sistem di ifeimento i considei un sistem di ifeimento uotto dell ngolo di mpiezz ϑ ispetto l sistem, Fig, 1b. l tensoe dei momenti d inezi, eltivo l dominio e clcolto nel sistem uotto, si può espimee utilizzndo l Eq. (4) dell legge di tsfomzione del vettoe di posizione pe otzioni del sistem di ifeimento: [ " ] " " ([ N] ' )([ N] ' ) + (9) Applicndo l egol pe cui l tspost del podotto di due mtici è ugule l podotto inveso delle tsposte, si h: [ ] " " ([ N] ' ) [ N] + ( ' ) " Avvlendosi dell popietà ssocitiv e potndo fuoi del segno di integle le mtici costnti [N] e [N], l Eq. () divent: () [ " ] " " + [ N] ' ' [ N] [ N] ' ' [ N] (1) Ricodndo l Eq. (1) si ottiene infine l legge di tsfomzione cect: L Eq. () può essee esplicitt come segue: [ ] [N] [ ] [N] () Cosϑ enϑ enϑ Cosϑ Cosϑ enϑ -enϑ Cosϑ () 1 Anlogmente nche il momento sttico centle è il minimo in vloe ssoluto t tutti quelli eltivi d un infinità di ette pllele: esso ssume inftti vloe nullo.

10 1 cienz delle Costuzioni: esecizi e complementi Quest ultim elzione tensoile è equivlente lle te seguenti elzioni scli: (enϑ) + (Cosϑ) + enϑ Cosϑ (Cosϑ) + (enϑ) enϑ Cosϑ Cosϑ + ½ ( - ) enϑ (4) (4b) (4c) lle Eqq. (4) discendono due impotnti ossevzioni. ) L somm dei due momenti d inezi e è costnte l vie dell ngolo di otzione ϑ; si h inftti: + + le somm è il pimo invinte scle del tensoe dei momenti d inezi e può essee intepett come momento d inezi pole del dominio ispetto ll oigine o del sistem di ifeimento: [ ] "" + "" ( " ) + ( ) ( ') + ( ' ) + p " [ ] '' ' ' (5) Con è stt indict l distnz dell oigine di un posto geneico del dominio. ) Uguglindo zeo l espessione del momento centifugo, è possibile islie ll mpiezz dell ngolo di otzione ϑ che ende digonle il tensoe dei momenti d inezi: Cosϑ + ½ ( - ) enϑ (6) ϑ ½ Acn [ / ( - )], ϑ ϑ + π/ (6b) ostituendo l espessione tovt dell mpiezz dell ngolo ϑ nelle pime delle due Eq. (4) si deteminno i eltivi momenti d inezi. Le due diezioni otogonli individute dgli ngoli ϑ e ϑ sono dette diezioni pincipli d inezi, mente i due eltivi momenti sono detti momenti pincipli d inezi. i può dimoste come i momenti pincipli d inezi sino l uno il minimo e l lto il mssimo t tutti i momenti d inezi e, che si hnno l vie dell mpiezz dell ngolo di otzione ϑ: Ugo A. Andeus - CENZA ELLE CORUZON Pogetto Leondo - Editice Esculpio - Bologn

11 . Geometi delle Aee 11 d "" ϑ ϑ d ϑ d d ϑ " " ϑ ϑ. Legge di tsfomzione del tensoe dei momenti d inezi pe ototslzioni del sistem di ifeimento e si considei un sistem di ifeimento, ottenuto tslndo e poi uotndo il sistem oiginio, Fig. 1, si può fomule l legge genele di tsfomzione del tensoe dei momenti d inezi pe ototslzioni del sistem di ifeimento, componendo le pecedenti leggi pzili Eqq. (5) e (): [ ] [N] ([] + A - ) [N] (7) L Eq. (7) come l Eq, (19) può essee denomint fomul di ototslzione diett. L fomul di ototslzione inves può essee ottenut dll pecedente moltiplicndo entmbi i membi, sinist pe [N] e dest pe [N], e inseendo l Eq. (): [] [N] [ ] [N] + [N] [ ] + [ ] [N] + A (8) 4. EERMNAZONE ELLE REZON E E MOMEN PRNCPAL NERZA i sostituisc l Eq. (6) dell mpiezz dell ngolo ϑ, di cui deve essee uotto il sistem di ifeimento pe divente pinciple, nell Eq. (4b): (ϑϑ ) (Cosϑ ) + (enϑ ) enϑ Cosϑ (9) Utilizzndo le fomule tigonometiche seguenti: (Cosϑ ) (1 - Cosϑ ) / (enϑ ) (1 - Cosϑ ) / (enϑ ) enϑ Cosϑ (4) (4b) (4c) si h:

12 1 cienz delle Costuzioni: esecizi e complementi (ϑϑ ) (1 - Cosϑ ) / + (1 - Cosϑ ) / + enϑ (41) Ricodndo l Eq. (6), si ottiene: (ϑϑ ) ( + ) / - ( - ) Cosϑ / + - ( - ) (enϑ ) / Cosϑ ( + ) / - ( - ) / Cosϑ / (4) Poiché dll tigonometi è noto che: 1 / Cosϑ [1 + (nϑ ) ] ½ (4) è possibile nco un volt pplice l Eq. (6): 1 / Cosϑ [1 + 4( ) / ( - ) ] ½ (44) Nel cso in cui si isulti >, l Eq. (44) fonisce: 1 / Cosϑ { [( ) + 4 ( ) ] ½ } / [( ) (45) mente, se <, llo si h: 1 / Cosϑ { [( ) + 4 ( ) ] ½ } / [( ) (45b) Ponendo pe semplicità di notzione l Eq. (4) ssume l espessione: (ϑϑ ) ξ ξ ( + ) / + { [( ) + 4 ( ) ] ½ } / (46) se >, mente divent: ξ ( + ) / + { [( ) + 4 ( ) ] ½ } / (46b) Ugo A. Andeus - CENZA ELLE CORUZON Pogetto Leondo - Editice Esculpio - Bologn

13 . Geometi delle Aee 1 nel cso opposto in cui si bbi <. Pocedendo in mnie del tutto nlog quell seguit in pecedenz pe e- spimee in funzione di,, e, si peviene ll ppesentzione dell lto momento d inezi, (ϑϑ ) η, eltivo ll second diezione pinciple (ϑ ϑ +π/): η ( + ) / - { [( ) + 4 ( ) ] ½ } / ( > ) (48) η ( + ) / + { [( ) + 4 ( ) ] ½ } / ( < ) (48b) i può quindi concludee che, qundo gli ssi uotno e diventno pincipli, l elzione d odine si consev; > ξ > η < ξ < η (48) (48b) Qundo, (49) i h un cso pticole: inftti l Eq. (6) non è definit, e in ptic è indiffeente uote il sistem di ifeimento di π/4 in senso oio o in quello ntioio (ϑ ±π/4) pe ottenee le diezioni pincipli. Qundo poi, (5) si h un cso nco più pticole; l Eq. (6) non è definit e tutti i sistemi di ifeimento uotti sono pincipli, pe qulsisi scelt dell ngolo di otzione ϑ. 5. LE EZON APERE OL Un sezione si dice pet sottile, Fig., lloché l su fom può essee ppesentt medinte i. un line medi coincidente con un cuv pet, e ii. un cod, otogonle ll line medi, l cui lunghezz, dett spessoe dell sezione, si piccol ispetto l dimeto dell sezione stess. Un dominio pino sifftto pende il nome di sezione zeoconness. L line medi può essee costituit d più ttti egoli, si ettilinei si cuvilinei; su ciscun ttto può

14 14 cienz delle Costuzioni: esecizi e complementi essee istituit bse locle, ctteizzt d un oigine e d un sciss ρ. l vntggio che deiv d un simile modlità di ppesentzione geometic consiste nell possibilità di pense tutt l e dell sezione concentt lungo l su line medi e nell evite quindi di effettue integzioni in due dimensioni, limitndo invece quest ultim opezione ll sol line medi, in qunto le funzioni coinvolte possono essee considete costnti lungo l cod. s costρ ϕ R R 1 ρ 1 R R 4 ρ ρ 4 ) ctteistiche geometiche globli; b) scisse locli. Fig. ezione pet sottile: Un lt notevole semplificzione che può essee intodott, m che pelto non è peogtiv delle sole sezioni pete sottili, è quell di pote considee il dominio come unione di più ttti egoli R i, congiunti in coincidenz di posti di singolità geometic (cmbimento di diezione dell line medi, cmbimento di spessoe), Fig. b: U N i (51) R i L popietà distibutiv dell opetoe di integzione consente di espimee l Ae del dominio e i Momenti, si del pimo che del secondo odine, come somm degli integli estesi i singoli ttti egoli. L Ae è dt semplicemente dll somm dei contibuti dei singoli ttti, Fig. b: Ugo A. Andeus - CENZA ELLE CORUZON Pogetto Leondo - Editice Esculpio - Bologn

15 . Geometi delle Aee 15 A A 1 + A + A + A 4 s + πs/ + s() ½ + s [1 + π/ + () ½ + 1] s s che sono stti clcolti moltiplicndo lo spessoe pe l lunghezz del ttto di line medi coinvolti. Momenti sttici dei singoli ttti egoli ispetto ll sse sono, Fig. : 1 1 1sdρ ( + ) sd 1 + s 1. 5 s ρ ρ π π sdϕ en sd s ϕ ϕ sdρ ρ 4 4sdρ sdρ sdρ s l Momento sttico dell inte sezione ispetto ll sse è llo dto dll somm seguente: [ () ½ / + 1] 4.7 s Momenti inezili dei singoli ttti egoli ispetto ll sse sono, Fig. : s ( ) sd ( + ρ ) sdρ s. s π 1 ϕ Cosϕ enϕ π 1 ( ) sdϕ ( enϕ) sdϕ π [ ] s s s ( ) sdρ ρ sdρ ρ sdρ [ ρ ] s ρ 6 π 4 s s [ ] ( ).471s ( ) sdρ sdρ s 6 Petnto, il Momento d inezi di tutto il dominio ispetto ll sse è: (.4 + π/ ) s 4.59 s

16 16 cienz delle Costuzioni: esecizi e complementi o o ) ispetto ll sse ; b) ispetto ll sse ; Fig. istem di ifeimento inizile : momenti Momenti sttici dei singoli ttti egoli ispetto ll sse sono, Fig. b: 1 1sdρ sdρ s π π sdϕ 1 sd ρ π ( 1+ Cosϕ) sdϕ s ρ sd ρ 4 s 4sdρ sd ρ ρ l Momento sttico dell inte sezione ispetto ll sse è llo dto dll somm seguente: [1 + (π/-1) + () ½ / + 1/].778 s Momenti inezili dei singoli ttti egoli ispetto ll sse sono, Fig. b: 1 1 π ρ ( ) sd sd s s ( ) sdϕ [ ( 1+ Cosϕ) ] sdϕ π Ugo A. Andeus - CENZA ELLE CORUZON Pogetto Leondo - Editice Esculpio - Bologn

17 . Geometi delle Aee 17 π π s + dϕ s π ( Cosϕ) dϕ + Cosϕ dϕ 1 π π π [ ϕ] + [ ϕ + Cosϕ enϕ] + [ enϕ] π π + + s 4.56 s 4 s ( ) sdρ ρ sdρ ρ sdρ s ρ 6 s [ ] ( ).471s 6 4 4sdρ s ρ sdρ Petnto, il Momento d inezi di tutto il dominio ispetto ll sse è: ( /) s 6.16 s ommndo infine i momenti d inezi misti pzili: ( ) sd ( + ρ ) sdρ 1 + s 1. s π π 1 ( ) sdϕ ( enϕ) [ ( 1+ Cosϕ) ] sdϕ π π 1 π 1 π enϕ d ϕ + en d Cos + Cos s ϕ ϕ ϕ ϕ 4 [ ] [ ] 471 si ottiene il vloe totle: ( ) sdρ ρ sdρ. s sd ρ 1 ρ sd ρ s ( ) s.471 s i è o finlmente in gdo di detemine l posizione del Cento d Ae c A ; Fig. 4: / A 4.7 /

18 18 cienz delle Costuzioni: esecizi e complementi nonché i momenti d inezi centli: / A.778 / A 4.59s s (.844) s 1.4s + A 6.16s s (.577) s 4.614s + A -.471s s s s 1.17 s c A c A ϑ ) centle, b) pinciple. Fig. 4 istemi di ifeimento Le diezioni pincipli sono oientte dell ngolo oio di mpiezz ϑ ½ Acn [ / ( - )] ½ Acn [ 1.17 s / (1.4s s )] - 16 e poiché isult > e, si h: ( + ) / (1.4s s ) /.87 s, {[( ) + 4 ( ) ] ½ }/ {1.77 (s ) + 4 (1.17 s ) ] ½ } /.11 s, ξ ( + ) / + { [( ) + 4 ( ) ] ½ } / 4.94 s, Ugo A. Andeus - CENZA ELLE CORUZON Pogetto Leondo - Editice Esculpio - Bologn

19 . Geometi delle Aee 19 con ξ > η. η ( + ) / - { [( ) + 4 ( ) ] ½ } /.714 s,