Laboratorio di calcolo delle probabilità
|
|
- Guglielmo Corti
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Laboratorio di calcolo delle probabilità
2 Il concetto di probabilità I Estraendo a caso una carta da un mazzo è maggiore la probabilità che sia un carta con un numero maggiore di 6 (escluse le figure) o che sia una figura? A) Un numero maggiore di 6 B) Una figura C) prima di rispondere dovrei porre un altra domanda
3 Il concetto di probabilità II Le prime tre carte sono nere? La nona carta è una figura? Qual è il seme dell ultima carta? Nel mazzo gli assi sono tutti vicini? Nel mazzo ci sono dei nove? L ultima carta è rossa? Sì, è un mazzo di 52 carte P(A) = probabilità dell evento A = Numero dei casi favorevoli ad A Numero dei casi possibili
4 Il concetto di probabilità III Le prime tre carte sono nere? La nona carta è una figura? Qual è il seme dell ultima carta? Nel mazzo gli assi sono tutti vicini? Nel mazzo ci sono dei nove? L ultima carta è rossa? Sì, è un mazzo di 52 carte P(A) = probabilità dell evento A (carta che presenta un numero maggiore di 6) = P(B) = probabilità dell evento B (carta che presenta una figura) =
5 Il concetto di probabilità IV Estraendo a caso una carta da un mazzo di 52 carte è maggiore la probabilità che sia un carta con un numero maggiore di 6 (escluse le figure) o che sia una figura? A) Un numero maggiore di 6 B) Una figura
6 Il concetto di probabilità V Il forziere Un forziere ha 3 serrature. Ogni serratura è aperta da una chiave colorata. Hai a disposizione 4 chiavi colorate. Qual è la probabilità che indovini la combinazione? In quanti modi puoi scegliere la prima chiave? In quanti modi puoi scegliere la seconda chiave? In quanti modi puoi scegliere la terza chiave?
7 Disposizioni = 24 modi Quindi la probabilità è DISPOSIZIONI Una disposizione semplice D n,k di lunghezza k di elementi di un insieme S di n oggetti, con k n, è una presentazione ordinata di k elementi di S nella quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto. n ( n 1)... 1 n! Dn, k = n ( n 1)... ( n k + 1) = = ( n k) ( n k 1)... 1 ( n k)!
8 Disposizioni II Credete che sia importante sapere che le chiavi sono numerate e possono essere usate solo in sequenze crescenti? Di quanto è maggiore rispetto alla prova precedente la probabilità di trovare la combinazione giusta? Scelte possibili E 6 volte maggiore della probabilità precedente.
9 Disposizioni III Bandiere da segnalazione in marina Con le 26 bandiere di segnalazione usate in marina, quanti segnali di due lettere diverse si possono ottenere? 26! 24!
10 Disposizioni con ripetizione Quanti sono i risultati possibili del lancio di k dadi? (Questo problema fu risolto per la prima volta da Niccolò Fontana detto Tartaglia nel 1523) Consideriamo ad esempio il lancio di k=3 dadi. I risultati possibili del lancio di tre dadi si possono pensare come prodotto dei risultati del lancio del primo, del secondo e del terzo dado Il primo risultato è un numero da 1 a 6, il secondo un numero da 1 a 6, il terzo un numero da 1 a 6. I risultati possibili sono quindi 6 6 6=6 3 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE O COMPLETE Una disposizione con ripetizione o completa D n,k di lunghezza k di elementi di un insieme S di n oggetti, con k n, è una presentazione ordinata di k elementi di S nella quale ogni elemento si può essere ripetuto fino a k volte. D n,k = n k
11 Fila indiana Permutazioni I In quanti modi posso disporre 9 persone in fila indiana? In quanti modi posso scegliere il primo elemento della fila? Fissato il primo elemento, in quanti modi posso scegliere il secondo elemento della fila? n (n-1) (n-2) 1 = n! Posso disporre le persone in 9!= modi. PERMUTAZIONI Una permutazione P n di un insieme di n oggetti è una presentazione ordinata, cioè una sequenza, dei suoi elementi nella quale ogni oggetto viene presentato una e una sola volta.
12 Permutazioni Quanti segnali distinti formati da 9 bandiere si possono formare con 4 bandiere bianche, 3 bandiere rosse, 2 bandiere blu? II Si tratta di una permutazione (con elementi non tutti distinti) n di oggetti dei quali n 1 sono identici tra loro, n 2 sono identici tra loro e distinti dai precedenti, n! n! n!... n! 1 2 r Quindi si possono determinare 9! 4!3!2! = 1260 segnali distinti
13 Combinazioni Quante diverse squadre di calcetto a cinque si possono formare a partire da 20 calciatori inscritti a un torneo? COMBINAZIONI Se n e k sono due interi positivi, si definisce combinazione C n,k di n elementi presi k alla volta (oppure di n elementi di classe k) ogni sottoinsieme di k oggetti estratti da un insieme di n oggetti. Se si impone la condizione che una combinazione non può avere un elemento ripetuto si parla di combinazioni semplici
14 Il problema delle antenne I Supponiamo di avere un sistema formato da n antenne identiche e allineate. Il sistema ottenuto sarà in grado di ricevere tutti i segnali che arrivano e in tal caso sarà detto funzionante se non vi sono due antenne difettose consecutive. Sapendo che m delle n antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante?
15 Il problema delle antenne II Esempio n=4 m=2 Diagramma ad albero
16 Il problema delle antenne III Esempio n=4 m= Sapendo che 2 delle 4 antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante? 1 2
17 Il problema delle antenne IV In generale Sapendo che m delle n antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante? n m antenne funzionanti Gli spazi tra due antenne funzionanti possono contenere al più un antenna difettosa, dobbiamo quindi selezionare dagli n m + 1 spazi tra le m n antenne funzionanti, m spazi nei quali sistemare le antenne difettose. Vi sono quindi n m + 1 m allineamenti nei quali c è almeno un antenna funzionante tra due antenne difettose
18 Il problema delle antenne V Sapendo che m delle n antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante? P (sistema funzionante) = n m + 1 m n m = (2 + 1)! 2!( )! 1 4! 2 2!2! Nell esempio proposto, con n=4 ed m=2 P = = ( n m + 1)! m!( n m + 1 m)! n! m!( n m)!
19 Le scommesse del Cavalier De Méré I Scommessa sull uscita del sei almeno una volta in quattro lanci di un dado. La sorte favorisce lo scommettitore del sei? O coloro che scommettono su fatto che il sei non esce? Casi possibili L esito dei 4 lanci è una quaterna di numeri da 1 a 6 Le quaterne sono in tutto 6 4 Casi favorevoli a chi non scommette sul 6 I casi favorevoli sono Il sottoinsieme delle quaterne di numeri da 1 a 5; e sono 5 4 Probabilità di vincita di chi scommette sul 6 Probabilità (di uscita del 6) = P(E) = ,518
20 Le scommesse del Cavalier De Méré II Il cavaliere De Méré noto sperimentalmente che invece gettando due dadi per ventiquattro volte e scommettendo sul dodici in questo caso era sfavorito lo scommettitore sul dodici. Egli però non era convinto di questo risultato. Proviamo a dare una spiegazione. Con 24 lanci di due dadi abbiamo: Esiti possibili : 24-uple di coppie di numeri da 1 a 6 = (6 6) 24 Probabilità della 24-upla = 1/36 24 Casi favorevoli a chi non scommette sul dodici (6+6) I casi favorevoli sono Il sottoinsieme delle di 24-upledi numeri da 1 a 6 non entrambi 6 e sono (36 1) Probabilità (di non uscita del doppio del 6)= P(Ē) = Probabilità di vincita di chi scommette sul dodici (6+6) Probabilità (di uscita del doppio 6) = P(E)= ,
21 Le scommesse del Cavalier De Méré III Siete degli emuli del Cavalier De Méré? Nel lancio di due dadi, su quale numero scommettereste?
22 La festa di compleanno I Quante persone ci devono essere almeno in una stanza perché sia più probabile che alcune di loro compiano gli anni lo stesso giorno piuttosto che il viceversa? Ipotesi Tutti gli anni non sono bisestili La possibilità di nascita in ogni giorno dell anno è uguale numero persone n 365 Casi possibili Numeriamo le persone da 1 a n e compiliamo liste di n giorni: 365 n liste possibili, le assumiamo equiprobabili. In quante liste non compare due volte lo stesso giorno? D 365,n = 365 * 364 *... * (365 n + 1)
23 La festa di compleanno II Probabilità che non ci siano persone che compiano gli anni lo stesso giorno: p = D 365,n /365 n Probabilità che ci siano persone che compiano gli anni lo stesso giorno: p = 1 (D 365,n /365 n ) n = 23 p n = 30 p n = 50 p 0.97 Bastano 23 persone affinché la probabilità che due persone abbiano lo stesso compleanno sia maggiore di 0,5.
24 La festa di compleanno III In quanti dobbiamo essere almeno in una stanza perché sia più probabile che sia presente almeno un mio gemello (nato nello stesso giorno) piuttosto che il viceversa? I possibili compleanni di n persone sono rappresentati da una n-upla di numeri da 1 a 365. I casi possibili sono 365 n Il numero di casi favorevoli al fatto che nessun altra persona compia gli anni il mio stesso giorno è 364 n P (che almeno un'altra persona compia gli anni il mio stesso giorno) = n n
25 I giochi d azzardo I Il lotto Qual è la probabilità di uscita del numero 27 sulla ruota di Venezia? Ipotesi Su una ruota vengono estratti 5 numeri tra i 90 possibili = Casi possibili (cinquine che contengono il numero 27) 90 5 (cinquine possibili) Casi favorevoli p Probabilità di uscita del numero 27 sulla ruota di Venezia: = = ! 85!4! = 1 18
26 I giochi d azzardo Il lotto e i numeri ritardatari Il fatto che un numero non sia uscito per molte estrazioni precedenti non influisce sulla probabilità che venga estratto alla successiva estrazione (1/18). = II Probabilità che il numero 27 non venga estratto per 199 estrazioni: p = = 0, Qual è la probabilità che il numero 27 dopo un ritardo di 199 estrazioni esca alla 200-esima? PROBABILITA CONDIZIONATA La probabilità che l'evento A ha di verificarsi se si è verificato B (probabilità condizionata dell evento A dato l evento B) è uguale al rapporto tra la probabilità congiunta degli eventi A e B e la probabilità dell evento B. P(A B) = P(A B)/P(B)
27 I giochi d azzardo III P(A B) = P(A B)/P(B) A= esce il numero 27 B= il numero 27 non esce per 199 estrazioni P(A B) = P(B)= P(A B)= = P(A) A e B sono eventi indipendenti!
28 Il gioco equo I giochi d azzardo IV Un gioco è equo se : (V - P) p - P (1 - p) = 0 dove p è probabilità di vincita, V è il valore della vincita e P la posta Semplificando l uguaglianza scritta sopra abbiamo: V p = P Il gioco è equo se il prezzo pagato (posta) è uguale al prodotto della vincita per la probabilità della vincita.
29 I giochi d azzardo V Numeri giocati Numeri indovinati Vincita lorda (euro) Probabilità di vincita ,23 1 su ,00 1 su 400, ,00 1 su ,00 1 su ,00 1 su V p = 11,23 Il gioco di un numero su una ruota è un gioco equo? Supponendo di giocare 1 euro: 1 18 < 1
30 Il problema di Monty Hall I Supponi di partecipare a un gioco a premi in cui puoi scegliere tra tre scatole: dentro una c è un premio di , dentro le altre un premio di consolazione di 1. Scegli una scatola e il conduttore del gioco, che sa il contenuto di ciascuna scatola, ne apre un altra, rivelando un premio da 1 e domanda: Vuoi cambiare la tua scelta?. Conviene cambiare la tua scelta originale? È più probabile vincere cambiando la scelta iniziale o non cambiandola?
31 Il problema di Monty Hall II Tre scenari possibili: A. Il giocatore sceglie scatola con premio di 1, la numero 1. Il conduttore apre la scatola con l altro premio di 1. Cambiando, il giocatore vince B. Il giocatore sceglie scatola con premio di 1, la numero 2. Il conduttore apre la scatola con l altro premio di 1, la numero 1. Cambiando, il giocatore vince C. Il giocatore sceglie scatola con premio di Il conduttore apre una qualsiasi delle due scatole con 1. Cambiando, il giocatore trova l altra scatola con 1.
32 Il problema di Monty Hall III Conviene cambiare la tua scelta originale? Se il giocatore non conoscesse il contenuto della scatola rivelato dal conduttore, non avrebbe nessuna ragione di preferire una scatola a un altra, effettuerebbe quindi scelta a caso, e avrebbe quindi probabilità 1/3 di vincere il premio da La strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, quindi la probabilità di vincere sale a 2/3.
33 Gioco con tre carte I Ogni carta è nascosta in una scatola nera. Il giocatore sceglie una delle scatole, estrae la carta e la posa sul tavolo senza vedere l altra faccia. La faccia visibile è rossa. Il banco propone al giocatore una scommessa alla pari che è rossa anche l altra faccia (se è rossa vince il banco, se è bianca vince il giocatore). La probabilità che l altra faccia sia rossa è 0,5 e quindi il gioco è equo. E giusto?
34 Gioco con tre carte II P(faccia nascosta = R faccia visibile = R) = P(RR R)=P(R RR)/P(R) probabilità di vincita del banco Dobbiamo valutare P(R) = P(R RR) + P(R RB) 1/3 P(R RB) = P(RB R) P(RB) 1/2 1/3
35 Gioco con tre carte III P(RR R)=P(R RR)/P(R) = 1/3 : 1/2 = 2/3 probabilità di vincita del banco Il gioco è favorevole al banco
36 Il paradosso dei due bambini I Sapendo che una famiglia ha due figli, dei quali almeno uno un maschio, con che probabilità l altro figlio è una femmina? Figlio maggiore Femmina Femmina Maschio Maschio Figlio minore Femmina Maschio Femmina Maschio P(F M) = P(F M)/P(M) = 2/4 / 3/4= 2/3
37 Il paradosso dei due bambini II Sapendo che una famiglia ha due figli, dei quali il primo un maschio, qual è la probabilità che l altro figlio sia una femmina? Figlio maggiore Femmina Femmina Maschio Maschio Figlio minore Femmina Maschio Femmina Maschio I casi possibili in questo caso sono solo due
38 Grazie per l attenzione
Matematica con elementi di statistica ESERCIZI: probabilità
Matematica con elementi di statistica ESERCIZI: probabilità Esercizi sulla Probabilità Esercizio 1. In un corso di laurea uno studente deve scegliere un esame fra 8 di matematica e un esame fra 5 di fisica.
DettagliProf.ssa Laura Pagnozzi Prof. Ivano Coccorullo. Calcolo Combinatorio
Prof.ssa Laura Pagnozzi Prof. Ivano Coccorullo Calcolo Combinatorio Calcolo Combinatorio ü Molti dei problemi classici di calcolo delle probabilità si riducono al calcolo dei casi favorevoli e di quelli
DettagliESERCIZI SULLA PROBABILITA
PROBABILITA CLASSICA ESERCIZI SULLA PROBABILITA 1) Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte ; calcolare la probabilità che la carta sia: a. una figura; b. una carta di danari; c. un asso. 2) Un urna
DettagliAnalisi. Calcolo Combinatorio. Ing. Ivano Coccorullo
Analisi Ing. Ivano Coccorullo Prof. Ivano Coccorullo ü Molti dei problemi classici di calcolo delle probabilità si riducono al calcolo dei casi favorevoli e di quelli possibili. Quando le situazioni diventano
DettagliProf.ssa Laura Pagnozzi Prof. Ivano Coccorullo. Calcolo Combinatorio
Prof.ssa Laura Pagnozzi Prof. Ivano Coccorullo Calcolo Combinatorio Calcolo Combinatorio ü Molti dei problemi classici di calcolo delle probabilità si riducono al calcolo dei casi favorevoli e di quelli
DettagliTest di Matematica di base
Test di Matematica di base Calcolo combinatorio e delle probabilitá Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli di cui il primo é una lettera dell alfabeto italiano e il secondo
DettagliRISOLUZIONE ESERCIZI SUL CALCOLO COMBINATORIO C = =10
RISOLUZIONE ESERCIZI SUL CALCOLO COMBINATORIO A) SVILUARE E CALCOLARE LE SEGUENTI ESRESSIONI : numero esercizio risoluzione 1) D 3, 2 3 2 6 2) 4 3) 6 3 4! 4 3 24 6! 6 5 4 3 120 3! 3 4) 3,3 6 6! 6 5 4 3
DettagliESERCIZI PROBABILITA E CALCOLO COMBINATORIO CON RISULTATI 1. P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina?
ESERCIZI PROBABILITA E CALCOLO COMBINATORIO CON RISULTATI 1. P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina? [4/52] 2. Estratta una Q, P che ad una seconda estrazione si presenti ancora
DettagliLo spazio degli eventi del lancio di un dado regolare a sei facce è l insieme U 1. 2. 3. U 4. 5. 6
EVENTI ALEATORI E LORO RAPPRESENTAZIONE Lo spazio degli eventi del lancio di un dado regolare a sei facce è l insieme U... U.. La definizione classica di probabilità dice che, se gli eventi che si considerano
DettagliIn una scuola di ballo sono iscritte dodici donne e sette uomini. Quante sono le possibili coppie che si possono formare [84]
Abbiamo cinque palline nere numerate da 1 a 5 e tre palline bianche numerate da 1 a 3. Quante coppie di palline una 1 nera ed una bianca entrambe dispari possiamo formare? [6] 2 In una scuola di ballo
DettagliLa probabilità matematica
1 La probabilità matematica In generale parliamo di eventi probabili o improbabili quando non siamo sicuri se si verificheranno. DEFINIZIONE. Un evento (E) si dice casuale, o aleatorio, quando il suo verificarsi
DettagliLa PROBABILITA è un numero che si associa ad un evento E ed esprime il grado di aspettativa circa il suo verificarsi.
La maggior parte dei fenomeni, ai quali assistiamo quotidianamente, può manifestarsi in vari modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire a priori quale di essi si presenterà ogni volta. La PROBABILITA
DettagliESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO
ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO (G.T.Bagni) Sintesi delle nozioni teoriche da utilizzare a) Dati n elementi e k n, si dicono disposizioni semplici di n elementi di classe k tutti i raggruppamenti ottenuti
Dettaglip k q n k = p n (k) = n 12 = 1 = 12 1 12 11 10 9 1 0,1208. q = 1 2 e si ha: p 12 (8) = 12 8 4
CAPITOLO QUARTO DISTRIBUZIONE BINOMIALE (O DI BERNOULLI) Molti degli esempi che abbiamo presentato nei capitoli precedenti possono essere pensati come casi particolari di uno schema generale di prove ripetute,
DettagliI diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito.
TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Si considerino gli
DettagliLa probabilità nella vita quotidiana
La probabilità nella vita quotidiana Introduzione elementare ai modelli probabilistici Bruno Betrò bruno.betro@mi.imati.cnr.it CNR - IMATI San Pellegrino, 6/9/2011 p. 1/31 La probabilità fa parte della
DettagliUNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA
UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Statistica, anno 00- P.Baldi Lista di esercizi. Corso di Laurea in Biotecnologie Esercizio Si sa che in una schedina del totocalcio i tre simboli, X, compaiono con
DettagliEsempi di prove di verifica su calcolo combinatorio e delle probabilità Esempio 1 Esempio 2
Esempi di prove di verifica su calcolo combinatorio e delle probabilità Esempio 1 Il compito verte sui seguenti contenuti irrinunciabili: probabilità totale e composta Competenze essenziali interessate:
Dettagli9 = Soluzione. Soluzione
Esercizio 1 Un'urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare la probabilità di avere a) una pallina bianca; b) una pallina nera; e) una pallina non bianca; d) una pallina
Dettagli1. Calcolo combinatorio, problemi di conteggio.
1 1. Calcolo combinatorio, problemi di conteggio. 1. In quanti modi diversi 4 persone possono occupare 8 posti a sedere numerati? (D 8,4. Un allenatore dispone di 18 giocatori per scegliere la formazione
DettagliTraduzione e adattamento a cura di Gylas per Giochi Rari. Versione 1.1 Novembre
Traduzione e adattamento a cura di Gylas per Giochi Rari Versione 1.1 Novembre 2001 http://www.giochirari.it e-mail: giochirari@giochirari.it NOTA. La presente traduzione non sostituisce in alcun modo
DettagliRegole del Sette e mezzo
Regole del Sette e mezzo Il mazzo di carte Si gioca con un mazzo di 40 carte italiane tradizionali. I giocatori possono selezionare il tipo di carte (napoletane, piacentine etc.). E anche possibile selezionare
DettagliEsercitazioni del Corso di Probabilitá e Statistica Lezione 2: Eventi disgiunti, eventi indipendenti e probabilitá condizionata
Esercitazioni del Corso di Probabilitá e Statistica Lezione 2: Eventi disgiunti, eventi indipendenti e probabilitá condizionata Stefano Patti 1 19 ottobre 2005 Definizione 1 Sia (Ω, F) uno spazio probabilizzabile.
DettagliNote di probabilità. Mauro Saita Versione provvisoria, maggio 2014.
Note di probabilità Mauro Saita Versione provvisoria, maggio 2014. Indice 1 Note di probabilità. 2 1.1 Eventi elementari. Spazio degli eventi.............................. 2 1.2 Definizione assiomatica
DettagliJass. Norme per Differenzler r a carte coperte Valevole dal 22 agosto 2015
Jass Norme per Differenzler r a carte coperte Valevole dal 22 agosto 2015 Swisslos Interkantonale Landeslotterie, Lange Gasse 20, Postfach, CH-4002 Basel T 0848 877 855, F 0848 877 856, info@swisslos.ch,
Dettagli0.1 Esercizi calcolo combinatorio
0.1 Esercizi calcolo combinatorio Esercizio 1. Sia T l insieme dei primi 100 numeri naturali. Calcolare: 1. Il numero di sottoinsiemi A di T che contengono esattamente 8 pari.. Il numero di coppie (A,
DettagliEsercitazione n. 1 del 05/04/2016 Docente: Bruno Gobbi
Esercitazione n. 1 del 05/04/2016 Docente: Bruno Gobbi CALCOLO COMBINATORIO DISPOSIZIONI PERMUTAZIONI COMBINAZIONI Probabilità Esercitazione n. 1 Pagina 1 1) In quanti modi 8 persone possono sedersi su
DettagliF.1 EVENTI E PROBABILITA
F.1 EVENTI E PROBABILITA Breve storia del Calcolo delle probabilità Le origini del (moderno) Calcolo delle probabilità si fanno tradizionalmente risalire alla corrispondenza tra Pascal e Fermat su un problema
DettagliEsercitazioni di Statistica Matematica A Lezioni 4-5. Calcolo combinatorio
Esercitazioni di Statistica Matematica A Lezioni -5 Calcolo combinatorio 1.1) Un treno ha n carrozze, sulla banchina della stazione vi sono r passeggeri (r n). Se i passeggeri scelgono a caso ed indipendentemente
DettagliCorsi di Laurea in Matematica Probabilità I Anno Accademico 2012-2013 5 giugno 2013
Corsi di Laurea in Matematica Probabilità I Anno Accademico 2012-201 5 giugno 201 L uso di calcolatrici o testi non è consentito. Motivare chiaramente i procedimenti e i risultati proposti. Rispondere
DettagliRegole della Briscola
Regole della Briscola Il mazzo di carte Si gioca con un mazzo di 40 carte italiane tradizionali. I giocatori possono selezionare il tipo di carte (napoletane, piacentine ). E anche possibile selezionare
DettagliESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114 30 Aprile 2013 Esercizio
DettagliCalcolo combinatorio
Calcolo combinatorio l calcolo combinatorio è il ramo della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti. Fattoriale l prodotto
DettagliINSIEMI E LOGICA. 2527+2234+1846=6607 6607-6000 = 607 numero individui con entrambi gli antigeni
In uno studio di gruppi sanguigni ABO, furono sottoposti ad analisi 6000 cinesi. 2527 avevano l antigene A, 2234 l antigene B e 1846 nessun antigene. Quanti individui avevano entrambi gli antigeni? 2527+2234+1846=6607
Dettaglinome: classe: data: delle quattro figure sottostanti non risulta in ogni caso congruente a quella sopra?
Verifica IVPROVA_MAT_Sim_01 nome: classe: data: 1. Osserva la figura. Immaginiamo di spostarla tramite movimenti rigidi: quale delle quattro figure sottostanti non risulta in ogni caso congruente a quella
DettagliIL CALCOLO COMBINATORIO:
1 IL CALCOLO COMBINATORIO: l arte di contare Il calcolo combinatorio permette di stabilire, ad esempio, quanti sono gli anagrammi di una parola, in quanti modi si possono sedere dieci amici attorno a un
DettagliProbabilità 1, laurea triennale in Matematica I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09
Probabilità, laurea triennale in Matematica I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09. Due roulette regolari vengono azionate più volte; sia T il numero di volte che occorre azionare la prima roulette
DettagliPNI QUESITO 1 QUESITO 2
www.matefilia.it PNI 0014 QUESITO 1 Per il teorema dei seni risulta: = da cui sen α = Quindi α = arcsen ( ) che porta alle due soluzioni: α 41,810 41 49 α 138 11 QUESITO I poliedri regolari (solidi platonici)
DettagliLa corrispondenza dei semi tra carte italiani e francesi è la seguente:
Regole della Bestia Il mazzo di carte Si gioca con un mazzo di 40 carte italiane tradizionali che i giocatori possono selezionare a loro piacimento tra quelle disponibili sul sito (napoletane, piacentine
DettagliStoria della Probabilità
Storia della Probabilità Il calcolo delle probabilità nasce nel Seicento (1654) per risolvere alcuni problemi sui giochi d azzardo (dadi) posti da un giocatore, il cavaliere de Méré, al matematico e filosofo
DettagliAppendice B Esempi di item di matematica
Appendice B Esempi di item di matematica Esempi di item di matematica Classe quarta primaria 1 Osserva la seguente sequenza di numeri. 100, 1, 99, 2, 98, C, C, C Quali numeri devono andare nei tre riquadri?
DettagliPer capire qual è l altezza media degli italiani è stato intervistato un campione di 1523 cittadini. La media campionaria dell altezza risulta essere:
PROBABILITÀ E STATISTICA Per capire qual è l altezza media degli italiani è stato intervistato un campione di 1523 cittadini. La media campionaria dell altezza risulta essere: x = 172, 3 cm Possiamo affermare
DettagliScheda 1: funzioni circolari, equazioni e disequazioni goniometriche
Scheda : funzioni circolari, equazioni e disequazioni goniometriche Risolvi la seguente equazione: sin + sin cos + 5 = 0 5 = 5 cos + sin Suggerimento dell insegnante: ricorda che ( ) Risolvi la seguente
DettagliMinistero della Difesa Direzione Generale per il Personale Militare I Reparto - 3^ Divisione. BANCA DATI MATEMATICA II^ IMMISSIONE Concorso VFP4 2012
Ministero della ifesa irezione Generale per il Personale Militare I Reparto - 3^ ivisione N TI MTEMTI II^ IMMISSIONE oncorso VFP4 2012 Servizio inerente la fornitura di due archivi di quesiti e materiali
DettagliLaboratorio di dinamiche socio-economiche
Dipartimento di Matematica Università di Ferrara giacomo.albi@unife.it www.giacomoalbi.com 21 febbraio 2012 Seconda parte: Econofisica La probabilità e la statistica come strumento di analisi. Apparenti
DettagliProprietà delle relazioni 1
Proprietà delle relazioni 1 Ricordiamo che una proprietà vale se vale per ogni elemento dell insieme. Al contrario perché non valga basta un controesempio, cioè anche un solo caso per il quale la proprietà
DettagliEsercitazione # 3. Trovate la probabilita che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti
Statistica Matematica A Esercitazione # 3 Binomiale: Esercizio # 1 Trovate la probabilita che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti 1. mai 2. almeno una volta 3. quattro volte Esercizio #
Dettagli2.1) Ogni pietra avversaria catturata vale un punto.
Le regole del go 1)I due giocatori, bianco e nero, giocano una mossa ciascuno, per convenzione inizia nero. Si gioca sulle intersezioni. Le pietre possono essere messe in qualunque posizione libera. Entrambi
DettagliESPERIMENTO DEL LANCIO DEI DADI
ANNO SCOLASTICO 214/215 SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO UGO FOSCOLO SCHEDA SPERIMENTALE DI MATEMATICA ESPERIMENTO DEL LANCIO DEI DADI ALUNNA: MARTINA PETRARULO CLASSE: III B PROFESSORE: DANIELE BALDISSIN
DettagliUn gioco per famiglie per 2-4 giocatori, da 7 a 99 anni
i s t r u z i o n i Un gioco per famiglie per 2-4 giocatori, da 7 a 99 anni autore: Adam Kałuża illustrazioni e grafica: Piotr Socha Hop! Salta! Hop! Salta! Le rane saltano da foglia a foglia e tentano
DettagliI diversi modi di contare
1 L insieme dei numeri naturali viene indicato col simbolo. Risulta pertanto: 0,1,,, 4,5,6,7,8,9,10,11,1, L insieme dei numeri naturali privato della zero viene indicato col simbolo: o 1,,, 4,5,6,7,8,9,10,11,1,
DettagliARROTONDANDO FIGURE CON TRIANGOLI EQUILATERI
ARROTONDANDO Cosa succede ad accostare figure identiche una all altra? Le figure ottenute che proprietà presentano? Posso trovare un qualche tipo di legge generale? Per rispondere a questa ed altre domande
DettagliSimulazione della Prova Nazionale. Matematica
VERSO LA QUARTA PROVA scuola secondaria di primo grado Simulazione della Prova Nazionale Invalsi di Matematica 1 12 marzo 2010 Scuola..................................................................................................................................................
DettagliPROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
PROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE 1. Distribuzione congiunta Ci sono situazioni in cui un esperimento casuale non si può modellare con una sola variabile casuale,
DettagliPROGRAMMAZIONE STRUTTURATA
PROGRAMMAZIONE STRUTTURATA Programmazione strutturata 2 La programmazione strutturata nasce come proposta per regolamentare e standardizzare le metodologie di programmazione (Dijkstra, 1965) Obiettivo:
DettagliProbabilità. Ing. Ivano Coccorullo
Ing. Ivano Coccorullo PROBABILITA Teoria della Eventi certi, impossibili e casuali Nella scienza e nella tecnologia è fondamentale il principio secondo il quale ogni volta che si realizza un insieme di
DettagliREGOLAMENTO ROULETTE PRO
REGOLAMENTO ROULETTE PRO La Roulette Pro appartiene alla famiglia dei Giochi di sorte a quota fissa. Il gioco della Roulette Pro prevede una pallina che, lanciata in direzione opposta rispetto ad una ruota
DettagliREGOLE DI BASE DEL GIOCO DEGLI SCACCHI
REGOLE DI BASE DEL GIOCO DEGLI SCACCHI Queste sono le regole di base del gioco degli scacchi. Per giocare nei tornei occorre seguire anche altre regole comportamentali ed agonistiche. Il regolamento completo
DettagliCAMPIONATO ITALIANO PROMOTORI FINANZIARI GOLFISTI - INDIVIDUALE -
CAMPIONATO ITALIANO PROMOTORI FINANZIARI GOLFISTI - INDIVIDUALE - REGOLAMENTO CIRCUITO NAZIONALE 2016 Riservato ai soci ordinari dell Associazione Italiana Promotori Finanziari Golfisti Comprende 9 (nove)
DettagliLogica figurale. 1 Quanti quadrati contengono la stella? A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 E. 9. 2 Quanti triangoli sono rappresentati nella figura?
Logica figurale 1 Quanti quadrati contengono la stella? A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 E. 9 2 Quanti triangoli sono rappresentati nella figura? A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 E. 12 3 Quanti sono i quadrati presenti nella seguente
DettagliB6. Sistemi di primo grado
B6. Sistemi di primo grado Nelle equazioni l obiettivo è determinare il valore dell incognita che verifica l equazione. Tale valore, se c è, è detto soluzione. In un sistema di equazioni l obiettivo è
DettagliLa rivista di giochi logici. Amico Logico. organizza il 2 CAMPIONATO STUDENTESCO DI GIOCHI LOGICI. per l anno scolastico 2014-15
La rivista di giochi logici mico Logico organizza il MPIONTO STUDENTESO DI GIOHI LOGII per l anno scolastico 04-5 Regolamento della gara a squadre per gli studenti delle scuole medie Il filo di rianna
DettagliCorrezione primo compitino, testo A
Correzione primo compitino, testo A Parte Esercizio Facciamo riferimento alle pagine 22 e 2 del libro di testo Quando si ha a che fare con la moltiplicazione o la divisione di misure bisogna fare attenzione,
DettagliESAME DI STATO. SIMULAZIONE PROVA NAZIONALE Scuola Secondaria di I grado Classe Terza. Prova 4. Anno Scolastico Classe:... Data:...
Prova Nazionale di Matematica: Simulazioni - a cura di M. Zarattini Prova 4 ESAME DI STATO Anno Scolastico 20. - 20. SIMULAZIONE PROVA NAZIONALE Scuola Secondaria di I grado Classe Terza Classe:... Data:...
DettagliTAXI1729 e Fate il Nostro gioco
Reggio Emilia 17 dicembre 2015 TAXI1729 e Fate il Nostro gioco Diego Paolo Sara FATE il NOSTRO GIOCO (mostra) FATE il NOSTRO GIOCO (mostra) FATE il NOSTRO GIOCO (mostra) FATE il NOSTRO GIOCO (mostra) FATE
DettagliLA VARIANTE PER I PRINCIPIANTI Cocotaki è un gioco pazzo. Quando si gioca per la prima volta, in particolare con bambini piccoli, è bene iniziare con
HAIM SHAFIR Giocatori: 2 10 Età: a partire dai 5 anni Durata: circa 15 minuti Contenuto: 112 carte da gioco 1 istruzioni per il gioco IDEA DEL GIOCO In questo gioco meravigliosamente turbolento tutto è
Dettagli1 Campionato Italiano di KUBB
1 Campionato Italiano di KUBB Settembre 2006 Regolamento ufficiale Squadre: Il primo campionato italiano coinvolgerà un massimo di 16 squadre. Incontri: Il torneo si svolgerà con incontri ad eliminazione
Dettaglix 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati
DettagliC I R C O N F E R E N Z A...
C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della
DettagliCorso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino)
Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino Prova di Mercoledì giugno 4 (tempo a disposizione: ore. Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le
DettagliEsercizi di Probabilità
Esercizi di Probabilità Annalisa Cerquetti - Sandra Fortini Vai all indice Istituto di Metodi Quantitativi, Viale Isonzo, 25, 2033 Milano, Italy. E-mail: annalisa.cerquetti@unibocconi.it,sandra.fortini@unibocconi.it
DettagliI problemi di questa prova
I problemi di questa prova Categoria Problemi 3 1-2-3-4-5 4 1-2-3-4-5-6 5 1-2-3-4-5-6-7 6 7-8-9-10-11-12-13 7 8-9-10-11-12-13-14 8 8-9-10-11-12-13-14 9 10-11-12-13-14-15-16 10 10-11-12-13-14-15-16 Correzione
Dettagli3. Qual è l equazione della retta rappresentata nel piano cartesiano?
Verifica IVPROVA_MAT_Sim_06 nome: classe: data: Quattro fratelli hanno ciascuno due sorelle. Quante sono le sorelle? La somma delle aree dei due triangoli è di 40 cm 2, ma l area del triangolo grigio è
DettagliPROVA DI MATEMATICA VERSO LA RILEVAZIONE INVALSI SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO. 30 quesiti. Scuola... Classe... Alunno...
VERSO LA RILEVAZIONE INVALSI SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO PROVA DI MATEMATICA 0 quesiti Scuola..................................................................................................................................................................................................
DettagliMATEMATICA PER LO STUDIO DELLE INTERAZIONI STRATEGICHE: TEORIA DEI GIOCHI. Anna TORRE
MATEMATICA PER LO STUDIO DELLE INTERAZIONI STRATEGICHE: TEORIA DEI GIOCHI Anna TORRE Dipartimento di Matematica, Università di Pavia, Via Ferrata 1, 27100, Pavia, Italy. E-mail: anna.torre@unipv.it 1 GIOCHI
DettagliI coefficienti delle incognite sono proporzionali fra loro ma NON coi termini noti, e il sistema è dunque IMPOSSIBILE (si dice anche: INCOMPATIBILE).
RISOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SUI SISTEMI DI 1 GRADO IMPOSSIBILI E INDETERMINATI Per ciascuno dei seguenti sistemi, stabilisci se è determinato, impossibile, o indeterminato. In caso di indeterminazione,
DettagliIl Calcolo combinatorio.
Il Calcolo combinatorio. 1) Disporre persone. a) Andrea e Bea frequentano la stessa classe e sono vicini di banco. Sapendo che i banchi sono posizionati due a due, in quali e quanti modi possono disporsi?....
DettagliModelli descrittivi, statistica e simulazione
Modelli descrittivi, statistica e simulazione Master per Smart Logistics specialist Roberto Cordone (roberto.cordone@unimi.it) Statistica inferenziale Cernusco S.N., giovedì 18 febbraio 2016 (9.00/13.00)
DettagliDadi, carte, diagrammi e frazioni.
Dadi, carte, diagrammi e frazioni..i primi passi nella probabilità Relatore: Prof.ssa Ana Millán Gasca Laura Sol Minicorso Insegnare la matematica ai bambini a partire dall esperienza Roma, Università
DettagliI giocatori possono selezionare il tipo di carte (napoletane, piacentine ).
Regole della Scopa Il mazzo di carte Si gioca con un mazzo di 40 carte italiane tradizionali. I giocatori possono selezionare il tipo di carte (napoletane, piacentine ). E anche possibile selezionare le
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA RISCHI: RAPPRESENTAZIONE E GESTIONE (CENNI)
Matematica Finanziaria, a.a. 2011/2012 p. 1/315 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA MATEMATICA FINANZIARIA RISCHI: RAPPRESENTAZIONE E GESTIONE (CENNI) ANNAMARIA OLIVIERI a.a. 2011/2012
DettagliFUNZIONI QUADRATICHE
f: R R si dice funzione quadratica se è del tipo f(x) =ax 2 +bx+c, dove a,b,c sono costanti Il grafico di una funzione quadratica è una curva detta parabola Abbiamo incontrato funzioni di questo tipo quando
DettagliIntroduzione ai fenomeni casuali: frequenza relativa, probabilità matematica, legge dei grandi numeri di Luciano Porta
Introduzione ai fenomeni casuali: frequenza relativa, probabilità matematica, legge dei grandi numeri di Luciano Porta I principi che regolano i fenomeni casuali o aleatori sono talvolta controintuitivi.
Dettaglimatematica classe quinta LE ISOMETRIE SCHEDA N Trasla la figura, disegnandola nella posizione indicata dal vettore.
SCHEDA N. 60 LE ISOMETRIE 1. Trasla la figura, disegnandola nella posizione indicata dal vettore. 2. Ribalta la parola PACE secondo gli assi di simmetria verticale e orizzontale rappresentati dalle linee
DettagliRegole specifiche per tornei
Regole specifiche per tornei Minivolley Allievi Misto 98/99/00 Allievi Misto 96/97/98 Allieve Femminile Juniores Femminile Top Junior Maschile Open Misto Amatori Centro Sportivo Italiano Pagina 1 Luglio
DettagliLe equazioni di I grado
Le equazioni di I grado ITIS Feltrinelli anno scolastico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Le equazioni abbiamo una uguaglianza tra due quantità (espressioni algebriche, perché nei due termini ci possono essere
DettagliTeorema del limite centrale TCL
Teorema del limite centrale TCL Questo importante teorema della statistica inferenziale si applica a qualsiasi variabile aleatoria che sia combinazione lineare di N variabili aleatorie le cui funzioni
Dettagli1 L estrazione di radice
1 L estrazione di radice Consideriamo la potenza 3 2 = 9 di cui conosciamo: Esponente 3 2 = 9 Valore della potenza Base L operazione di radice quadrata consiste nel chiedersi qual è quel numero x che elevato
DettagliEsercizi sui sistemi di equazioni lineari.
Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la
DettagliIntroduzione alla probabilità
Introduzione alla probabilità Osservazione e studio dei fenomeni naturali: a. Caso deterministico: l osservazione fornisce sempre lo stesso risultato. b. Caso stocastico o aleatorio: l osservazione fornisce
DettagliLa divisione esatta fra a e b è l operazione che dati i numeri a e b (con a multiplo di b) permette di trovare un terzo numero c tale che c b = a.
Significato Significato della divisione esatta La divisione esatta fra a e b è l operazione che dati i numeri a e b (con a multiplo di b) permette di trovare un terzo numero c tale che c b = a. Descrivendo
DettagliEsercitazioni di statistica
Esercitazioni di statistica Misure di associazione: Indipendenza assoluta e in media Stefania Spina Universitá di Napoli Federico II stefania.spina@unina.it 22 ottobre 2014 Stefania Spina Esercitazioni
DettagliTeoria della probabilità Assiomi e teoremi
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento
DettagliCorso di Laurea in Matematica per l Informatica e la Comunicazione Scientifica
Corso di Laurea in Matematica per l Informatica e la Comunicazione Scientifica Soluzione del compito di Matematica Discreta 1 del 25 luglio 200 1. Qual è il numero di applicazioni f : A = {1,..., 5} B
DettagliEsercizi sul calcolo delle probabilità
Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità
DettagliI Prodotti. Notevoli
I Prodotti Muovimi nella pagina Notevoli Prof.ssa G. Messina 1 I PRODOTTI NOTEVOLI Dopo questa unità: imparerai a riconoscere e ad applicare le regole dei prodotti notevoli Obiettivi Prerequisiti Prof.ssa
DettagliEquazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti
Equazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti Christian Ferrari 1 Introduzione La risoluzione di equazioni in R ci ha mostrato che solo per le equazioni polinomiali di primo e secondo grado,
DettagliKORFBALL (PALLA CESTO)
KORFALL (PALLA CESTO) TIPOLOGIA: GIOCATORI: LUOGO: MATERIALE: Gioco a Squadre, una squadra contro l altra. Nella versione originale, 4 maschi e 4 femmine per squadra. È possibile giocare con un numero
DettagliESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1
ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 2/03/205 Primo foglio di esercizi Esercizio 0.. Una classe di studenti è costituita da 6 ragazzi e 4 ragazze. I risultati dell esame vengono esposti in una graduatoria in ordine
Dettagli