22.1. Analisi asintotica: il metodo della fase stazionaria.

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1 .. Anlisi sinoic: il meodo dell fse szionri.... Nozioni sndrd dell nlisi sinoic. I simboli O, o e sono definii nel modo seguene. Supponimo che f(z) e g(z) sino funzioni complesse definie in qulche regione R C del pino complesso e che bbino un limie qundo z z in R. Allor si consider l seguene nozione bbrevi per descrivere le proprieà relive di quese funzioni nel limie z z. Asinoicmene limi: f(z) = O(g(z)) per z z se il rpporo f(z)/g(z) è limio qundo z z. Dicimo llor che f(z) è sinoicmene limi d g(z) qundo z z. Asinoicmene più piccol: f(z) = o(g(z)) per z z signific che f(z)/g(z) qundo z z. Vle dire, f(z) è sinoicmene più piccol di g(z) qundo z z. Asinoicmene ugule: f(z) g(z) per z z signific che (ssumendo g(z) non null in un inorno di z ) f(z) lim z z g(z) =. Equivlenemene, queso signific che per z z f(z) = g(z) + o(g(z)) Esempi: f() = O() qundo signific che f() è limi qundo (si dice che f è O() qundo è limi ovunque). Se f() = 5 + +, llor, per, f() = o( ), f() = O( ) e f() 5. Per, f(). Per, = o(e ). Osservzioni: L funzione g(z) nelle definizioni precedeni è usulmene de funzione di clibro, in qundo è l funzione rispeo cui si clibr il compormeno limie di f(z) Come nozione lerniv f(z) = o(g(z)), spesso (specilmene in fisic) si us f(z) g(z) per z z.

2 ... Lemm di Riemnn-Lebesgue. Voglimo sudire il compormeno sinoico dell inegrle di Fourier generlizzo () F (λ) = b e iλs(x) f(x)dx nel limie λ. Inuiivmene, ci speimo che l inegrle si pri zero nel limie: se λ è grnde, l funzione inegrnd oscill molo rpidmene e ci speimo che ci si un cncellzione r conribui posiivi e negivi di inervlli diceni, e quindi d un vlore dell inegrle prossimo llo zero. In effei, vle il seguene eorem: Lemm di Riemnn-Lebesgue. Se f(x) è inegrbile e S(x) è coninumene differenzibile in x b e, inolre, non è cosne in nessun soo-inervllo di x b, llor, per λ F (λ) = b e iλs(x) f(x)dx... Meodo dell fse szionri. Sbilio che F (λ) ende, si vuole deerminre il suo ordine di infiniesimo per λ. Nell second meà dell 8 Sokes e Kelvin, principlmene ineressi d ppliczioni ll idrodinmic, svilupprono un meodo, noo come meodo dell fse szionri, che è proprio miro rggiungere queso scopo. Considerimo prim il cso in cui S (x). Moliplichimo e dividimo per S (x) soo il segno di inegrle secondo membro dell (), quindi inegrimo per pri: b Allor e iλs(x) S (x) in f(x) S (x) der dx = e iλs(x) f(x) iλs (x) ermine l bordo b b iλ ( ) d f(x) e iλs(x) dx dx S (x) b F (λ) = e iλs(x) f(x) iλs (x) b ( ) d f(x) e iλs(x) dx iλ dx S (x) ermine inegrle Per il lemm di Riemnn-Lebesgue, il ermine inegrle è o ( λ) qundo λ e quindi, per λ b ( ) F (λ) e iλs(x) f(x) () iλs (x) = O λ ermine l bordo

3 Tuvi, se nell inervllo [, b] l funzione S(x) h un puno criico o szionrio, cioè un puno c in cui si nnull l su deriv, S (c) =, dobbimo cmbire sregi: non possimo inegrre per pri ed vere un S denominore. L ide cenrle del meodo dell fse szionri è che in presenz di un puno criico c di S, il conribuo dominne llo sviluppo sinoico di F (λ) proviene proprio dll inorno di = c. Inuiivmene, l ide del meodo è chir: nell inorno di un puno in cui l fse è szionri non c è cncellzione, come si può verificre con un esempio. Considerimo l inegrle () [ ( )] x cos λ x x dx e riporimo in figur l funzione inegrnd per diversi vlori di λ. x= x=5 λ = λ = 5 cos(x( / )) cos(x( / )) x λ = x= λ = x= x cos(x( / )) cos(x( / )) x x

4 L figur dimosr perché è l regione inorno l puno szionrio dell cubic S(x) = x x, cioè inorno x =, che conribuisce mggiormene ll inegrle (). In figur sono mosri i grfici di x cos [ λ ( x x )] per vlori successivmene cresceni di λ (curve solide in rosso); l curv blu reggi è l cubic S(x) = x x (che un minimo in x = ). Vedimo che, fuori d un inorno del puno szionrio di S(x), le ree r l sse delle x e l curv x cos [ λ ( x x )] si cncellno pprossimivmene, in compleo ccordo con il lemm di Riemnn-Lebesque. Spieghimo il meodo dell fse szionri in pssi. Primo psso. Si c un puno szionrio di S (ssumimo per semplicià che ce ne si uno solo) e si ɛ > piccolo. Allor [ c ɛ c+ɛ b ] F (λ) = + + e iλs(x) f(x)dx c ɛ c+ɛ c+ɛ ( ) = e iλs(x) f(x)dx + O λ c ɛ Infi, per i due inegrli che non conengono il puno criico possimo inegrre per pri, pplicre Riemnn-Lebesgue e rrivre d un equzione simile ll (). Poiché, come vedremo, il conribuo nell inorno di c è dominne, d or in poi rscureremo ques correzione di ordine /λ e scriveremo F (λ) c+ɛ c ɛ e iλs(x) f(x)dx, per λ Secondo psso. Se ɛ è bbsnz piccolo, per oenere il compormeno dell ordine dominne dell inegrle, le segueni pprossimzioni sono giusifice: S(x) S(c) + S (c)(x c) f(x) f(c) Nurlmene, nello sviluppo di Tylor di S(x) mnc il ermine del prim ordine in quno S (c) =. Abbimo inolre ssuno che S (c) : se così non fosse, dovremmo considerre ermini di ordine superiore (e fermrci l primo ermine non nullo). Si come si, oenimo F (λ) c+ɛ c ɛ f(c)e iλ(s(c)+ S (c)(x c) ) dx, per λ Terzo psso. Adesso esendimo il dominio di inegrzione d +. Per quno pprenemene bizzrro, queso è legiimo perché in queso modo inroducimo correzioni di ordine O ( λ), che possono essere rscure. Allor (porndo nche fuori dll inegrle le cosni) F (λ) f(c)e iλs(c) e i λ S (c)(x c) dx, per λ 4

5 5 Con il cmbimeno di vribili (dovuo Morse) λ u = + S (c) (x c) si oiene F (λ) f(c)e iλs(c) e i sgn[s (c)]u du, λ S (c) dove Clcolimo l inegrle sgn(y) = { + se y > se y < e ±iu du = πe ±i π 4 (vedi ppendice). Quindi, l sinoic di F (λ) è (4) F (λ) f(c)e iλs(c)+isgn[s (c)] π π 4 λ S (c), per λ Fine dell descrizione del meodo dell fse szionri. Adesso lcune osservzioni. () Se c = o c = b, il conribuo ll inegrle, che desso è solo su un inervllo semi-infinio, è meà del risulo sinoico rovo. In queso cso occorre dunque moliplicre per il risulo che bbimo rovo. () Se S(x) h moli puni szionri in [, b], llor spezzimo l inegrle in inervlli che conengono solo un puno szionrio, li rimo indipendenemene usndo il meodo ppen descrio e poi sommimo ui i conribui. () Se il puno szionrio è le che ue le derive di S sono nulle fino ll deriv m-esim, che è non null, llor lo sviluppo in serie dell fse srà S(x) S(c) + m! S(m) (c)(x c) m. Esempio. Clcolimo il ermine dominne dello sviluppo sinoico dell inegrle (), che scrivimo nell form Re {F (λ)}, F (λ) = xe iλ( x x) dx Riconoscimo f(x) = x e S(x) = x x. Si h S (x) = x, e solo un delle due rdici, x = è denro l inervllo di inegrzione. Poiché S (x) = x > per x, il puno x = è un minimo locle e globle. Allor f() =, S() =, S () =

6 e dunque, pplicndo l (4), F (λ) π λ ei( π 4 λ ), per λ Prendendone l pre rele, oenimo l sinoic cerc: [ ( )] ( π π x cos λ x x dx λ cos 4 λ ), per λ..4. Asinoic onde core in meccnic qunisic in un cso semplice. Applichimo il meodo dell fse szionri per risolvere un esercizio di ineresse fisico. Esercizio. Deerminre l ndmeno sinoico dell soluzione del seguene problem l conorno i f = f m x f(x, ) = f (x) = r(x)e i s(x) per s(x) = mv x, essendo v un cosne posiiv, e per r(x) funzione rele posiiv. è Sol. Per quno viso nell lezione 9, l soluzione di f(x, ) = G f (x, ) = i f = f m x G(x y, )f (y)dy dove m / G(x, ) = π i eimx L ndmeno sinoico di f(x, ) è oenuo ponendo λ = / e sudindone l sinoic per λ. Dopo ver inserio G nel prodoo di convoluzione, enuo cono dell condizione inizile, e poso λ = /, si oiene mλ mλ (5) f(x, ) = e iλm(x y) / e iλmvy r(y)dy = πi πi F (λ) dove F (λ) = e iλm(x y) / e iλmv y r(y)dy. 6

7 7 Possimo riscrivere queso inegrle come F (λ) = e iλs(y) r(y)dy dove m(x y) S(y) = + mv y. Deerminimo i puni szionri di S(y): S (y) = Il vlore dell fse in c è m(y x) S(c) = m(v ) + mv = = y = x v def = c + mv (x v ) = mv x mv. Per l sinoic ci serve nche l deriv second di S clcol in c. Si h S (y) = m > Applichimo l (4), F (λ) f(c)e iλs(c)+isgn[s (c)] π π 4 λ S (c), per λ. Oenimo F (λ) r(x v )e iλ(mv x mv )+i π 4 π λm Sosiuendo il vlore di F (λ) nell (5) e riprisinndo = /λ si oiene l sinoic cerc (osservndo che le rdici si cncellno vicend e che l rdice di i denominore si cncell con e i π 4 ). Si h f(x, ) r(x v )e i (mv x mv ) che descrive un pccheo d onde con numero d ond e frequenz ω = k = mv mv = k m il cui profilo inizile r(x) si propg nel corso del empo lungo l rieori clssic x() = x + v senz cmbire di form.

8 ..5. Appendice: clcolo di e±iu du = πe ±i π 4. Incomincimo considerndo l inegrle fmilire I = e z dz che sppimo h il vlore π/ qundo z è rele. Lo sesso inegrle può essere penso come un inegrle nel pino complesso. Considerimo il conorno nel pino complesso illusro in figur 8 Poso z = Re i, se < < π/4, llor l inegrle di e z sull rco di cerchio γ in figur) ende qundo R. Infi, π/4 π/4 e z dz = e R e i ird π/4 = e R (cos +i sin ) ird π/4 R e R cos Rd (perché cos > per < < π/4) Allor, essendo e z nliic nell regione inern l conorno, l inegrle sull sse rele (γ in figur) è ugule ll inegrle lungo le re di pendenz π/4(γ in figur), dove z = ue iπ/4 (u rele posiivo), cioè π = e z dz = e iπ/4 e iu du Quindi Anlogmene, si rov e iu du = e iu du = π eiπ/4 π e iπ/4

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