CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26"

Transcript

1 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 6 CAPITOLO 3 INCERTEZZA DI MISURA Le operazon d msurazone sono tutte nevtablmente affette da ncertezza e coè da un grado d ndetermnazone con l quale l processo d msurazone ottene l rsultato. Essa produce un ntervallo d valor n cu l valore vero del msurando è presente con una certa probabltà. L ncertezza d msura è defnta da norme nternazonal recepte dagl sttut d normazone nazonal. In Itala l Ente d rfermento è l Ente Nazonale d Normazone (UNI) che ha approvato la norma Guda all espressone dell ncertezza d msura, UNI CEI 9, Mlano, gugno 997 (traduzone talana della ISO Gude to the expresson of uncertanty n measurement ), alla quale ogn certfcazone d msura deve atteners. Secondo la stessa norma, le parole errore, accuratezza e msura non possono pù essere usate nella veccha accezone, precedente, coè, a tale pubblcazone. Molt test corrent non sono stat ancora aggornat, e per cu rportano ancora la classca dstnzone tra accuratezza e precsone, ogg rfutata. La parola ncertezza sosttusce la parola errore. Secondo l accezone antecedente la norma UNI CEI 9: l accuratezza è una grandezza che rguarda l ncertezza sstematca e dpende dalla taratura e dalla classe dello strumento; l suo valore è tanto maggore quanto mnore è lo scarto delle osservazon fatte con lo strumento n esame rspetto a quelle dello strumento accettato come strumento d rfermento e sto n un laboratoro metrologco accredtato o centro SIT; la precsone è una grandezza che rguarda la rpetbltà delle osservazon; dpende da ncertezze casual ed è rappresentata dalla devazone standard (o scarto tpo) valutata sulla base d un nseme suffcentemente ampo d osservazon. Nella norma UNI CEI 9: la precsone è sosttuta da ncertezza d tpo A; la parola accuratezza ha solo valore qualtatvo ed esprme l grado d concordanza tra l rsultato d una msurazone e un valore vero del msurando;

2 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 7 l errore d msura è la dfferenza tra l rsultato d una msurazone e l valore vero del msurando. Nella norma UNI CEI 9 la parola msura vene sosttuta dalla locuzone stma del msurando ed appare solo nelle espresson ncertezza d msura e errore d msura. Classfcazone de contrbut all ncertezza La raccomandazone INC- (980) raggruppa le component dell ncertezza del rsultato d una msurazone n due categore a seconda del metodo d valutazone con cu s stma l msurando; esse sono: tpo A quelle valutate per mezzo d metod statstc; per queste component s applca l metodo d valutazone (dell ncertezza) d categora A. tpo B quelle valutate per mezzo d metod dvers da quell statstc; per queste component s applca l metodo d valutazone (dell ncertezza) d categora B. Element per l anals medante metod statstc La speranza matematca, o valore atteso, d una varable aleatora contnua X, con funzone denstà d probabltà f X, è data da: µ X + = xfx ( ) xdx (3.) La varanza d una varable aleatora X è l valore atteso del suo scostamento quadratco rspetto alla meda; formalmente è defnta come: ( ) ( ) + X = X X σ x µ f xdx (3.)

3 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 8 La radce quadrata postva della varanza, ndcata con σ X e denomnata scarto tpo, fornsce la dspersone de rsultat ntorno alla meda. La fgura 3. rporta un esempo d dstrbuzone, la dstrbuzone gaussana, per due valor dvers dello scarto tpo. σx µx σ x - fgura 3. - Per varabl aleatore dscrete, per le qual non è nota la funzone denstà d probabltà, non è possble usare le defnzon formal precedent per la determnazone della meda e varanza statstca. È possble, però, utlzzare degl stmator per la loro caratterzzazone. Sano, pertanto, X,X,,X N N osservazon d una varable aleatora dscreta X. La stma statstca della speranza matematca µ X e della varanza σ X, sono rspettvamente date dalle seguent relazon: X N N k = = X k (3.3) N s X Xk X N k= ( ) = ( ) (3.4) Dunque, nel caso d una msurazone ben caratterzzata e sotto controllo statstco, x = X è la meda artmetca delle N osservazon ndpendent valutate nelle stesse condzon spermental, ed è uno stmatore della meda, mentre s s ( X ) varanza spermentale delle osservazon ed è uno stmatore della varanza. = è la

4 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 9 La radce quadrata postva della varanza spermentale è detta scarto tpo spermentale, e, al par dello scarto tpo, caratterzza la varabltà de valor osservat X o, pù specfcatamente, la loro dspersone ntorno alla meda x. Se è noto l valore atteso µ X d X, la varanza può essere stmata da: s X N Xk X N k= ( ) = ( µ ) (3.5) Rappresentazone delle component dell ncertezza Incertezza standard L ncertezza, comunque valutata, è rappresentata da una devazone standard stmata, detta ncertezza standard e ndcata col smbolo u, e uguale alla radce quadrata postva della stma della varanza u. Incertezza standard: tpo A L ncertezza, u, ottenuta medante valutazone d tpo A è rappresentata dalla devazone standard spermentale s, par alla radce quadrata postva della varanza spermentale s, e dal relatvo numero d grad d lbertà ν. In partcolare, s ha u=s. I grad d lbertà ν costtuscono un ndce della qualtà della stma dell ncertezza u, quantfcandone l attendbltà. Fssato n n l numero d osservazon, rsulta ν =n-. Incertezza standard: tpo B L ncertezza ottenuta medante valutazone d tpo B è espressa da una quanttà u j che rappresenta la devazone standard d una dstrbuzone d probabltà assunta come quella che meglo contempla le nformazon possedute sul msurando. Valutazone dell ncertezza d categora A Sano X,X,,Xn n msurazon ndpendent della grandezza aleatora X esegute nelle stesse condzon spermental. È possble esprmere l valore rappresentatvo del msurando secondo una delle due metodologe:

5 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 30. s eseguono n msurazon, s valuta la varanza spermentale, s esegue una ulterore msura, che fornrà l valore rappresentatvo del msurando, e s esprme l ncertezza come la radce quadrata postva della varanza delle sngole osservazon;. s eseguono n msurazon, s valuta la meda artmetca e la varanza spermentale della meda: la meda fornrà l valore rappresentatvo del msurando e l ncertezza sarà data dalla radce quadrata postva d detta varanza. Nel prmo caso, la radce quadrata postva della varanza spermentale delle osservazon, ndcata con s e denomnata scarto tpo spermentale, fornsce l ncertezza tpo da assocare alla stma del valore del msurando: u = s (3.6) Se s scegle, nvece, d rappresentare l msurando medante la meda artmetca, la valutazone quanttatva approprata dell ncertezza del rsultato è la varanza della meda delle osservazon, e non la varanza delle sngole osservazon. Infatt, poché la meda d una sere d varabl aleatore è ancora una varable aleatora, la varanza della meda artmetca, come s dmostra, è, al crescere d n, la mglor stma della varanza. La varanza della meda, che è la mglore stma d è data da: s σ = X σ n ( ) k n s = = X X X n nn ( ) k= (3.7) (3.8) n questo caso l ncertezza tpo è data da: u = s X (3.9)

6 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 3 Valutazone dell ncertezza d categora B La valutazone dell ncertezza d categora B s basa, normalmente, su formulazon dervant dall uso d tutte le nformazon rlevant possbl, che ncludono: dat d precedent msurazon; esperenza o conoscenza generale del comportamento e delle propretà de materal e strument d nteresse; specfche tecnche del costruttore; dat fornt n certfcat d taratura o rapport sml; ncertezze assegnate a valor d rfermento pres da manual. Le nformazon a dsposzone per la valutazone dell ncertezza d categora B rchedono capactà d nterpretazone basata sull esperenza, ed una competenza acqusta con la pratca. S osserv che un tale approcco d valutazone dell ncertezza è da preferrs a quello precedente qualora c s trov n presenza d un numero relatvamente rdotto d osservazon ndpendent. Se facendo rfermento alle specfche del costruttore dello strumento che fornsce le stme delle grandezze d ngresso, o al suo certfcato d taratura, o ad altra smle fonte, s rcava come nformazone un multplo d uno scarto tpo, allora l ncertezza tpo, u(x ), è par al valore dcharato dvso l moltplcatore, e la varanza stmata u (x ) è par al quadrato d tale rapporto. Può, noltre, presentars l caso n cu l nformazone a dsposzone è un ntervallo d confdenza all nterno del quale l valore delle grandezze d ngresso può essere contenuto con un certo lvello d fduca (ad esempo, 95% o 99%). In tale condzone, s assoca all ntervallo ndvduato una dstrbuzone gaussana dalla quale s stablsce la devazone standard a partre dal lvello d fduca. L ncertezza tpo sarà posta par alla devazone standard così ottenuta. D seguto sono rportat alcun esemp d valutazon d Tpo B n dverse stuazon, basate sulle nformazon dsponbl e su assunzon dello spermentatore. In quest cas l ncertezza è ottenuta da font esterne o da un potetca dstrbuzone.

7 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 3 Incertezza ottenuta da font esterne Multplo d una devazone standard Procedura: se rportata n un manuale, o n un certfcato d taratura, l unca nformazone sull ncertezza è un multplo k d uno scarto tpo; l ncertezza standard può essere ottenuta dvdendo l valore trovato per l fattore d moltplcazone k. Incertezza ottenuta da una potetca dstrbuzone Dstrbuzone gaussana: 99.73% Procedura: S potzza una dstrbuzone gaussana per possbl valor della grandezza consderata e s stmano due lmt, uno nferore - ed uno superore +, tal che la mglor stma della grandezza n ngresso vale ( )/, coè l valore centrale tra due lmt, e s ha l 99.73% d probabltà che la grandezza s trov nell ntervallo compreso tra + e -. L ncertezza u j è approssmatvamente /3 dove =( )/ è la semampezza dell ntervallo. Dstrbuzone unforme (rettangolare) Procedura: Per pratctà s potzzano per la grandezza n ngresso due lmt, uno nferore - ed uno superore +, tal che l ntervallo tra + e - contene l 00% de possbl valor. Ammesso che non c sano nformazon contrare, s suppone che valor compres n questo ntervallo sano ugualmente probabl, la dstrbuzone della probabltà è unforme (coè rettangolare). La mglor stma della grandezza è ( )/ con uj= /3 / dove =( )/ è la semampezza dell ntervallo. Dstrbuzone trangolare In assenza d nformazon specfche è ragonevole supporre che la dstrbuzone sa rettangolare. Ma nel caso sa realstco supporre che valor prossm agl estrem sano meno probabl d quell central, è ragonevole potzzare una dstrbuzone gaussana o, per semplctà, una dstrbuzone trangolare. Procedura: S potzzano per la grandezza n ngresso due lmt, uno nferore - ed uno superore +, tal che l ntervallo tra + e - contene l 00% de possbl valor. Ammesso che non c sano nformazon contrare, s suppone che valor compres n questo ntervallo sano dstrbut secondo una dstrbuzone trangolare. La mglor

8 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 33 stma della grandezza è ( )/ con u j = /6 / dove =( )/ è la semampezza dell ntervallo. Valutazone dell ncertezza nelle msurazon ndrette Equazone della msurazone Nella maggor parte de cas, l msurando Y non è msurato drettamente, ma è determnato dalla msura d altre N grandezze X, X,, X N medante una relazone funzonale f, spesso detta equazone della msurazone: Y = f ( X, X,..., X N ) (3.0) Le grandezze X possono essere a loro volta de msurand, e qund possono dpendere da altre grandezze, qual fattor d correzone dovut ad effett sstematc, o grandezze che tengono conto d altre font d varabltà qual operator, strument, campon, laborator e stant n cu le osservazon sono effettuate (ad esempo gorn dvers). La funzone f può essere una legge fsca, un processo d msurazone, un algortmo, un grafco e così va; n partcolare, contene tutte le grandezze che contrbuscono all ncertezza del rsultato fnale della msurazone. Ad esempo, come puntualzzato nella guda ISO, se s applca una dfferenza d potenzale V a cap d un resstore l cu valore vara lnearmente con la temperatura, la potenza P (l msurando) dsspata dal resstore alla temperatura t dpende da V, R0, b e t secondo la relazone P = f ( V, R, b, t, t ) = 0 0 V ( ) R + b t t 0 0 (3.) dove R 0 è l valore della resstenza alla temperatura t 0 e b è l coeffcente lneare d resstenza. La stma y del msurando Y s ottene medante le stme x, x,, xn delle N grandezze d ngresso X, X,, X N, ed è data da: y= f( x, x,..., x N ) (3.)

9 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 34 Quando f è una funzone non lneare delle grandezze d ngresso X, X,, X N è preferble stmare y medante la relazone: n y= Y = f( X k, Xk,..., XNk ) n k = (3.3) Determnazone dell ncertezza standard composta S suppone che l rsultato d una osservazone, ancorché legato al valore della grandezza msurata, non sa predcble esattamente. S è solt modellare questa stuazone n questo modo: dove: (3.4) X sono le varabl ndpendent della (3.0), ossa le grandezze osservate che, per potes d comodtà (non ndspensable), sono consderate delle costant; x sono le osservazon corrspondent e, n quanto non predcbl esattamente, vengono consderate varabl casual; ε, chamato errore dell osservazone, è l termne responsable della casualtà. S pretende noltre che ε sa a meda nulla d modo che rsult E(x)=X, dove E è l operatore d meda statstca. x = X + ε Effettuata una sere d msurazon e stablta l equazone della msurazone n cu la stma d Y è funzone delle stme delle grandezze X, e dett µ valor attes delle osservazon x defnt come: (,,..., ) (,,..., ) µ E f x x x f µ µ µ y N N (3.5) per soddsfare la rchesta d error a meda nulla, è possble scrvere che: N f y= f ( x, x,..., xn) = f ( µ, µ,..., µ n) + ( x µ ) +... = x x= µ (3.6) dove la (3.6) rappresenta lo svluppo dell equazone della msurazone (3.) n sere f µ, µ,..., µ n. d Taylor nell ntorno d ( ) Arrestando lo svluppo al termne del prmo ordne la (3.6) s rscrve come:

10 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 35 N f y µ µ ( x ) y = x x = µ (3.7) che sgnfca: l valore atteso delle stme del msurando è ben approssmato dalla stma delle grandezze n ngresso, purché gl error sano a meda nulla. Svolgendo l quadrato ambo membr della precedente equazone e facendone la meda statstca, rcordando la notazone: ( y ) y σ y = E µ (3.8) s può scrvere che: N N N f f f σ y ( y) = E ( x µ ) + ( x µ )( x j µ j) = = x x j x x j = µ = =+ x = µ xj= µ j N N N f f f ( x) σ ( x, x j) = σ + x x x = = j=+ j (3.9) La (3.9), comunemente ndcata come legge d propagazone delle varanze, fornsce l espressone della varanza σ ( y ) y, la cu radce quadrata, ndcata con u c (y), rappresenta l ncertezza standard (o scarto tpo) composta del rsultato y della msurazone. Le dervate parzal della funzone f rspetto alle grandezze x, spesso ndcat come coeffcent d sensbltà, descrvono come vara la stma d uscta y al varare de valor delle stme d ngresso x, x,, x N. Le grandezze u(x ) sono le ncertezze standard assocate alle stme d ngresso x. Le grandezze u(x,x j ) sono le covaranze assocate alle stme n ngresso x e x j. Espresson semplfcate Ne cas d nteresse pratco la legge d propagazone dell ncertezza assume una forma semplfcata. Ad esempo, se le stme x delle grandezze n ngresso X sono assunte non correlate, l secondo termne della (3.5) scompare.

11 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 36 Inoltre, se le stme delle grandezze n ngresso sono ncorrelate e l equazone della msurazone ha una delle seguent due forme, l equazone rsulta ancora pù semplce. ) Equazone della msurazone: espressone lneare Y = ax + ax anx N (3.0) Rsultato della msurazone: y= ax + ax anxn (3.) Incertezza tpo composta: ( ) ( ) ( ) u ( y) = au x + au x au x c N N N (3.) ) Equazone della msurazone: prodotto delle grandezze X elevate alle potenze a, b,, p e moltplcate per la costante A a b... p Y = AX X X N (3.3) Rsultato della msurazone: a b... p y= Ax x x N (3.4) Incertezza relatva composta: se x 0 e y 0, s può scrvere: ( ) ( ) ( ) u ( y) = au x + bu x pu x cr, r r r N (3.5) dove u r ( x ) ( ) u x = x (3.6)

12 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 37 è l ncertezza relatva d x, x è l valore assoluto d x. La grandezza u c,r (y) è l ncertezza relatva d y ed è defnta dal rapporto u cr, ( y) uc = y ( y) (3.7) dove y è l valore assoluto d y. Sgnfcato dell ncertezza Se la dstrbuzone d probabltà caratterzzata dal rsultato d msurazone y e dalla ncertezza tpo composta u c (y) è approssmatvamente gaussana, e u c (y) è una buona stma della devazone standard d y, allora l ntervallo compreso tra y-u c (y) e y+u c (y) contene approssmatvamente l 68% de valor della dstrbuzone che possono ragonevolmente essere attrbut al valore della grandezza Y, d cu y è una stma. Incertezza estesa Sebbene l ncertezza tpo composta u c (y) sa generalmente usata per esprmere l ncertezza d molt rsultat d msurazone, per alcune applcazon commercal, ndustral e normatve, ad esempo nel caso della salute e della scurezza, spesso s rchede un valore dell ncertezza che defnsca un ntervallo per rsultat delle msurazon, y, che possa con scurezza contenere valor del msurando Y. L ncertezza estesa, ndcata con U, è ottenuta moltplcando uc(y) per un fattore d copertura k: U = ku c( y) (3.8) e s rtene, con una certa probabltà, soltamente espressa n termn percentual, che: y U Y y + U (3.9) o pù comunemente: Y = y± U (3.30)

13 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 38 Fattore d copertura In generale l fattore d copertura k è scelto sulla base del lvello d fduca desderato da assocare all ntervallo defnto da Y±U con U=k uc(y). Tpcamente k s trova nell ntervallo 3. Nel caso d dstrbuzone gaussana con una fdata stma della devazone standard u c (y), per k=, U=u c (y) defnsce un ntervallo avente un lvello d fduca crca uguale al 95% e, per k=3, U=3u c (y) defnsce un ntervallo avente un lvello d fduca crca uguale al 99%. Incertezza estesa relatva In analoga con la ncertezza standard relatva, u r, e la ncertezza standard composta relatva, u c,r, s defnsce la ncertezza estesa relatva: U Ur = y (3.3) Stma del msurando, presentazone del rsultato ed approssmazon Quando s rfersce l rsultato d una msurazone, e l ncertezza è espressa medante l ncertezza tpo composta uc(y), s deve fornre una descrzone completa d come è defnto l msurando Y, nonché fornre una stma d Y e della sua ncertezza tpo composta u c (y) comprensve d untà d msura. Quando opportuno, è d uopo ncludere l ncertezza composta relatva. Quando la valutazone quanttatva dell ncertezza è u c (y), è preferble, per evtare ambgutà, dcharare l rsultato numerco nel modo seguente: ( valore ± ncertezza ) untà d msura Ad esempo, la grandezza d cu s rporta l valore è un campone d tensone avente valore nomnale d 0V e tensone V S ; la presentazone corretta è: V S = (0,0303 ± 0,000 ) V dove 0,mV è l ncertezza tpo composta u c (y).

14 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 39 Quando s rfersce l rsultato d una msurazone, e quando la valutazone quanttatva dell ncertezza è l ncertezza estesa U=k u c (y), s deve fornre una descrzone completa d come è defnto l msurando Y e dcharare l rsultato della msurazone nella forma Y=y±U comprensve d untà d msura. Quando opportuno, è d uopo ncludere l ncertezza composta relatva. S deve, noltre, fornre l valore k usato per ottenere U (oppure dcharare k e u c (y)) ed ndcare l lvello d fduca approssmato assocato all ntervallo y±u, specfcando n quale modo è stato ottenuto. Ad esempo: V S = (0,0303 ± 0,00049 ) V dove l numero che segue l smbolo ± è l valore numerco d (un ncertezza estesa) U=k u c, con U determnata da (un ncertezza tpo composta) u c =0,mV e da (un fattore d copertura) k=,4. I valor numerc della stma y e della sua ncertezza tpo u c (y) o dell ncertezza estesa U non devono essere ndcat con un numero eccessvo d cfre sgnfcatve. È d regola suffcente rportare u c (y) ed U (così come le ncertezze tpo u(x ) delle stme d ngresso x) con due cfre sgnfcatve, sebbene sa talvolta opportuno conservare ulteror cfre per evtare error d arrotondamento de calcol successv. Può essere approprato, quando s rportano rsultat fnal, arrotondare le ncertezze per eccesso puttosto che alla cfra pù vcna. Ad esempo, u c (y)=83,56khz sarà arrotondato a 84kHz. In ogn caso, è bene lascars gudare dal buon senso, coscché un valore come u(x )=3,08mΩ sarà arrotondato per dfetto a 3mΩ. Le stme d ngresso e d uscta sono arrotondate n modo da armonzzars con le propre ncertezze; ad esempo, se y=,0576a e uc(y)=7ma, allora y è arrotondato a 0,058A. Esempo 3. S vuole determnare, medante msurazone ndretta, la resstenza, r, tra l punto d dervazone C e l estremo B del potenzometro mostrato n Fg.. All uopo, s utlzza un

15 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 40 voltmetro, V, che resttusce l valore della caduta d tensone, V x, a cap d r e presenta errore d consumo trascurable. S supponga che, per la determnazone della stma d ngresso e dell ncertezza tpo d V x, sano state effettuate 30 osservazon rpetute ed ndpendent, cu rsultat sono rportat n Tab.I. S supponga, noltre, che n relazone a valor della resstenza complessva del potenzometro, R, e della f.e.m della battera d almentazone, E, l unca nformazone dsponble è la loro scura appartenenza rspettvamente agl ntervall ( )Ω e ( )V. S valut la stma d uscta. Tab.I V x [V] 0,695 0,695 0,7039 0,699 0,7094 0,759 0,69 0,697 I A 0,6994 0,706 0,6948 0,7034 0,6989 0,7036 0,6990 E R C r V V x 0,69 0,6978 0,7008 0,7044 B - fgura ,705 0,70 0,6905 0,6983 0,6934 0,6990 0,708 0,7057 0,7095 0,6969 0,7045

16 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 4 Soluzone: S scegle, per la stma del msurando, la meda artmetca delle 30 osservazon: 30 Vx = Vx, = 70, V 30 = l ncertezza assocata a tale stma è lo scarto tpo spermentale della meda, determnato medante valutazone d tpo A, ed è dato da: n n n 3 3 ua( Vx) = Vx Vx =, V,0 V ( ) ( ), = Supponendo una dstrbuzone smmetrca rettangolare, l valore della resstenza del potenzometro R è data da: Rmax + Rmn 03,46Ω+ 96,54Ω R = = = 00,000Ω l ncertezza assocata alla stma della resstenza R=00,000Ω è determnata medante una valutazone d tpo B: u B ( R) ( R R ) ( Ω Ω) max mn / 03,46 96,54 / = = =, Ω Ω 3 3 Operando n modo analogo per la tensone della battera d almentazone, s ha: Emax + Emn,07V + 0,983V E = = =,0000V con ncertezza tpo: ( ) ( E E ) ( V V) max mn /,07 0,983 / ub E = = = 0, V 0,0 V 3 3 Un anals del crcuto d fgura 3. fornsce:

17 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 4 V x r = R E (3.3) per cu: ( ) ( 70, V ) r = 00,000Ω = 70,0667Ω (,0000V ) Esempo 3. Con rfermento all esempo 3., s valut l ncertezza tpo composta nell potes che le grandezze d ngresso sano ncorrelate, e s esprma l rsultato della msurazone corredato dell ncertezza estesa con fattore d copertura par a. Soluzone: La varanza composta è data da: f f f u y u x u x x N N N ( ) = ( ) + (, ) c j = x = j=+ x xj (3.33) Tale relazone, nel caso d grandezze ncorrelate, s semplfca n: N f c = = x ( ) ( ) u y u x (3.34) poché r=f(e,v x,r) s ha: f f f c = B + A x + B E V x R u () r u ( E) u ( V ) u ( R) (3.35) poché r RV x = 4908,637603A = E E - r R = = 0 A Vx E 4 -

18 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 43 r V x = = 0, R E allora: ( )( ) u () r = 4908,637603A 0,009845V + - c 4 3 ( 0 A ) (, V) + + ( 0,490863)( ) + Ω u ( r) =, Ω u ( r) =,563386Ω,6Ω c c sceglendo l fattore d copertura k=, l ncertezza estesa è: c ( ) 3, U = ku r = Ω e dunque, l rsultato cercato vale: r = (70,0± 3,) Ω Esempo 3.3 Vene eseguta una sere d msure d tensone, rpetute ed ndpendent, svolte nelle stesse condzon spermental, medante un voltmetro numerco le cu caratterstche d precsone sono: ( % lettura % range ) A=± a V + b V (3.36) Nel range d V, ad un anno dalla taratura: a%=4,0x0-3 volte la lettura, b%=0,7x0-3 volte l range. S supponga che lo strumento sa usato per msurare sulla scala d V, 8 mes dopo la taratura, una dfferenza d potenzale V, e che la meda d un certo numero d

19 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 44 osservazon rpetute ed ndpendent sa V = 0,9308V con una ncertezza tpo (d categora A) u ( V ) µ V A =. S può ottenere l ncertezza tpo assocata alla specfca del costruttore medante una valutazone d categora B, assumendo che l accuratezza dcharata rappresent lmt smmetrc d una correzone addtva a V, V, avente valore atteso nullo e probabltà d gacere ndfferentemente n qualunque punto nterno a lmt. La semampezza della dstrbuzone smmetrca rettangolare de valor possbl d V è allora: e 6 6 ( )( ) ( )( ) = ,9308V + 70 V = 44,4070µ V u B ( V ) 65,43768( µ V) 3 ub ( V ) = = = 5,54396µ V La stma del valore del msurando V, denomnata per semplctà con lo stesso smbolo V, è data da: V = V + V = 0,9308V Da questa stma, s ottene l ncertezza tpo composta combnando l ncertezza tpo d categora A d V con l ncertezza tpo d categora B d V : c( ) f A B f ( ) ( ) u V = u V + u V V V (3.37) Poché coeffcent d sensbltà sono untar rsulta: ( ) ( ) ( ) ( ) u ( V) = u V + u V = 796,43768 µ V u V =8,08038µ V c A B c

20 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 45 Procedura per la valutazone e la dcharazone dell ncertezza I pass da segure per la valutazone e la dcharazone dell ncertezza del rsultato d una msurazone, possono essere rassunt come segue:. S esprme matematcamente la relazone tra l msurando Y e le grandezze d ngresso X da cu Y dpende: Y f ( X X,..., ) =. La funzone f dovrebbe, contenere ogn grandezza, comprese tutte le correzon ed fattor d correzone, che possa contrbure con una componente sgnfcatva all ncertezza del rsultato della msurazone.. S determna x, l valore stmato della grandezza d ngresso X, sulla base dell anals statstca d sere d osservazon o medante altr metod. 3. S valuta l ncertezza tpo u(x ) d cascuna stma d ngresso x. Per una stma d ngresso ottenuta sulla base dell anals statstca d sere d osservazon, l ncertezza tpo è valutata secondo quanto descrtto per la valutazone d categora A dell ncertezza tpo. Per una stma d ngresso ottenuta con altr metod, l ncertezza tpo u(x ) è valutata secondo quanto descrtto relatvamente ad una valutazone d categora B dell ncertezza tpo. 4. S valutano le covaranze assocate alle stme d ngresso eventualmente correlate. 5. S calcola l rsultato della msurazone, vale a dre la stma y del msurando Y, dalla relazone funzonale f usando, per le grandezze d ngresso X, le corrspondent stme x rcavate al passo numero. 6. S determna l ncertezza tpo combnata u c (y) del rsultato della msurazone y dalle ncertezze tpo e dalle covaranze assocate alle stme d ngresso. Se la msurazone determna smultaneamente pù d una stma d uscta, devono essere calcolate le covaranze. 7. Se è necessaro dare un ncertezza estesa U, con l ntendmento d fornre un ntervallo compreso tra y-u ed y+u che c s aspett contenere una grande porzone della dstrbuzone d valor ragonevolmente attrbubl al msurando Y, s moltplch l ncertezza tpo combnata u c (y) per un fattore d copertura k, tpcamente compreso tra e 3, n modo da ottenere U=k u c (y). S scelga k sulla base del grado d fduca rchesto per l ntervallo. 8. S rporta l rsultato della msurazone y con la sua ncertezza tpo combnata uc(y), o la sua ncertezza estesa U; s us uno de mod raccomandat. S descrva come s sono ottenut y e u c (y), o U. X N

Norma UNI CEI ENV 13005: Guida all'espressione dell'incertezza di misura

Norma UNI CEI ENV 13005: Guida all'espressione dell'incertezza di misura orma UI CEI EV 3005: Guda all'espressone dell'ncertezza d msura L obettvo d una msurazone è quello d determnare l valore del msurando, n altre parole della grandezza da msurare. In generale, però, l rsultato

Dettagli

Tutti gli strumenti vanno tarati

Tutti gli strumenti vanno tarati L'INCERTEZZA DI MISURA Anta Calcatell I.N.RI.M S eseguono e producono msure per prendere delle decson sulla base del rsultato ottenuto, come per esempo se bloccare l traffco n funzone d msure d lvello

Dettagli

TITOLO: L INCERTEZZA DI TARATURA DELLE MACCHINE PROVA MATERIALI (MPM)

TITOLO: L INCERTEZZA DI TARATURA DELLE MACCHINE PROVA MATERIALI (MPM) Identfcazone: SIT/Tec-012/05 Revsone: 0 Data 2005-06-06 Pagna 1 d 7 Annotazon: Il presente documento fornsce comment e lnee guda sull applcazone della ISO 7500-1 COPIA CONTROLLATA N CONSEGNATA A: COPIA

Dettagli

LA COMPATIBILITA tra due misure:

LA COMPATIBILITA tra due misure: LA COMPATIBILITA tra due msure: 0.4 Due msure, supposte affette da error casual, s dcono tra loro compatbl quando la loro dfferenza può essere rcondotta ad una pura fluttuazone statstca attorno al valore

Dettagli

Ministero della Salute D.G. della programmazione sanitaria --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA

Ministero della Salute D.G. della programmazione sanitaria --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA Mnstero della Salute D.G. della programmazone santara --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA La valutazone del coeffcente d varabltà dell mpatto economco consente d ndvduare gl ACC e DRG

Dettagli

Relazione funzionale e statistica tra due variabili Modello di regressione lineare semplice Stima puntuale dei coefficienti di regressione

Relazione funzionale e statistica tra due variabili Modello di regressione lineare semplice Stima puntuale dei coefficienti di regressione 1 La Regressone Lneare (Semplce) Relazone funzonale e statstca tra due varabl Modello d regressone lneare semplce Stma puntuale de coeffcent d regressone Decomposzone della varanza Coeffcente d determnazone

Dettagli

Trigger di Schmitt. e +V t

Trigger di Schmitt. e +V t CORSO DI LABORATORIO DI OTTICA ED ELETTRONICA Scopo dell esperenza è valutare l ampezza dell steres d un trgger d Schmtt al varare della frequenza e dell ampezza del segnale d ngresso e confrontarla con

Dettagli

Introduzione al Machine Learning

Introduzione al Machine Learning Introduzone al Machne Learnng Note dal corso d Machne Learnng Corso d Laurea Magstrale n Informatca aa 2010-2011 Prof Gorgo Gambos Unverstà degl Stud d Roma Tor Vergata 2 Queste note dervano da una selezone

Dettagli

La taratura degli strumenti di misura

La taratura degli strumenti di misura La taratura degl strument d msura L mportanza dell operazone d taratura nasce dall esgenza d rendere l rsultato d una msura rferble a campon nazonal od nternazonal del msurando n questone affnché pù msure

Dettagli

Relazioni tra variabili: Correlazione e regressione lineare

Relazioni tra variabili: Correlazione e regressione lineare Dott. Raffaele Casa - Dpartmento d Produzone Vegetale Modulo d Metodologa Spermentale Febbrao 003 Relazon tra varabl: Correlazone e regressone lneare Anals d relazon tra varabl 6 Produzone d granella (kg

Dettagli

Variabili statistiche - Sommario

Variabili statistiche - Sommario Varabl statstche - Sommaro Defnzon prelmnar Statstca descrttva Msure della tendenza centrale e della dspersone d un campone Introduzone La varable statstca rappresenta rsultat d un anals effettuata su

Dettagli

Analisi di mercurio in matrici solide mediante spettrometria di assorbimento atomico a vapori freddi

Analisi di mercurio in matrici solide mediante spettrometria di assorbimento atomico a vapori freddi ESEMPIO N. Anals d mercuro n matrc solde medante spettrometra d assorbmento atomco a vapor fredd 0 Introduzone La determnazone del mercuro n matrc solde è effettuata medante trattamento termco del campone

Dettagli

GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO

GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO GLI ERRORI SPERIMETALI ELLE MISURE DI LABORATORIO MISURA DI UA GRADEZZA FISICA S defnsce grandezza fsca una propretà de corp sulla quale possa essere eseguta un operazone d msura. Msurare una grandezza

Dettagli

* * * Nota inerente il calcolo della concentrazione rappresentativa della sorgente. Aprile 2006 RL/SUO-TEC 166/2006 1

* * * Nota inerente il calcolo della concentrazione rappresentativa della sorgente. Aprile 2006 RL/SUO-TEC 166/2006 1 APAT Agenza per la Protezone dell Ambente e per Servz Tecnc Dpartmento Dfesa del Suolo / Servzo Geologco D Itala Servzo Tecnologe del sto e St Contamnat * * * Nota nerente l calcolo della concentrazone

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 5 REGRESSIONE LINEARE

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 5 REGRESSIONE LINEARE Matematca e statstca: da dat a modell alle scelte www.dma.unge/pls_statstca Responsabl scentfc M.P. Rogantn e E. Sasso (Dpartmento d Matematca Unverstà d Genova) STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. REGRESSIONE

Dettagli

Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali

Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali Adattamento d una relazone 1 funzonale a dat spermental Sno ad ora abbamo vsto come può essere stmato, con un certo lvello d confdenza, l valore vero d una grandezza fsca (dretta o dervata) con l suo ntervallo

Dettagli

Capitolo 3 Covarianza, correlazione, bestfit lineari e non lineari

Capitolo 3 Covarianza, correlazione, bestfit lineari e non lineari Captolo 3 Covaranza, correlazone, bestft lnear e non lnear ) Covaranza e correlazone Ad un problema s assoca spesso pù d una varable quanttatva (es.: d una persona possamo determnare peso e altezza, oppure

Dettagli

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA IL PROBLEMA Supponamo d voler studare l effetto d 4 dverse dete su un campone casuale d 4

Dettagli

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Progetto: Metodo di soluzione basato su generazione di colonne

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Progetto: Metodo di soluzione basato su generazione di colonne Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora Progetto: Metodo d soluzone basato su generazone d colonne Lug De Govann Vene presentato un modello alternatvo per l problema della turnazone delle farmace che

Dettagli

Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia

Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia Unverstà degl Stud d Urbno Facoltà d Economa Lezon d Statstca Descrttva svolte durante la prma parte del corso d corso d Statstca / Statstca I A.A. 004/05 a cura d: F. Bartolucc Lez. 8/0/04 Statstca descrttva

Dettagli

Esercitazioni del corso di Relazioni tra variabili. Giancarlo Manzi Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca

Esercitazioni del corso di Relazioni tra variabili. Giancarlo Manzi Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca Eserctazon del corso d Relazon tra varabl Gancarlo Manz Facoltà d Socologa Unverstà degl Stud d Mlano-Bcocca e-mal: gancarlo.manz@statstca.unmb.t Terza eserctazone Mlano, 8 febbrao 7 SOMMARIO TERZA ESERCITAZIONE

Dettagli

Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili. Modelli per la Logistica: Single Flow One Level Model Multi Flow Two Level Model

Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili. Modelli per la Logistica: Single Flow One Level Model Multi Flow Two Level Model Rcerca Operatva e Logstca Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentl Modell per la Logstca: Sngle Flow One Level Model Mult Flow Two Level Model Modell d localzzazone nel dscreto Modell a Prodotto Sngolo e a Un

Dettagli

La retroazione negli amplificatori

La retroazione negli amplificatori La retroazone negl amplfcator P etroazonare un amplfcatore () sgnfca sottrarre (o sommare) al segnale d ngresso (S ) l segnale d retroazone (S r ) ottenuto dal segnale d uscta (S u ) medante un quadrpolo

Dettagli

Concetti principale della lezione precedente

Concetti principale della lezione precedente Corso d Statstca medca e applcata 6 a Lezone Dott.ssa Donatella Cocca Concett prncpale della lezone precedente I concett prncpal che sono stat presentat sono: I fenomen probablstc RR OR ROC-curve Varabl

Dettagli

LEZIONE 2 e 3. La teoria della selezione di portafoglio di Markowitz

LEZIONE 2 e 3. La teoria della selezione di portafoglio di Markowitz LEZIONE e 3 La teora della selezone d portafoglo d Markowtz Unverstà degl Stud d Bergamo Premessa Unverstà degl Stud d Bergamo Premessa () È puttosto frequente osservare come gl nvesttor tendano a non

Dettagli

Calibrazione. Lo strumento idealizzato

Calibrazione. Lo strumento idealizzato Calbrazone Come possamo fdarc d uno strumento? Abbamo bsogno d dentfcare l suo funzonamento n condzon controllate. L dentfcazone deve essere razonalmente organzzata e condvsa n termn procedural: s tratta

Dettagli

Regressione Multipla e Regressione Logistica: concetti introduttivi ed esempi

Regressione Multipla e Regressione Logistica: concetti introduttivi ed esempi Regressone Multpla e Regressone Logstca: concett ntroduttv ed esemp I Edzone ottobre 014 Vncenzo Paolo Senese vncenzopaolo.senese@unna.t Indce Note prelmnar alla I edzone 1 Regressone semplce e multpla

Dettagli

MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI

MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegnera Gestonale http://www.automazone.ngre.unmore.t/pages/cors/controllautomatcgestonale.htm MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI Ing. Federca Gross Tel. 059 2056333 e-mal: federca.gross@unmore.t

Dettagli

PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE. (Metodo delle Osservazioni Indirette) - 1 -

PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE. (Metodo delle Osservazioni Indirette) - 1 - PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE (Metodo delle Osservazon Indrette) - - SPECIFICHE DI CALCOLO Procedura software per la compensazone d una rete d lvellazone collegata

Dettagli

Il modello markoviano per la rappresentazione del Sistema Bonus Malus. Prof. Cerchiara Rocco Roberto. Materiale e Riferimenti

Il modello markoviano per la rappresentazione del Sistema Bonus Malus. Prof. Cerchiara Rocco Roberto. Materiale e Riferimenti Il modello marovano per la rappresentazone del Sstema Bonus Malus rof. Cercara Rocco Roberto Materale e Rferment. Lucd dstrbut n aula. Lemare 995 (pag.6- e pag. 74-78 3. Galatoto G. 4 (tt del VI Congresso

Dettagli

Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica. DINAMICI CA - 04 ModiStabilita

Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica. DINAMICI CA - 04 ModiStabilita Automaton Robotcs and System CONTROL Unverstà degl Stud d Modena e Reggo Emla Corso d laurea n Ingegnera Meccatronca MODI E STABILITA DEI SISTEMI DINAMICI CA - 04 ModStablta Cesare Fantuzz (cesare.fantuzz@unmore.t)

Dettagli

La t di Student. Per piccoli campioni si definisce la variabile casuale. = s N. detta t di Student.

La t di Student. Per piccoli campioni si definisce la variabile casuale. = s N. detta t di Student. Pccol campon I parametr della dstrbuzone d una popolazone sono n generale ncognt devono essere stmat dal campone de dat spermental per pccol campon (N N < 30) z = (x µ)/ )/σ non ha pù una dstrbuzone gaussana

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL

STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL Corso d CPS - II parte: Statstca Laurea n Informatca Sstem e Ret 2004-2005 1 Obettv della lezone Introduzone all uso d EXCEL Statstca descrttva Utlzzo dello strumento:

Dettagli

Macchine. 5 Esercitazione 5

Macchine. 5 Esercitazione 5 ESERCITAZIONE 5 Lavoro nterno d una turbomacchna. Il lavoro nterno massco d una turbomacchna può essere determnato not trangol d veloctà che s realzzano all'ngresso e all'uscta della macchna stessa. Infatt

Dettagli

* PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE *

* PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE * * PROBABILITÀ - SCHEDA N. LE VARIABILI ALEATORIE *. Le varabl aleatore Nella scheda precedente abbamo defnto lo spazo camponaro come la totaltà degl est possbl d un espermento casuale; abbamo vsto che

Dettagli

Dai circuiti ai grafi

Dai circuiti ai grafi Da crcut a graf Il grafo è una schematzzazone grafca semplfcata che rappresenta le propretà d nterconnessone del crcuto ad esso assocato Il grafo è costtuto da un nseme d nod e d lat Se lat sono orentat

Dettagli

Lezione 10. L equilibrio del mercato finanziario: la struttura dei tassi d interesse

Lezione 10. L equilibrio del mercato finanziario: la struttura dei tassi d interesse Lezone 1. L equlbro del mercato fnanzaro: la struttura de tass d nteresse Ttol con scadenza dversa hanno prezz (e tass d nteresse) dfferent. Due ttol d durata dversa emess dallo stesso soggetto (stesso

Dettagli

Soluzione attuale ONCE A YEAR. correlation curve (ISO10155) done with, at least 9 parallel measurements

Soluzione attuale ONCE A YEAR. correlation curve (ISO10155) done with, at least 9 parallel measurements Torna al programma Sstema per la garanza della qualtà ne sstem automatc d msura alle emsson: applcazone del progetto d norma pren 14181:2003. Rsultat dell esperenza n campo presso due mpant plota. Cprano

Dettagli

Grafico di una serie di dati sperimentali in EXCEL

Grafico di una serie di dati sperimentali in EXCEL Grafco d una sere d dat spermental n EXCEL 1. Inseramo sulla prma rga l ttolo che defnsce l contenuto del foglo. Po nseramo su un altra rga valor spermental della x e su quella successva valor della y.

Dettagli

DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI

DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI LA MISURA DELLE GRANDEZZE Nel descrere fenomen, occorre da un lato elaborare de modell (coè delle

Dettagli

INDICI STATISTICI MEDIA, MODA, MEDIANA, VARIANZA

INDICI STATISTICI MEDIA, MODA, MEDIANA, VARIANZA Lezone 7 - Indc statstc: meda, moda, medana, varanza INDICI STATISTICI MEDIA, MODA, MEDIANA, VARIANZA GRUPPO MAT06 Dp. Matematca, Unverstà d Mlano - Probabltà e Statstca per le Scuole Mede -SILSIS - 2007

Dettagli

FORMAZIONE ALPHAITALIA

FORMAZIONE ALPHAITALIA ALPHAITALIA PAG. 1 DI 13 FORMAZIONE ALPHAITALIA IL SISTEMA DI GESTIONE PER LA QUALITA Quadro ntroduttvo ALPHAITALIA PAG. 2 DI 13 1. DEFINIZIONI QUALITA Grado n cu un nseme d caratterstche ntrnseche soddsfa

Dettagli

Corso di Statistica (canale P-Z) A.A. 2009/10 Prof.ssa P. Vicard

Corso di Statistica (canale P-Z) A.A. 2009/10 Prof.ssa P. Vicard Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard VALORI MEDI Introduzone Con le dstrbuzon e le rappresentazon grafche abbamo effettuato le prme sntes de dat. E propro osservando degl stogramm

Dettagli

Induzione elettromagnetica

Induzione elettromagnetica Induzone elettromagnetca L esperenza d Faraday L'effetto d produzone d corrente elettrca n un crcuto prvo d generatore d tensone fu scoperto dal fsco nglese Mchael Faraday nel 83. Egl studò la relazone

Dettagli

Principi di ingegneria elettrica. Lezione 6 a. Analisi delle reti resistive

Principi di ingegneria elettrica. Lezione 6 a. Analisi delle reti resistive Prncp d ngegnera elettrca Lezone 6 a Anals delle ret resste Anals delle ret resste L anals d una rete elettrca (rsoluzone della rete) consste nel determnare tutte le corrent ncognte ne ram e tutt potenzal

Dettagli

Condensatori e resistenze

Condensatori e resistenze Condensator e resstenze Lucano attaa Versone del 22 febbrao 2007 Indce In questa nota presento uno schema replogatvo relatvo a condensator e alle resstenze, con partcolare rguardo a collegament n sere

Dettagli

CAPITOLO IV CENNI SULLE MACCHINE SEQUENZIALI

CAPITOLO IV CENNI SULLE MACCHINE SEQUENZIALI Cenn sulle macchne seuenzal CAPITOLO IV CENNI SULLE MACCHINE SEQUENZIALI 4.) La macchna seuenzale. Una macchna seuenzale o macchna a stat fnt M e' un automatsmo deale a n ngress e m uscte defnto da: )

Dettagli

Elementi di statistica

Elementi di statistica Element d statstca Popolazone statstca e campone casuale S chama popolazone statstca l nseme d tutt gl element che s voglono studare (ndvdu, anmal, vegetal, cellule, caratterstche delle collettvtà..) e

Dettagli

LA STATISTICA: OBIETTIVI; RACCOLTA DATI; LE FREQUENZE (EXCEL) ASSOLUTE E RELATIVE

LA STATISTICA: OBIETTIVI; RACCOLTA DATI; LE FREQUENZE (EXCEL) ASSOLUTE E RELATIVE Lezone 6 - La statstca: obettv; raccolta dat; le frequenze (EXCEL) assolute e relatve 1 LA STATISTICA: OBIETTIVI; RACCOLTA DATI; LE FREQUENZE (EXCEL) ASSOLUTE E RELATIVE GRUPPO MAT06 Dp. Matematca, Unverstà

Dettagli

MODELLI DI SISTEMI. Principi di modellistica. Considerazioni energetiche. manca

MODELLI DI SISTEMI. Principi di modellistica. Considerazioni energetiche. manca ONTOI UTOMTII Ingegnera della Gestone Industrale e della Integrazone d Impresa http://www.automazone.ngre.unmore.t/pages/cors/ontrollutomatcgestonale.htm MODEI DI SISTEMI Ing. ug Bagott Tel. 05 0939903

Dettagli

Amplificatori operazionali

Amplificatori operazionali mplfcator operazonal Parte www.e.ng.unbo.t/pers/mastr/attca.htm (ersone el 9-5-0) mplfcatore operazonale L amplfcatore operazonale è un sposto, normalmente realzzato come crcuto ntegrato, otato tre termnal

Dettagli

LE CARTE DI CONTROLLO

LE CARTE DI CONTROLLO ITIS OMAR Dpartento d Meccanca LE CARTE DI CONTROLLO Carte d Controllo Le carte d controllo rappresentano uno degl struent pù portant per l controllo statstco d qualtà. La carta d controllo è corredata

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità alcolo delle Probabltà Quanto è possble un esto? La verosmglanza d un esto è quantfcata da un numero compreso tra 0 e. n partcolare, 0 ndca che l esto non s verfca e ndca che l esto s verfca senza dubbo.

Dettagli

Apprendimento Automatico e IR: introduzione al Machine Learning

Apprendimento Automatico e IR: introduzione al Machine Learning Apprendmento Automatco e IR: ntroduzone al Machne Learnng MGRI a.a. 2007/8 A. Moschtt, R. Basl Dpartmento d Informatca Sstem e produzone Unverstà d Roma Tor Vergata mal: {moschtt,basl}@nfo.unroma2.t 1

Dettagli

Il pendolo di torsione

Il pendolo di torsione Unverstà degl Stud d Catana Facoltà d Scenze MM.FF.NN. Corso d aurea n FISICA esna d ABORAORIO DI FISICA I Il pendolo d torsone (sezone costante) Moreno Bonaventura Anno Accademco 005/06 Introduzone. I

Dettagli

Laboratorio 2B A.A. 2012/2013. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica

Laboratorio 2B A.A. 2012/2013. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica Laboratoro B A.A. 01/013 Elaborazone Dat Lab B CdL Fsca Lab B CdL Fsca Elaborazone dat spermental Prncpo della massma verosmglanza Quando eseguamo una sere d msure relatve ad una data grandezza fsca, quanto

Dettagli

Correlazione lineare

Correlazione lineare Correlazone lneare Varable dpendente Mortaltà per crros 50 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 0 5 10 15 0 5 30 Consumo d alcool Varable ndpendente Metodologa per l anals de dat spermental L anals d stud con varabl

Dettagli

Circuiti di ingresso differenziali

Circuiti di ingresso differenziali rcut d ngresso dfferenzal - rcut d ngresso dfferenzal - Il rfermento per potenzal Gl stad sngle-ended e dfferenzal I segnal elettrc prodott da trasduttor, oppure preleat da un crcuto o da un apparato elettrco,

Dettagli

Lezioni di Statistica (25 marzo 2013) Docente: Massimo Cristallo

Lezioni di Statistica (25 marzo 2013) Docente: Massimo Cristallo UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BASILICATA FACOLTA DI ECONOMIA Corso d laurea n Economa Azendale Lezon d Statstca (25 marzo 2013) Docente: Massmo Crstallo QUARTILI Dvdono la dstrbuzone n quattro part d uguale

Dettagli

Test delle ipotesi Parte 2

Test delle ipotesi Parte 2 Test delle potes arte Test delle potes sulla dstrbuzone: Introduzone Test χ sulla dstrbuzone b Test χ sulla dstrbuzone: Eserczo Test delle potes sulla dstrbuzone Molte concluson tratte nell nferenza parametrca

Dettagli

Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE. Prof. Dario Amodio d.amodio@univpm.it. Ing. Gianluca Chiappini g.chiappini@univpm.

Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE. Prof. Dario Amodio d.amodio@univpm.it. Ing. Gianluca Chiappini g.chiappini@univpm. Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE Prof. Daro Amodo d.amodo@unvpm.t Ing. Ganluca Chappn g.chappn@unvpm.t http://www.dpmec.unvpm.t/costruzone/home.htm (Ddattca/Dspense) Testo d rfermento: Stefano

Dettagli

Corso di Automazione Industriale 1. Capitolo 7

Corso di Automazione Industriale 1. Capitolo 7 1 Corso d Automazone Industrale 1 Captolo 7 Teora delle code e delle ret d code Introduzone alla Teora delle Code La Teora delle Code s propone d svluppare modell per lo studo de fenomen d attesa che s

Dettagli

L analisi di studi con variabili di risposta multiple

L analisi di studi con variabili di risposta multiple X1 X X 3 Quando un confronto venga effettuato per tre lvell d un fattore, sembrerebbe ntutvo effettuare l confronto con l test t d Student a pù lvell: X X X 1 1 vs vs vs X X X 3 3 Metodologa per l anals

Dettagli

10-7-2009. GAZZETTA UFFICIALE DELLA REPUBBLICA ITALIANA Serie generale - n. 158. ALLEGATO 1 (Allegato A, paragrafo 2)

10-7-2009. GAZZETTA UFFICIALE DELLA REPUBBLICA ITALIANA Serie generale - n. 158. ALLEGATO 1 (Allegato A, paragrafo 2) ALLEGATO 1 (Allegato A, paragrafo 2) Indcazon per l calcolo della prestazone energetca d edfc non dotat d mpanto d clmatzzazone nvernale e/o d produzone d acqua calda santara 1. In assenza d mpant termc,

Dettagli

Analisi dei flussi 182

Analisi dei flussi 182 Programmazone e Controllo Anals de fluss Clent SERVIZIO Uscta Quanto al massmo produce l mo sstema produttvo? Quanto al massmo produce la ma macchna? Anals de fluss 82 Programmazone e Controllo Teora delle

Dettagli

UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE

UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE UNA RASSEGNA SUI METODI DI STIMA DEL VALUE at RISK (VaR) Chara Pederzol - Costanza Torrcell Dpartmento d Economa Poltca - Unverstà degl Stud d Modena e Reggo Emla Marzo 999 INDICE Introduzone. Il concetto

Dettagli

Modelli descrittivi, statistica e simulazione

Modelli descrittivi, statistica e simulazione Modell descrttv, statstca e smulazone Master per Smart Logstcs specalst Roberto Cordone (roberto.cordone@unm.t) Statstca descrttva Cernusco S.N., govedì 28 gennao 2016 (9.00/13.00) 1 / 15 Indc d poszone

Dettagli

Capitolo 6 Risultati pag. 468. a) Osmannoro. b) Case Passerini c) Ponte di Maccione

Capitolo 6 Risultati pag. 468. a) Osmannoro. b) Case Passerini c) Ponte di Maccione Captolo 6 Rsultat pag. 468 a) Osmannoro b) Case Passern c) Ponte d Maccone Fgura 6.189. Confronto termovalorzzatore-sorgent dffuse per l PM 10. Il contrbuto del termovalorzzatore alle concentrazon d PM

Dettagli

La rappresentazione dei numeri. La rappresentazione dei numeri. Aritmetica dei calcolatori. La rappresentazione dei numeri

La rappresentazione dei numeri. La rappresentazione dei numeri. Aritmetica dei calcolatori. La rappresentazione dei numeri Artmetca de calcolator Rappresentazone de numer natural e relatv Addzone e sommator: : a propagazone d rporto, veloce, con segno Moltplcazone e moltplcator: senza segno, con segno e algortmo d Booth Rappresentazone

Dettagli

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca Corso d Statstca medca e applcata 3 a Lezone Dott.ssa Donatella Cocca Concett prncpale della lezone I concett prncpal che sono stat presentat sono: Mede forme o analtche (Meda artmetca semplce, Meda artmetca

Dettagli

VA TIR - TA - TAEG Introduzione

VA TIR - TA - TAEG Introduzione VA TIR - TA - TAEG Introduzone La presente trattazone s pone come obettvo d analzzare due prncpal crter d scelta degl nvestment e fnanzament per valutare la convenenza tra due o pù operazon fnanzare. S

Dettagli

Statistica e calcolo delle Probabilità. Allievi INF

Statistica e calcolo delle Probabilità. Allievi INF Statstca e calcolo delle Probabltà. Allev INF Proff. L. Ladell e G. Posta 06.09.10 I drtt d autore sono rservat. Ogn sfruttamento commercale non autorzzato sarà perseguto. Cognome e Nome: Matrcola: Docente:

Dettagli

Calcolo della caduta di tensione con il metodo vettoriale

Calcolo della caduta di tensione con il metodo vettoriale Calcolo della caduta d tensone con l metodo vettorale Esempo d rete squlbrata ed effett del neutro nel calcolo. In Ampère le cadute d tensone sono calcolate vettoralmente. Per ogn utenza s calcola la caduta

Dettagli

Indicatori di rendimento per i titoli obbligazionari

Indicatori di rendimento per i titoli obbligazionari Indcator d rendmento per ttol obblgazonar LA VALUTAZIONE DEGLI INVESTIMENTI A TASSO FISSO Per valutare la convenenza d uno strumento fnanzaro è necessaro precsare: /4 Le specfche esgenze d un nvesttore

Dettagli

CIRCOLARE N. 9. CIRCOLARI DELL ENTE MODIFICATE/SOSTITUITE: nessuna. Firmato: ing. Carlo Cannafoglia

CIRCOLARE N. 9. CIRCOLARI DELL ENTE MODIFICATE/SOSTITUITE: nessuna. Firmato: ing. Carlo Cannafoglia PROT. N 53897 ENTE EMITTENTE: OGGETTO: DESTINATARI: DATA DECORRENZA: CIRCOLARE N. 9 DC Cartografa, Catasto e Pubblctà Immoblare, d ntesa con l Uffco del Consglere Scentfco e la DC Osservatoro del Mercato

Dettagli

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa 2012-2013 lezione 13: 24 aprile 2013

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa 2012-2013 lezione 13: 24 aprile 2013 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa 2012-2013 lezone 13: 24 aprle 2013 professor Danele Rtell www.unbo.t/docent/danele.rtell 1/23? reammortamento uò accadere che, dopo l erogazone

Dettagli

I MODELLI MULTISTATO PER LE ASSICURAZIONI DI PERSONE

I MODELLI MULTISTATO PER LE ASSICURAZIONI DI PERSONE Facoltà d Economa Valutazone de prodott e dell mpresa d asscurazone I MODELLI MULTISTATO PER LE ASSICURAZIONI DI PERSONE Clauda Colucc Letza Monno Gordano Caporal Martna Ragg I Modell Multstato sono un

Dettagli

Aritmetica e architetture

Aritmetica e architetture Unverstà degl stud d Parma Dpartmento d Ingegnera dell Informazone Poltecnco d Mlano Artmetca e archtetture Sommator Rpple Carry e CLA Bozza da completare del 7 nov 03 La rappresentazone de numer Rappresentazone

Dettagli

ESERCIZIO 4.1 Si consideri una popolazione consistente delle quattro misurazioni 0, 3, 12 e 20 descritta dalla seguente distribuzione di probabilità:

ESERCIZIO 4.1 Si consideri una popolazione consistente delle quattro misurazioni 0, 3, 12 e 20 descritta dalla seguente distribuzione di probabilità: ESERCIZIO. S consder una popolazone consstente delle quattro msurazon,, e descrtta dalla seguente dstrbuzone d probabltà: X P(X) ¼ ¼ ¼ ¼ S estrae casualmente usando uno schema d camponamento senza rpetzone

Dettagli

Simulazione seconda prova Tema assegnato all esame di stato per l'abilitazione alla professione di geometra, 2006

Simulazione seconda prova Tema assegnato all esame di stato per l'abilitazione alla professione di geometra, 2006 Smulazone seconda prova Tema assegnato all esame d stato per l'abltazone alla professone d geometra, 006 roposte per lo svolgmento pubblcate sul ollettno SIFET (Socetà Italana d Fotogrammetra e Topografa)

Dettagli

PARTE II LA CIRCOLAZIONE IDRICA

PARTE II LA CIRCOLAZIONE IDRICA PARTE II LA CIRCOLAZIONE IDRICA La acque d precptazone atmosferca che gungono al suolo scorrono n superfce o penetrano n profondtà dando orgne alla crcolazone, la quale subsce l nfluenza d molt fattor

Dettagli

DBMS multimediali A L B E R T O B E L U S S I B A S I D I D A T I A N N O A C C A D E M I C O 2 0 1 1 / 2 0 1 2

DBMS multimediali A L B E R T O B E L U S S I B A S I D I D A T I A N N O A C C A D E M I C O 2 0 1 1 / 2 0 1 2 DBMS multmedal A L B E R T O B E L U S S I B A S I D I D A T I A N N O A C C A D E M I C O 2 0 1 1 / 2 0 1 2 DBMS multmedal Def: Sono DBMS che consentono d memorzzare e recuperare dat d natura multmedale:

Dettagli

FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA CdL in SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE ESAME di STATISTICA 17/09/2012

FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA CdL in SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE ESAME di STATISTICA 17/09/2012 CdL n SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE ESAME d STATISTICA ESERCIZIO 1 (+.5+.5+3) La tabella seguente rporta la dstrbuzone d frequenza del peso X n gramm d una partta d mele provenent da un certo frutteto. X=peso

Dettagli

Programmazione e Controllo della Produzione. Analisi dei flussi

Programmazione e Controllo della Produzione. Analisi dei flussi Programmazone e Controllo della Produzone Anals de fluss Clent SERVIZIO Uscta Quanto al massmo produce l mo sstema produttvo? Quanto al massmo produce la ma macchna? Lo rsolvo con la smulazone? Sarebbe

Dettagli

6.1. Moody s KMV Credit Portfolio Manager

6.1. Moody s KMV Credit Portfolio Manager 6.. Moody s MV Credt Portfolo Manager 6... La struttura del modello L mpanto d Moody s MV (MMV) è costtuto dal modello d Merton e da un approcco d tpo fattorale per la stma delle correlazon. Attualmente,

Dettagli

Edifici a basso consumo energetico: tra ZEB e NZEB

Edifici a basso consumo energetico: tra ZEB e NZEB Edfc a basso consumo energetco: tra ZEB e NZEB Prof. Ing. Percarlo Romagnon Dpartmento d Progettazone e Panfcazone n Ambent Compless Unverstà IUAV d Veneza Dorsoduro 2206 30123 Veneza perca@uav.t Modell

Dettagli

lxmi.mi.infn.it/~camera/silsis/laboratorio-1/2-statistica.ppt http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/zucca/index.htm Misura:

lxmi.mi.infn.it/~camera/silsis/laboratorio-1/2-statistica.ppt http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/zucca/index.htm Misura: Elaborazone de dat geochmc e cenn d statstca lm.m.nfn.t/~camera/slss/laboratoro-1/-statstca.ppt http://www.dm.unto.t/pagnepersonal/zucca/nde.htm Msura: Espressone quanttatva del rapporto fra una grandezza

Dettagli

Laboratorio di Strumentazione e Misura. Cesare Bini

Laboratorio di Strumentazione e Misura. Cesare Bini Laboratoro d Strumentazone e Msura Cesare Bn Corso d laurea n Fsca Anno Accademco 006-007 Quest appunt sono basat sulle lezon del modulo d Laboratoro d Strumentazone e Msura del prmo anno delle lauree

Dettagli

Propagazione degli errori statistici. Test del χ 2 per la bontà di adattamento. Metodo dei minimi quadrati.

Propagazione degli errori statistici. Test del χ 2 per la bontà di adattamento. Metodo dei minimi quadrati. Propagazone degl error statstc. Test del χ per la bontà d adattamento. Metodo de mnm quadrat. Eserctazone 14 gennao 004 1 Propagazone degl error casual Sano B 1,..., B delle varabl casual con valor attes

Dettagli

Esercitazioni del corso: STATISTICA

Esercitazioni del corso: STATISTICA A. A. 0-0 Eserctazon del corso: STATISTICA Sommaro Eserctazone : Moda Medana Meda Artmetca Varabltà: Varanza, Devazone Standard, Coefcente d Varazone ESERCIZIO : UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO BICOCCA

Dettagli

Giovanni Buti STIMA DELL INCERTEZZA DI MISURA GB INTERTEK LABTEST

Giovanni Buti STIMA DELL INCERTEZZA DI MISURA GB INTERTEK LABTEST Govann But STIM DELL INCERTEZZ DI MISUR GB008-0405 INTERTEK LBTEST FIRENZE 8 PRILE 005 INDICE DEI CONTENUTI o bstract Scopo e campo d pplcazone..p 3 o Document d Rfermento...p 3 o Premessa..p 3 o nals.

Dettagli

Verifica termoigrometrica delle pareti

Verifica termoigrometrica delle pareti Unverstà Medterranea d Reggo Calabra Facoltà d Archtettura Corso d Tecnca del Controllo Ambentale A.A. 2009-200 Verfca termogrometrca delle paret Prof. Marna Mstretta ANALISI IGROTERMICA DEGLI ELEMENTI

Dettagli

Fotogrammetria. O centro di presa. fig.1 Geometria della presa fotogrammetrica

Fotogrammetria. O centro di presa. fig.1 Geometria della presa fotogrammetrica Fotogrammetra Scopo della fotogrammetra è la determnazone delle poszon d punt nello spazo fsco a partre dalla msura delle poszon de punt corrspondent su un mmagne fotografca. Ovvamente, affnché questo

Dettagli

Analisi e confronto tra metodi di regolarizzazione diretti per la risoluzione di problemi discreti mal-posti

Analisi e confronto tra metodi di regolarizzazione diretti per la risoluzione di problemi discreti mal-posti UNIVERSIA DEGLI SUDI DI CAGLIARI Facoltà d Ingegnera Elettronca Corso d Calcolo Numerco 1 A.A. 00/003 Anals e confronto tra metod d regolarzzazone drett per la rsoluzone d prolem dscret mal-post Docente:

Dettagli

L AUTORITÀ PER L ENERGIA ELETTRICA E IL GAS

L AUTORITÀ PER L ENERGIA ELETTRICA E IL GAS Delberazone 20 ottobre 2004 Approvazone delle condzon general d accesso e d erogazone del servzo d rgassfcazone d gnl predsposte dalla socetà Gnl Itala Spa (delberazone n. 184/04) L AUTORITÀ PER L ENERGIA

Dettagli

Allegato A. Modello per la stima della produzione di una discarica gestita a bioreattore

Allegato A. Modello per la stima della produzione di una discarica gestita a bioreattore Modello per la stma della produzone d una dscarca gestta a boreattore 1 Produzone d Bogas Nella letteratura tecnca sono stat propost dvers modell per stmare la produzone d bogas sulla base della qualtà

Dettagli

Potenzialità degli impianti

Potenzialità degli impianti Unverstà degl Stud d Treste a.a. 2009-2010 Impant ndustral Potenzaltà degl mpant Impant ndustral Potenzaltà degl mpant 1 Unverstà degl Stud d Treste a.a. 2009-2010 Impant ndustral Defnzone della potenzaltà

Dettagli

La verifica delle ipotesi

La verifica delle ipotesi La verfca delle potes In molte crcostanze l rcercatore s trova a dover decdere quale, tra le dverse stuazon possbl rferbl alla popolazone, è quella meglo sostenuta dalle evdenze emprche. Ipotes statstca:

Dettagli

Appunti delle lezioni di Laboratorio di Strumentazione e Misura

Appunti delle lezioni di Laboratorio di Strumentazione e Misura Sergo Frasca Appunt delle lezon d Laboratoro d Strumentazone e Msura Dpartmento d Fsca Unverstà d Roma La Sapenza Museo del Dpartmento d Fsca dell'unverstà La Sapenza Versone 5 ottobre 004 Versone aggornata

Dettagli

Laboratorio 2B A.A. 2013/2014. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica

Laboratorio 2B A.A. 2013/2014. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica Laboratoro B A.A. 013/014 Elaborazone Dat Lab B CdL Fsca Elaborazone dat spermental Come rassumere un nseme d dat spermental? Una statstca è propro un numero calcolato a partre da dat stess. La Statstca

Dettagli