CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26
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- Lamberto Sacchi
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1 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 6 CAPITOLO 3 INCERTEZZA DI MISURA Le operazon d msurazone sono tutte nevtablmente affette da ncertezza e coè da un grado d ndetermnazone con l quale l processo d msurazone ottene l rsultato. Essa produce un ntervallo d valor n cu l valore vero del msurando è presente con una certa probabltà. L ncertezza d msura è defnta da norme nternazonal recepte dagl sttut d normazone nazonal. In Itala l Ente d rfermento è l Ente Nazonale d Normazone (UNI) che ha approvato la norma Guda all espressone dell ncertezza d msura, UNI CEI 9, Mlano, gugno 997 (traduzone talana della ISO Gude to the expresson of uncertanty n measurement ), alla quale ogn certfcazone d msura deve atteners. Secondo la stessa norma, le parole errore, accuratezza e msura non possono pù essere usate nella veccha accezone, precedente, coè, a tale pubblcazone. Molt test corrent non sono stat ancora aggornat, e per cu rportano ancora la classca dstnzone tra accuratezza e precsone, ogg rfutata. La parola ncertezza sosttusce la parola errore. Secondo l accezone antecedente la norma UNI CEI 9: l accuratezza è una grandezza che rguarda l ncertezza sstematca e dpende dalla taratura e dalla classe dello strumento; l suo valore è tanto maggore quanto mnore è lo scarto delle osservazon fatte con lo strumento n esame rspetto a quelle dello strumento accettato come strumento d rfermento e sto n un laboratoro metrologco accredtato o centro SIT; la precsone è una grandezza che rguarda la rpetbltà delle osservazon; dpende da ncertezze casual ed è rappresentata dalla devazone standard (o scarto tpo) valutata sulla base d un nseme suffcentemente ampo d osservazon. Nella norma UNI CEI 9: la precsone è sosttuta da ncertezza d tpo A; la parola accuratezza ha solo valore qualtatvo ed esprme l grado d concordanza tra l rsultato d una msurazone e un valore vero del msurando;
2 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 7 l errore d msura è la dfferenza tra l rsultato d una msurazone e l valore vero del msurando. Nella norma UNI CEI 9 la parola msura vene sosttuta dalla locuzone stma del msurando ed appare solo nelle espresson ncertezza d msura e errore d msura. Classfcazone de contrbut all ncertezza La raccomandazone INC- (980) raggruppa le component dell ncertezza del rsultato d una msurazone n due categore a seconda del metodo d valutazone con cu s stma l msurando; esse sono: tpo A quelle valutate per mezzo d metod statstc; per queste component s applca l metodo d valutazone (dell ncertezza) d categora A. tpo B quelle valutate per mezzo d metod dvers da quell statstc; per queste component s applca l metodo d valutazone (dell ncertezza) d categora B. Element per l anals medante metod statstc La speranza matematca, o valore atteso, d una varable aleatora contnua X, con funzone denstà d probabltà f X, è data da: µ X + = xfx ( ) xdx (3.) La varanza d una varable aleatora X è l valore atteso del suo scostamento quadratco rspetto alla meda; formalmente è defnta come: ( ) ( ) + X = X X σ x µ f xdx (3.)
3 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 8 La radce quadrata postva della varanza, ndcata con σ X e denomnata scarto tpo, fornsce la dspersone de rsultat ntorno alla meda. La fgura 3. rporta un esempo d dstrbuzone, la dstrbuzone gaussana, per due valor dvers dello scarto tpo. σx µx σ x - fgura 3. - Per varabl aleatore dscrete, per le qual non è nota la funzone denstà d probabltà, non è possble usare le defnzon formal precedent per la determnazone della meda e varanza statstca. È possble, però, utlzzare degl stmator per la loro caratterzzazone. Sano, pertanto, X,X,,X N N osservazon d una varable aleatora dscreta X. La stma statstca della speranza matematca µ X e della varanza σ X, sono rspettvamente date dalle seguent relazon: X N N k = = X k (3.3) N s X Xk X N k= ( ) = ( ) (3.4) Dunque, nel caso d una msurazone ben caratterzzata e sotto controllo statstco, x = X è la meda artmetca delle N osservazon ndpendent valutate nelle stesse condzon spermental, ed è uno stmatore della meda, mentre s s ( X ) varanza spermentale delle osservazon ed è uno stmatore della varanza. = è la
4 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 9 La radce quadrata postva della varanza spermentale è detta scarto tpo spermentale, e, al par dello scarto tpo, caratterzza la varabltà de valor osservat X o, pù specfcatamente, la loro dspersone ntorno alla meda x. Se è noto l valore atteso µ X d X, la varanza può essere stmata da: s X N Xk X N k= ( ) = ( µ ) (3.5) Rappresentazone delle component dell ncertezza Incertezza standard L ncertezza, comunque valutata, è rappresentata da una devazone standard stmata, detta ncertezza standard e ndcata col smbolo u, e uguale alla radce quadrata postva della stma della varanza u. Incertezza standard: tpo A L ncertezza, u, ottenuta medante valutazone d tpo A è rappresentata dalla devazone standard spermentale s, par alla radce quadrata postva della varanza spermentale s, e dal relatvo numero d grad d lbertà ν. In partcolare, s ha u=s. I grad d lbertà ν costtuscono un ndce della qualtà della stma dell ncertezza u, quantfcandone l attendbltà. Fssato n n l numero d osservazon, rsulta ν =n-. Incertezza standard: tpo B L ncertezza ottenuta medante valutazone d tpo B è espressa da una quanttà u j che rappresenta la devazone standard d una dstrbuzone d probabltà assunta come quella che meglo contempla le nformazon possedute sul msurando. Valutazone dell ncertezza d categora A Sano X,X,,Xn n msurazon ndpendent della grandezza aleatora X esegute nelle stesse condzon spermental. È possble esprmere l valore rappresentatvo del msurando secondo una delle due metodologe:
5 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 30. s eseguono n msurazon, s valuta la varanza spermentale, s esegue una ulterore msura, che fornrà l valore rappresentatvo del msurando, e s esprme l ncertezza come la radce quadrata postva della varanza delle sngole osservazon;. s eseguono n msurazon, s valuta la meda artmetca e la varanza spermentale della meda: la meda fornrà l valore rappresentatvo del msurando e l ncertezza sarà data dalla radce quadrata postva d detta varanza. Nel prmo caso, la radce quadrata postva della varanza spermentale delle osservazon, ndcata con s e denomnata scarto tpo spermentale, fornsce l ncertezza tpo da assocare alla stma del valore del msurando: u = s (3.6) Se s scegle, nvece, d rappresentare l msurando medante la meda artmetca, la valutazone quanttatva approprata dell ncertezza del rsultato è la varanza della meda delle osservazon, e non la varanza delle sngole osservazon. Infatt, poché la meda d una sere d varabl aleatore è ancora una varable aleatora, la varanza della meda artmetca, come s dmostra, è, al crescere d n, la mglor stma della varanza. La varanza della meda, che è la mglore stma d è data da: s σ = X σ n ( ) k n s = = X X X n nn ( ) k= (3.7) (3.8) n questo caso l ncertezza tpo è data da: u = s X (3.9)
6 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 3 Valutazone dell ncertezza d categora B La valutazone dell ncertezza d categora B s basa, normalmente, su formulazon dervant dall uso d tutte le nformazon rlevant possbl, che ncludono: dat d precedent msurazon; esperenza o conoscenza generale del comportamento e delle propretà de materal e strument d nteresse; specfche tecnche del costruttore; dat fornt n certfcat d taratura o rapport sml; ncertezze assegnate a valor d rfermento pres da manual. Le nformazon a dsposzone per la valutazone dell ncertezza d categora B rchedono capactà d nterpretazone basata sull esperenza, ed una competenza acqusta con la pratca. S osserv che un tale approcco d valutazone dell ncertezza è da preferrs a quello precedente qualora c s trov n presenza d un numero relatvamente rdotto d osservazon ndpendent. Se facendo rfermento alle specfche del costruttore dello strumento che fornsce le stme delle grandezze d ngresso, o al suo certfcato d taratura, o ad altra smle fonte, s rcava come nformazone un multplo d uno scarto tpo, allora l ncertezza tpo, u(x ), è par al valore dcharato dvso l moltplcatore, e la varanza stmata u (x ) è par al quadrato d tale rapporto. Può, noltre, presentars l caso n cu l nformazone a dsposzone è un ntervallo d confdenza all nterno del quale l valore delle grandezze d ngresso può essere contenuto con un certo lvello d fduca (ad esempo, 95% o 99%). In tale condzone, s assoca all ntervallo ndvduato una dstrbuzone gaussana dalla quale s stablsce la devazone standard a partre dal lvello d fduca. L ncertezza tpo sarà posta par alla devazone standard così ottenuta. D seguto sono rportat alcun esemp d valutazon d Tpo B n dverse stuazon, basate sulle nformazon dsponbl e su assunzon dello spermentatore. In quest cas l ncertezza è ottenuta da font esterne o da un potetca dstrbuzone.
7 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 3 Incertezza ottenuta da font esterne Multplo d una devazone standard Procedura: se rportata n un manuale, o n un certfcato d taratura, l unca nformazone sull ncertezza è un multplo k d uno scarto tpo; l ncertezza standard può essere ottenuta dvdendo l valore trovato per l fattore d moltplcazone k. Incertezza ottenuta da una potetca dstrbuzone Dstrbuzone gaussana: 99.73% Procedura: S potzza una dstrbuzone gaussana per possbl valor della grandezza consderata e s stmano due lmt, uno nferore - ed uno superore +, tal che la mglor stma della grandezza n ngresso vale ( )/, coè l valore centrale tra due lmt, e s ha l 99.73% d probabltà che la grandezza s trov nell ntervallo compreso tra + e -. L ncertezza u j è approssmatvamente /3 dove =( )/ è la semampezza dell ntervallo. Dstrbuzone unforme (rettangolare) Procedura: Per pratctà s potzzano per la grandezza n ngresso due lmt, uno nferore - ed uno superore +, tal che l ntervallo tra + e - contene l 00% de possbl valor. Ammesso che non c sano nformazon contrare, s suppone che valor compres n questo ntervallo sano ugualmente probabl, la dstrbuzone della probabltà è unforme (coè rettangolare). La mglor stma della grandezza è ( )/ con uj= /3 / dove =( )/ è la semampezza dell ntervallo. Dstrbuzone trangolare In assenza d nformazon specfche è ragonevole supporre che la dstrbuzone sa rettangolare. Ma nel caso sa realstco supporre che valor prossm agl estrem sano meno probabl d quell central, è ragonevole potzzare una dstrbuzone gaussana o, per semplctà, una dstrbuzone trangolare. Procedura: S potzzano per la grandezza n ngresso due lmt, uno nferore - ed uno superore +, tal che l ntervallo tra + e - contene l 00% de possbl valor. Ammesso che non c sano nformazon contrare, s suppone che valor compres n questo ntervallo sano dstrbut secondo una dstrbuzone trangolare. La mglor
8 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 33 stma della grandezza è ( )/ con u j = /6 / dove =( )/ è la semampezza dell ntervallo. Valutazone dell ncertezza nelle msurazon ndrette Equazone della msurazone Nella maggor parte de cas, l msurando Y non è msurato drettamente, ma è determnato dalla msura d altre N grandezze X, X,, X N medante una relazone funzonale f, spesso detta equazone della msurazone: Y = f ( X, X,..., X N ) (3.0) Le grandezze X possono essere a loro volta de msurand, e qund possono dpendere da altre grandezze, qual fattor d correzone dovut ad effett sstematc, o grandezze che tengono conto d altre font d varabltà qual operator, strument, campon, laborator e stant n cu le osservazon sono effettuate (ad esempo gorn dvers). La funzone f può essere una legge fsca, un processo d msurazone, un algortmo, un grafco e così va; n partcolare, contene tutte le grandezze che contrbuscono all ncertezza del rsultato fnale della msurazone. Ad esempo, come puntualzzato nella guda ISO, se s applca una dfferenza d potenzale V a cap d un resstore l cu valore vara lnearmente con la temperatura, la potenza P (l msurando) dsspata dal resstore alla temperatura t dpende da V, R0, b e t secondo la relazone P = f ( V, R, b, t, t ) = 0 0 V ( ) R + b t t 0 0 (3.) dove R 0 è l valore della resstenza alla temperatura t 0 e b è l coeffcente lneare d resstenza. La stma y del msurando Y s ottene medante le stme x, x,, xn delle N grandezze d ngresso X, X,, X N, ed è data da: y= f( x, x,..., x N ) (3.)
9 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 34 Quando f è una funzone non lneare delle grandezze d ngresso X, X,, X N è preferble stmare y medante la relazone: n y= Y = f( X k, Xk,..., XNk ) n k = (3.3) Determnazone dell ncertezza standard composta S suppone che l rsultato d una osservazone, ancorché legato al valore della grandezza msurata, non sa predcble esattamente. S è solt modellare questa stuazone n questo modo: dove: (3.4) X sono le varabl ndpendent della (3.0), ossa le grandezze osservate che, per potes d comodtà (non ndspensable), sono consderate delle costant; x sono le osservazon corrspondent e, n quanto non predcbl esattamente, vengono consderate varabl casual; ε, chamato errore dell osservazone, è l termne responsable della casualtà. S pretende noltre che ε sa a meda nulla d modo che rsult E(x)=X, dove E è l operatore d meda statstca. x = X + ε Effettuata una sere d msurazon e stablta l equazone della msurazone n cu la stma d Y è funzone delle stme delle grandezze X, e dett µ valor attes delle osservazon x defnt come: (,,..., ) (,,..., ) µ E f x x x f µ µ µ y N N (3.5) per soddsfare la rchesta d error a meda nulla, è possble scrvere che: N f y= f ( x, x,..., xn) = f ( µ, µ,..., µ n) + ( x µ ) +... = x x= µ (3.6) dove la (3.6) rappresenta lo svluppo dell equazone della msurazone (3.) n sere f µ, µ,..., µ n. d Taylor nell ntorno d ( ) Arrestando lo svluppo al termne del prmo ordne la (3.6) s rscrve come:
10 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 35 N f y µ µ ( x ) y = x x = µ (3.7) che sgnfca: l valore atteso delle stme del msurando è ben approssmato dalla stma delle grandezze n ngresso, purché gl error sano a meda nulla. Svolgendo l quadrato ambo membr della precedente equazone e facendone la meda statstca, rcordando la notazone: ( y ) y σ y = E µ (3.8) s può scrvere che: N N N f f f σ y ( y) = E ( x µ ) + ( x µ )( x j µ j) = = x x j x x j = µ = =+ x = µ xj= µ j N N N f f f ( x) σ ( x, x j) = σ + x x x = = j=+ j (3.9) La (3.9), comunemente ndcata come legge d propagazone delle varanze, fornsce l espressone della varanza σ ( y ) y, la cu radce quadrata, ndcata con u c (y), rappresenta l ncertezza standard (o scarto tpo) composta del rsultato y della msurazone. Le dervate parzal della funzone f rspetto alle grandezze x, spesso ndcat come coeffcent d sensbltà, descrvono come vara la stma d uscta y al varare de valor delle stme d ngresso x, x,, x N. Le grandezze u(x ) sono le ncertezze standard assocate alle stme d ngresso x. Le grandezze u(x,x j ) sono le covaranze assocate alle stme n ngresso x e x j. Espresson semplfcate Ne cas d nteresse pratco la legge d propagazone dell ncertezza assume una forma semplfcata. Ad esempo, se le stme x delle grandezze n ngresso X sono assunte non correlate, l secondo termne della (3.5) scompare.
11 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 36 Inoltre, se le stme delle grandezze n ngresso sono ncorrelate e l equazone della msurazone ha una delle seguent due forme, l equazone rsulta ancora pù semplce. ) Equazone della msurazone: espressone lneare Y = ax + ax anx N (3.0) Rsultato della msurazone: y= ax + ax anxn (3.) Incertezza tpo composta: ( ) ( ) ( ) u ( y) = au x + au x au x c N N N (3.) ) Equazone della msurazone: prodotto delle grandezze X elevate alle potenze a, b,, p e moltplcate per la costante A a b... p Y = AX X X N (3.3) Rsultato della msurazone: a b... p y= Ax x x N (3.4) Incertezza relatva composta: se x 0 e y 0, s può scrvere: ( ) ( ) ( ) u ( y) = au x + bu x pu x cr, r r r N (3.5) dove u r ( x ) ( ) u x = x (3.6)
12 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 37 è l ncertezza relatva d x, x è l valore assoluto d x. La grandezza u c,r (y) è l ncertezza relatva d y ed è defnta dal rapporto u cr, ( y) uc = y ( y) (3.7) dove y è l valore assoluto d y. Sgnfcato dell ncertezza Se la dstrbuzone d probabltà caratterzzata dal rsultato d msurazone y e dalla ncertezza tpo composta u c (y) è approssmatvamente gaussana, e u c (y) è una buona stma della devazone standard d y, allora l ntervallo compreso tra y-u c (y) e y+u c (y) contene approssmatvamente l 68% de valor della dstrbuzone che possono ragonevolmente essere attrbut al valore della grandezza Y, d cu y è una stma. Incertezza estesa Sebbene l ncertezza tpo composta u c (y) sa generalmente usata per esprmere l ncertezza d molt rsultat d msurazone, per alcune applcazon commercal, ndustral e normatve, ad esempo nel caso della salute e della scurezza, spesso s rchede un valore dell ncertezza che defnsca un ntervallo per rsultat delle msurazon, y, che possa con scurezza contenere valor del msurando Y. L ncertezza estesa, ndcata con U, è ottenuta moltplcando uc(y) per un fattore d copertura k: U = ku c( y) (3.8) e s rtene, con una certa probabltà, soltamente espressa n termn percentual, che: y U Y y + U (3.9) o pù comunemente: Y = y± U (3.30)
13 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 38 Fattore d copertura In generale l fattore d copertura k è scelto sulla base del lvello d fduca desderato da assocare all ntervallo defnto da Y±U con U=k uc(y). Tpcamente k s trova nell ntervallo 3. Nel caso d dstrbuzone gaussana con una fdata stma della devazone standard u c (y), per k=, U=u c (y) defnsce un ntervallo avente un lvello d fduca crca uguale al 95% e, per k=3, U=3u c (y) defnsce un ntervallo avente un lvello d fduca crca uguale al 99%. Incertezza estesa relatva In analoga con la ncertezza standard relatva, u r, e la ncertezza standard composta relatva, u c,r, s defnsce la ncertezza estesa relatva: U Ur = y (3.3) Stma del msurando, presentazone del rsultato ed approssmazon Quando s rfersce l rsultato d una msurazone, e l ncertezza è espressa medante l ncertezza tpo composta uc(y), s deve fornre una descrzone completa d come è defnto l msurando Y, nonché fornre una stma d Y e della sua ncertezza tpo composta u c (y) comprensve d untà d msura. Quando opportuno, è d uopo ncludere l ncertezza composta relatva. Quando la valutazone quanttatva dell ncertezza è u c (y), è preferble, per evtare ambgutà, dcharare l rsultato numerco nel modo seguente: ( valore ± ncertezza ) untà d msura Ad esempo, la grandezza d cu s rporta l valore è un campone d tensone avente valore nomnale d 0V e tensone V S ; la presentazone corretta è: V S = (0,0303 ± 0,000 ) V dove 0,mV è l ncertezza tpo composta u c (y).
14 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 39 Quando s rfersce l rsultato d una msurazone, e quando la valutazone quanttatva dell ncertezza è l ncertezza estesa U=k u c (y), s deve fornre una descrzone completa d come è defnto l msurando Y e dcharare l rsultato della msurazone nella forma Y=y±U comprensve d untà d msura. Quando opportuno, è d uopo ncludere l ncertezza composta relatva. S deve, noltre, fornre l valore k usato per ottenere U (oppure dcharare k e u c (y)) ed ndcare l lvello d fduca approssmato assocato all ntervallo y±u, specfcando n quale modo è stato ottenuto. Ad esempo: V S = (0,0303 ± 0,00049 ) V dove l numero che segue l smbolo ± è l valore numerco d (un ncertezza estesa) U=k u c, con U determnata da (un ncertezza tpo composta) u c =0,mV e da (un fattore d copertura) k=,4. I valor numerc della stma y e della sua ncertezza tpo u c (y) o dell ncertezza estesa U non devono essere ndcat con un numero eccessvo d cfre sgnfcatve. È d regola suffcente rportare u c (y) ed U (così come le ncertezze tpo u(x ) delle stme d ngresso x) con due cfre sgnfcatve, sebbene sa talvolta opportuno conservare ulteror cfre per evtare error d arrotondamento de calcol successv. Può essere approprato, quando s rportano rsultat fnal, arrotondare le ncertezze per eccesso puttosto che alla cfra pù vcna. Ad esempo, u c (y)=83,56khz sarà arrotondato a 84kHz. In ogn caso, è bene lascars gudare dal buon senso, coscché un valore come u(x )=3,08mΩ sarà arrotondato per dfetto a 3mΩ. Le stme d ngresso e d uscta sono arrotondate n modo da armonzzars con le propre ncertezze; ad esempo, se y=,0576a e uc(y)=7ma, allora y è arrotondato a 0,058A. Esempo 3. S vuole determnare, medante msurazone ndretta, la resstenza, r, tra l punto d dervazone C e l estremo B del potenzometro mostrato n Fg.. All uopo, s utlzza un
15 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 40 voltmetro, V, che resttusce l valore della caduta d tensone, V x, a cap d r e presenta errore d consumo trascurable. S supponga che, per la determnazone della stma d ngresso e dell ncertezza tpo d V x, sano state effettuate 30 osservazon rpetute ed ndpendent, cu rsultat sono rportat n Tab.I. S supponga, noltre, che n relazone a valor della resstenza complessva del potenzometro, R, e della f.e.m della battera d almentazone, E, l unca nformazone dsponble è la loro scura appartenenza rspettvamente agl ntervall ( )Ω e ( )V. S valut la stma d uscta. Tab.I V x [V] 0,695 0,695 0,7039 0,699 0,7094 0,759 0,69 0,697 I A 0,6994 0,706 0,6948 0,7034 0,6989 0,7036 0,6990 E R C r V V x 0,69 0,6978 0,7008 0,7044 B - fgura ,705 0,70 0,6905 0,6983 0,6934 0,6990 0,708 0,7057 0,7095 0,6969 0,7045
16 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 4 Soluzone: S scegle, per la stma del msurando, la meda artmetca delle 30 osservazon: 30 Vx = Vx, = 70, V 30 = l ncertezza assocata a tale stma è lo scarto tpo spermentale della meda, determnato medante valutazone d tpo A, ed è dato da: n n n 3 3 ua( Vx) = Vx Vx =, V,0 V ( ) ( ), = Supponendo una dstrbuzone smmetrca rettangolare, l valore della resstenza del potenzometro R è data da: Rmax + Rmn 03,46Ω+ 96,54Ω R = = = 00,000Ω l ncertezza assocata alla stma della resstenza R=00,000Ω è determnata medante una valutazone d tpo B: u B ( R) ( R R ) ( Ω Ω) max mn / 03,46 96,54 / = = =, Ω Ω 3 3 Operando n modo analogo per la tensone della battera d almentazone, s ha: Emax + Emn,07V + 0,983V E = = =,0000V con ncertezza tpo: ( ) ( E E ) ( V V) max mn /,07 0,983 / ub E = = = 0, V 0,0 V 3 3 Un anals del crcuto d fgura 3. fornsce:
17 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 4 V x r = R E (3.3) per cu: ( ) ( 70, V ) r = 00,000Ω = 70,0667Ω (,0000V ) Esempo 3. Con rfermento all esempo 3., s valut l ncertezza tpo composta nell potes che le grandezze d ngresso sano ncorrelate, e s esprma l rsultato della msurazone corredato dell ncertezza estesa con fattore d copertura par a. Soluzone: La varanza composta è data da: f f f u y u x u x x N N N ( ) = ( ) + (, ) c j = x = j=+ x xj (3.33) Tale relazone, nel caso d grandezze ncorrelate, s semplfca n: N f c = = x ( ) ( ) u y u x (3.34) poché r=f(e,v x,r) s ha: f f f c = B + A x + B E V x R u () r u ( E) u ( V ) u ( R) (3.35) poché r RV x = 4908,637603A = E E - r R = = 0 A Vx E 4 -
18 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 43 r V x = = 0, R E allora: ( )( ) u () r = 4908,637603A 0,009845V + - c 4 3 ( 0 A ) (, V) + + ( 0,490863)( ) + Ω u ( r) =, Ω u ( r) =,563386Ω,6Ω c c sceglendo l fattore d copertura k=, l ncertezza estesa è: c ( ) 3, U = ku r = Ω e dunque, l rsultato cercato vale: r = (70,0± 3,) Ω Esempo 3.3 Vene eseguta una sere d msure d tensone, rpetute ed ndpendent, svolte nelle stesse condzon spermental, medante un voltmetro numerco le cu caratterstche d precsone sono: ( % lettura % range ) A=± a V + b V (3.36) Nel range d V, ad un anno dalla taratura: a%=4,0x0-3 volte la lettura, b%=0,7x0-3 volte l range. S supponga che lo strumento sa usato per msurare sulla scala d V, 8 mes dopo la taratura, una dfferenza d potenzale V, e che la meda d un certo numero d
19 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 44 osservazon rpetute ed ndpendent sa V = 0,9308V con una ncertezza tpo (d categora A) u ( V ) µ V A =. S può ottenere l ncertezza tpo assocata alla specfca del costruttore medante una valutazone d categora B, assumendo che l accuratezza dcharata rappresent lmt smmetrc d una correzone addtva a V, V, avente valore atteso nullo e probabltà d gacere ndfferentemente n qualunque punto nterno a lmt. La semampezza della dstrbuzone smmetrca rettangolare de valor possbl d V è allora: e 6 6 ( )( ) ( )( ) = ,9308V + 70 V = 44,4070µ V u B ( V ) 65,43768( µ V) 3 ub ( V ) = = = 5,54396µ V La stma del valore del msurando V, denomnata per semplctà con lo stesso smbolo V, è data da: V = V + V = 0,9308V Da questa stma, s ottene l ncertezza tpo composta combnando l ncertezza tpo d categora A d V con l ncertezza tpo d categora B d V : c( ) f A B f ( ) ( ) u V = u V + u V V V (3.37) Poché coeffcent d sensbltà sono untar rsulta: ( ) ( ) ( ) ( ) u ( V) = u V + u V = 796,43768 µ V u V =8,08038µ V c A B c
20 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 45 Procedura per la valutazone e la dcharazone dell ncertezza I pass da segure per la valutazone e la dcharazone dell ncertezza del rsultato d una msurazone, possono essere rassunt come segue:. S esprme matematcamente la relazone tra l msurando Y e le grandezze d ngresso X da cu Y dpende: Y f ( X X,..., ) =. La funzone f dovrebbe, contenere ogn grandezza, comprese tutte le correzon ed fattor d correzone, che possa contrbure con una componente sgnfcatva all ncertezza del rsultato della msurazone.. S determna x, l valore stmato della grandezza d ngresso X, sulla base dell anals statstca d sere d osservazon o medante altr metod. 3. S valuta l ncertezza tpo u(x ) d cascuna stma d ngresso x. Per una stma d ngresso ottenuta sulla base dell anals statstca d sere d osservazon, l ncertezza tpo è valutata secondo quanto descrtto per la valutazone d categora A dell ncertezza tpo. Per una stma d ngresso ottenuta con altr metod, l ncertezza tpo u(x ) è valutata secondo quanto descrtto relatvamente ad una valutazone d categora B dell ncertezza tpo. 4. S valutano le covaranze assocate alle stme d ngresso eventualmente correlate. 5. S calcola l rsultato della msurazone, vale a dre la stma y del msurando Y, dalla relazone funzonale f usando, per le grandezze d ngresso X, le corrspondent stme x rcavate al passo numero. 6. S determna l ncertezza tpo combnata u c (y) del rsultato della msurazone y dalle ncertezze tpo e dalle covaranze assocate alle stme d ngresso. Se la msurazone determna smultaneamente pù d una stma d uscta, devono essere calcolate le covaranze. 7. Se è necessaro dare un ncertezza estesa U, con l ntendmento d fornre un ntervallo compreso tra y-u ed y+u che c s aspett contenere una grande porzone della dstrbuzone d valor ragonevolmente attrbubl al msurando Y, s moltplch l ncertezza tpo combnata u c (y) per un fattore d copertura k, tpcamente compreso tra e 3, n modo da ottenere U=k u c (y). S scelga k sulla base del grado d fduca rchesto per l ntervallo. 8. S rporta l rsultato della msurazone y con la sua ncertezza tpo combnata uc(y), o la sua ncertezza estesa U; s us uno de mod raccomandat. S descrva come s sono ottenut y e u c (y), o U. X N
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