In un punto qualsiasi (P) della traiettoria è definita la direzione tangente t e la direzione perpendicolare n. d dt

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Pio Paolini
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1 Moti piani su traiettorie qualsiasi In un punto qualsiasi (P) della traiettoria è definita la direzione tangente t e la direzione perpendicolare n. n ˆ P ˆ t traiettoria La velocità in ogni punto della traiettoria, è un vettore TANGENZIALE e vale: v(t) v(t)vˆ(t) a(t) dv(t) d v(t) vˆ(t) Anche il versore v ˆ è funzione del tempo perchè per ogni posizione assunta dal punto P durante il moto il versore della tangente alla traiettoria assume direzione diversa. L accelerazione ha componenti sia TANGENZIALE che NORMALE Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 1

2 Se v è un vettore con versore ˆ v Nel caso in cui la velocità sia variabile in direzione e modulo introducendo il versore della velocità v. v(t)= v v ˆ a dv d vvˆ dv vˆ v dvˆ E per costruzione, diretta come il versore vˆ ed è tangente alla traiettoria E ortogonale alla traiettoria perché la derivata dvˆ è perpendicolare a vˆ Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 2

3 dvˆ L ortogonalità tra e può essere dimostrata in vari modi. vˆ poiché vˆ è un versore possiamo scrivere: vˆ vˆ v 2 v 2 y v 2 z 1 d d vˆ vˆ (1) 0 però è anche vero che: d vˆ vˆ dvˆ vˆ vˆ dvˆ Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 3 2vˆ dvˆ dvˆ vˆ 0

4 a dv vˆ v dvˆ a t a n caso generale Se confrontiamo il calcolo di a con quanto ottenuto nel caso del moto circolare. dv d dv dvˆ dv vvˆ vˆ v vˆ vωnˆ a t a n La componente tangenziale vale a t = (d/)v ˆ La componente normale a n ha la stessa espressione purchè si introduca il raggio di curvatura locale della traiettoria. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 4

5 CERCHIO OSCULATORE n ˆ traiettoria P ˆ t Nel tratto infinitesimo di traiettoria intorno a P è come se il punto si muovesse su una porzione di cerchio (cerchio osculatore) il cui raggio R è detto raggio di curvatura della traiettoria in quel punto con velocità istantanea angolare =v/r. Allora l accelerazione a n può essere definita in modo analogo al moto circolare uniforme. a n v 2 R nˆ vnˆ in cui n è il versore normale alla traiettoria orientato verso il centro del cerchio osculatore. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 5

6 FENOMENI OSCILLATORI Si produce un oscillazione quando un sistema viene perturbato rispetto a una posizione di equilibrio stabile Un moto oscillatorio è un moto periodico, ovvero che si ripete con regolarità nel tempo. La caratteristica comune dei sistemi oscillanti è la formulazione matematica che ne descrive le oscillazioni. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 6

descritta come un insieme di atomi interagenti con forze schematizzate da molle che permettono

7 FENOMENI OSCILLATORI 1) Esistono molti sistemi naturali che si muovono in modo armonico semplice (atomi nei solidi, la pulsazione cardiaca ) La struttura di un solido può essere descritta come un insieme di atomi interagenti con forze schematizzate da molle che permettono agli atomi di oscillare attorno a posizioni di equilibrio. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 7

Fenomeni oscillatori 2) Abbiamo un infinità di fenomeni oscillatori di

tamburi, membrane del telefono e degli altoparlanti, cristalli di

Fenomeni oscillatori distruttivi: oscillazioni indotte dal vento su di

8 Fenomeni oscillatori 2) Abbiamo un infinità di fenomeni oscillatori di tipo meccanico fra questi rientrano: corde di chitarra, canne d organo, tamburi, membrane del telefono e degli altoparlanti, cristalli di quarzo negli orologi, alcune tipologie di terremoti, ecc. Fenomeni oscillatori distruttivi: oscillazioni indotte dal vento su di un ponte sul fiume Tacoma, 7 novembre 1940 Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 8

9 Oscillazioni e loro controllo Millennium Bridge (Londra) inaugurato e aperto al pubblico il 10 Giugno 2000 e chiuso due giorni dopo a causa di eccessive oscillazioni; fu poi riaperto il 22 Febbraio Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 9

Moto armonico 3) Considereremo esempi di meccanica, ma i risultati si applicano anche a fenomeni elettromagnetici o altri fenomeni in altri campi

10 Moto armonico 3) Considereremo esempi di meccanica, ma i risultati si applicano anche a fenomeni elettromagnetici o altri fenomeni in altri campi della fisica. l Il moto armonico semplice è la forma più semplice e importante di moto oscillatorio. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 10

11 Moto armonico semplice (1D): il p.m. si muove ripetutamente avanti e indietro rispetto all origine di un asse (). fase (t)= m cos ( t + ) m = Ampiezza (t) = posizione del p.m. al tempo t corrisponde al massimo valore che può assumere (t) (ha le dimensioni di una lunghezza [ m ]= [L] = m) = Pulsazione o frequenza angolare dimensione []= [T -1 ] = rad/s = Fase iniziale ha le dimensioni di un angolo [] = rad (t + ) = è la fase al tempo t Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 11

12 + m 0 - m (t)= m cos (t + ) legge oraria del moto - m traiettoria del moto 0 + m Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 12

13 (t)= m cos (t + ) legge oraria del moto + m 0 - m traiettoria del moto Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 13

+ m Moto periodico - m La funzione coseno è periodica rispetto al suo argomento che dipende dal linearmente dal tempo t pertanto anche la legge oraria sarà periodica in t.

14 + m Moto periodico - m La funzione coseno è periodica rispetto al suo argomento che dipende dal linearmente dal tempo t pertanto anche la legge oraria sarà periodica in t. La funzione (t) assume lo stesso valore, ogni volta che la sua fase varia di 2 corrispondente ad un intervallo di tempo T. [((t +T) + )]-[(t + )]= 2 T 2 Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 14

15 + m Moto periodico - m [ T ] = 2 = s = 1 T = 2 [] = s -1 = 1 Hertz =1 Hz La frequenza corrisponde al numero di oscillazioni compiute nell unità di tempo, cioè in un secondo. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 15

16 Velocità ed accelerazione nel moto armonico (t)= m cos (t + ) velocità v (t) (t) = - m sin (t + ) accelerazione a (t) (t) = -() 2 m cos (t + )= - 2 (t) Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 16

17 Velocità ed accelerazione nel moto armonico (t)= m cos (t + ) - m 0 + m v (t) = - m sin (t + ) v =v ma v=0 v=0 - m 0 + m v anticipo di 90 su a > 0 a < 0 - m 0 + m a anticipo di 180 su a (t) = - 2 (t) 17

18 Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 19 Per calcolare le relazioni che esitono tra l ampiezza m, la fase e le condizioni iniziali imponiamo t=0: sin v (0) v cos (0) 0 0 m m t= v v 2 m tg

19 y Moto armonico semplice e moto circolare P (t + ) P Per ogni t la posizione angolare nel tempo vale t +, dove è la posizione angolare iniziale. Proiettando P sull asse otteniamo un punto P che rappresenta un altra particella la cui posizione nel tempo: (t)= m cos (t + ) Quindi se il punto P si muove di moto circolare uniforme la sua proiezione (P ) si muove di moto armonico semplice lungo il diametro. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 20

20 VELOCITA y v= m P t + P La velocità di P vale: v= m (v= R), la sua proiezione sull asse : v(t)= - m sin (t + ) Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 21

21 ACCELERAZIONE y a P L accelerazione di P vale a= 2 m (v= 2 R), la sua proiezione sull asse : t + P a(t)= - 2 m cos (t + ) Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 22

22 Oscillazione periodica anarmonica Data una qualsiasi oscillazione periodica di periodo T (continua con derivata continua a tratti e limitata forma qualunque), è possibile esprimerla come somma finita o infinita di funzioni sinusoidali (armoniche semplici) (Teorema Fourier): f ( t) a0 an sin 2 n1 n t 0 n Dove a o e a n sono i coefficienti dello sviluppo e corrispondono alle ampiezze e n sono le fasi iniziali. Le pulsazioni sono tutte multiple di una pulsazione fondamentale 0. Il termine (n 0 ) prende il nome di armonica di ordine n. Sviluppo di Fourier o analisi armonica Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 23

23 Oscillazione periodica anarmonica f ( t) a0 an sin 2 n1 n t 0 n 4[sint+1/3[sin3t] + sint 1/3[sin3t] Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 24

oscillatore armonico in presenza di un ente esterno che tende a

24 Moto armonico semplice smorzato Come esempio di sistema fisico che esibisce moto armonico smorzato, si può considerare un oscillatore armonico in presenza di un ente esterno che tende a frenare il suo moto. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 25

25 Moto armonico semplice smorzato Possiamo definire: il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria 0 (in assenza di smorzamento del moto). Il caso più semplice che consideriamo è quello per cui: Cioè l ente esterno che tende a frenare il moto è sufficientemente piccolo. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 26

Moto armonico semplice smorzato Quindi quando l ente

26 Moto armonico semplice smorzato Quindi quando l ente esterno che tende a frenare il moto è sufficientemente piccolo, allora il moto è ancora oscillatorio ma la sua ampiezza decresce nel tempo fino ad annullarsi. La soluzione è del tipo: (t)= m e t sen (t + ) reale Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 27

27 e t -e t La soluzione è (t)= m e t sen(t + ) è una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un termine esponenziale decrescente. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 28

28 Ogni sistema che si comporta in questo modo viene detto un OSCILLATORE SMORZATO. Infatti pur diminuendo l ampiezza di oscillazione (quindi diminuendo progressivamente la lunghezza del percorso di ogni oscillazione), il tempo necessario a percorrere un oscillazione, cioè il periodo, rimane lo stesso: T 2 Anche in questo caso dunque il periodo T non dipende dall ampiezza, ma solo dalla pulsazione. Nota: Di questo effetto si era accorto Galileo osservando le oscillazioni smorzate di un lampadario nel duomo di Pisa. Lez.8 M. Scarselli Corso di Fisica Generale I 29

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