= con n N è insieme infinito n limitato sia inferiormente che superiormente, infatti i suoi elementi verificano la condizione 0 a 1.

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Raffaello Ferrara
6 anni fa
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1 Introduzione concetto di imite Prim di vvire i discorso sui imiti è opportuno rivedere i signiicto di cuni termini che sono di uso comune ne trttzione de imite di un unzione. Insieme imitto superiormente: un insieme numerico A si dice imitto superiormente se esiste un numero h te che A h. Ad esempio i dominio de unzione y = 5 è un insieme imitto superiormente. h 5 5 Si dice nche che 'eemento 5 è un mggiornte di A Insieme imitto ineriormente: un insieme numerico A si dice imitto ineriormente se esiste un numero k te che A k Ad esempio i dominio de unzione y = è un insieme imitto ineriormente. - Si dice nche che 'eemento - è un minornte di A Un insieme imitto superiormente e ineriormente si dice imitto. Ad esempio: 'insieme degi eementi de successione n = con n N è insieme ininito n imitto si ineriormente che superiormente, intti i suoi eementi veriicno condizione. Intervo: dti due numeri rei h e k con h < k, chimimo intervo chiuso di estremi h e k [ h; k] 'insieme dei numeri rei per i qui risut ver rezione: h k. Se i numeri R soddisno rezione: h < k [ h; k[ 'intervo si dirà perto destr e chiuso sinistr; h < k ] h; k] 'intervo si dirà perto sinistr e chiuso destr; h < < k h; k 'intervo si dirà perto. ] [ Deinimo intorno competo di un qusisi intervo che contiene (vedi igur) H δ δ < < δ. δ H è 'insieme dei punti per i qui si h:

2 Estremi di un insieme Dicimo che i numero ree è estremo superiore per 'insieme A se gode dee proprietà: è i più grnde degi eementi di A (minimo dei mggiornti di A) comunque piccoo si sceg un numero positivo ε, Se questo eemento pprtiene insieme si chim mssimo. Dicimo che i numero ree è estremo ineriore per 'insieme A se gode dee proprietà: è i più piccoo degi eementi di A (mssimo dei minornti di A) comunque piccoo si sceg un numero positivo ε, A / < ε. Se questo eemento pprtiene insieme si chim minimo. Ad esempio è minimo de insieme A= / ; < ; mentre non è mssimo de insieme. { } Limiti di un unzione Si y = () un unzione deinit in un intorno I de punto, senz che ess si necessrimente deinit in te punto. Si dice che è i imite de unzione per tendente e si scrive: im ( ) = qundo, issto comunque un numero ε >, è possibie determinre in corrispondenz un intorno competo δ ε di per i punti de que si h ( ) < ε ε ε not: evidentemente e un punto di ccumuzione di (;b) ovvero, un quunque intorno di contiene ininiti eementi di (;b). Limite ininito Si y = () un unzione deinit in un intorno I de punto, senz che ess si necessrimente deinit in te punto. Si dice che ( ) è i imite de unzione per tendente e si scrive: im ( ) = ( ) qundo, issto comunque un numero > (m < ) è possibie determinre in corrispondenz un intorno δ ( δ m ) di per i punti de que si bbi: ( ) > ( ( ) < m). δ ε m

3 3 Limite di un unzione 'ininito Si y = () un unzione deinit in un insieme D iimitto superiormente, si dice che im ( ) = se, issto comunque un numero ε >, è possibie determinre in corrispondenz un numero k ε in modo che D e mggiore di k ε risuti: ( ) < ε. ε y = k ε Si y = () un unzione deinit in un insieme D iimitto ineriormente, si dice che im ( ) = se, issto comunque un numero ε >, è possibie determinre in corrispondenz un numero k ε in modo che D e minore di k ε, risuti: ( ) < ε. ε k ε Limite ininito di un unzione 'ininito Si y = () un unzione deinit in un insieme D iimitto superiormente, si dice che im ( ) = se, issto comunque un numero >, è possibie determinre in corrispondenz un numero k in modo che D e mggiore di k, risuti: ( ) >. Si y = () un unzione deinit in un insieme D iimitto ineriormente, si dice che im ( ) = se, issto comunque un numero m <, è possibie determinre in corrispondenz un numero k m in modo che D e minore di k m, risuti: ( ) < m. () km k () m 3

4 4 Limite sinistro e destro Si y = () un unzione deinit in un intorno sinistro I de punto, senz che ess si necessrimente deinit in te punto. Si dice che è i imite de unzione per tendente e si scrive: im ( ) = corrispondenz un intorno sinistro qundo, issto comunque un numero ε >, è possibie determinre in δ ε di per i punti de que si h Si y = () un unzione deinit in un intorno destro ( ) < ε. I de punto, senz che ess si necessrimente deinit in te punto. Si dice che è i imite de unzione per tendente e si scrive: im ( ) = corrispondenz un intorno destro qundo, issto comunque un numero ε >, è possibie determinre in δ ε di per i punti de que si h ( ) < ε. Se unzione mmette imite destro e sinistro per tendente e questi due imiti sono ugui unzione si dice che mmette imite. Teorem de'unicità de imite De. Se un unzione mmette imite per tendente te imite è unico. Supponimo per ssurdo che unzione mmett due imiti distinti e con <. Per deinizione di imite è possibie determinre un intorno competo H di per gi eementi de que si h ( ) < ε e un intorno competo H di per gi eementi de que si h: ( ) < ε, ovvero: ε < ( < ε e ε < ( < ε. ) Se considerimo intorno competo H = H H e scegimo ) ε = ε ε ε ε H H H H vremo: ε < ( < ε Essendo ε < ε si ricv ) perché in contrsto con scet d noi tt. ε > i che è ssurdo 4

5 5 Teorem de conronto Sino (), h() e g() tre unzioni deinite in un intorno I di, escuso più te punto, e ti che risuti: ( ) h( ) g( ) ; se im ( ) = e im g( ) = or risut: im h( ) =. Intti, essendo per ipotesi ε < ( ) < ε e ε < g( ) < ε, potremo scrivere: ε < ( ) h( ) g( ) < ε. Quindi ε < h( ) < ε e im h( ) =. Teorem de permnenz de segno Se im ( ) = con esiste un intorno I di ssume o stesso segno de imite., privto più di te punto, in cui unzione Si i imite de unzione e si ε =. Per deinizione di imite si può scrivere: ( ) < ε, quindi: ( ) <, d cui si ricv: < ( ) <. Se <, < e quindi ( ) <. Se >, > e quindi ( ) > Limiti notevoi P T sen im = () H A Osservimo che PH < AP < AT ossi: sen < < tg d cui si h: sen < < sen cos cos sen invertendo < < e motipicndo per sen si ottiene: cos < < e pssndo sen sen sen imite im cos < im < im e per i teorem de conronto si h (). 5

6 6 im = e (vedi dimostrzione ne pgin imiti di successioni) d questo imite notevoe segue che: () ) im( = e intti, posto t, = t per quindi im = t t () im n = im n ( ) = (3) im = oge intti, posto = t si h: = og ( t ) e t ) e im n ( α = α t t im = im = im = oge = oge t og ( ) t og e( t ) og e( t ) t im og t t (4) (5) e im = che discende d precedente ponendo = e α e im = α che deriv d precedente ponendo α = t Funzioni continue Un unzione si dice continu in qundo im ( ) = ( ), cioè: ) esiste ed è inito i imite de unzione per tendente ; ) esiste i vore de unzione in, 3) i imite de unzione è ugue vore de unzione. Se un unzione è continu D ess si dice continu. Se un unzione è continu in un punto dev'essere im ( ) = im ( ). Forme di indecisione o punti di discontinuità ) Di prim specie qundo im ( ) = chim sto de unzione in., im ( ) = e. Se > i vore si Es: < ( ) = present un punto di discontinuità di prim specie per = cos 6

7 7 ) Di second specie qundo meno uno dei due imiti destro o sinistro non esiste oppure se esiste è ininito. Es: y = cot g per = kπ ; y = e per 3) Di terz specie qundo esiste ed è inito i imite de unzione per m non esiste i vore de unzione in o, se esiste è diverso d imite Es: unzione y = possiede imite inito per im = mentre non esiste i vore di (). unzione y = non esiste nei punti = e = m possiede imite inito per n( ) e per. Questo tipo di discontinuità si dice nche eiminbie perché possimo ssumere come vore de unzione in i vore de imite. Ne secondo esempio, se ponimo () = e ( ) = eiminimo e discontinuità (vedi grico). im = im = n( ) n( ) im = n( ) Teoremi Teorem di Weierstrss per e unzioni continue Ogni unzione continu in un insieme chiuso e imitto [, b] è dott di mssimo e di minimo. Questo teorem permette di ermre che i condominio de () è imitto. y = k m b Teorem di Drbou e Bozno (o dei vori intermedi) Se un unzione è continu in un insieme chiuso e imitto ess ssume tutti i vori compresi r i suo minimo ed i suo mssimo. Cioè D m ( ). 7

8 Gricmente signiic che k [, m] un punto. rett y = k intersec i grico de unzione meno in 8 Teorem di esistenz degi zeri Se un unzione è continu in ] ; b[ e ssume vori di segno opposto 'interno di te insieme esiste meno un punto in cui ess si nnu. Teorem di Weierstrss per e unzioni continue Ogni unzione continu in un insieme chiuso e imitto [ b], è dott di mssimo e di minimo. Questo teorem permette di ermre che i condominio de () è imitto. Sino, [ b ; ] ovvero ( ) m λ b rispettivmente e scisse dei punti di minimo e di mssimo de unzione, = m e ( ) =. Supponendo che unzione ( ) non si costnte ( m ) e < considerimo unzione g( ) ( ) λ, = con λ ] m ; [, deinit ne intervo [ ; ] Poiché g ( ) risut continu si h:. g( ) = ( ) λ < m λ < g( ) = ( ) λ > λ > Per i teorem di esistenz degi zeri ] ; [ : g( ) = ossi ( ) = λ Se λ = m = se λ = = L unzione ssume quindi tutti i vori compresi r i suo minimo ed i suo mssimo. 8

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