Teoria delle scorte. Ricerca operativa Met. e mod. per le decisioni (Informatica Matematica) Pierluigi Amodio

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1 Teoria delle scorte Ricerca operativa Met. e mod. per le decisioni (Informatica Matematica) Pierluigi Amodio Dipartimento di Matematica Università di Bari Teoria delle scorte p.1/26

2 definizione del problema determinare l esatto quantitativo di merce da ordinare nell ottica di ottimizzare la gestione di un magazzino si suppone che all inizio ed alla fine del tempo di osservazione non ci sia merce nel magazzino; posto profitto = ricavo - costi questo significa che il ricavo è sempre lo stesso ed ottimizzare (massimizzare) i profitti equivale a minimizzare i costi Teoria delle scorte p.2/26

3 costi I costi che si prendono in considerazione sono costo di acquisto (produzione), costo di giacenza costo di mancata vendita (o rottura, soldi che si perdono in quanto in magazzino non c è abbastanza merce da soddisfare le richieste) determinare il livello ottimale di scorte significa determinare la quantità di merce da conservare in magazzino in modo da minimizzare la somma di questi costi. Teoria delle scorte p.3/26

4 domanda Il livello di scorte che il magazzino deve acquisire dipende dalla domanda che è una variabile deterministica (nota), esprimibile tramite una funzione (costante o variabile nel tempo) aleatoria, esprimibile tramite una funzione densità di probabilità (p.d.f.) Teoria delle scorte p.4/26

5 esempio Per conservare il pesce una pescheria necessita di un blocco di ghiaccio al giorno. Colui che vende il ghiaccio ha una macchina che produce 4 pezzi di ghiaccio alla volta con un costo di 20 euro. La conservazione dei pezzi di ghiaccio non utilizzati costa al pescivendolo 5 euro a blocco al giorno. Quanti pezzi di ghiaccio deve acquistare il pescivendolo per minimizzare i costi? Soluzione: 3 pezzi di ghiaccio ogni 3 giorni Teoria delle scorte p.5/26

6 modello deterministico per il momento la domanda d è costante nel tempo (modello del lotto economico) q(t) livello di scorte; q 0 livello iniziale q(t) = q 0 dt se non si vogliono rotture (costi di rottura) si riordina quando q(t) = 0, cioè all istante t = q 0 /d Teoria delle scorte p.6/26

7 costi Si pone: Allora: c: costo di acquisto unitario k: costo fisso di produzione (indipendente dalla merce acquistata) h: costo di giacenza unitario u: costo di rottura unitario costo di produzione: C p (q) = cq + k costo di giacenza: C g (q) = q/d 0 q(t)dt = hq 2 /(2d) Teoria delle scorte p.7/26

8 soluzione C = C p (q) + C g (q) = cq + k + hq 2 /(2d) nell intervallo [0, q/d] nell unità di tempo q = 2dk h tempo ottimale di riordino: t = 2k dh Teoria delle scorte p.8/26

9 esempio Un produttore deve fornire ad un cliente pezzi di un prodotto ogni anno; supponiamo richiesta nota e costante consegna immediata costo di giacenza per ogni unità di prodotto pari a h = 0.1 euro costo per ordinazione pari a k = 350 euro Soluzione: conviene ordinare pezzi ogni 1.87 mesi (circa 1 mese e 26 giorni) Teoria delle scorte p.9/26

10 modello deterministico con rotture non si ordina subito quando il magazzino è vuoto (c è un costo di rottura non nullo) q(t) = s dt nell intervallo [0, q/d], per cui al tempo s/d il magazzino è vuoto e fino alla fine del periodo di osservazione si va sotto scorta costo di produzione: C p (q,s) = cq + k costo di giacenza: C g (q,s) = costo di rottura: C r (q,s) = s/d 0 q/d s/d q(t)dt = hs 2 /(2d) q(t)dt = h(q s) 2 /(2d) Teoria delle scorte p.10/26

11 soluzione C = C p (q,s) + C g (q,s) + C r (q,s) = cq + k + hs2 2d + h(q s)2 2d nell intervallo [0, q/d] nell unità di tempo q = 2dk h + u h u s = 2dk h u h + u tempo ottimale di riordino: t = 2k h + u dh u Teoria delle scorte p.11/26

12 considerazioni se u u + h, allora q = s (non conviene avere rotture). Questo accade quando i costi di rottura sono elevati (u >> h) i costi di giacenza sono nulli (h 0) graficamente all aumentare di q i costi di rottura diminuiscono ed i costi di giacenza aumentano Teoria delle scorte p.12/26

13 esempio nell esempio precedente supponiamo sia possibile andare sotto scorta supponiamo u = 0.2 euro sia la perdita dovuta alla mancata vendita di una unità del prodotto Soluzione: q unità e s con t 2.29 mesi (circa 2 mesi e 9 giorni); si ordinano q pezzi ma di questi q s servono a coprire ordini inevasi Teoria delle scorte p.13/26

14 domanda variabile nel tempo si suppongono sempre costi di produzione e giacenza eventualmente anche rottura) lineari la domanda non è costante, ma variabile nel tempo (d j al tempo j) supposto non si voglia andare sotto scorta, conviene sempre ordinare quando le scorte sono nulle (modello di Wagner Whitin) posto C i il costo ottimale dopo i periodi di tempo (C 0 = 0) C n = min j=1,...n (C j 1 + k + c(d j +...d n ) +h(d j + 2d j+1 + 3d j (n j + 1)d n )) Teoria delle scorte p.14/26

15 esempio k = 2,c = 1,h = 0.2 d 1 = 3,d 2 = 2,d 3 = 3,d 4 = 2 primo periodo: C 1 = 5.6 secondo periodo: C 2 = min(8.4, 10) = 10 terzo periodo: C 3 = min(13.2, 14.2, 14) = 13.2 quarto periodo: C 4 = min(16.8, 17.4, 16.8, 17.6) = 16.8 Teoria delle scorte p.15/26

16 distribuzione di probabilità lo spazio campione è l insieme di eventi che possono accadere durante la prova; la variabile aleatoria è una variabile in grado di assumere valori nello spazio campione; la funzione densità di probabilità (p.d.f.) è una funzione associata alla variabile aleatoria che ne descrive la probabilità la funzione distribuzione cumulativa (c.d.f.) è una funzione associata alla variabile aleatoria che ne descrive la probabilità in un insieme di valori Teoria delle scorte p.16/26

17 esempi (caso continuo) funzione esponenziale a parametro θ: f(y) = 1 θ e y/θ y 0 0 θ < 0 F(y) = 1 e y/θ funzione normale (gaussiana): f(y) = 1 2πσ e (y µ)2 /(2σ 2), σ > 0 Teoria delle scorte p.17/26

18 esempi (caso discreto) distribuzione binomiale: p(y) = n! k!(n k)! pk (1 p) n k 0 k n, 0 p 1 distribuzione di Poisson p(y) = λk e λ k! λ > 0,k 0 Teoria delle scorte p.18/26

19 modello stocastico Si suppone la domanda d sia una variabile aleatoria definita tramite una p.d.f. ϕ d (ξ); φ d può essere una funzione continua o discreta la ϕ d è definita per ξ > 0; tramite la ϕ si ottiene la c.d.f. Φ d ; valore atteso della domanda: E(D) = E(D) = ξ=0 ϕ d (ξ)dξ (caso continuo); ϕ d (ξ) (caso discreto); Teoria delle scorte p.19/26

20 profitto si pone: c: costo di acquisto unitario k: costo fisso di produzione h: costo di giacenza unitario p: profitto unitario y: livello di scorte Allora (trascurando i costi di giacenza): profitto = { guadagno - costi: py cy k d y P d (y) = pd cy k d < y Teoria delle scorte p.20/26

21 profitto E(P d (y)) = = p P d (y)ϕ d (ξ)dξ ξϕ d (ξ)dξ p + = pe(d) (pe(d y) + cy + k) y (ξ y)ϕ d (ξ)dξ (cy + k) v.a. del profitto = v.a. del guadagno - v.a. del costi; costi = costi di rottura + costi di acquisto; il valore atteso del guadagno è indipendente da y; Teoria delle scorte p.21/26

22 C d (y) = { E(C d (y)) = h costi p(d y) + cy + k h(y d) + cy + k +p y (y ξ)ϕ d (ξ)dξ 0 + y d y d < y (ξ y)ϕ d (ξ)dξ + cy + k = he(y d) + pe(d y) + cy + k; valore ottimale di scorte: y tale che Φ d (y ) = p c p + h Teoria delle scorte p.22/26

23 regole di derivazione Per ottenere il valore ottimale di scorte si sfruttano le seguenti regole: d dy (f(y)g(y)) = f (y)g(y) + f(y)g (y); ( d y ) f(ξ)dξ = f(y) ; dy d dy 0 ( y ) f(ξ)dξ = f(y) ; Teoria delle scorte p.23/26

24 esempio Un officina che controlla aerei deve ordinare e conservare pezzi di ricambio per gli stessi. La domanda di pezzi di ricambio ha p.d.f. Costi: acquisto: c = 1000 euro, giacenza: h = 100 euro, rottura: p = euro. ϕ d (ξ) = 1 50 e ξ/50, ξ 0; Soluzione: Φ d (y ) = 1 e y /50 = y = 50ln( ) 111 Teoria delle scorte p.24/26

25 problema discreto y E(C d (y)) = h (y ξ)ϕ d (ξ)+p + s=0 s=y+1 (ξ y)ϕ d (ξ)+cy +k; E(C d (y + 1)) = E(C d (y)) + hφ d (y) p(1 Φ d (y)) + c; E(C d (y 1)) = E(C d (y)) hφ d (y 1)+p(1 Φ d (y 1)) c; Il valore ottimale di scorte (imponendo E(C d (y )) E(C d (y + 1)) e E(C d (y )) E(C d (y 1))) è y tale che Φ d (y 1) p c p + h Φ d(y ) Teoria delle scorte p.25/26

26 esempio nel caso precedente poniamo ϕ d (i) uguale alla probabilità che si verifichino i guasti; ϕ(0) = 0.8, ϕ(1) = 0.07, ϕ(2) = 0.05, ϕ(3) = 0.03, ϕ(4) = 0.03, ϕ(5) = 0.02, ϕ( 6) = 0 Soluzione: poichè p c p+h ricambio da tenere in magazzino è il numero ottimale di pezzi di Teoria delle scorte p.26/26

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