Contenuto e scopo presentazione. Modelli Lineari. Problemi e Istanze. Problemi di ottimizzazione. Esempi Versione 07/03/2006

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1 Contenuto e scopo presentazione Modelli Lineari Esempi Versione 07/03/2006 Contenuto esempi di modelli lineari per problemi pratici Scopo presentare i passi che conducono allo sviluppo di modelli a partire da un problema pratico presentare alcuni trucchi del mestiere che permettono di ricondurre alla linearità anche problemi che apparentemente non lo sono. 2 Problemi e Istanze Problema P: domanda la cui risposta dipende dal valore assunto da un insieme di parametri e variabili. P è definito tramite la descrizione dei parametri e la descrizione delle proprietà di cui deve godere la risposta (soluzione) cercata. Una possibilità è fornire: l insieme delle soluzioni ammissibili F una funzione obiettivo c che permette di valutare il costo/profitto associato ad ogni soluzione. c:f R Problemi di ottimizzazione Problema di ottimizzazione: problema in cui si cerca, tra le soluzioni ammissibili x F, una soluzione x* (detta ottima) che massimizza o minimizza la funzione obiettivo c: oppure P = (F, c; min) min{ c(x) : x F } P = (F, c; max) max{ c(x) : x F } Istanza di un problema P : particolare domanda che si ottiene fissando i valori di tutti i parametri di P. 3 4

2 Problemi di programmazione lineare Forme compatte Problema di programmazione lineare PL: problema di ottimizzazione in cui: la funzione obiettivo c è lineare le condizioni che descrivono l insieme F sono lineari (e chiuse) le soluzioni ammissibili sono continue i parametri sono deterministici e.g.: max c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n b 1... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n b m x 1, x 2, x 3,..., x n 0 max c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n b 1... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n b m x 1, x 2, x 3,..., x n 0 max cx Ax b x 0 max Σ i=1..n c i x i Σ i =1..n a ji x i x i 0, b j, per j=1,..,m per i= 1,..,n 5 6 Definizioni max cx Ax b x 0 c, A, b : parametri del problema PL c : vettore funzione obiettivo A : matrice tecnologica b : vettore termini noti x : variabili del problema PL F = { x : Ax b, x 0 } : insieme delle soluzioni ammissibili G = { x : Ax b} : insieme delle soluzioni Descrizione del problema. obiettivo: massimizzare profitto vendite modelli Astro e Cosmo vincoli: non più di 60 Astro al giorno possono essere vendute; non più di 50 Cosmo al giorno possono essere vendute; non sono disponibili più di 120 ore di lavoro uomo. Esempio leve decisionali: produrre Astro e Cosmo (eventualmente in numero frazionario) dati tecnologici: una Astro richiede 1 ora uomo una Cosmo richiede 2 ore uomo una Astro rende 20 dollari una Cosmo rende 30 dollari 7 8

3 Formulazione matematica Formulazione matematica Formulazione del problema. Le variabili: la quantità di Astro e Cosmo prodotte x A, x C R sono variabili (si ipotizza) continue I vincoli: non produrre più di 60 Astro al giorno x A 60 non produrre più di 50 Cosmo al giorno x C 50 La funzione obiettivo: il profitto della produzione 20 x A + 30 x C la produzione non deve richiedere più di 120 ore di lavoro uomo x A + 2 x C 120 le quantità prodotte sono sempre non negative x A, x C Formulazione matematica Interpretazione grafica max 20 x A + 30 x C (profitto) capacità Astro x A 60 (capacità Astro) x C 50 (capacità Cosmo) x A + 2 x C 1 20 (lavoro) x A, x C 0 Cosmo 50 soluzioni ammissibili capacità Cosmo scelta ottima lavoro obiettivo 0 60 Astro 11 12

4 Ipotesi Difficoltà Linearità gli effetti di una variabile o attività sono proporzionali l interazione tra le variabili sono additive le variabili devono essere continue (se intere in genere il problema è molto difficile) soluzioni illimitate (cattivo modello) formulazione senza soluzioni ammissibili (si cerca di risolvere un problema senza soluzioni) inoltre si assume soluzioni ottime multiple (alternative equivalenti meritano un ulteriore Deterministicità analisi) cycling (vincoli ridondanti) Cosa interessa? Esempio: mix di produzione quale è la soluzione ottima quali vincoli sono stringenti quali risorse sono in eccesso di quanto aumenterebbe il ricavo se si avessero più risorse come varierebbe il ricavo se variassero i ricavi unitari dei prodotti come varierebbe il ricavo se variasse la tecnologia n prodotti ognuno dei quali necessita di una data quantità di materie prime m materie prime in disponibilità limitata c i profitto per ogni unità prodotta Product: P1 P2 P3 P4 P5 P6 Profit/Unit: Product Resource Requirements Start Inv. Steel <= 1200 Wood <= 1160 Plastic <= 1780 Rubber <= 1050 Glass <=

5 Esempio: mix di produzione Esempio: mix di produzione Descrizione del problema. obiettivo: massimizzare i profitti vincoli: non consumare più materie prime di quelle disponibili leve decisionali: quantità prodotte di beni dati tecnologici: c i profitto unitario del bene i-mo a ji consumo unitario di materia prima j-ma per produrre il bene i-mo b j disponibilità materia prima j-ma Formulazione del problema. Le variabili: le quantità prodotte di ogni bene x i R, tali variabili sono continue La funzione obiettivo: il profitto complessivo Σ i =1..n c i x i Esempio: mix di produzione Esempio: mix di produzione I vincoli: Formulazione generale: per n prodotti e m risorse per ciascuna risorsa la quantità totale di risorsa utilizzata per eseguire le produzioni non può superare la disponibilità massima della risorsa stessa Σ i =1..n a ji x i b j, per j = 1,..., m per ciascun bene la quantità prodotta è sempre non negativa i=1,..,n max Σ i=1..n c i x i Σ i =1..n a ji x i b j, per j=1,..,m x i 0 per x i 0, Estensioni: vincoli sulla capacità minima/massima di assorbimento del mercato 19 20

6 Esempio: mix di produzione Esempi SW Formulazione istanza specifica (profit) max 30 x x x x x x 6 (steel) x x x x (wood) 4 x x x 3 + x (plastic) 3 x x 3 + x (rubber) 2 x 1 + x x 4 + x x (glass) 2 x x x x x x x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x risoluzione del problema con LINDO risoluzione del problema con EXCEL modellamento e soluzione del problema con GAMS 22 Esempio: dieta Esempio: dieta n alimenti ognuno dei quali fornisce di una data quantità di elementi nutrizionali base m elementi nutrizionali base che devono essere soddisfatti c i costo per ogni unità di prodotto consumato Nutrients Per Unit Weight of Grain Minimum Item G1 G2 G3 G4 Req'd Nutrient A 2,2 3,4 7,2 1,5 >= 2,4 Nutrient B 1,4 1,1 0 0,8 >= 0,7 Nutrient C 2,3 5,6 11,1 1,3 >= 5 Descrizione del problema. obiettivo: minimizzare i costi dati tecnologici: c i costo unitario dell alimento i-mo vincoli: a ji apporto di nutriente j-mo per soddisfare i requisiti alimentari assunzione di una quantità unitaria minimi dell alimento i-mo leve decisionali: b j richiesta minima di nutriente j-mo quantità di alimenti acquistate Cost/Weight

7 Esempio: dieta Esempio: dieta Formulazione del problema. Le variabili: la quantità assunte di ogni alimento x i R, tali variabili sono continue I vincoli: per ogni elemento nutrizionale la quantità totale fornita dagli alimenti assunti deve essere non inferiore alla soglia minima Σ i =1..n a ji x i b j, per j = 1,..., m La funzione obiettivo: il costo complessivo di acquisto degli alimenti Σ i =1..n c i x i per ogni alimento la quantità assunta è sempre non negativa x i 0, Esempio: dieta Esempio: dieta Formulazione generale: per n alimenti e m nutrienti Formulazione istanza specifica j=1,..,m i=1,..,n min Σ i=1..n c i x i Σ i =1..n a ji x i b j, per x i 0, Estensioni: vincoli sulla capacità massima di assunzione di certi nutrienti vincoli sulla capacità massima di assunzione di certi alimenti scelta di alimenti per più periodi (e.g., una settimana invece di un solo giorno) per 27 (costo) min 35 x x x x 4 (nutra) 2.2 x x x x (nutrb) 1.4 x x x (nutrc) 2.3 x x x x x 1, x 2, x 3, x

8 Esempio: dieta con costi convessi Linearizzazione di costi convessi in problemi di minimo Data l'istanza precedente del problema della dieta si assuma che si verifichi una situazione inversa allo sconto dovuta alla scarsità di certi alimenti sul mercato. Ad esempio si supponga che il primo alimento abbia un costo di 35 fino ad un acquisto unitario e di 45 per acquisti superiori. Per gestire i costi convessi si devono introdurre i seguenti cambiamenti nella formulazione del problema. Esempio: dieta con costi convessi Le variabili: per il primo alimento si considerano due quantità continue x 1, y 1 R, dove x 1 rappresenta la quantità acquistata a prezzo normale y 1 rappresenta la quantità acquistata a prezzo maggiorato La funzione obiettivo: il costo complessivo di acquisto degli alimenti Σ i =1..n c i x i + d 1 y 1 dove c 1 è il prezzo unitario normale d 1 è il prezzo unitario maggiorato I vincoli: Esempio: dieta con costi convessi per ogni elemento nutrizionale la quantità totale fornita dagli alimenti assunti deve essere non inferiore alla soglia minima Σ i =1..n a ji x i + a j1 y 1 b j, per j = 1,..., m (il primo alimento a prezzo maggiorato viene visto come un nuovo prodotto con valori nutritivi identici al primo alimento a prezzo normale) per il primo alimento a prezzo normale la quantità assunta è sempre non negativa ma non può superare il valore unitario 0 x 1 1 per il primo alimento a prezzo maggiorato la quantità assunta è sempre non negativa y Esempio: dieta con costi convessi Formulazione istanza specifica (costo) min 35 x y x x x 4 (nutra) 2.2 x y x x x (nutrb) 1.4 x y x x (nutrc) 2.3 x y x x x x 1 1 y 1, x 2, x 3, x

9 Note: Esempio: dieta con costi convessi Esempi SW essendo le caratteristiche nutritive associate a y 1 identiche a quelle di x 1, il problema di minimo, il costo associato a y 1 maggiore di quello associato a x 1, nella soluzione ottima y 1 può assumere valore maggiore di zero solo se x 1 =1 i costi concavi (sconti) non si riescono a linearizzare, si devono gestire con la programmazione lineare mista. Se ci si comportasse come coi costi convessi la soluzione ottima prevederebbe sempre x 1 = 0 anche per y 1 > 0, infatti non vi sarebbe convenienza a comprare l alimento a prezzo non scontato risoluzione del problema con LINDO risoluzione del problema con EXCEL modellamento e soluzione di un problema di dimensioni maggiori con GAMS Esempio: trasporto Esempio: trasporto consumatori n fornitori con capacità massima a i m consumatori con richiesta minima b j c ij costo trasporto da i a j fornitori a i c ij b j Descrizione del problema. obiettivo: minimizzare i costi di trasporto vincoli: nessun fornitore può inviare più della propria capacità tutti i clienti devono ricevere almeno quanto desiderato leve decisionali: quantità inviate dai fornitori ai clienti dati tecnologici: a i capacità fornitore i-mo b j richiesta cliente j-mo c ij costo trasporto unitario da fornitore i-mo a cliente j-mo 35 36

10 Esempio: trasporto Esempio: trasporto Ipotesi di ammissibilità Perché il problema possa ammettere una soluzione deve essere verificata la seguente condizione necessaria sui dati Formulazione del problema. Le variabili: le quantità di prodotto trasportate su ciascun arco Σ i =1..n a i Σ j =1..m b j x ij R, tali variabili sono continue, per j = 1,..., m che stabilisce che la quantità totale di prodotto disponibile non può essere inferiore alla richiesta totale del prodotto stesso. Se tutti i fornitori sono collegati a tutti i clienti questa condizione diventa anche sufficiente per l esistenza di soluzioni ammissibili. La funzione obiettivo: il costo complessivo del trasporto Σ i =1..n Σ j=1..m c ij x ij Esempio: trasporto Esempio: trasporto Formulazione generale: per n fornitori e m clienti I vincoli: per ogni fornitore la quantità totale di prodotto spedita non può superare la disponibilità del fornitore stesso Σ j =1..m x ij a i, per ogni cliente la quantità totale di prodotto ricevuta deve essere non minore di quella richiesta Σ i =1..n x ij b j, per j = 1,..., m le quantità di prodotto trasportate su ogni arco sono sempre non negative x ij 0,, per j = 1,..., m 39 min Σ i=1..n Σ c j =1..m ij x ij Σ j =1..m x ij a i, Σ i =1..n x ij b j, per j = 1,..., m x ij 0,, per j = 1,..., m Estensioni: capacità massime per gli archi non tutti i fornitori sono connessi a tutti i destinatari il trasporto non avviene direttamente tra fornitore e destinatario, ma attraverso dei centri di raccolta e distribuzione intermedi possibili perdite nel trasporto più prodotti da trasportare con vincoli di capacità comuni 40

11 Esempi SW Esempio: miscela (blending) risoluzione di un problema con LINDO modellamento e soluzione di un problema con GAMS Generare una nuova lega miscela di date caratteristiche a partire da n composti base caratterizzati percentualmente (in peso) da m proprietà elementari (e.g., quantità di zolfo, piombo, etc.) c i prezzo composto base i Esempio: miscela Esempio: miscela Descrizione del problema. obiettivo: minimizzare i costi acquisto composti base per unità di miscela desiderata vincoli: la miscela desiderata deve soddisfare le caratteristiche richieste leve decisionali: quantità ogni composto base da utilizzare in termini percentuali di miscela finale dati tecnologici: a ji caratteristica j-ma composto base i-mo b j caratteristica j-ma richiesta per miscela desiderata c i costo unitario (in peso) composto i-mo Formulazione del problema. Le variabili: le quantità percentuale (in peso) di composto base nel prodotto finale x i R, tali variabili sono continue La funzione obiettivo: il costo complessivo acquisto composto base per unità di peso di prodotto finale Σ i =1..n c i x i 43 44

12 Esempio: miscela Esempio: miscela I vincoli: Formulazione generale: per n miscele e m caratteristiche per ogni caratteristica la somma dei contributi forniti da ogni composto base deve essere uguale al valore desiderato per il prodotto finale min Σ i=1..n c i x i Σ i =1..n a ji x i = b j, per j = 1,..., m Σ i =1..n a ji x i = b j, per j = 1,..., m il peso complessivo dei composti base deve essere uguale all unità Σ i =1..n x i = 1, x i 0, Σ i =1..n x i = 1 le quantità di composti base sono sempre non negative x i 0, Estensioni: introduzione di caratteristiche minime e massime (invece che esatte) tolleranza rispetto a piccole violazioni delle caratteristiche richieste Esempio: miscela Esempio: miscela Osservazioni: se l insieme delle caratteristiche è completo e comprende anche quelle inerti, valgono le condizioni Σ j =1..m a ji = 1, per i = 1,...,n Σ j =1..m b j = 1 in questo caso il vincolo Σ i =1..n x ij = 1, è ridondante (implicitamente imposto dai rimanenti vincoli) e quindi è inutile Osservazioni(cont.): dimostrazione: dati questi implicano Σ i =1..n a ji x i = b j, per j = 1,..., m Σ j =1..m Σ i=1..n a ji x i = Σ j =1..m b j Σ i=1..n Σ j =1..m a ji x i = Σ j =1..m b j Σ i=1..n x i = 1. Il vincolo non è ridondante se sono imposte condizioni di disuguaglianza invece che di uguaglianza

13 Esempi SW Esempio: portafoglio titoli (portfolio) risoluzione di un problema con LINDO modellamento e soluzione di un problema con GAMS Selezionare alternative di investimenti tenendo conto di n titoli (azioni/buoni/obbligazioni) disponibili sul mercato m tipologie di investimenti azionario/obbligazionario/buoni q caratteristiche dei titoli (affidabilità, maturità, profitto atteso, tassazione) Descrizione del problema. obiettivo: massimizzare il ritorno atteso vincoli: l affidabilità media del portafoglio deve essere non inferiore ad un dato livello minimo la maturità media deve essere non inferiore ad un dato livello minimo il portafoglio deve essere differenziato come tipologia di titoli Esempio: portafoglio titoli leve decisionali: quantità da acquistare di ogni titolo i dati tecnologici: a ji caratteristica j-ma titolo i-mo b j caratteristica j-ma minima richiesta per portafoglio d k numero minimo di titoli di tipo k- mo che devono essere presenti Q(k) insieme dei titoli di tipo k-mo p i profitto atteso unitario titolo i-mo t i tassazione titolo i-mo 51 Esempio: portafoglio titoli Formulazione del problema. Le variabili: le quantità di titoli (in capitale investito) da acquistare per il portafoglio x i R, tali variabili sono continue La funzione obiettivo: il profitto atteso complessivo (scontato della tassazione) Σ i =1..n p i (1-t i ) x i 52

14 I vincoli: Esempio: portafoglio titoli per ogni caratteristica (affidabilità, maturità) la media dei contributi forniti da ogni titolo deve essere non minore del valore desiderato Σ i =1..n a ji x i / Σ i=1..n x i b j Σ i=1..n a ji x i b j Σ i =1..n x i, per j = 1,..., q per ogni tipologia il numero dei titoli presenti deve essere non inferiore ad una quota minima Σ i Q(k) x i d k, le quantità di titoli sono sempre non negative per k = 1,..., m Formulazione generale: per n titoli Esempio: portafoglio titoli max Σ i=1..n p i (1-t i ) x i Σ i =1..n a ji x i b j Σ i=1..n x i, per j = 1,..., m Σ i Q(k) x i d k, x i 0, per k = 1,..., q Osservazione: se esiste almeno una soluzione ammissibile diversa da 0 il problema è illimitato superiormente... x i 0,, Esempio: portafoglio titoli Osservazione (cont.) Dimostrazione dell illimitatezza: (si dimostra che a partire da una qualunque soluzione ammissibile si può determinare un altra soluzione ammissibile a cui è associato una valore della funzione obiettivo maggiore.) Siano dati: una qualunque x (1) 0 soluzione ammissibile a cui è associato il valore della funzione obiettivo z( x (1) ) = p(1-t) x (1) uno scalare λ > 0 e un vettore v (detto direzione) posto v= x (1), la soluzione x (2) = x (1) + λ v banalmente soddisfa i vincoli del problema, quindi è ammissibile, ad essa è associato un valore della funzione obiettivo z( x (2) ) strettamente maggiore di z( x (1) ): z( x (2) ) = p(1-t) x (2) = p(1-t)(x (1) + λ v) = Commento Esempio: portafoglio titoli Quando un problema risulta illimitato vuol dire che il modello matematico della realtà analizzata non tiene conto di qualche vincolo significativo, eventualmente espresso solo implicitamente. Nel caso del problema del portafoglio titoli certamente non si ha a disposizione un capitale infinito per acquistare i titoli. Sia: C massimo capitale di rischio a disposizione deve aggiungersi il vincolo Σ i =1..n x i C = (1+ λ )p(1-t) x (1) = (1+λ ) z( x (1) ) > z( x (1) ) 55 56

15 Formulazione generale: per n titoli Esempio: portafoglio azioni max Σ i=1..n p i (1-t i ) x i Σ i =1..n a ji x i b j Σ i=1..n x i, per j = 1,..., m Σ i Q(k) x i d k, per k = 1,..., q Σ i =1..n x i C x i 0, Estensioni: formulazioni più complete tengono conto del rischio dell investimento attraverso le varianze dei profitti attesi, in questo caso però i modelli risultano quadratici. Scopo Esempio: pianificazione della produzione data la previsione della domanda su orizzonte T, massimizzare profitti e minimizzare costi livellare la produzione, in modo da potere rispondere con risorse finite e di limitata flessibilità alle fluttuazioni della domanda individuare possibili colli di bottiglia e risorse critiche Esempio: pianificazione della produzione Esempio: pianificazione della produzione Considerazioni: in fase di pianificazione a medio/lungo termine non si considerano singoli prodotti ma insiemi di prodotti. Gerarchie: prodotti/items: singolo modello/codice famiglie/families: gruppi di prodotti con costi analoghi di set up della produzione tipi/types: gruppi di famiglie con caratteristiche fisiche analoghe che competono per le stesse risorse di produzione. analogamente si considerano famiglie di risorse e non singole risorse Problemi determinare costi e tempi caratterizzanti un insieme di prodotti determinare la lunghezza dell orizzonte T e gestire il transitorio finale stimare la domanda, che è trattata in modo deterministico disaggregare i risultati * la previsione su singoli prodotti è soggetta ad eccessivi errori

16 Esempio: pianificazione della produzione 1 Esempio: pianificazione della produzione 1 Descrizione del problema. obiettivo: massimizzare profitti e minimizzare costi complessivi gestione risorse, prodotti, magazzino vincoli: rispettare capacità produttive e di rifornimento rispettare conservatività risorse non offrire più di quanto richiesto dalla domanda la domanda insoddisfatta è persa leve decisionali: quantità di materie prime utilizzate e di beni prodotti variabili di stato: livello delle scorte dati tecnologici: (vedi lucidi successivi) Nel seguito per semplicità si supporrà un unica materia prima e più prodotti finiti Costi: costi acquisizione materia prima : c H costi mantenimento per unità di volume per unità di tempo: c U costi produzione di un prodotto finito i-mo: c Ri ricavo vendita prodotto finito i-mo: r i costi penuria manufatto i-mo: c Pi Capacità capacità produttiva massima del prodotto finito i-mo per unità di tempo: P i capacità di fornitura massima materia prima: Q Esempio: pianificazione della produzione 1 Altri parametri: lunghezza orizzonte: T domanda prevista nel sottoperiodo t prodotto i-mo: D ti livello iniziale scorte materia prima: I 0 livello finale scorte materia: I T livello iniziale scorte prodotto finito i-mo: V 0i livello finale scorte prodotto finito i-mo: V Ti quantità di materia prima richiesta per unità di prodotto i-mo : a i volume occupato da materia prima: v volume occupato da prodotto finito i-mo: u i Esempio: pianificazione della produzione 1 Formulazione del problema. Le variabili: quantità prodotto finito i-mo venduto intervallo t: W ti volume magazzino occupato intervallo t: U t livello delle scorte materia prima alla fine dell intervallo: I t livello delle scorte prodotto finito i-mo alla fine dell intervallo t: V ti quantità materia prima acquisita nell intervallo t: H t quantità materia prima utilizzata nell intervallo t: Y t quantità prodotto finito i-mo realizzato nell intervallo t: X ti tutte le variabili sono definite in R, per t = 1,...,T, e sono continue Nota: le variabili X ti, W ti e U t sono imposte dal tipo di obiettivo da ottimizzare, le variabili I t e V ti sono variabili di stato, le variabili X ti, W ti,h t e Y t corrispondono a leve decisionali

17 Esempio: pianificazione della produzione 1 La funzione obiettivo: il profitto e i costi complessivi di acquisizione materie prime, produzione e scorte Σ t ( Σ i (r i W ti - c pi (D ti W ti )- c Ri X ti ) - c U U t - c H H t ) I vincoli: in ogni periodo la materia prima si conserva I t = I t-1 + H t - Y t, per t = 1,..., T in ogni periodo non si può ordinare più di una data quantità di materia prima H t Q, per t = 1,..., T Esempio: pianificazione della produzione 1 I vincoli: (cont.) in ogni periodo la tecnologia e le capacità produttive devono essere rispettate Σ i a i X ti = Y t, per t = 1,..., T, X ti P i, per t = 1,..., T, per i = 1,..., in ogni periodo la domanda e le scorte si bilanciano V ti = V (t-1)i - W ti + X ti, per t = 1,..., T, per i = 1,..., W ti D ti, per t = 1,..., T, per i = 1,..., volume magazzino occupato in ogni periodo U t = Σ i u i V ti + v I t, per t = 1,..., T, le quantità sono sempre non negative X ti, Y t, V ti, W ti, I t, H t, U t, 0, per t = 1,..., T, per i = 1,..., Esempio: pianificazione della produzione 1 Formulazione generale: per T periodi max Σ t ( Σ i (r i W ti - c pi (D ti W ti )- c Ri X ti ) - c U U t - c H H t ) I t = I t-1 + H t - Y t, per t = 1,..., T H t Q, per t = 1,..., T Σ i a i X ti = Y t, per t = 1,..., T, X ti P i, per t = 1,..., T, per i = 1,..., V ti = V (t-1)i - W ti + X ti, per t = 1,..., T, per i = 1,..., W ti D ti, per t = 1,..., T, per i = 1,..., U t = Σ i u i V ti + v I t, per t = 1,..., T, X ti, Y t, V ti, W t, I t, H t, U t, 0, per t = 1,..., T, per i = 1,..., Esempio: pianificazione della produzione 2 Descrizione del problema. obiettivo: minimizzare costi complessivi gestione risorse, prodotti, magazzino vincoli: rispettare capacità produttive rispettare conservatività risorse rispondere alla domanda anche con backorder leve decisionali: quantità di risorse utilizzate e di beni prodotti variabili di stato: livello delle scorte dati tecnologici: (vedi lucidi successivi) 67 68

18 Esempio: pianificazione della produzione 2 Costi: costi di livellamento costi acquisizione risorse: c H costi/profitti cessione risorse: c F costi mantenimento risorse: c W costi delle scorte costi mantenimento: c I costi penuria: c P costi delle risorse costi produzione normale di un manufatto: c R costi di mancato utilizzo delle capacità (idelness): c U costi produzione in straordinario o subfornitura di un manufatto: c O, c S Esempio: pianificazione della produzione 2 Altri parametri: lunghezza orizzonte: T domanda prevista nel sottoperiodo t: D t numero giorni lavorativi nel sottoperiodo t: n t livello iniziale scorte: I 0 livello finale scorte: I T capacità iniziale risorse: W 0 capacità di risorsa richiesta per unità di prodotto: a Esempio: pianificazione della produzione 2 Esempio: pianificazione della produzione 2 Formulazione del problema. Le variabili: disponibilità risorse: W t La funzione obiettivo: il costo complessivo di gestione risorse, produzione e scorte risorse acquisite: H t risorse cedute: F t risorse usate in modo straordinario: O t risorse non utilizzate: U t unità prodotte: P t Σ t ( c H H t + c F F t + c W W t + c U U t + c O O t + c I I +t + c P I -t + c R P t + c S S t ) I vincoli: in ogni periodo le risorse si conservano unità prodotte in subfornitura: S t livello delle scorte: I t, positive: I +t, negative: I -t : I t =I +t - I -t tutte le variabili sono definite in R, per t = 1,...,T, e sono continue W t = W t-1 + H t - F t, per t = 1,..., T 71 72

19 Esempio: pianificazione della produzione 2 Esempio: pianificazione della produzione 2 I vincoli: (cont.) in ogni periodo le capacità produttive devono essere rispettate ap t = n t W t + O t - U t, per t = 1,..., T Formulazione generale: per T periodi min Σ t ( c H H t + c F F t + c W W t + c U U t + c O O t + c I I +t + c P I -t + c R P t + c S S t ) in ogni periodo la domanda e le scorte si bilanciano I t = I t-1 + P t + S t - D t, per t = 1,..., T I t = I +t - I -t, per t = 1,..., T le quantità (tranne le scorte complessive) sono sempre non negative W t = W t-1 + H - F t t, per t = 1,..., T ap t = n W t t + O t - U t, per t = 1,..., T I t = I t-1 + P t + S - D t t, per t = 1,..., T I t = I +t - I -t, per t = 1,..., T H t, F t, U t, W t, I +t, I -t, P t, O t, S t 0, per t = 1,..., T H t, F t, U t, W t, I +t, I -t, P t, O t, S t 0, per t = 1,..., T Esempio: pianificazione della produzione 2 Esempio: pianificazione della produzione Formulazione generale: per T periodi, i prodotti e j risorse min Σ t ( Σ j (c Hj H jt + c Fj F jt + c Wj W jt + c U j U jt + c Oj O jt )+ + Σ i ( c Ii I +it + c I Pi -it + c Ri P it + c Si S it )) W jt = W jt-1 + H jt - F jt per t = 1,..., T, j Σ i a ji P it = n jt W jt + O jt - U jt per t = 1,..., T, j I it = I it-1 + P it + S it - D it per t = 1,..., T, i I it = I +it - I -it per t = 1,..., T, i H jt,f jt,u jt,w jt,i +it, I -it, P it,o it,s it 0 per t = 1,..., T, i, j 75 Osservazioni: alcune delle variabili potrebbero essere intrinsecamente intere. Si deve ricorrere alla programmazione mista (ma l onere computazionale potrebbe diventare eccessivo) oppure, se i valori ottenuti sono significativamente superiori all unità, si può arrotondare senza introdurre notevoli errori (ma può essere difficile mantenere l ammissibilità delle soluzioni) il modello a molti prodotti considera anche parzialmente il problema del make or buy, infatti le sue soluzioni indicano quali prodotti realizzare all interno dell azienda e quali affidare in subfornitura. Si deve invece passare alla programmazione lineare mista per gestire gli eventuali costi di set-up. Si tratta di introdurre nei costi una componente c Yi Y i dove Y i è una variabile binaria uguale a uno se non tutta la produzione del prodotto i è affidata alla subfornitura 76

20 Esempio: pianificazione della produzione Estensioni: i modelli assumono il back-order, quando si realizzano mancate vendite, i vincoli sulle scorte devono essere modificati I t = I +t-1 + P t + S t - D t I t = I +t - I -t possono esistere limiti superiori o inferiori su tutte le grandezze, e.g., O t K o può essere richiesto che i livelli di produzione o di magazzino non varino eccessivamente da un periodo al successivo Esempio: schedulazione attività Schedulare (i.e., definire tempi inizio) n attività tenendo conto che: ogni attività i potrebbe dovere sottostare a dei vincoli di precedenza rispetto ad altre attività (i.e., non potere iniziare prima che altre siano terminate) le attività devono essere completate il prima possibile (1- α) P t-1 P t (1+ α) P t Esempio: schedulazione attività Esempio: schedulazione attività Descrizione del problema. obiettivo: minimizzare il tempo del completamento complessivo di tutte le attività vincoli: i vincoli di precedenza tra le attività devono essere rispettati. leve decisionali: istanti di inizio di ogni attività dati tecnologici: p i tempo di esecuzione attività i-ma prec(i) insieme delle attività che precedono quella i-ma Rappresentazione grafica attività i-ma: nodo: evento (primo istante possibile) inizio attività / fine ultima attività precedente arco: attività t i pred(i) p i 79 80

21 Esempio: schedulazione attività Esempio: schedulazione attività Rappresentazione grafica (cont.) un istanza: Formulazione del problema. Le variabili: istanti di inizio delle attività p 3 p 7 t i R, p 1 tali variabili sono continue p 4 p 8 0 = min{t 1,t 2 } p 2 p 5 p 9 p 11 p 10 T = = max{t 10 +p 10,t 11 +p 11 } La funzione obiettivo: tempo di completamento dell ultima attività terminata max i=1..n { t i + p i } p Esempio: schedulazione attività Esempio: schedulazione attività Formulazione generale: per n attività I vincoli: min max i=1..n { t i + p i } per ogni attività il suo tempo di inizio deve essere non minore del tempo di completamento delle attività che la precedono t i t j + p j,, per j prec(i) t i 0, t i t j + p j,, per j prec(i) formulazione linearizzabile in min T i tempi di inizio sono convenzionalmente non negativi T t i + p i, t i 0, t i t j + p j,, per j prec(i) t i 0, 83 84

22 Esempio: schedulazione attività Osservazioni: i problemi di schedulazione della produzione spesso presentano vincoli ulteriori, e.g.: incompatibilità di esecuzione contemporanea di due o più attività poiché in competizione per la stessa risorsa/macchina. Questi casi sono molto più difficili di quello visto e possono essere formulati attraverso programmazione lineare mista (anche se spesso non conviene risolverli con tale approccio) la soluzione del problema proposto fornisce altre informazioni oltre a quelle riguardanti i tempi di inizio e fine, e.g., permette di evidenziare le attività critiche, i.e., quelle che se ritardate posticiperebbero la occlusione complessiva, e viceversa i tempi di slack, i.e. i tempi di cui si possono ritardare le attività non critiche nella seconda formulazione il vincolo T t i + p i poteva essere applicato alle sole attività senza successori Esempio: schedulazione attività le due formulazioni sono equivalenti poiché T max i=1..n { t i + p i } t i + p i, inoltre, dato che T viene minimizzato, almeno uno dei vincoli T t i + p i è stringente, i.e., esiste un attività j t.c.: T = max i=1..n { t i + p i } = t j + p j. Si noti che non si sarebbe invece potuto linearizzare un maxmax. analoghi ragionamenti valgono per obiettivi maxmin e minmin obiettivi min c x si possono linearizzare in modo analogo min T -T/c x T/c, non si possono linearizzare obiettivi max c x Esercizi Esercizi 1) Studiare i modelli lineari proposti in Gams e Lingo 2) Risolvere graficamente i seguenti problemi max 7 x 1 + x 2-6x 1 + 6x x x x 1 + 3x x 1-4x 2 54 x 1, x 2 0 min 3 x 1 + 2x 2 13x 1 + 3x x 1-14x x 1 - x x 1 + 5x x x x 1, x 2 0 3) Risolvere graficamente i seguenti problemi max x 1 + x 2 3x 1 + 8x x 1 + 2x x 1 + 4x x 1 + 3x 2 3 x 1, x 2 0 min 5 x 1 + 2x 2-4x 1 + 8x 2 24 x 2 7 2x 1 + x x 1 + 4x 2 68 x 1, x

23 Esercizi Esercizi 4) Risolvere graficamente i seguenti problemi max 6x x 2 8x x 1 + 9x x 1 + 5x x 1-4x 2 30 x 1, x 2 0 min x 1 + 2x 2 3x 1 + 2x 2 12 x 1 + 4x x 1 - x 2 45 x 1-2x 2 2 x 1, x 2 0 5) Risolvere graficamente i seguenti problemi ed indicare se esistono e quali sono i vincoli ridondanti max 7x 1 + 2x 2 min x 1 + 2x 2 7x 1-2x x 1 + x 2 2 3x 1 + 4x 2 28 x 1 + 7x x 1 + 6x 2 6 3x 1 + x x 1 + 3x x 1 + 5x x 1, x 2 0-3x 1 + x 2 3 x 1, x Esercizi 6) Considerare i problemi di programmazione lineare degli esercizi precedenti e determinare di quanto possono essere variati i coefficienti della funzione obiettivo senza che la soluzione ottima cambi. Considerare i problemi di programmazione lineare degli esercizi precedenti e determinare di quanto possono essere variati i termini noti dei vincoli senza che cambi il vertice su cui giace la soluzione ottima. Esercizi 7) Trasporto con vincoli di bundle. La ACME s.p.a. produce carta in 4 stabilimenti S1,..., S4. Gli stabilimenti S1 e S2 sono specializzati in carta per usi speciali, gli stabilimenti S3 e S4 sono specializzati in carta da ufficio. La ditta vende i suoi prodotti in 10 città V1,..., V10 distribuite su un vasto territorio. Il sistema logistico di distribuzione prevede che giornalmente i prodotti vengano avviati durante la notte a due grandi centri di distribuzione M1 e M2 e quindi da essi consegnati alle differenti città il mattino seguente. Sono note rispettivamente le necessità d 1,...d 10 di carta speciale ed e 1,...,e 10 di carta da ufficio delle 10 città. Sono note inoltre: le capacità produttive a 1,..., a 4 dei diversi stabilimenti; le capacità massime complessive dei due magazzini f 1 e f 2, le capacita massime dei magazzini per prodotto rispettivamente g 1, g 2 e h 1, h 2 ; le capacità di trasporto complessive dagli stabilimenti ai magazzini q 1,1,..., q 4,2 e dai magazzini alle città r 1,1,..., r 1,10, r 2,1,..., r 2,10 ; i costi di trasporto dagli stabilimenti ai magazzini c 1,1,..., c 4,2, e dai magazzini alle città b 1,1,..., b 2,10 (i costi sono indipendenti dal tipo di carta). Minimizzare i costi di trasporto giornalieri, sapendo che le capacità complessive sono espresse in termini di unità di carta da ufficio e che un unità carta speciale occupa il doppio del volume di un unità di carta da ufficio. Indicare le condizioni necessarie di esistenza della soluzione

24 8) Allocazione di risorse energetiche Esercizi Un ente che fornisce servizi nel campo dell energia deve pianificare gli investimenti strategici nel lungo periodo tenendo conto della domanda di potenza prevista. In particolare si prevede una domanda di potenza d e da elettricità, d r per riscaldamento in varie forme, d b da benzina e d g da gas. L ente prevede di investire nello sviluppo di raffinerie, impianti a carbone, idroelettrici e geotermici. Il costo di produzione di un kw nei diversi impianti è rispettivamente c p, c c, c i e c g. La produzione delle raffinerie può soddisfare solamente la richiesta di benzina ed olio da riscaldamento, la produzione degli impianti a carbone può soddisfare solamente la richiesta di gas per riscaldamento, gas per altri usi e di elettricità, gli impianti idroelettrici possono soddisfare solo la domanda di elettricità, infine gli impianti geotermici la domanda di elettricità e di riscaldamento. Per motivi strategici e tecnologici non più di una quantità f ij di domanda di tipo j deve essere soddisfatta da un impianto di tipo i. Determinare l investimento minimo che deve essere fatto per soddisfare la domanda tenendo presente che vi sono delle perdite di potenza nel trasporto e quindi solo una quantità di energia a ij < 1 giunge a soddisfare la domanda di tipo j per ogni kw prodotto da un impianto di tipo i. 93 9) Schedulazione di attività Esercizi Un cantiere navale ha ricevuto una commessa e deve pianificare le proprie operazioni (vedi tabella). Il pagamento avviene al compimento di determinati milestone. In particolare, il 10% della commessa viene pagato al termine delle operazioni D ed E, un rimanente 30% al termine delle operazioni G ed H, la rimanente parte del pagamento avviene a commessa completata. Determinare le date in cui si ritiene di potere consegnare la commessa finita al cliente e quando si ritiene di potere raggiungere i milestone. Si tenga presente che, a causa degli accordi contrattuali con i fornitori dei semilavorati, alcune operazioni non possono iniziare prima di determinate date di rilascio (release time) r i e a causa del cambiamento della legislazione fiscale in vigore è estremamente conveniente eseguire certe lavorazioni che utilizzano particolari materiali entro certe date di scadenza (duedate) d i. (continua) 94 (continuazione) Esercizi Attività Predecessori Durata Release time Duedate A 3 B 6 C B 2 D B 5 8 E A 7 14 F D C A 5 13 G B E 9 20 H D I F G )Pianificazione uso territorio. Esercizi Una multinazionale del settore agroalimentare deve pianificare l uso dei propri terreni in una determinata regione e la quantità di risorse da acquisire in termini di forza lavoro e materiali per il prossimo anno solare. Esistono terreni di varia natura, alcuni dei quali utilizzabili solo per il foraggio, altri che possono modificare la propria natura attraverso l intervento umano. Sia l s la quantità di terreno disponibile di tipo s, inoltre sia CTraf st il costo di trasformazione di un ettaro da tipo s a tipo r, per ogni (s,r) in L = { (s,r): tipo s modificabile in r}. Si possono realizzare diversi tipi di coltivazioni, alcune delle quali permettono di mettere a semina diversi tipi di prodotti contemporaneamente su uno stesso appezzamento. Sia e pus la quantità di prodotto u ottenuto per ogni ettaro di coltivazione p su un terreno di tipo s. (Tra i prodotti u vanno compresi anche i foraggi citati nel seguito.) Ogni tipo di coltivazione richiede nei diversi mesi dell anno una differente quantità di lavoro da parte della manodopera. Sia d pst la quantità di giorni uomo necessari alla coltivazione p su un ettaro di terreno di tipo s durante il mese t. Sia CPersT il costo giornaliero di una lavoratore temporaneo, sia CPersI il costo annuale di un lavoratore a tempo indeterminato. Ogni tipo di coltivazione implica inoltre il consumo di differenti quantità di risorse (e.g., fertilizzanti). Sia f psk la quantità di risorsa k necessaria alla coltivazione p su un ettaro di terreno di tipo s. Sia CRis k il costo unitario di una risorsa di tipo k. (continua) 96

25 Esercizi (continuazione) Per ogni capo di bestiame che si decide di allevare è necessaria una certa quantità di del foraggio g v, dove v è uno tra i possibili tipi di foraggio producibili. Ogni capo di bestiame richiede inoltre una certa quantità di ore uomo per essere accudito, il tempo richiesto dipende a sua volta dalle stagioni dell anno. Sia m t il numero di giorni uomo richiesti da ogni capo di bestiame il mese t. Infine, sia CVet il costo per il veterinario in cui si incorre per ogni capo di bestiame. I costi unitari delle risorse da acquisire sono abbastanza stabili nel tempo, mentre i prezzi a cui si vendono i prodotti agricoli hanno subito notevoli variazioni negli anni passati. Siano PProd uy, PBest y rispettivamente il prezzo di vendita di un quintale di un prodotto u e di un capo di bestiame nell anno y. Sviluppare un modello lineare che permetta alla multinazionale di massimizzare i profitti attesi minimizzando i rischi (si supponga di avere sufficienti dati storici da ritenere che una previsione ragionevole dei prezzi di vendita sia la media dei prezzi dei cinque anni precedenti e che il rischio sia proporzionale alla deviazione standard dei prezzi stessi oltre che alla quantità di prodotto coltivato o al numero di capi allevati). 11)Schedulazione di macchine. Esercizi Le 4 tipologie di prodotti T1,..., T4 dalla ACME s.p.a. possono essere realizzate nei 3 centri di lavorazione M1, M2, M3. In particolare ogni centro di lavorazione jmo può produrre a ij tonnellate di prodotto imo all ora al costo c ij per tonnellata. Sia b j il numero di ore mensili disponibili al centro di lavorazione jmo, sia d i la domanda mensile in tonnellate di prodotto imo e g i il ricavo unitario ottenibile dalla vendita di ogni tonnellata dello stesso prodotto. Massimizzare i profitti ottenibili sapendo che la domanda devono essere soddisfatta completamente. Indicare le condizioni necessarie di esistenza di una soluzione Esercizi 12)Pianificazione risorse e produzione La ACME s.p.a. è un industria di trasformazione alimentare che utilizza materie prime il cui costo per tonnellata è soggetto a forti variazioni stagionali. Per ogni materia prima i-ma, c it è il valore atteso del costo per tonnellata durante il t-mo mese dell anno e d i è il costo di mantenimento in magazzino per mese di ogni tonnellata. La produzione di ogni alimento j non può superare u j tonnellate mensili. Ogni tonnellata di alimento j richiede a ij tonnellate di ogni materia prima i, può essere mantenuta in magazzino al prezzo e j, richiede l utilizzo di g j ore uomo delle h t disponibili il mese t ed induce ulteriori costi di produzione f j oltre a quelli di acquisto e gestione delle materie prime e quelli del personale (questi ultimi sono fissi e proporzionali ad h t ). Massimizzare i profitti attesi, attualizzando costi e ricavi ad un tasso del 20% annuo, nei prossimi 12 mesi sapendo che ogni prodotto j può essere venduto al prezzo p j per tonnellata e che la sua domanda mensile non eccede q jt. Attualmente sono presenti in magazzino r i tonnellate di ogni materia prima i e s j tonnellate di ogni prodotto finito j e si ritiene che si dovrebbero avere le stesse scorte anche tra un anno. Indicare le condizioni necessarie di esistenza di una soluzione che soddisfi completamente la domanda q jt. Esercizi 13)Controllo della rabbia In una zona delle alpi si sono censite 250 volpi rabbiose e 15 cani rabbiosi nell anno E noto che il numero delle volpi rabbiose nell anno corrente è uguale a 4 volte il numero delle volpi rabbiose dell anno precedente più 2 volte il numero di cani rabbiosi dell anno precedente meno il numero di volpi che non verranno contagiate grazie all intervento profilattico mirato alle volpi. Analoga legge di propagazione esiste per i cani. Il numero dei cani rabbiosi nell anno corrente è uguale a 1.3 volte il numero delle volpi rabbiose dell anno precedente più 1.5 volte il numero di cani rabbiosi dell anno precedente meno il numero di cani che non verranno contagiati grazie all intervento profilattico mirato ai cani. Ogni intervento profilattico per le volpi costa 250 euro e salva 2 volpi. Ogni intervento profilattico per i cani costa 100 euro e salva 3 cani. Minimizzare i costi degli interventi profilattici nei prossimi 5 anni rispettando il vincolo che, per ogni anno, il numero delle volpi rabbiose non sia superiore a 150 e il numero dei cani rabbiosi non sia superiore a

26 Esercizi 14)Transshipment La ACME deve pianificare quanta merce spedire dai propri stabilimenti s=1..s ai propri magazzini centrali m=1..m e dai magazzini centrali ai propri clienti r=1..r nei prossimi giorni t=1..t È noto che non può spedire più di U sm materiale al giorno da ogni stabilimento s ad ogni magazzino m e più di Q mr da ogni magazzino m ad ogni cliente r. La capacità produttiva giornaliera di ogni impianto non supera K s. La capacità massima dei magazzini è N m. Nel trasporto della merce da un magazzino ad un cliente si perde generalmente a mr di quanto trasportato. Inizialmente i magazzini sono vuoti. Determinare quanto produrre e quanto trasportare in modo che in T ogni cliente cliente abbia ricevuto complessivamente E r. I costi di trasporto sono rispettivamente C sm e D mr. 101