3.Polinomi ed operazioni con essi

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1 MatematicaC Algebra1 1.Lebasidelcalcololetterale1.Polinomieoperazioniconessi....Polinomi ed operazioni con essi 1. Definizioni fondamentali Un polinomio è una somma algebrica di monomi, ciascuno dei quali si chiama termine. Quindi, un polinomio è un espressione algebrica letterale che consiste in una somma algebrica di monomi. Esempio Sonopolinomi: 6a b;5ab b ; 6x 5yx1; 7ab a b 4. Se tra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice in forma normale o ridotto; se al contrario si presentano dei termini simili, possiamo eseguire la riduzione del polinomio sommando i termini simili. Tutti i polinomi sono quindi riducibili in forma normale. Un polinomio in forma normale può presentare tra i suoi termini un solo numero, senza parte letterale, che indicheremo come termine noto. Esempio Ilpolinomio:ab b ba 46ab 5b ;ridottoinformanormalediventa ab 6b 6ab 4.Ilterminenotoè4 E1 Riduci in forma normale il seguente polinomio: 5a 4ab1a aba a. Svolgimento: Evidenziamo i termini simili e sommiamoli tra di loro 5a 4ab 1a ab a a, in modo da ottenere. Il termine noto è. Un polinomio può anche essere costituito da un unico termine, pertanto un monomio è anche un polinomio. Un polinomio che, ridotto in forma normale, è somma algebrica di due, tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio. Esempio xy 5x y èunbinomio; ab a 4a èuntrinomio; a6ab ab5bèunquadrinomio. Due polinomi, ridotti in forma normale, formati da termini uguali si dicono uguali, più px qx precisamente vale il principio di identità dei polinomi: due polinomi e essi sono uguali se, e solo se, sono uguali i coefficienti dei termini simili. Se due polinomi sono invece formati da termini opposti, allora si dicono polinomi opposti. Definiamo, inoltre, un polinomio nullo quando i suoi termini sono a coefficienti nulli. Il polinomio nullo coincide con il monomio nullo. Esempi 1 1 Ipolinomi: xy y x;y x xysonouguali. Ipolinomi: 6ab a b ;a b 6ab sonoopposti 1

2 MatematicaC Algebra1 1.Lebasidelcalcololetterale1.Polinomieoperazioniconessi... Ilpolinomio: 7ab 4a ab b 4a b 6ab b èunpolinomionullo,infatti riducendoloinformanormaleotteniamoilmonomionullo0. Il grado complessivo (o semplicemente grado) di un polinomio è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini. Si chiama, invece, grado di un polinomio rispetto ad una data lettera l esponente maggiore con cui quella lettera compare nel polinomio. Esempi Ilpolinomio ab 4a b hagradocomplessivo4perchéilmonomiocongradomassimo è 4a b,cheèunmonomiodiquartogrado. Ilgradodelpolinomio a b a4ba rispettoallalettera a èperchél esponentepiù altoconcuitaleletteracompareè. E a) Individua il grado complessivo del polinomio: x y y 5yx 6y x. Svolgimento: il grado del polinomio è perché il monomio di grado massimo è. b) Individua il grado del polinomio: 5a b 4ab rispetto alla lettera b. Svolgimento: il grado di tale polinomio rispetto alla lettera b è perché. Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini che lo compongono sono dello stesso grado. Esempio Ilpolinomio: a b ab èunpolinomioomogeneodigrado. E Stabilire quali dei seguenti polinomi sono omogenei: axy ) yx 4x; b)xy xy ; c)x y y x 5x Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (crescenti) di una lettera, quando i suoi termini sono ordinati in maniera tale che gli esponenti di tale lettera decrescono (crescono), leggendo il polinomio da sinistra verso destra. Esempio 1 Ilpolinomio: x xyxy yèordinatosecondolepotenzedecrescentidella 4 8 lettera x,esecondolepotenzecrescentidellalettera y. Infine, un polinomio di grado n rispetto ad una data lettera si dice completo se contiene tutte le potenze di tale lettera di grado inferiore a n, compreso il termine noto. Esempio 4 1 Ilpolinomio: x x 5x x ècompletodigrado4einoltrerisultaordinatorispetto 5 allalettera x.ilterminenotoè. 5

3 MatematicaC Algebra1 1.Lebasidelcalcololetterale1.Polinomieoperazioniconessi... E4 Individuare quali dei seguenti polinomi sono ordinati rispetto alla lettera x con potenze crescenti a) x x ; b) xx 5x ; c)x x x x 8 4 E5 Relativamente al polinomio b a a a Il grado massimo è Il grado rispetto alla lettera a è Rispetto alla lettera b è Il polinomio è ordinato? SI NO Completo? SI NO Omogeneo? SI NO. Somma algebrica di polinomi I polinomi sono somme algebriche di monomi e quindi le espressioni letterali che si ottengono dalla somma o differenza di polinomi sono ancora somme algebriche di monomi. In definitiva diciamo che la somma di due o più polinomi è un polinomio avente per termini tutti i termini dei polinomi addendi. E6 Calcolare la somma dei due polinomi: x 5 yx, x xy y x y Svolgimento: Indichiamo la somma x 5 yx x xy yx y, eliminando le parentesi otteniamo il polinomio x 5yxx xy yx y, sommando i monomi simili otteniamo... x 4 x y... xy y... La differenza di due polinomi si può trasformare in somma del primo polinomio con l opposto del secondo. Esempio a b aba ab ba b aba ab ba ab b 5 a ab b Esegui le seguenti somme di polinomi E7 1) ab b; ) ab b; ) a b b E8 1) a( b b) ; ) a b( a b) ; ) a b ( a b) a a;...; a b...;5a b;... E9 1) a b4ba a b; ) a b 6a b a b E10 1) a b a b ; ) a b (b a) 6 a b;... 5a b;...;4 ; ) a1 a. Prodotto di un polinomio per un monomio Consideriamo il monomio x y e il polinomio xy 5x y ; indichiamo il loro prodotto con x y xy 5x y moltiplicazione rispetto all addizione, otteniamo:. Per eseguire tale moltiplicazione applichiamo la proprietà distributiva della x y xy5x y 6x y 15x 5 y. Pertanto il prodotto di un monomio per un polinomio è il polinomio avente come termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio. Nel caso in cui il monomio è nullo il risultato della moltiplicazione è il monomio nullo.

4 MatematicaC Algebra1 1.Lebasidelcalcololetterale1.Polinomieoperazioniconessi... Esempio x y x y xy x y x y x y xy x 5 y 4x 4 y Eseguire i seguenti prodotti di un monomio per un polinomio: 1 E11 x yxy x y Svolgimento: x y xy x y x y x y. 4 4 E1 1) (a + b)b; ) (a - b)b; ) (a + b)(-b) E1 1) (a b + 51)b; ) (-a b - 51)(-b); ) (a - a)a E141) (a - a)(-a); ) (a a - 1)a ; ) -a(a a - 1)(-a ) E15 1) (a b ab - 1)(ab); ) (ab ab - 1)(ab) ab b,..., ab b ab b 51 b,..., a a ,...,a a a..., ab E16 1) (a b ab - 1)(a b ); ) (a b ab - 1)(ab) ab 4 abab,... E17 1) ab(a b ab - 1)ab [a 4 b a b - a b ] 4 E a 4 8 a a a 4 E19 a a a b ab ab ab 4. Quoziente tra un polinomio e un monomio Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all addizione. Si dice che un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio, dà come risultato il polinomio di partenza. Sapendo che ogni monomio è divisibile per qualsiasi numero diverso da zero, allora anche ogni polinomio è divisibile per un qualsiasi numero diverso da zero. Inoltre, un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se ogni lettera del monomio divisore compare, con grado uguale o maggiore, in ogni monomio del polinomio dividendo. Il quoziente tra un polinomio e un monomio, non nullo, è il polinomio ottenuto dividendo ogni termine del polinomio per il monomio divisore Esempio Eseguiamolaseguentedivisionetrapolinomioemonomio: : x y x y x y x y x y x xy Svolgere le seguenti divisioni tra polinomi e monomi: x y 8 xy : xy E0 Svolgimento: E1 6x 5 y 4 x y 6 : x y 4 Svolgimento: xy 5 4 xy 6 xy 4 xy 8 xy : xy xy xy :... 4

5 MatematicaC Algebra1 1.Lebasidelcalcololetterale1.Polinomieoperazioniconessi... E 1) (a + a):a; ) (a - a):a; ) (a - a):(-a) a1,..., a E 1) (a - ) : ; ) ( a - ): ; ) ( a - ): 4a 4, a, a a E4 1) a : ; ) 1 a a 1 a : a ; ) (a + a 1 - a):a 1,..., a a a E5 1) (8a + 4a - a):a; ) (a b + a b- ab):ab ; ) (a b + a b- ab):b 4a a1,..., a ba a E6 1) (a b - a b - ab 4 ):(-ab a ); ) (a + - a a ) : ( ) a abb, Prodotto di polinomi Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio. In questa operazione vale la proprietà associativa e anche quella commutativa, inoltre indicheremo l elemento neutro con il numero 1, mentre lo 0 sarà chiamato elemento assorbente. 1 Consideriamo ora due polinomi aba4abe ab aab, eseguiamo il prodotto, si ha 1 1 aba4ab ab aab ab ab ab ab a 9ab ab 4ab1a b 1 4 riducendo i termini simili ab abab ab a 9ab 4ab 1ab. Esempi 4 a) Eseguiamo la seguente moltiplicazione tra polinomi x y xy x y y. Procediamo moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo x y xy x yy x yxyx y y 6x y 9xy. In questo caso non ci sono termini simili e quindi l operazione è completata. 1 b) Calcoliamo il prodotto dei polinomi x x, 1 4 x x x x1 x x x x, riduciamo i termini simili, otteniamo x x x. E7 4 1 x x x x Svolgimento: 4x x x x 8x 1 x... xx x x... 4 Esercizi sui prodotti di polinomi con polinomi avente indice letterale n 1 n n a a a a n 1 a n n 1 4 [ n a a ] E8 E9 n n 1 n a a a a n a n 1 n n1 n n1 n E0 a a a a a [ [ n n1 n n1 a a a a ] n n a a ] 5

6 MatematicaC Algebra1 1.Lebasidelcalcololetterale1.Polinomieoperazioniconessi... n n1 n1 n E1 a a a n1 n1 E 1 a a [ n4 n n a a a ] 1 a [ a n a n ] Altri esercizi E (-a 1 - ) (- a + a) a E4 (a b) [(4b + a ) - (a b)] 9b E5 (a 5b) [(b + 4a ) - (a b)] 9b 18b E6 aa a a a a 1 E7 5x xy y x y 15x y 9x y x y E8 xy x xy6xy 4x y x y x y 4 E9 4 ab ab ab : ab ab a b E40 4 a a a : a 1 a a 1 1 E41 ab ab ab : ab a 4b a 4 n1 n n 1n E4 a a a : a 1 aa 1 E4 x 6xy 4y xy y n1 n1 E44 1 a a n 1 n n1 n n n E45 a a a a a a x y x y y xy a a n n1 4n4 4n E46 x1x16x x1x x E47 a b a ab1 a abaa ab a a Versione del , hanno collaborato Francesco Speciale versione 1 Antonio Bernardo e Francesco Speciale versione Germano Pettarin esercizi Antonio Bernardo revisione 4 6