Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

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1 Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

2 Studio di una funzione

3 Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente nell intervallo (a, b) se f (x 1 ) < f (x 2 ) quando x 1 < x 2 per ogni x 1, x 2 di (a, b) Una funzione f é decrescente nell intervallo (a, b) se f (x 1 ) > f (x 2 ) se x 1 > x 2 per ogni x 1, x 2 di (a, b) Crescente Decrescente Crescente

4 Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente nel punto x 0 se esiste un intorno I(x 0 ) di x 0 tale che per ogni x I x 0 f x f(x 0 ) x x 0 > 0 D(f). Una funzione f è decrescente nel punto x 0 se esiste un intorno I(x 0 ) di x 0 tale che f x f(x 0 ) x x 0 < 0 per ogni x I x 0 D(f).

5 Teorema sulla crescenza e decrescenza di una funzione Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso [a, d] e differenziabile sull intervallo aperto a, d. 1. Se f x > 0 per ogni x in (b, c), allora f é crescente in [b, c]. 2. Se f x < 0 per ogni x in (a, b), allora f é decrescente in [a, b]. 3. Se f x = 0 per ogni x in (c, d), allora f é costante in [c, d]. a b c d

6 Sostituendo le disuguaglianze precedenti f x > 0 e f x < 0 con f x 0 e f x 0 0, allora f è non decrescente o non crescente.

7 Estremi di una funzione: massimi e minimi Una funzione f definita in un insieme A R ha un massimo in x = c, appartenente ad A, chiamato max f, se f ( x) f ( c) per ogni x in A. Una funzione f definita in un insieme A R ha un minimo in x = c, appartenente ad A, chiamato min f, se f ( x) f ( d) per ogni x in A. a b c d

8 Estremi di una funzione: massimi e minimi a relativi Una funzione f definita in un insieme A R ha un massimo relativo in x = c appartenente ad A, se esiste un intorno di c, I(c) f ( x) f ( c) per ogni x in I c A Una funzione f definita in un insieme A R ha un minimo relativo in x = d appartenente ad A, se esiste un intorno di d, I(d) con f x f(c) per ogni x in I d A. b c d

9 Esempio max rel min rel nè max nè min

10 Teorema (Test della derivata prima) Sia c un punto critico della funzione f continua su un intervallo aperto I che contiene c, cioé f c = 0 o f c non esiste. Se f è differenziabile sull intervallo I, a eccezioni eventualmente del punto c, allora c può essere classificato come segue: Se f (x) cambia segno da negativo a positivo in c, allora c è un punto di minimo relativo di f. Se f (x) cambia segno da positivo a negativo in c, allora c è un punto di massimo relativo di f. Se f (x) non cambia di segno in c, allora c non è nè un punto di minimo nè un punto di massimo.

11 Estremi di una funzione max f a f (x)>0 f (x)<0 f (x)>0 b min f c d rel min f f (x)=0 f (x)>0 f (x)>0

12 Passi per trovare intervalli su cui la funzione è crescente e decrescente: primo metodo Test dei segni Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo (a, b) 1. Localizzare i punti critici di f in (a, b), e usare questi numeri per determinare gli intervalli test. 2. Determinare il segno di f (x) in un punto test per ciascun intervallo test. 3. Usare il Teorema precedente per determinare se f è crescente o decrescente su ogni intervallo.

13 Osservazione Se la funzione è continua su un unione di intevalli il test dei segni va applicato a ciascuno di essi. Se la funzione presenta dei punti singolari essi vanno inclusi nel test dei segni.

14 Passi per trovare intervalli su cui la funzione è crescente e decrescente: secondo metodo Studio del segno della derivata Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo (a, b) 1. Localizzare i punti critici di f in (a, b). 2. Studiare il segno di f (x). 3. Usare il Teorema precedente per determinare gli intervalli dove f è crescente o decrescente e localizzare gli eventuali punti di massimo e di minimo.

15 Esempio: primo metodo Esempio 1. Trovare i punti di massimo e di minimo della funzione 5 x 5x f ( x) 5 Soluzione Notiamo che f(x) è differenziabile su tutto l asse reale. Ponendo f x = 0 si trovano i punti critici. f x = x 4 1 = (x 1)(x + 1)(x 2 + 1)

16 Intervalli < x < 1 1 < x < 1 1 < x < Valori test x = 2 x = 0 x = 2 Segno di f (x) Conclusio ne f 2 = 15 > 0 f 0 = 1 < 0 f 2 = 15 > 0 crescente decrescente crescente Quindi gli zeri di f x sono x = 1 e x = 1 dal test dei segni si ha che il punto x = 1 è un punto di massimo relativo, il punto x = 1 è un punto di minimo rel.

17 Esempio: secondo metodo Invece di fare il test dei segni si studia il segno della derivata: f x = x 4 1 = (x 1)(x + 1)(x 2 + 1) x + 1 > 0 x > 1 x 1 > 0 x > 1 x > 0 sempre Discussione dei segni:

18 1 1 x x Prodotto max min

19 Esempio Studiare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: f x = xe x Svolgimento: la funzione data è derivabile su R (dominio): f x = e x (1 + x) Per trovare i punti critici si pone f x = 0: e x 1 + x = 0 x = 1 Segno della derivata prima: e x 1 + x > 0 x > 1 Il punto x = 1 è un punto di minimo relativo

20 Grafico

21 Derivata seconda e concavità di una funzione Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, si dice convessa in a, b se per ogni x 0 (a, b) il grafico della funzione sta al di sopra della retta tangente nel punto (x 0, f(x 0 )).

22 Derivata seconda e concavità di una funzione Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, si dice concava in a, b se per ogni x 0 (a, b) il grafico della funzione sta al di sotto della retta tangente nel punto (x 0, f(x 0 )).

23 Punto di flesso Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, il punto x 0 (a, b) si dice punto di flesso se esiste δ > 0: la funzione f é concava in (x 0 δ, x 0 ) e convessa in (x 0, x 0 + δ)) (o viceversa).

24 Teorema Data una funzione f: a, b R, tale che esista la derivata seconda f in a, b. Se f x > 0 per ogni x a, b, allora la funzione è convessa in a, b. Se f x < 0 per ogni x a, b, allora la funzione è concava in a, b. + +

25 Procedimento per trovare i punti di massimo e di minimo: terzo metodo Segno della derivata seconda. Sia f una funzione derivabile n volte su un intervallo (a, b). Localizzare i punti critici della funzione f in (a, b), cioé le soluzioni dell equazione f x = 0. Determinare il segno di f (x) (derivata seconda) nei punti critici: a) se f x < 0 il punto critico è un massimo relativo b) se f x > 0 il punto critico è un minimo relativo,

26 c) se f x = 0 si dovrebbe calcolare la derivata terza f x o quelle successive finché la derivata nel punto è diversa da zero. Se la prima derivata diversa da zero ha ordine pari si ha un punto di massimo se è negativa e di minimo se è positiva, se ha ordine dispari allora si ha un punto di flesso.

27 Esempio Trovare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: f ( x) ( x 8x 1) Punti critici: f x = x 3 4x = 0 x(x 2 4) = 0 x = 0, x = ± Derivata seconda: f x = 3x 2 4

28 Esempio f 0 = 4 < 0 punto di massimo relativo f ±2 = 12 4 = 8 > 0 punti di minimo.

29 Studio di una funzione Trovare il dominio Trovare le intersezioni con gli assi, se è possibile. Trovare gli asintoti verticali (punti singolari) e orizzontali. Trovare i punti di massimo e di minimo attraverso la derivata. Disegnare il grafico.

30 Esempio Studiare la seguente funzione f(x) nell intervallo [0, 2 ] e disegnare il grafico: Svolgimento: x f ( x) cos x 2 1) Il dominio é [0, 2 ]. 2) Intersezioni con gli assi: per x = 0, y = 1, per y = 0 l equazione x f ( x) cos x 2 non si risolve direttamente. 0

31 3) Non sono asintoti verticali perchè non ci sono punti singolari. Non ha senso ricercare asintoti orizzontali perchè il dominio è finito.

32 3) Massimi e minimi: la funzione f x é differenziabile in [0, 2 ]. Si pone f x = 0 per trovare i punti critici. f '( x) 1 2 sin x 0 Allora gli zeri di f (x) sono x = /6 e x = 5 /6 Il punto x = /6 è un punto di massimo, mentre il punto x = 5 /6 un punto di minimo. Infatti dalla derivata seconda si ricava che: f x = cos x f /6 = f 5 /6 = 3 2 < 0 /6 è un punto di max relativo. 3 2 > 0 5 /6 è un punto di min relativo.

33 Esempio Studiare la seguente funzione f x e tracciare il grafico: Soluzione f 2 ( x) ( x ((x^2-4)^2)^(1/3) 1) Dominio: R. Osservazione: E una funzione pari perché f x = f( x) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x 0. Il grafico per x < 0 si ottiene simmetricamente rispetto all asse delle y. 2 / 3 2) Intersezioni con gli assi: per x = 0 si ha che y = 2. Per y = 0 si ha che x = 0 x = ±2. 4)

34 Si pone f x = 0 per trovare i punti critici. f '( x) 2 3 ( x 2 4) 1/3 (2x) 3( x 2 4x 4) 1/3 Quindi f x = 0 per x = 0. ((x^2-4)^2)^(1/3) Test dei segni: Intervallo < x < 2 2 < x < 0 0 < x < 2 2 < x < + Valori test x = 3 x = 1 x = 1 x = 3 Segno di f (x) f 3 < 0 f 1 > 0 f 1 < 0 f 3 > 0 Conclusione Decrescente Crescente Decrescente Crescente

35 Dal test dei segni si ha che in x = 0 si ha un punto di max relativo. Inoltre la derivata non esiste in x = ±2. Infatti lim x ±2 4x 3 x = I punti x = ±2 sono di minimo.

36 Esempio Studiare la funzione f(x) e tracciare il grafico: f x = x4 + 1 x 2 1) Il dominio é R\{0}. Osservazione: E una funzione pari perché f x = f( x) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x 0. Il grafico per x < 0 si ottiene simmetricamente rispetto all asse delle y. 2) Intersezioni con gli assi: per x = 0, la funzione non è definita, per y = 0 l equazione x = 0 non ha soluzione.

37 3) Asintoti verticali: x lim x 0 + x 2 = = + Non ci sono asintoti orizzontali perchè lim x x x 2 = +

38 4) Massimi e minimi. Si pone f x = 0 per trovare i punti critici. d 2 f '( x) [ x dx 4 x x Quindi f x = 0 per x = 1 e f (x) non esiste per x = 0. Il punto x = 1 é di minimo. x 2 ] 2x 2x Intervallo 0 < x < 1 1 < x < + Valori Test x = 1/2 x = 2 3 Segno f (x) f 1/2 < 0 f 2 > 0 Conclusione Decrescente Crescente

39 Esempio Studiare la funzione f(x) e tracciare il grafico: Soluzione: 1) Dominio: f x = ln x 2 1 x x 2 1 x 2 +1 > 0 Il numeratore è positivo x 2 1 > 0 per x < 1 o x > 1. Infatti l equazione associata x 2 1 = 0 ha soluzioni x = ±1.

40 Il denominatore è sempre positivo x > 0. Infatti l equazione associata x = 0 non ha soluzioni reali. Quindi i dominio è: D = x x < 1 o x > 1} Osservazione: E una funzione pari perché f x = f( x) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x 0. Il grafico per x <0 si ottiene simmetricamente rispetto all asse delle y.

41 2) Intersezioni con gli assi: Il punto x = 0 non appartiene al dominio quindi non ci sono intesezioni con l asse delle y. Ponendo y = 0 si ottiene ln x 2 1 x 2 +1 = 0 x2 1 x 2 +1 = 1 x 2 1 = x non ci sono soluzioni e quindi non si hanno intersezioni con l asse delle x.

42 3) Asintoti verticali. Per cercare eventuali asintoti verticali viene calcolato il limite nei punti di frontiera del dominio: lim ln x 2 1 x 1 + x = ln 0+ = quindi la retta di equazione x = 1 è un asintoto verticale. Asintoti orizzontali: lim ln x 2 1 x + x = ln 1 = 0 quindi la retta di equazione y = 0 è un asintoto orizzontale.

43 4) Massimi e minimi. Per la ricerca dei punti di massimo e di minimo si calcola la derivata della funzione: f x = x x 2 1 = 2x x x(x 2 1) x = 4x (x 2 1)(x 2 + 1) Punti critici: 4x (x 2 1)(x 2 + 1) = 0 x = 0

44 Siccome il punto x = 0 non appartiene al dominio non ci sono punti critici e quindi punti di massimo e di minimo.

45 Esercizi 1. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = 2x 3 6x 2 f x = 2x 4 2x f x = x x f x = x 1 x+2 f x = 6 cos x + 6 sen x f x = x 2 ln(x 2 )

46 Esercizi 2. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = 2x 4 2 x f x = x 3 + x f x = log x2 4x+4 x 2 f x = ex 2+e 2x f x = 2 + sen x 2 f x = x 1 x+1

47 Esercizi 3. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = 1+3x4 x 3 f x = 3 x2 (x 2) 2 f x = x 2 ln x 1 2 f x = e 1+x 1+x 2 f x = x + 2 1

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