Esercitazione di Meccanica Razionale 12 ottobre 2016 Laurea in Ingegneria Meccanica Latina

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1 Esercitazione di Meccanica Razionale 12 ottobre 2016 Laurea in Ingegneria Meccanica Latina Quesito 1. Si considerino il riferimento fisso {O, e i } e quello mobile {O (t), e i (t)}; sia Γ(t) la matrice del cambiamento di base e i (t) = Γ ij (t) e j. Siano w, λ > 0. Si consideri il moto di trascinamento definito dalle funzioni o 1(t) = 0, o 2(t) = 0, o 3(t) = wt e cos(λt) sin(λt) 0 Γ(t) = sin(λt) cos(λt) Si determini la velocità angolare del moto di trascinamento. 2. Si dica se il moto di trascinamento è traslatorio, sferico, rotatorio, oppure non cada in nessuno di questi casi. 3. All istante 0 un elemento ha velocità relativa nulla e occupa il punto X(0) R 3 dello spazio delle posizioni dell osservatore fisso tale che OX(0) = r e 1, con r > 0. Si determinino il moto assoluto e il moto relativo dell elemento sapendo che la sua accelerazione assoluta vale a = g e 3 con g > 0. Quesito 2. Si considerino il riferimento fisso {O, e i } e quello mobile {O (t), e i (t)}; sia Γ(t) la matrice del cambiamento di base e i (t) = Γ ij (t) e j. L osservatore mobile si muove di moto rotatorio uniforme di asse l asse coordinato 2, in verso antiorario rispetto a e 2, con modulo della velocità angolare uguale a λ > 0 e mantenendo l origine O (t) costantemente coincidente con O. 1. Si scriva la matrice del cambiamento di base Γ(t) e si scriva il vettore velocità angolare. 2. Si scrivano i moti componenti del moto assoluto e di quello relativo di un elemento in moto circolare uniforme rispetto all osservatore fisso sulla circonferenza di centro O, giacente nel piano 1 3, di raggio r > 0, in verso antiorario rispetto a e 2 e con velocità angolare λ. 3. Si risponda alla stessa domanda del punto precedente nel caso in cui il moto circolare uniforme si svolge in verso orario rispetto a e 2.

2 Quesito 3. Un osservatore mobile si muove rispetto a quello fisso in modo tale che l origine del sistema di riferimento mobile O (t) percorre una circonferenza nello spazio delle posizioni dell osservatore fisso. Si assume, inoltre, che il moto di O (t) si svolga a velocità di modulo costante e che il riferimento mobile sia in ogni istante coincidente con il triedro principale associato alla circonferenza nel punto O (t). 1. Si calcoli la velocità angolare del moto di trascinamento. 2. Si calcolino la velocità e l accelerazione dell immagine X s (t) di quel punto solidale all osservatore mobile tale che O X s (t) = r τ(t), ove r > 0 e τ(t) è il versore tangente alla circonferenza nel punto O (t). 3. Si calcolino la velocità e l accelerazione dell immagine X s (t) di quel punto solidale all osservatore mobile tale che O X s (t) = r ν(t), ove r > 0 e ν(t) è il versore normale principale alla circonferenza nel punto O (t). Quesito 4. Un osservatore mobile si muove di moto traslatorio uniforme rispetto a quello fisso; si scelgano i riferimenti fisso e mobile in modo tale che la base mobile sia costantemente coincidente con quella fissa e l origine mobile si muova lungo l asse coordinato 1 del riferimento fisso. 1. Il moto assoluto di un elemento è circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio r giacente nel piano fisso 1 2 centrata nell origine. Si scrivano i moti componenti del moto assoluto e di quello relativo e si descrivano a parole le principali caratteristiche del moto relativo. 2. Si ripeta la discussione del punto precedente supponendo che il moto assoluto si svolga nel piano Si ripeta la discussione del punto precedente supponendo che il moto assoluto si svolga nel piano 2 3 Quesito 5. Un osservatore mobile si muove di moto traslatorio uniforme rispetto a quello fisso; si scelgano i riferimenti fisso e mobile in modo tale che la base mobile sia costantemente coincidente con quella fissa e l origine mobile si muova lungo l asse coordinato 1 del riferimento fisso. Sia w > 0 il modulo della velocità del moto dell origine mobile.

3 1. Un elemento si muove rispetto all osservatore fisso con accelerazione a = g e 3 con g > 0. All istante iniziale l elemento si trova nell origine del riferimento fisso con velocità assoluta v(0) = w e 1. Si determinino i moti componenti del moto assoluto e di quello relativo e si descrivano a parole le principali caratteristiche dei due moti. 2. Si ripeta la discussione del punto precedente supponendo che v(0) = w e Si ripeta la discussione del punto precedente supponendo che v(0) = w e 3. Quesito 6. Un osservatore mobile si muove di moto rotatorio uniforme rispetto a quello fisso; si scelgano i riferimenti fisso e mobile in modo tale le origini fissa e mobile siano costantemente coincidenti e l asse mobile 3 coincida costantemente con quello fisso 3. Si supponga che il moto rotatorio si svolga in verso antiorario rispetto all asse 3 e che il modulo della velocità angolare sia α > Un elemento è in quiete rispetto all osservatore fisso in un punto posto sull asse fisso 1 a distanza λ > 0 dall origine. Si determinino i moti componenti del moto relativo e se descrivano a parole le principali caratteristiche. 2. Un elemento si muove di moto rettilineo uniforme rispetto all osservatore fisso lungo l asse coordinato 3. Si determinino i moti componenti del moto assoluto e di quello relativo e se ne descrivano a parole le principali caratteristiche. 3. Si ripeta la discussione del punto precedente supponendo che il moto assoluto si svolga lungo l asse coordinato Un elemento si muove di moto rettilineo uniforme rispetto all osservatore fisso lungo una retta parallela all asse coordinato 3 e incidente l asse 1 in un punto a distanza λ > 0 dall origine. Si determinino i moti componenti del moto assoluto e di quello relativo e se ne descrivano a parole le principali caratteristiche. Quesito 7. Un osservatore mobile si muove di moto rotatorio uniforme rispetto a quello fisso; si scelgano i riferimenti fisso e mobile in modo tale le origini fissa e mobile siano costantemente coincidenti e l asse mobile 3 coincida costantemente con quello fisso 3. Si supponga che il moto rotatorio si svolga in verso antiorario rispetto all asse 3 e che il modulo della velocità angolare sia α > 0.

4 1. Un elemento è in quiete rispetto all osservatore mobile in un punto posto sull asse mobile 1 a distanza λ > 0 dall origine. Si determinino i moti componenti del moto assoluto e se descrivano a parole le principali caratteristiche. 2. Un elemento si muove di moto rettilineo uniforme rispetto all osservatore mobile lungo l asse coordinato mobile 3. Si determinino i moti componenti del moto assoluto e di quello relativo e se ne descrivano a parole le principali caratteristiche. 3. Si ripeta la discussione del punto precedente supponendo che il moto relativo si svolga lungo l asse coordinato mobile 2. Quesito 8. Un osservatore mobile si muove di moto traslatorio rispetto a quello fisso e l immagine di un punto solidale descrive un moto circolare uniforme rispetto all osservatore fisso. Si scelgano i riferimenti fisso e mobile in modo tale che la base mobile sia costantemente coincidente con quella fissa e l origine mobile si muova lungo una circonferenza sul piano fisso 1 2, centrata nell origine fissa, di raggio r > 0 e percorsa in verso antiorario rispetto all asse fisso 3. Sia α > 0 il modulo della velocità angolare del moto circolare uniforme dell origine mobile. 1. Un elemento si muove rispetto all osservatore fisso con accelerazione a = g e 3 con g > 0. All istante iniziale l elemento si trova nell origine del riferimento fisso con velocità assoluta v(0) = w e 3. Si determinino i moti componenti del moto assoluto e di quello relativo e si descrivano a parole le principali caratteristiche dei due moti. 2. Un elemento si muove rispetto all osservatore fisso con accelerazione a = g e 3 con g > 0. All istante iniziale l elemento si trova nell origine del riferimento mobile con velocità relativa nulla. Si determinino i moti componenti del moto assoluto e di quello relativo e si descrivano a parole le principali caratteristiche dei due moti. 3. Si ripeta la discussione del punto precedente supponendo che v re (0) = w e 3. Quesito 9. Si consideri la seguente situazione fisica: un aeroplano decolla con accelerazione di modulo costante α mantenendo il suo asse a un angolo fissato β (0, π/2) rispetto al piano orizzontale e l asse delle sue ali parallelo al piano orizzontale. Nell aeroplano un bambino lancia una palla con velocità iniziale diretta come l asse individuato dalla ali e con modulo λ > 0. Si costruisca un modello per il moto di un osservatore sull aeroplano rispetto a un osservatore a terra. Si assuma che il moto assoluto della palla sia quello di caduta di un grave. Si

5 determinino i moti componenti dei moti assoluto e relativo e se ne descrivano le principali proprietà. Quesito 10. Si consideri la seguente situazione fisica: un aeroplano decolla con accelerazione di modulo costante α mantenendo il suo asse a un angolo fissato β (0, π/2) rispetto al piano orizzontale e ruotando attorno al suo asse con velocità angolare costante λ. Un bambino tiene nelle mani una palla. Si costruisca un modello per il moto di un osservatore sull aeroplano rispetto a un osservatore a terra. Si determinino i moti componenti del moto assoluto della palla e se ne descrivano le principali caratteristiche. Quesito 11. Si consideri il seguente problema fisico: una giostra è costituita da una piattaforma circolare che giace in un piano orizzontale e ruota con velocità angolare costante attorno a un asse verticale passante per il suo centro. Sulla piattaforma ci sono delle navicelle che ruotano con velocità angolare costante rispetto alla piattaforma attorno a perni verticali conficcati nella piattafoma. Si consideri una navicella che ruota attorno a un perno posto a distanza r dal centro della piattaforma. Un bambino in tale navicella tiene in mano una palla. Si costruisca un modello per il moto di un osservatore sulla navicella rispetto a un osservatore a terra. Si determinino i moti componenti del moto assoluto della palla e se ne descrivano le principali proprietà.