Calcolo degli integrali indefiniti

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1 Appendice B Calcolo degli integrali indefiniti Se f è una funzione continua nell intervallo X, la totalità delle sue primitive prende il nome di integrale indefinito della funzione f, o del differenziale f (), e si indica con il simbolo: f (). (B.0.1) Ogni funzione primitiva dicesi una determinazione dell integrale indefinito. Si ricorda che se F è una primitiva di f, l insieme delle primitive si ottiene dalla relazione G () = F () + c al variare della costante c. Si scrive perciò: f () = F () + c con c costante arbitraria, detta costante d integrazione. Ci occuperemo, in questa appendice della questione d individuare delle classi di funzioni elementarmente integrabili e del calcolo delle primitive. A tale scopo risulta utile la seguente tabella di integrali, che chiameremo integrali indefiniti fondamentali, e che costituiscono il punto di partenza per affrontare la questione cui dianzi abbiamo accennato: = + c α = α c α 1, = log + c α + 1 a = a log a + c, e = e + c cos = sin + c, sin = cos + c 375

2 376 Calcolo degli integrali indefiniti cos = tan+c, cosh = sinh + c, 1 sin = cotg +c, sinh = cosh + c = arcsin + c = arccos + c = arctg + c = arccotg + c = settsenh + c = log c 1 = settcosh + c = log c 1 = setttgh + c = 1 log c cosh = tanh+c Osservazione 16 A proposito dell integrale di 1 1 e di ricordiamo che è arcsin + arccos = π e arctg + arccotg = π B.1 Integrazione per decomposizione in somma Se f 1, f sono funzioni continue in un intervallo, e se c 1, c sono costanti, si ha: [c 1 f 1 () + c f ()] = c 1 f 1 () + c f () Esempio 56 Per il calcolo dell integrale cos ci ricordiamo che: cos = cos sin = cos 1 cos = 1 (1 + cos ) donde: cos = 1 (1 + cos ) = sin + c

3 B. Integrazione per parti 377 B. Integrazione per parti Se u e v sono funzioni derivabili in un intervallo, con derivate continue, si ha: u ()v () = u ()v () u ()v () (B..1) Dimostrazione Per rendersi conto di ciò, basta osservare che: D [u ()v ()] = u ()v () + u ()v () e quindi, integrando ambo i membri, è: u ()v () = u ()v () + u ()v () da cui si ricava la (B..1). La formula (B..1) esprime la regola d integrazione per parti; nell integrale a primo membro i fattori u () e v () si chiamano, rispettivamente, il fattore finito ed il fattore differenziale. La (B..1) si può usare quando si debba calcolare un integrale del tipo: f ()g () (B..) e si conosca una primitiva di uno dei due fattori. Se ad esempio è nota una primitiva G di g, si assume f () come fattore finito e g () = dg () come fattore differenziale. Applicando la (B..1) si trova allora: f ()g () = f ()dg () = f ()G() f ()G() e così il calcolo dell integrale (B..) si riconduce al calcolo dell integrale del prodotto G ()f (). Il procedimento è utile se quest ultimo integrale o è più semplice di quello di partenza o se quest ultimo integrale è fondamentale. Esempio 57 Per calcolare l integrale: e, se si sceglie e come fattore differenziale si ha: e = de = e e = e e + c = e ( 1) + c Se invece si sceglie come fattore differenziale, si trova: ( ) e = e d = e 1 e e, come si vede, si perviene ad un integrale più complicato di quello di partenza.

4 378 Calcolo degli integrali indefiniti Il metodo d integrazione per parti è applicabile anche al calcolo dell integrale: f () scegliendo 1 come fattore differenziale. Si trova allora: f () = f () f () e naturalmente il procedimento è utile se l integrale di f () è più semplice di quello di f (). Esempio 58 Si ha: log () = log () 1 = log () + c = (log () 1) + c B.3 Integrazione per sostituzione Sia f una funzione continua nell intervallo [a, b] e φ(t) una funzione continua assieme alla sua derivata prima in un certo intervallo [α, β]. Supponiamo inoltre che il codominio della φ(t) sia contenuto in [a, b] in modo che possiamo considerare la funzione composta f [φ(t)]. Posto: f () = F () + c (B.3.1) è: F () = f () Premesso ciò, deriviamo la funzione F [φ(t)]. Si ha: (B.3.) DF [ϕ (t)] = F [ϕ (t)] ϕ (t) = f [ϕ (t)] ϕ (t) da cui: F [ϕ (t)] = f [ϕ (t)] ϕ (t)dt In base alla (B.3.1) possiamo anche scrivere: [ ] f () = f [ϕ (t)] ϕ (t)dt =ϕ(t) (B.3.3) Se ora supponiamo che la funzione = φ(t) sia dotata di funzione inversa t = ψ (), poichè φ[ψ ()] =, ponendo nella (B.3.1) t = ψ () si ha: [ ] f () = f [ϕ (t)] ϕ (t)dt (B.3.4) t=ψ()

5 B.3 Integrazione per sostituzione 379 Ora accade sovente che, scegliendo opportunamente la funzione φ(t), l integrazione del differenziale f [ϕ (t)] ϕ (t)dt sia più facile che non quella del differenziale f () ; la formula (B.3.4) può dunque riuscire, in molti casi, assai utile e il metodo d integrazione per sostituzione consiste appunto nella sua applicazione. Esempio 59 Si voglia calcolare l integrale; e α Si ha: e α = 1 α e α d (α) = 1 α [ Esempio 60 Si voglia valutare l integrale: e sin t sintcos tdt. Si noti che con la sostituzione seguente: = sint = cos tdt ] e t dt = 1 t=α α eα + c si ha: ossia: [ e sin t sintcos tdt = ] e =sin t e sin t sintcos tdt = e sin t (sint 1) + c Esempio 61 Si voglia calcolare: a, a > 0. Notiamo che, in R, tale integrale ha senso se e solo se: sicchè possiamo porre: a 0 a a = asint, con t [ π, π ] Allora è: a = a a sin t acos tdt = = a a cos t 1 sin tdt = ] cos td (t) + dt = [ cos t + 1 cos tdt = a dt = a 1 [ ] = a 1 sin(t) + t + c = a [sin t cos t + t] + c

6 380 Calcolo degli integrali indefiniti Dalla posizione fatta si ricava: Si noti che: sin t + cos t = 1 cos t = In definitiva è: a = 1 t = arcsin a B.4 Formule di ricorrenza ( 1 sin t cos arcsin ) ( = 1 a a) ( a + arcsin a + a Spesso s incontrano integrali del tipo: I n = (f ()) n g () ) 1 a con f e g funzioni assegnate, ed n integro maggiore di 1. Si vengono così ad ottenere delle formule ricorrenti, i.e. formule che consentono di esprimere I n mediante I n 1. L applicazione ripetuta di tale formula consentirà di esprimere I n mediante I 0 e se quest ultimo integrale è elementarmente calcolabile tale sarà anche I n. Esempio 6 Si voglia calcolare l integrale: I n = n e Integrando per parti si ha facilmente: I n = n e n n 1 e = n e ni n 1 Applicando n volte tale formula il calcolo di I n si riconduce al calcolo di I 0 = e = e + c Così, ad esempio: I 3 = 3 e 3I = 3 e 3 ( e I 1 ) = + c = 3 e 3 [ e (e I 0 ) ] = e ( ) + c

7 B.4 Formule di ricorrenza 381 Esempio 63 Si calcoli l integrale: I n = sin n. Assumendo come fattore differenziale sin e come fattore finito sin n 1, si ha integrando per parti: sin n = sin sin n 1 = sin n 1 d (cos) = = sin n 1 cos + (n 1) cos sin n = sin n 1 cos + (1 + (n 1) sin ) sin n = = sin n 1 cos + (n 1) sin n (n 1) sin n Di qui si trae facilmente la formula ricorrente: I n = 1 n sin n 1 cos + n 1 n I n. E ovvio che mediante tale formula il calcolo di I n si riconduce a quello di: I 0 = = + c se n è pari, e a quello di: I 1 = sin = cos + c se n è dispari. Esempio 64 Si valuti l integrale: I n = arcsin n. Integrando per parti, col fattore differenziale, si trova: I n = arcsin n = arcsin n n 1 arcsinn 1 Si osservi, a tal punto, che: ( ) D 1 = 1 ( ) = d 1. 1 Quindi è: I n = arcsin n + n ( ) arcsin n 1 d 1 (B.4.1)

8 38 Calcolo degli integrali indefiniti Integrando per parti quest ultimo integrale è: ( ) arcsin n 1 d 1 = 1 arcsin n 1 + (n 1) arcsin n. Sostituendo questo risultato in (B.4.1) si ha: I n = arcsin n + n 1 arcsin n 1 n (n 1)I n Quest ultima formula ricorrente condurrà al calcolo di: I 0 = = + c nel caso in cui n sia pari, e a quello di: I 1 = arcsin = arcsin + 1 nel caso in cui n sia dispari. B.4.1 = arcsin+ 1 D ( 1 ) 1 = arcsin c L integrale della funzione 1 (1 + ) n Un altra formula di riduzione, molto importante, è quella che si stabilisce per il calcolo dell integrale: I n = (1 + ) n (n N, n > 1), (B.4.) Si ha: I n = 1 + (1 + ) n = (1 + ) n = I n 1 Per quest ultimo integrale conviene osservare che: = 1 d ( ) (1 + ) n. sicchè è: (1 + ) n = (1 + ) n = 1 d ( 1 + ) (1 + ) n = = 1 ( 1 + ) n ( d 1 + ) = 1 (( 1 + ) ) n+1 d n + 1

9 B.5 Integrali delle funzioni razionali. 383 Integrando per parti è: (1 + ) n = 1 ( 1 + ) n n + 1 = (n 1)(1 + ) n (n 1) = Quindi è: ossia: I n = I n 1 + n + 1 (1 + ) n+1 = (1 + ) n 1 = (n 1) (1 + ) n (n 1) I n 1 (n 1) (1 + ) n 1 1 (n 1) I n 1 I n = n 3 n I n 1 + B.5 Integrali delle funzioni razionali. (n 1)(1 + ) n 1. (B.4.3) Il metodo d integrazione per decomposizione in somma trova una importante applicazione nel problema dell integrazione delle funzioni razionali. Detti n () e D () due polinomi a coefficienti reali di cui il primo di grado n e il secondo di grado m consideriamo la funzione razionale: f () = N () D () Se è n m possiamo eseguire la divisione di N () per D () e, detti Q() e R () il quoziente e il resto, si ha: da cui: f () = N () D () f () = = Q() + R () D () R () Q() + D (). Poichè sappiamo calcolare l integrale del polinomio Q(), il problema dell integrazione della funzione razionale f () è ricondotto a quello dell integrazione di un altra funzione razionale nella quale il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore. E dunque di quest ultimo problema che dobbiamo preoccuparci. Cominciamo a considerare il caso particolare in cui R () è di primo grado e D () di secondo grado, supponiamo cioè che riesca: R () D () = + p + q (B.5.1)

10 384 Calcolo degli integrali indefiniti Il metodo da seguire per calcolare l integrale di una tale funzione differisce a seconda del segno del discriminante del denominatore. Se è 4q p > 0 si scrive: + p + q = m + p + p + q + n mp 1 + p + q, da cui: + p + q = m d log ( + p + q ) + n mp + p + q i.e.: + p + q = m log ( + p + q ) + n mp + p arctg + c 4q p 4q p (B.5.) Se è 4q p < 0 il polinomio a denominatore della nostra funzione ha due radici reali distinte α 1 e α, e si ha pertanto: + p + q = ( α 1 )( α ) Cerchiamo allora di determinare le costanti A 1 e A in modo che riesca: + p + q = A 1 α 1 + A α Tale formula, riducendo le due frazioni a secondo membro allo stesso denominatore, può anche scriversi: + p + q = (A 1 + A ) (A 1 α + A α 1 ) + p + q e affinchè tale identità sussista, occorre e basta, per il principio di identità dei polinomi, che riesca: A 1 + A = m ossia: A 1 α + A α 1 = n A 1 = mα 1 + n α 1 α, A = mα + n α 1 α. Dopo ciò si ha, in definitiva: + p + q = mα 1 + n log α 1 mα + n log α + c α 1 α α 1 α Supponiamo infine che sia 4q p = 0 in tal caso il polinomio + p + q = ( α) (B.5.3)

11 B.5 Integrali delle funzioni razionali. 385 ha una sola radice doppia α = p e si ha quindi: + p + q = ( α) Cerchiamo allora di determinare le costanti A 1 e A in modo che riesca: + p + q = A 1 α + d B 1 τ Eseguendo la derivazione indicata nel secondo membro di tale formula e riducendo tale secondo membro allo stesso denominatore, si ha: da cui: e quindi: + p + q = A 1 A α B 1, + p + q m = A 1, n = (A 1 α + B 1 ) A 1 = m, B 1 = (mα + n). Dopo ciò si ha, in definitiva: mα + n = mlog α + p + q α + c Esempio 65 Si voglia calcolare l integrale: Si ha intanto: Si osservi che l equazione: = = (B.5.4) ha la radice reale = 1 per cui, mettendo in vista nel primo membro il fattore ( 1), essa può anche scriversi: Poichè l equazione di secondo grado: ( 1) ( ) = = 0 non ha radici reali, cerchiamo di determinare le costanti A, m, n in modo che riesca: = A

12 386 Calcolo degli integrali indefiniti Eliminando i denominatori da tale formula si ha: + 7 = (A + m) + (A + n m) + 5A n da cui, eguagliando i coefficienti dei termini omologhi del primo e secondo membro, si ha: A + m = 0, A + n m = 1, 5A n = 7 Da questo sistema di tre equazioni lineari nelle incognite A, m, n si ricava facilmente: A = 1, m = 1, n =. Si ha dunque, in definitiva: da cui: = = log 1 1 log ( ) + 1 arctg c