Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

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1 Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si strtt di suddividere l intervllo di prtenz in tnti sotto intervlli contigui. Definizione 5.1. Si [, b] R un intervllo, con 1 <<b<+1. Un divisione D di [, b] è un insieme ordinto di numeri reli {x 0,x 1,...,x n } tle che 1. x 0 =, x n = b; 2. 8i =1,...,n si h x i 1 <x i. L insieme di tutte le divisioni di un intervllo [, b] è indicto con D(, b). Nel seguito si supporrà sempre [, b] R un intervllo con 1 <<b<+1, eperbrevitàsi indicherà D(, b) cond. Un funzione grdint è semplicemente un funzione che è costnte nei sottointervlli ]x i 1,x i [individutidundivisioned dell insieme di definizione [, b]. Agli estremi di ogni sottointervllo, ovvero nei punti dell divisione, l funzione può ssumere qulsisi vlore rele, nche distinto di vlori ssunti dll funzione nei due sottointervlli dicenti. In prticolre è possibile dre l seguente definizione. Definizione 5.2. Si f :[, b]! R. f si dice grdint se esiste un divisione D = {x 0 =, x 1...,x n 1,x n = b} di [, b] e n +1 vlori reli non necessrimente distinti l 1,...,l n tle che f(x) = li x 2 ]x i 1,x i [ 2 R i =0, 1,...,n (5.1) 30

2 Dt un funzione grdint, un divisione D 0 = {x 0 0 =, x ,x 0 n per f se f è ncor costnte in ogni intervllo ]x 0 i 1,x 0 i[. 1,x 0 n0 = b} si dice mmissibile Un volt introdotte le funzioni grdint è molto nturle introdurre il concetto di integrle per un funzione grdint. Se supponimo che l funzione f si un funzione non negtiv, ovvero f(x) 0perognix2 [, b], llor come srà fcile verificre l integrle dell f nell intervllo [, b] non srà ltro che l re del plurirettngolo individuto dll funzione f edll ssedellex. Definizione 5.3. Si f :[, b]! R grdint. Si definisce integrle di Riemnn di f in [, b] l quntità nx f(x)dx = (x i x i 1 )l i, (5.2) dove D = {x 0 =, x 1,...,x n = b} è un divisione mmissibile per f in [, b]. i=1 Un prim osservzione d fre è che, come si può controllre fcilmente, il vlore dell integrle dell funzione grdint f non dipende dll prticolre scelt dell divisione mmissibile. Se l funzione f ssume vlori si positivi che negtivi, il suo integrle non corrisponde ll re del plurirettngolo individuto dll funzione stess e dll sse delle x, inquntoirettngolichesonoposti l di sotto dell sse delle x hnno re negtiv, inquntotleèilvloredell ltezz. L integrle delle funzioni grdint è un opertore linere, ovverosoddisflcondizione(2)dell prossim proposizione. Inoltre è possibile dre un stim del suo vlore, grzie ll disuguglinz (1). Proposizione 5.4. Sino f,g :[, b]! R grdint e, [ f(x)+ f(x)dx pple g(x)]dx = 5.2 Integrli di funzioni qulsisi 2 R llor f(x) dx (5.3) f(x)dx + g(x)dx (5.4) Un volt introdotto il concetto di integrle per un funzione grdint il primo psso è estendere questo concetto funzioni più generli. In prticolre è necessri l introduzione di funzioni grdint che pprossimno per eccesso e per difetto l funzione f di cui si vuole clcolre l integrle. Definizione 5.5. Si f :[, b]! R limitt. Si D = {x 0 =, x 1...,x n 1,x n = b} un divisione di [, b]. Si definisce funzione grdint inferiore ssocit D di f l funzione infx2[xi 1,x s D (x) = i ] f(x) x 2 [x i 1,x i [ (5.5) f(b) x = b 31

3 Si definisce funzione grdint superiore ssocit D di f l funzione supx2[xi t D (x) = 1,x i ] f(x) x 2 [x i 1,x i [ f(b) x = b (5.6) Osservzione 5.6. Si h che per ogni D 2D s D (x) pple f(x) pple t D (x) 8x 2 [, b]. Or è possibile introdurre il concetto di integrle inferiore e integrle superiore, con i quli srà possibile dre l definizione di integrbilità secondo Riemnn. Definizione 5.7. Si f :[, b]! R limitt. Si definisce integrle superiore dell f in [, b] il vlore f(x)dx = inf D2D Si definisce integrle inferiore dell f in [, b] il vlore f(x)dx =sup D2D t D (x)dx. (5.7) s D (x)dx. (5.8) Osservzione 5.8. Si osservi che dt un funzione f limitt l integrle inferiore e quello superiore esistono sempre in qunto sono definiti come estremi superiori ed inferiori di sottoinsiemi di R. Definizione 5.9. Si f :[, b]! R limitt. f si dice integrbile secondo Riemnn se 1 < f(x)dx = f(x)dx. < +1 In questo cso f si dice Riemnn integrbile (R-integrbile) e l integrle di Riemnn dell f in [, b] è il vlore comune e si indic con f(x)dx. A conclusione di quest sezione vengono richimte le principli proprietà dell integrle di Riemnn. Proposizione Sino f,g :[, b]! R R-integrbili e, f(x)dx pple 2 R llor f(x) dx (5.9) [ f(x)+ g(x)]dx = 32 f(x)dx + g(x)dx (5.10)

4 Osservzione È possibile definire dt un funzione f :[, b]! R limitt l su prte positiv f + e l su prte negtiv f nel seguente modo: f + (x) :=mx{f(x), 0} f (x) := mx{ f(x), 0}. Chirmente se un funzione f è non negtiv llor coincide con l su prte positiv, mentre se è non positiv coincide con l su prte negtiv. Inoltre in generle f(x) =f + (x) f (x). Se l funzione f è R-integrbile, llor lo sono pure l su prte positiv f + e l su prte negtiv f. Dll proprietà (2) dell Proposizione 5.10 si ottiene che f(x)dx = [f + (x) f (x)]dx = f + (x)dx f (x)dx. 5.3 Clssi di funzioni integrbili secondo Riemnn 5.4 Integrli indefiniti Tutte le definizioni delle sezioni precedenti e le formule proposte non permettono esplicitmente il clcolo dell integrle di Riemnn di un funzione R-integrbile, meno che l funzione in esme non si grdint o comunque prticolrmente semplice. Per poter dunque clcolre in mnier gevole il vlore dell integrle di Riemnn è opportuno introdurre il concetto di bf primitiv di un funzione dt. Definizione Si f :[, b]! R. L funzione F :[, b]! R si dice primitiv di f se si h F 0 (x) =f(x) 8x 2 [, b]. Dunque dicimo che f mmette primitiv se è l derivt di un qulche funzione F. Quest funzione primitiv essendo derivbile in ogni punto dell intervllo [, b] deveesserenchecontinu in questo intervllo. Esempio Esempi di primitive di funzioni semplici. Proposizione Si f :[, b]! R e F :[, b]! R un su primitiv. Allor per ogni c 2 R nche l funzione G c :[, b]! R definit d G(x) =F (x)+c è un primitiv di f. Vicevers se H :[, b]! R è un ltr primitiv di f, llor esiste c 2 R tle che F (x) H(x) =c. Osservzione Per l second prte dell precedente proposizione è indispensbile che l funzione f si definit in un intervllo connesso. 33

5 Dll proposizione precedente, dt f :[, b]! R rimne individuto l insieme delle sue primitive che può essere scritto come {H(x) =F (x)+c F primitiv di f, c 2 R}. Èorpossibiledreldefinizionediintegrle indefinito di un funzione f. Definizione Si f :[, b]! R si definisce integrle indefinito di f l insieme delle sue primitive Z f(x)dx = {F :[, b]! R : F 0 (x) =f(x) 8x 2 [, b]}. Un prticolre esempio di primitiv di un funzione f :[, b]! R continuè l funzione integrle. Definizione Si f :[, b]! R continu. Si definisce funzione integrle dell f l funzione F (x) := Z x f(t)dt. Osservzione Nonostnte si definit trmite un integrle di Riemnn, e quindi un numero, l funzione integrle è e ettivmente un funzione, in qunto il secondo estremo di integrzione dipende dll vribile x. 5.5 Teorem fondmentle del clcolo integrle In quest sezione verrà descritto il legme tr integrli di Riemnn e integrli indefiniti. Per prim cos enuncimo il Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle. Teorem Si f :[, b]! R continu. Allor l funzione integrle F (x) := è un primitiv dell funzione f nell intervllo [, b]. Z x f(t)dt Questo teorem ci fornisce uno strumento esplicito per il clcolo degli integrli di Riemnn. Tutto questo è descritto trmite l Formul Fondmentle del Clcolo Integrle. Corollrio Si f :[, b]! R continu e G :[, b]! R un su primitiv. Allor f(x)dx = G(b) G(). 34

6 5.6 Clcolo degli integrli indefiniti Dl Teorem fondmentle del Clcolo Integrle (cfr. Teorem 5.19) e dll Formul Fondmentle del Clcolo Integrle (cfr. Teorem 5.20) si evince che per clcolre il vlore di un integrle definito bst clcolre un prticolre primitiv dell funzione integrnd Integrli immediti Sotto quest voce ritrovimo tutti gli integrli indefiniti che è possibile svolgere in mnier immedit, ovvero ricordndo esclusivmente che l integrle indefinito è definito come l insieme di tutte le funzioni che hnno per derivt l funzione integrnd. R f(x) f(x)dx 0 c k kx + c x, 6= 1 xn+1 + c n+1 1 log x + c x sin x cos x + c cos x sin x + c 1 rctn x 1+x 2 p 1 1 x 2 rcsin x + c Integrli per sostituzione p 1 1 x 2 rccos x + c Proposizione 5.21 (Formul integrle per sostituzione). Si h(x) =f(y), con y = g(x). Allor Z Z h(x)dx = 1 (y) Integrli per prti Proposizione 5.22 (Formul integrle per prti). Sino f,g due funzioni reli derivbili. Allor Z Z f(x)g 0 (x)dx = f(x)g(x) f 0 (x)g(x)dx. 5.7 Esercizi 35

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