Analisi Matematica II per il corso di Laurea Triennale in Matematica. Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Milano Bicocca

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1 Analisi Matematica II per il corso di Laurea Triennale in Matematica Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Milano Bicocca Esercizi: estremi liberi e vincolati per funzioni in piú variabili. Versione del 6 novembre 2017 Indice 1 Estremi liberi Ottimizzazione libera concava/convessa Estremi vincolati Metodi differenziali Con curve di livello Vari Solo alcuni degli esercizi hanno la risposta (scritta in piccolo in parentesi quadre). Gli esercizi con sono piú difficili degli altri! 1 Estremi liberi 1. Si determinino gli eventuali estremi di x 4 y xy nel suo dominio. [.] 2. Si determinino gli eventuali estremi di 21 y 4 + x 3 3x 2 4y 2 nel suo dominio. [min (2, ± 2), max (0, 0).] 3. Si stabilisca se l origine é estremo locale per y 8 y 4 x 6 + x 4. Si determinino inoltre inf f(x, y) sup (x,y) R2 f(x, y) (x,y) R 2 4. Si determinino estremi locali e globali, estremo superiore ed inferiore di 5. Si determinino, nel dominio, estremi locali e globali di f(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 5z 2 3xz + 8y + 1 [min globale (0, 2, 0), sup.] x 2x + (2y) y [min globale (1/e, 1/(2e)).] 6. Si determinino estremi locali e globali di f(x, y, z) = 3 + e xy2 z 3 +8 [max locali (x 0, 0, z 0 ) con x 0 z 0 < 0, min locali (x 0, 0, z 0 ) con x 0 z 0 > 0.] 7.* Determinare i punti di massimo e minimo locali/globali e gli estremi superiori ed inferiori della log(1 x + y) + x y [max locale (0, 0), sup, inf.] 1

2 8. Determinare i punti di massimo e minimo locali/globali e gli estremi superiori ed inferiori della (xy x 2 )e x y [max locale (1/2, 3/2), sup, inf.] 9. Determinare i punti di massimo e minimo locali/globali e gli estremi superiori ed inferiori della e x2 y 2 + x 2 + y 2 + log(1 + x 2 + y ) [min (0, 0), sup.] 10. Determinare i punti di massimo e minimo locali/globali e gli estremi superiori ed inferiori della e x4 +y 2 + x 2 + y Sia f : R n R definita da 12. Sia f(x) = x ( x 1)( x 4) arctan 2 t dt ove x = (x 1, x 2,..., x 2 ). Determinare i punti di massimo e minimo locali/globali e gli estremi superiori ed inferiori della f. xy + y2 x 2 + y 2 Determinare i punti di massimo e minimo locali/globali e gli estremi superiori ed inferiori della f nel suo dominio. 13. Sia log(x 2 +1+y 4 ) e x4 +y 2 x 2 +y 2 +x 2 y 2. Si stabilisca se il punto (0, 0) é massimo o minimo locale per f. [(0, 0) sella.] 14. Sia y 2 + 3x 4 4x 2 y. Si stabilisca se il punto (0, 0) é massimo o minimo locale per f. 1.1 Ottimizzazione libera concava/convessa 1. Si determini massimi e minimi assoluti e relativi delle seguenti funzioni: 1. 3x 2 + 5y 2 + xy + 3x y + 1; 2. x 2 + 5y 2 3xy; 3. x + 2y 3x 4 y 4 ; 4. e x y ; 5. log(x + y); 6. (e x + e y ) 3 ; 7. (x 2 + y 2 1) 4 ; 8. x x 2 3y 2 ; 9. e 2x x2 y 2 ; 10. 3xy 2x 2 3y 2 + y 1; 11. arctan(x 4 + y 4 ); [(0, 0) sella.] 2

3 2 Estremi vincolati Tutti gli esercizi di seguito non necessitano della tecnica dei moltiplicatori di Lagrange. 2.1 Metodi differenziali 1. Si determinino gli eventuali estremi 4x 5 y 2 (x 4 + y 2, se (x, y) (0, 0) ) 2 0, se (x, y) = (0, 0) nell insieme D = {(x, y) R 2 : x 1, y 2}. [min ( 1, 1), max (1, 1).] 2. Sia xye xy x 2 +y 2. Si stabilisca se f sia limitata su R 2. Si determinino i punti di massimo e di minimo in D = {(x, y) R 2 : x + y 1}. 3. Si determinino gli estremi della log(1 + x 4 + y 2 ) [No; min ( 1/2, 1/2), max (1/2, 1/2).] vincolati alla curva di equazione x 2 y 2 = 1. [min (±1, 0), max.] 4. Si determinino punti di massimo e di minimo, estremo superiore ed inferiore della x3 x y 2 e y vincolata alla curva di equazione xy 2 = 1. [max locale (4/3) 2/3, (3/4) 1/3 ), sup, inf 0.] 2.2 Con curve di livello 1. Sia log ( 1 x 2 y 4 ). Si determini il massimo e il minimo di f in D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. 2. Sia x 2 + y 2 soggetta al vincolo x 2y 4 = 0. Si determinino gli estremi. [min (4/5, 8/5), max.] 3. Sia 4 9 x 2 y 2. Si determini il massimo e il minimo di f in Q = [0, 1] [0, 1]. 4. Sia e x2 y 2. Si determini il massimo e il minimo di f in D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. 5.* Sia z = f(x, y) la definita da z 0, x 2 + (y z) 2 = 2z 2. Si determini il massimo e il minimo di f in D = {(x, y) R 2 : x 2 + (y 1) 2 1}. 6. Sia (x 2) 2 + (y 2) 2 soggetta al vincolo x 2 + y 2 = 8. Si determinino gli estremi. 7. Si determinino eventuale massimi e minimi di in D = [0, 1] [0, 1]. x 2 + y e x2 +y 2 [min (2, 2), max ( 2, 2).] 3

4 8. Sia x 2 + y soggetta al vincolo D = {(x, y) R 2 : x 0, y 0, x + y 1 0} Si determinino gli estremi di f in D. [min (1, 0), max (0, 1).] 9. Si determini il massimo di 6x + 4y 10 soggetta al vincolo D = {(x, y) R 2 : x + 1 0, y 4 0, xy + 3y 12 0} [max ( 1, 6).] 10. Si determini il massimo di x + y soggetta al vincolo D = {(x, y) R 2 : 2 x 3, x 2 + y 2 4x 2y 4 0} [max (2, 4).] 2.3 Vari 1. Si provi che per ogni x 0, y 0, a 0. x 3 + y 3 3axy a 3 2. Si determini estremo superiore ed estremo inferiore di x + y e x2 y 2 in D = {(x, y) R 2 : 4x 2 + 4y 2 1}. [ sup (2e) 1/4, min 0.] 3. Sia y x e t2 dt e D = {(x, y) R 2 : 0 x y 2x}. Si determinino eventuale massimi e minimi di f in D. 4. Sia log(1 + xy) + y 2 1 [min (x, x) per x 0, max ( (log 2)/3, 2 (log 2)/3).] e D = {(x, y) R 2 : (x + 2y) 2 4 0, 2xy + 1 0}. Si determinino eventuale massimi e minimi di f in D. 5. Si determinino gli eventuali estremi di [min ( 1 2, ( 2 1)/2) e (1 + 2, ( 2 + 1)/2) : max (0, 1) e (0, 1).] (3x 2 + 2y 2 x x + 2) 3/5 nell insieme D = {(x, y) R 2 : x + y 1}. [min (0, 0), max ( 1, 0).] 6. Si determinino gli eventuali estremi di nell insieme D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 2}. x + y xy 4

5 7. Determinare eventuali estremi della f(x, y, z) = (x 1)e x + y 2 + z 2 + 2z soggetta al vincolo x + y + z = 1. [min (α, 1 α/2, α/2), con α (0, 1) : e α = 2/α 1.] 8. Determinare massimi e minimi assoluti e relativi, estremo superiore e inferiore della xe 4y 2 +2x 2 4 soggetta al vincolo x 2 + 4y 2 4 = 0. [min assoluto ( 1, ±2/ 3), min relativo (2, 0), max assoluto (1, ±2/ 3), max relativo ( 2, 0).] 9. Sia la x 4 + y 4 4xy. Determinare a. se esistono estremi relativi di f nel suo dominio; b. se esistono estremi relativi di f in D = {(x, y) R 2 : 0 2x 1, y x 2 }. [a. min relativo (1, 1). b. min (1/2, 1/4), max (1/2, 1/4).] 10. Determinare massimi e minimi assoluti e relativi, estremo superiore e inferiore della [(x + 1) 2 (y 1) 2 2x + 1] log y soggetta al vincolo y 2 x 2 = 1. [min assoluto (0, 1), sup ]. 11. Sia la xy(x y 2 + 3) Determinare massimi e minimi assoluti e relativi, estremo superiore e inferiore della f nel suo dominio. 12. Si consideri la (x + y)e y2 x. a. Si determinino gli eventuali massimi e minimi locali della f in B = {(x, y) R 2 : x 2 + 2xy + y 2 2x 2y + 1 = 0}; b. si determinino i massimi e minimi locali della f in C = {(x, y) R 2 : x + y 1}. [a. max relativo (1/2, 1/2). b. min relativo (0, 1) e ( 1, 0), max relativo (1/2, 1/2) e ( 1 + 3/2, 3/2).] 13. Sia f : R 2 R definita da { 1 xy e t 1 dt se x 0 x 0 t 0 se x = 0 Studiare i massimi e i minimi di f in C = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}. 5

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