Esercizi sulla ricerca di punti di estremo assoluto con il metodo delle curve di livello

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1 Esercizi sulla ricerca di punti di estremo assoluto con il metodo delle curve di livello

2 Richiami di teoria: il metodo delle curve di livello Si applica per studiare gli estremi assoluti di funzioni f (x, y) delle quali sappiamo disegnare le curve di livello f (x, y) = k, k R, cioè gli insiemi dove f è costante = k. Per esempio (a) f (x, y) = ax + by + c curve di livello: rette (b) f (x, y) = ax 2 + by 2 curve di livello: ellissi (c) f (x, y) = y ax 2 curve di livello: parabole (d) f (x, y) = ax 2 by 2 curve di livello: iperboli

3 Es. 6. Calcolare i valori di m e M di minimo e massimo assoluto, rispettivam., di f (x, y) = 5 + x su A = {(x, y) R 2 : y 0 e x 2 + y 2 4}. Le curve di livello sono

4 Quindi il valore di minimo assoluto è per c 5 = 2, da cui m = 3, assunto in ( 2, 0) il valore d massimo assoluto è per c 5 = 2, da cui M = 3, assunto in (2, 0) Esercizio: calcolare m e M su A per f (x, y) = x + y

5 Es. 7. Calcolare m e M per su f (x, y) = x + y (x, y) R 2 C = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} N.B.: è l Esercizio 1!!! Con le curve di livello:

6 Ricerco k R tale che retta y = k x sia tangente a x 2 + y 2 = 1 quindi impongo che il sistema { x 2 + y 2 = 1 y = k x abbia una sola soluzione. Si ha

7 Ritrovo che { M = 2, m = 2 per trovare i PUNTI di min./max. ass., risolvo il sistema { x 2 + y 2 = 1 y = ± 2 x N.B. il metodo delle curve di livello è il più veloce se si richiedono SOLO I VALORI di min./max.

8 Es. 8. Calcolare m e M di f (x, y) = exp(x 2 + y 2 ) su Le curve di livello sono Q = [0, 1] [0, 1].

9 il valore di minimo assoluto è per c = 0 (circonf. degenere ridotta a (0, 0)), quindi m = e 0 = 1, assunto in (0, 0) il valore d massimo assoluto è per c = 2, da cui M = e 2, assunto in (1, 1)

10 Es. 9. Calcolare m e M per u(x, y) = x 2 + y 2 in E = {(x, y) R 2 : x 2 + 4y 2 1}. N.B.: è l Es. 2!! Le curve di livello sono:

11 Ricerco k min : minimo k t.c. x 2 + y 2 = k interseca x 2 + 4y 2 = 1 k max : massimo k t.c. x 2 + y 2 = k interseca x 2 + 4y 2 = 1 Quindi { x 2 + y 2 = k Trovo che Quindi ritrovo x 2 + 4y 2 = 1 m = { x 2 + y 2 = k 3y 2 = 1 k k min = 1 4, k max = = 1 2, M = 1 = 1

12 Es. 10. Calcolare m e M di f (x, y) = 2x + y sul trapezio chiuso T di vertici A = (2, 0), B = (1, 2), C = ( 1, 2), D = ( 2, 0) Le curve di livello sono:

13 Cerco il minimo k min e il massimo k max dei valori di k R tali che y = k 2x ha almeno un punto in T, k min si ha imponendo che k max si ha imponendo che y = k min 2x passi per ( 2, 0) k min = 4 = m y = k max 2x passi per (2, 0) e (1, 2) k max = 4 = M Esercizio: trovare i punti di minimo e i punti di massimo ASSOLUTO. Es.: ritrovare il risultato cercando i punti di estremo in int(t ) ed esplicitando le equazioni dei quattro lati di T e studiando i punti di estremo relativo della restrizione di f a ciascuno dei lati.

14 Es. 11. Calcolare m e M di f (x, y) = (y x 2 ) 3 sul triangolo T di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1). Curve di livello Esercizi sulla ricerca di punti di estremo assoluto con il metodo delle curve di livello

15 il valore di minimo assoluto è per c = 1 m = ( 1) 3 = 1, assunto in (1, 0) il valore d massimo assoluto è per c = 1, da cui M = 1 3 = 1, assunto in (0, 1)

16 Es. 12. (assegnato) Calcolare i punti e di valori di minimo e massimo assoluto di sul rettangolo f (x, y) = y + x 2 (x, y) R 2 R = { (x, y) R 2 : x 1, 2 y 3 } Metodo 1: cercare i punti di estremo in int(r) e, esplicitando le equazioni dei quattro lati di R, studiare i punti di estremo relativo della restrizione di f a ciascuno dei lati. Metodo 2: curve di livello

17 Si ha M = 4, m = 2 e i punti di min. e mass. assol. sono...

18 Es. 13. Calcolare m e M di f (x, y) = x + 2y 2 (x, y) R 2. sulla corona circolare { C = (x, y) R 2 : Curve di livello: } 1 4 x 2 + y 2 1 Questo è un fascio di parabole con asse dato dall asse x, vertici (k, 0), concavità rivolta nella direzione delle ascisse negative.

19 Cerco il minimo k min e il massimo k max dei valori di k R tali che x + 2y 2 = k ha almeno un punto in C. Si ha k min = 1 = m e trovo l unico punto di min. ass. risolvendo il sistema { x + 2y 2 = 1 x 2 + y 2 = 1

20 Si ha che k max è il k per cui x + 2y 2 = k e x 2 + y 2 = 1 sono tangenti, quindi esiste un unica soluzione del sistema { x + 2y 2 = k x 2 + y 2 2x 2 x + (k 2) = 0 = 1 il cui discriminante è = 1 8(k 2). Trovo k max = 17 8 = M e trovo i due punti di max. ass. risolvendo il sistema { x + 2y 2 = 17 8 x 2 + y 2 = 1

21 Metodo alternativo (esercizio:) cercare i pti. di estremo rel. interni a C, con il metodo differenziale; cercare i pti. di estr. rel. su C = C 1 C 2, con C 1 & C 2 le circonferenze { C 1 : x 2 + y 2 = 1 4 C 2 : x 2 + y 2 = 1

22 Es. 14. (assegnato) Calcolare m e M di f (x, y) = y 2 x su Curve di livello: C = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4}. il valore di minimo si ha per k = 2, con punto di minimo... il valore di massimo si ha per k tale che x 2 + y 2 = 4 e y 2 x = k sono tangenti... k = 17 4, con pti. di mass....