5. Statistica bivariata - Correlazione e regressione

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1 Strumeti matematici per la statistica descrittiva Gli strumeti matematici, che sarao illustrati, cosetoo di effettuare l elaborazioe dei dati: questa fase dell idagie statistica, cosiste ella trasformazioe dei dati grezzi rilevati, i uovi dati, ricavati matematicamete, dotati della proprietà di essere sitetici, idicativi ed iterpretabili ai fii della scoperta delle leggi che regolao il feomeo i oggetto. Questo metodo di idagie scietifica, che è caratteristico delle disciplie sperimetali, è il metodo iduttivo: co tale metodo si passa dal particolare all uiversale; ifatti, dall osservazioe di alcui fatti particolari, si giuge a formulare ua regola, o legge, uiversale, cioè valida per tutti gli altri fatti aaloghi, ma o osservati direttamete. 1. Idici di posizioe cetrale o medie 1.1 Media aritmetica 1.2 Media geometrica 1.3 Media quadratica 1.4 Media armoica 1.5 Moda 1.6 Mediaa 2. Idici di dispersioe o di variabilità 2.1 Rage o campo di variazioe 2.2 Scarto semplice medio 2.3 Scarto quadratico medio 2.4 La distribuzioe ormale 2.5 Idici relativi di variabilità 3. Rapporti statistici (umeri idici) 4. Metodo dei miimi quadrati - iterpolazioe 5. Statistica bivariata - Correlazioe e regressioe 1

2 1. Idici di posizioe cetrale o medie Defiizioe: u valore medio di u isieme di dati umerici {x 1, x 2,., x } è u particolare umero, risultato di ua opportua operazioe-fuzioe f(x 1,x 2,.,x ), che, da solo, è capace di rappresetare siteticamete l itero isieme dei predetti dati e che, per scopi prefissati, è ad esso sostituibile, cioè è quel umero che sostituito alle x i lascia ivarito il risultato operato dalla f. Gli idici di posizioe cetrale o medie assumoo sempre u valore (umero) compreso tra il miimo ed il massimo dei dati csiderati: mi{x i } umero Max{x i } 1.1 Media aritmetica Si defiisce media aritmetica di più umeri, quel valore che sostituito ai dati, lascia ivariata la loro somma. La media aritmetica (semplice) dell isieme di dati umerici {x 1,x 2,.,x } è: µ= x 1+x 2 +.+x x i = Esempio - Calcola la media aritmetica µ dei dati riportati ella seguete tabella: Disciplie Voti di Masssimo Ita. 7 Lat. 6 Igl. Fra. Sto. Fil. 7 Sci. 7 Mat. 6 Fis. 6 Ed.A. Ed.F 9 µ= F 7, 27 La media aritmetica poderata dell isieme di dati umerici {x 1,x 2,.,x }, aveti ciascuo il corrispodete peso {p 1,p 2,.,p } è: µ= x 1 p 1 +x 2 p 2 +.+x p x = i p i p 1 +p 2 +.+p p i Esempio - Calcola la media aritmetica poderata µ dei dati riportati ella seguete tabella: verifiche di Mat. Voti di Masssimo Peso dei voti 1^ 7 1 2^ 6 0,7 3^ 0,5 4^ 1 µ= ,7+ 0, ,3 1+0,7+0,5+1+0,3 5^ 9 0,3 F 7, 31 2

3 Defiizioe: le differeze(x 1 µ),(x 2 µ),,(x µ) tra ciascu dato e la media aritmetica si chiamao scarti semplici degli x i da µ. La somma degli scarti è ulla: (x 1 µ)+(x 2 µ)+...+(x µ)= Proprietà (x 1 µ)=0 La relazioe si dimostra e si comprede facilmete, ifatti gli scarti positivi e quelli egativi si eutralizzao a viceda. Se su ciascuo degli valori {x 1,x 2,,x } si opera la trasformazioe y i = ax i +b (a e b R) si ottiee µ y =aµ+b 1.2 Media geometrica Si defiisce media geometrica di più umeri, quel valore che sostituito ai dati, lascia ivariato il loro prodotto. Si utilizza la media geometrica quado ha seso moltiplicare fra loro i dati ststistici, per esempio ella ricerca del taso medio ella capitalizzazioe composta o quado, i geerale, i dati variao i progressioe geometrica. La media geometrica (semplice) dell isieme di dati umerici {x 1,x 2,,x } è: x G = x 1 x 2 x Esempio - Nel 2010 u bee costava C 1 =2000 euro; el 2011 si è registrato u aumeto del 10%, che porta al costo C 2 ; el 2012 u ulteriore aumeto del 15%, che porta al costo C 3 e el 2013 u aumeto del 9%, che porta al costo C 4 (aumeti sempre riferiti all ao precedete). Calcolare il costo C 4 di quel bee el 2013 e l aumeto medio auo i% (media degli aumeti i 1 %=10%, i 2 %=15%, i 3 %=9%): C 2 =C 1 +C 1 0,1=C 1 (1+0,1)=C 1 1,1; C 3 =C 2 1, 15; C 4 =C 3 1, 09 quidi C 4 =2000 1,1 1, 15 1, 09 = 2757,70; Per determiare l aumeto medio auo i si deve risolvere l equazioe 2000(1+i) 3 = 2757, 70 (dalla legge della capitalizzazioe composta) ,1 1, 15 1, 09 1+i= = 3 1,1 1, 15 1, 09=1, 113 i=0, 113, i%=11,3% 2000 Pertato l aumeto medio auo è stato dell 11,3%. 3

4 Osservo che 3 1,1 1, 15 1, 09 è la media geometrica di (1+i 1 ), (1+ i 2 ), (1+ i 3 ). La media geometrica poderata dell isieme di dati umerici {x 1,x 2,.,x }, aveti ciascuo il corrispodete peso {p 1,p 2,,p } è: N p x G = x 1 p1 x 2 p2 x con = p i Proprietà La media geometrica (semplice o poderata)di umeri positivi coicide co la media aritmetica (semplice o poderata) degli logaritmi dei sigoli umeri: Logx G = logx 1+logx 2 +.+logx La media geometrica delle poteze{x 1 h,x 2 h,,x h } è (x G ) h. 1.3 Media quadratica Si defiisce media quadratica di più umeri, quel valore che sostituito ai dati, lascia ivariata la somma dei loro quadrati. Si usa quado ha iteresse calcolare u valore medio di superfici. La media quadratica (semplice) dell isieme di dati umerici {x 1,x 2,.,x } è: x Q = x 1 2 +x x x i = Esempio - Si hao tre quadrati di lamiera di uguale spessore co i lati di 11 cm, 7 cm e 19 cm. Calcolare il lato l di tre quadrati uguali fra loro i modo che la superficie totale sia ivariata: l 2 +l 2 +l 2 = l= = 13, 30 cm 3 La media quadratica poderata dell isieme di dati umerici{x 1,x 2,.,x }, aveti ciascuo il corrispodete peso {p 1,p 2,.,p } è: x Q = x 2 p 1 1 +x 22 p 2 + +x 2 p x i2 p i = p i p i 1.4 Media armoica 4

5 Si defiisce media armoica di più umeri, quel valore che sostituito ai dati, lascia ivariata la somma dei reciproci. Si applica quado ha seso calcolare il reciproco dei dati, per es (velocità media, resisteze i parallelo, capacità i serie, potere di acquisto medio di ua moeta...). La media armoica (semplice) dell isieme di dati umerici {x 1,x 2,.,x } è: x A = = x 1 x 2 x 1 x i La media armoica poderata dell isieme di dati umerici {x 1,x 2,.,x }, aveti ciascuo il corrispodete peso {p 1,p 2,.,p } è: p i x A = p 1 + p p p i = p i x 1 x 2 x x i Esempio 1 - U automobilista ha percorso 150 km alla velocità di 75 km/h, poi 270 km alla velocità di 90km/h ed ifie 400 km alla velocitò di 0 km/h. Calcolare la velocità media v: v= = 20 = 2 km/h Esempio 2 - La formula per la capacità C equivalete a quella di codesatori C 1, C 2,..., C collegati i serie è: C= C= C 1 C 2 C C 1 C 2 C quidi la capacità equivalete è la media armoica delle capacità. Proprietà La somma degli scarti dei sigoli valori dalla media armoica è ulla. Osservazioe: per u isieme di dati umerici positivi {x 1, x 2,., x }, vale la seguete relazioe: x A x G µ x Q 5

6 1.5 La moda Defiizioe: si dice moda o valore ormale di ua distribuzioe di frequeze, la modalità o il valore della variabile al quale corrispode la massima frequeza. Ua distribuzioe statistica può avere più mode o ache essua: La distribuzioe 1,2,2,2,3,5,5 ha moda 2 La distribuzioe 1,2,2,2,3,5,5,5 ha moda 2 e 5 La distribuzioe 1,1,2,2,3,3,5,5 o ha moda perchè essu termie ha frequeza maggiore di altri. Esempio - Dalla seguete tabella si evice che la moda della variabile spesa è 2500 euro. N. famiglie Spesa per ferie (euro) La mediaa Defiizioe: data ua successioe di valori x 1,x 2,,x, ordiati i seso o decrescete, si dice mediaa il valore che bipartisce la successioe, ossia il valore o iferiore a metà dei valori e o superiotre all altra metà. Esempi - Trovare la mediaa per le segueti distribuzioi :. dispari di dati 5, 7, 11, 13, 15 mediaa 11. pari di dati 5, 7, 11, 13, 15, 17 mediaa = Idici di dispersioe o di variabilità La varabilità è l attitudie che la gradezza i oggetto ha di assumere valori più o meo diversi fra loro. I pratica, dopo aver calcolato uo o più valori medi, i dati rilevati si possoo presetare i modo più o meo disperso attoro a tali valori medi, quidi si cerca di evideziare e descrivere i modo sitetico tale dispersioe mediate oppurtui idici. Esempio - Aalizziamo i dati riportati ella seguete tabella: voti elle prove scritte di matematica di tre allievi Filippo Ilaria Pietro

7 Grafici delle frequeze dei voti: Si ota che, a parità di media aritmetica (µ=6), le tre successioi di voti presetao ua misura diversa della variabilità - dispersioe attoro a tale valore medio: i voti di Filippo soo quelli meo dispersi, metre i voti di Pietro soo i più dispersi o a variabilità più alta. Poichè essuo dei valori medi è i grado di dare iformazioi sulla misura della variabilità dei dati, è ecessario itrodurre idici appropriati, detti idici di dispersioe o di variabilità. 2.1 Rage o campo di variazioe (d) Def.: il campo di variazioe d è dato dalla differeza tra il dato massimo ed il dato miimo; tale dato equivale al miimo itervallo che cotiee tutti i dati. d=max{x i } mi{x i } 7

8 Esempio: il campo di variazioe dei voti - di Filippo è d = 7-5 = 2, - di Ilaria è d = - 4 = 4, - di Pietro è d = 9-3 = Scarto semplice medio (S) Def.: lo scarto semplice medio S è uguale alla media aritmetica, semplice o poderata, dei valori assoluti degli scarti di ciascu dato x i dalla media aritmetica µ. S= x1 µ + x2 µ +.+ x µ x i µ cioè S= S= x i µ p i p i (media poderata) Osservazioe: si dimostra e si comprede facilmete che (x i µ) =0. Esempio: lo scarto semplice medio dei voti - di Filippo è S = di Ilaria è S = di Pietro è S = Itepretazioe dei risultati: mediamete i voti = 2 4 = 1 2 = 0,5 = 6 4 = 3 2 = 1,5 = 10 4 = 5 2 =2,5. - di Filippo si discostao dalla media (6) di ua frazioe pari a 1/2 di voto, - di Ilaria si discostao dalla media di ua frazioe pari a 3/2 di voto, - di Pietro si discostao dalla media di ua frazioe pari a 5/2 di voto, quidi i voti di di Pietro, discostadosi dalla media del 6, mediamete di 2,5, presetao u grado di variabilità maggiore (soo più dispersi) di quelli di Ilaria e di Filippo. I voti di Filippo soo i meo dispersi. 2.3 Variaza e scarto quadratico medio (σ 2,σ)

9 Def.: la variaza σ 2 è la media aritmetica, semplice o poderata, dei quadrati degli scarti. σ 2 = (x1 µ)2 +(x2 µ) 2 +.+(x µ) 2 cioè σ 2 (x i µ) 2 = σ 2 (x i µ) 2 p i = (media poderata) p i Osservazioe: si dimostra facilmete che σ 2 =µ x 2 µ 2 ifatti, idicado co µ x 2 la media aritmetica degli x 2 i : σ 2 = (x i µ) 2 2 = x i 2µ x i +µ 2 =µ x 2 2µ 2 +µ 2 =µ x 2 µ 2. Quidi la variaza è uguale alla differeza fra la media aritmetica semplice o poderata dei quadrati dei termii e il quadrato della media. Def.: lo scarto quadratico medio σ (deviazioe stadard) è la radice quadratata della variaza, cioè la media quadratica, semplice o poderata, degli scarti dei valori dalla media aritmetica. σ= (x1 µ)2 +(x2 µ) 2 +.+(x µ) 2 cioè σ= (x i µ) 2 σ= (x i µ) 2 p i p i (media poderata) Esempio : cique successive rilevazioi della temperatura di ua giorata hao forito il seguete isieme di dati: x 0 C , determiare: a) la media aritmetica µ ; b) il campo di variazioe d; c) lo scarto semplice medio S; d) lo scarto quadratico medio σ. Per rispodere ai quesiti coviee compilare la seguete tabella: 9

10 dati x scarti x-µ val. ass. scarti x-µ scarti al quadrato (x-µ) µ=24,4-6,4-2,4-0,4 +3,6 +5,6 (x µ)=0 6,4 2,4 0,4 3,6 5,6 x µ =1,4 40,96 5,76 0,16 12,96 31,36 (x µ) 2 = 91, 20 quidi, ecco le risposte: a) µ=24,4-24,4 0 C è la temperatura media della giorata; b) d=x max x mi = 30-1= C è il campo di variazioe (escursioe termica); c) S= 1,4 =3, 6-3, 6 0 C è di quato le temperature rilevate si discostao 5 mediamete dal loro valor medio 24,4 0 C; 91, 20 d) σ= =4, 27-4, 27 0 C è u altro idice di variabilità che dice, co 5 risultato diverso, di quato le temperature rilevate si discostao mediamete dal loro valor medio. Osservazioi sull importaza dello scarto quadratico medio: Lo scarto quadratico medio σ (deviazioe stadard, scarto tipico) è il più importate tra tutti gli idici di variabilità, preferibile al campo di variazioe d, perchè troppo grossolao, e allo scarto semplice medio S, perchè σ: a) è più sesibile di S, dimostradosi capace di percepire più itesamete ache lievissimi mutameti della variabilità; b) è maggiore di S, cosicchè cosete di evideziare meglio ache le più piccole differeze delle variabilità allorchè si cofrotao due isiemi di dati statistici; c) è molto importate per lo studio di quella otevole distribuzioe di frequeze che è la distribuzioe ormale. Osservazioe geerale: gli idici di dispersioe soo ivariati per traslazioe, cioè data la serie di valori x 1, x 2,..., x il rage d, lo scarto semplice medio S e lo scarto quadratico medio σ, rimagoo ivariati per la uova serie (traslata di h) x 1 +h, x 2 +h,..., x +h. 2.4 La distribuzioe ormale 10

11 Esempio di distribuzioe di frequeze di tipo ormale. Aalizzare il grafico della distribuzioe delle frequeze dei segueti dati (risultato di u test d igresso, assegato ad u campioe casuale di 100 studeti iscritti al 1 ao di Igegeria): voti frequeze Istogramma corrispodete alla tabella: aalisi del grafico: media (µ= = 6), moda e mediaa coicidoo 100 e valgoo 6; il grafico è a forma di campaa; la maggior parte dei voti è addesata elle viciaze della media. Perchè il termie ormale Tutte le volte che ua distribuzioe di frequeze porta ad ua situazioe simile a quella presetata ell esempio, si dice che essa è ua distribuzioe ormale, perchè la sua rappresetazioe grafica tede al grafico (campaa perfetta) della fuzioe ormale di Gauss, i grado di descrivere molti feomei el campo della fisica, della medicia-biologia, della sociologia, della psicologia, che si distribuiscoo ormalmete co frequeze più elevate ei valori cetrali e co frequeze progressivamete miori verso gli estremi della variabile. E detta ache curva degli errori accidetali i quato, soprattutto elle disciplie fisiche, la distribuzioe degli errori commessi el misurare ripetutamete ua stessa gradezza, è molto bee approssimata da questa curva. Fuzioe ormale di Gauss: 11

12 y= 1 σ 2π e (x µ)2 2σ 2 Caratteristiche della curva di Gauss (gaussiaa) a) è simmetrica rispetto al valore medio µ; b) media, moda e mediaa coicidoo; c) è asitotica, co asitoto la retta y=0 ( lim f(x)=0) ; x ± d) è crescete per x<µ, decrescete per x>µ ; e) preseta due puti di flesso per x=µ±σ ; f) l area sotto la curva vale 1, essedo 1 la probabilità che si verifichi u valore x ell itervallo ]- ;+ [; g) posizioe, forma e distribuzioe delle frequeze soo caratterizzate da µ e σ: 12

13 2.5 Idici relativi di variabilità Gli idici d, S, σ soo espressi ella stessa uità di misura dei dati da elaborare, quidi servoo per cofrotare le variabilità di dati omogeei. Per cofrotare successioi di dati o omogeei si devoo usare gli idici relativi di variabilità: campo di variazioe relativo: d r = d µ scarto semplice medio relativo: S r = S µ 13

14 scarto quadratico medio relativo: σ r = σ µ Facedo riferimeto ai dati dell esempio precedete (i 2.3), si ottiee: campo di variazioe relativo: scarto semplice medio relativo: scarto quadratico medio relativo: d r = 12 0 C =0, 49 24,4 0 C S r = 3, 6 0 C =0, 15 24,4 0 C σ r = C =0, 17 24,4 0 C Esempio : data la seguete distribuzioe di frequeze riguardate ua successioe di 10 voti, determiare: a) la media aritmetica dei voti; b) la misura della variabilità dei voti, mediate l uso della deviazioe stadard (scarto q.m.); c) il cofroto delle variabilità delle due successioi di dati riportate ella tabella dell esempio 1 e ella seguete. 4 a) media poderata dei voti µ= b) deviazioe stadard σ = dati (voti) x frequeze f x i f i = =6,5 f i 10 (x i µ) 2 f i = f i, =0, 92 scarti x-µ scarti al quadr. (x-µ) 2 frequeze f prodotti (x-µ) 2 f -1,5-0,5 +0,5 +1,5 (x µ)=0 2,25 0,25 0,25 2, f = 10 2,25 1,25 0,50 4,50 (x µ)2 f =,5 c) Per cofrotare le variabilità dei due isiemi o omogeei di dati, si devoo usare gli idici relativi di variabilità: per le temperature dell esempio 1 si ha σ r = σ µ = 4, 26 0 C =0, 17, 24,4 0 C 14

15 per i voti dell esempio 2 si ha σ r = σ 0, 92 = =0, 14. µ 6,5 Coclusioe: gli idici relativi ci iformao, i riferimeto ai dati aalizzati, che la variabilità delle temperature è maggiore di quella dei voti. Nessu cofroto, fra dati o omogeei, è possibile mediate gli idici assoluti. 3. Numeri Idici I umeri idici soo rapporti, espressi i percetuali, fra itesità di u certo feomeo i tempi o i luoghi diversi e possoo essere: a) umeri idici a base fissa che si calcolao scegliedo u dato come base (o il primo, o l ultimo, o u valore medio) e dividedo gli altri dati per la base, moltiplicadolo il risultato per 100; b) umeri idici a base mobile (soprattutto per serie storiche), che si ricavao prededo, per ciascuo, come base il dato precedete. Esempio: I umeri idici a base fissa mettoo i evideza, meglio dei dati grezzi, la variazioe dei dati rispetto alla base. I umeri idici a base mobile evideziao la variazioe di u dato rispetto al dato precedete. 4. Metodo dei miimi quadrati - iterpolazioe Il metodo dei miimi quadrati è ua tecica molto utile per determiare la fuzioe che rappreseti el migliore dei modi la relazioe che può esistere fra due gradezze X e Y delle quali si cooscoo alcui valori o dati rilevati. 15

16 Procedimeto: a) si rilevao i dati (x i ; y i ) delle gradezze X e Y (per es.: X peso applicato e Y allugameto di ua molla); b) si rappresetao le coppie di dati (x i ; y i ) mediate tabella e diagramma a dispersioe; c) il diagramma a dispersioe suggerisce quale tipo di fuzioe scegliere per l iterpolazioe, di solito poliomiale di 1 o grado - espoeziale - y = a b x y = ax + b 2 o grado - y = ax 2 + bx + c 3 o grado - y = ax 3 + bx 2 + cx + d 4 o grado - y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e logaritmica - y = a lx + b iperbole - y = 1, ecc.... ax+b d) Scelta la fuzioe, si calcolao i parametri a, b, c,... mediate formule ote, ricavate dall applicazioe di u fodametale teorema di aalisi alla codizioe di accostameto: per otteere la migliore fuzioe iterpolate (o perequatrice) è ecessario e sufficiete determiare i valori dei parametri a, b, c,... i modo che sia miima la somma dei quadrati delle differeze fra i valori rilevati y i e i valori teorici ŷ i : (y i ŷ i ) 2 = miima ( per la fuzioe poliomiale di 1 0 grado: (y i ax i b) 2 = miima ) e) Calcolo del coefficiete di determiazioe ρ 2 (R 2 ), che idica quato il modello scelto (fuzioe iterpolate) è aderete al feomeo oggetto di studio (dati rilevati). Per l iterpolazioe lieare R 2 è semplicemete il quadrato del coefficiete di correlazioe: ( ) 2 ρ 2 σxy = co σ xy= (x i µ x )(y i µ y ) cov(x;y)= σ x σ y 0 ρ 2 1 ρ 2 =1 idica u adattameto perfetto del modello ai dati; ρ 2 = 0 idica che il modello utilizzato o si adatta ai dati rilevati. 16

17 Esempio 1 Data la seguete tabella di dati rilevati per le gradezze X ey, mediate foglio di calcolo, tracciare il diagramma a dispersioe, richiededo al software di calcolare la fuzioe iterpolate e il relativo coefficiete di determiazioe. Soluzioe 17

18 Osserva come l iterpolazioe lieare si adatti meglio, rispetto a quella 2 2 logaritmica, ai dati della tabella: R lieare > R logaritmica Formule per l iterpolazioe lieare (poliomio di primo grado) Scelta la fuzioe del tipo y = ax + b si determiao i parametri a e b mediate le segueti formule: a= x i y i x i y i x 2 i ( ( ) x i ) 2 calcolato il coeff. ag. a, si ottiee b yi xi b= a b=µ y aµ x y= ax+µ y aµ x Cocludedo l equazioe della retta iterpolate fra puti oti è: y µ y =a(x µ x ) Osservazioi Il puto di coordiate (µ x,µ y ) è il baricetro della distribuzioe. la formula ( ) può essere scritta i modo più semplice i termii di scarti x i =x i µ x e y i =y i µ y : a= xi y i ( xi ) 2 = σ xy σ x 2. Esempio 2 Calcolare la retta iterpolate e il relativo coefficiete di determiazioe R 2 per i dati riportati ella tabella dell esempio 1. Soluzioe x i e y i soo gli scarti: x i =(x i µ x ); y i =(y i µ y ) 1

19 a= σ xy σ x 2 = 10,5 16,5 F 0, equazioe retta : y µ y=a(x µ x ) y=0, x 0, ; y=0, x ( ) 2 ρ 2 σxy = = (10,5)2 σ x σ y 16,5 7 F 0, ρ2 F1 idica u buo adattameto del modello ai dati. 5. Statistica bivariata - Correlazioe e regressioe La statistica uidimesioale si occupa di studiare ua sola variabile o mutabile. La statistica bidimesioale o bivariata si occupa dello studio cogiuto di due caratteri distiti. I particolare il problema è quello di vedere se esiste fra essi u legame associativo e i caso positivo di misurare l etità. Il caso più importate è la classificazioe rispetto a due caratteri (voto i storia e i matematica per gli allievi di ua classe, peso e altezza per gli atleti di ua certa disciplia); le distribuzioi di frequeza, per rilevazioi di questo tipo, si rappresetao co tabelle a doppia etrata, che possoo essere: a) di cotigeza se i due caratteri soo etrambi qualitativi (mutabile statistica doppia); es.: distribuzioe degli abitati di ua regioe per provicia e sesso; b) di correlazioe se i due caratteri soo etrambi quatitativi (variabile statistica doppia); es.: distribuzioe delle abitazioi di ua città per umero dei vai e per umero dei compoeti della famiglia; c) miste se uo dei due caratteri è quatitavo e l altro e qualitativo; es.: distribuzioe dei suicidi i ua regioe per età e per sesso. Esempio di tabella mista: distribuzioe delle frequeze di u campioe di allievi di u istituto scolastico, per umero di ligue straiere coosciute e per le modalità magro regolare, grasso: 19

20 Da ogi tabella a doppia etrata si possoo ricavare due tabelle a semplice etrata riguardate oguo dei due caratteri. Ifatti, se si cosiderao i valori dei totali dei dati di riga e dei totali di ogi coloa, si hao due tabelle a semplice etrata che vegoo dette distribuzioi margiali: Dalla tabella a doppia etrata e teedo coto delle distribuzioi margiali, si può valutare se i caratteri cosiderati soo idipedeti: Def.: Due caratteri A e B soo idipedeti se le frequeze relative del carattere A (p.es. peso) si mategoo ugualmete distribuite i tutte le modalità co cui compare il carattere B(p.es. ligue straiere coosciute) e viceversa. Per esempio, cosiderato il carattere y di A, si ha f 2,1 B 1 = f 2,2 B 2 = f 2,3 B 3 e f 2,1 +f 2,2 +f 2,3 =A 2. Segue ioltre il teorema: se due caratteri soo idipedeti, allora f i,k= A i B k N, co N il totale del campioe; dimostrazioe: se i caratteri soo idipedeti, allora f i,1 = f i,2 = f i, per tutta la B 1 B 2 B riga i-esima, quidi si può scrivere j=1 f i,j = f i,k B B j=1 k A i = f i,k N f i,k = A i B k k B k N 20

21 I due caratteri cosiderati ell esempio soo idipedeti, ifatti: e dal teorema, per esempio f 2,3 = A 2 B 3 N = Correlazioe e regressioe F 6; f 1,2 = A 1 B 2 N = 23 1 F 5. 4 Nella Statistica descrittiva è importate lo studio della coessioe che è la ricerca di evetuali relazioi, di dipedeza ed iterdipedeza, itercorreti tra due variabili statistiche X, Y; esso prede il ome di correlazioe se lo scopo è quello di accertare ed esprimere l itesità del legame di iterdipedeza tra le variabili, cioè di vedere se esse si ifluezao reciprocamete, ed allora si sceglirà, come mezzo tecico, u idice (coefficiete di correlazioe ρ); regressioe se lo scopo è quello di ricercare ed illustrare legami di dipedeza fra le variabili X, Y, determiado, co il metodo dei miimi quadrati, ua fuzioe, detta fuzioe di regressioe, che permetta di valutare le variazioi della Y al variare della X e viceversa. Se la fuzioe prescelta è la retta si parlerà di regressioe lieare. Calcolo della Correlazioe Per misurare la variabilità cogiuta di due varibili X e Y si itroduce la covariaza di X e di Y: (x i µ x )(y i µ y ) σ xy = cov(x;y)= o ache σ xy =µ xy µ x µ y co µ xy = x i y i ifatti: (x i µ x )(y i µ y ) σ xy = = 1 ( (x i y i ) (x i µ y ) (y i µ x )+ (µ x µ y ))=µ xy 2µ x µ y + µ x µ y =µ xy µ x µ y. 21

22 La covariaza è il valor medio del prodotto degli scarti corrispodeti di X e di Y e si usa per defiire il coefficiete di correlazioe lieare di Bravais-Pearso, che viee assuto come idice: ρ= σ xy σ x σ y = cov(x;y) σ x σ y Il coefficiete di correlazioe di Bravais-Pearso è il rapporto fra la covariaza e il prodotto degli scarti quadratici medi di X e Y. Proprietà dell idice di correlazioe lieare: 1 ρ 1 ρ = 1 1<ρ<0 ρ = 0 0<ρ<1 ρ = 1 la correlazioe è perfetta iversa (o egativa) la correlazioe è iversa (o egativa) o esiste correlazioe lieare la correlazioe è diretta (o positiva) la correlazioe è perfetta diretta (o positiva) N.B. se o esiste correlazioe lieare (ρ=0) potrebbe, però, sussistere ua correlazioe curviliea. Esempio 3 22

23 Calcolare la covariaza e il coefficiete di correlazioe per le variabili X e Y co i dati riportati ella tabella dell esempio 1. Soluzioe Calcolo delle medie aritmetice µ x e µ y : µ x = =7 ; µ y = =5 Calcolo gli scarti quadratici medi σ x e σ y : σ x = σ y = (x i µ x ) 2 = (1 7)2 +(3 7) 2 +.+(14 7) 2 (y i µ y ) 2 = (1 5)2 +(2 5) 2 +.+(9 5) 2 = 16,5 = 7 F 2, 646 F4, 062 Calcolo la covariaza σ xy = cov(x;y): (x i µ x )(y i µ y ) σ xy = = (1 7) (1 5)+(3 7) (2 5)+.+(14 7) (9 5) = 10,5 Calcolo il coefficiete di correlazioe ρ : ρ= σ xy = cov(x;y) F σ x σ y σ x σ y 10,5 F 0, 977 4, 062 2, 646 0<ρ<1 e ache ρ F 1, quidi fra i dati rilevati, relativi alle gradezze X e Y, vi è ua buoa correlazioe diretta (o positiva). Calcolo della Regressioe lieare Date due variabili statistiche X e Y co associati dati rilevati x i e y i ci si prefigge di determiare ua fuzioe matematica, i questo cotesto di tipo lieare, che esprima la relazioe fra tali variabili: y = ax +b retta di regressioe di y i x e, se ha seso logico ache x = a y + b retta di regressioe di x i y. Si procede applicado le segueti formule, ricavate mediate il metodo dei miimi quadrati: 23

24 xi y y µ y =a(x µ x ) co a= i ( ) 2 = σxy 2 xi σ x a è il coefficiete di regressioe di y i x x µ x =a (y µ y ) co a xi y = i ( ) 2 = σxy 2 yi σ y a è il coefficiete di regressioe di x i y Osservazioi: le rette di regressioe lieare passao per il baricetro (µ x ;µ y ) e redoo miima la somma dei dei quadrati degli scarti. ρ= σ xy =± a a σ x σ y ( ifatti: a a = σ ( ) xy σ2 σxy x σ2 = σxy 2=ρ 2) y σ x σ y Esempio 4 La seguete distribuzioe doppia rappreseta il peso i kg di u eoato ei primi 12 mesi: a) rappresetare il grafico a dispersioe; 24

25 b) trovare le coordiate del baricetro; c) calcolare la covariaza; d) determiare l equazioe della retta di regressioe di y i x (la regressioe di x i y o ha seso logico) e il coefficiete di determiazioe ρ 2. a) Grafico a dispersioe Soluzioe Per rispodere ai quesiti b,c,d basta compilare la seguete tabella: x i e y i soo gli scarti: x i =(x i µ x ); y i =(y i µ y ) b) Coordiate del baricetro: (µ x ;µ y ) (6, 50;6, 23) 25

26 c) Covariaza: σ xy = cov(x;y)= (x i µ x )(y i µ y ) = 5,0 d) Retta di regressioe di y i x e coefficiete di determiazioe: y µ y =a(x µ x ) co a= xi y i ( xi ) 2 = σ xy σ x 2 5, 0 = F 0, , 92 y 6, 23 F 0, 466(x 6, 50) y F 0, 466x +3, ( ) 2 ρ 2 σxy (5, 0)2 = = σ x σ y 11, 92 2, 95 F 0, 957 R2 F1 idica u buo adattameto del modello ai dati. 26