CONTROLLI AUTOMATICI (01AKS, 02FSQ) ATM, INF Soluzione della tipologia di compito del 3/IX/2002

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1 CONTROLLI AUTOMATICI (0AKS, 0FSQ) ATM, INF Soluzione della tipologia di ompito del 3/IX/00 Eserizio Progetto di un ontrollore Sia dato il sistema di ontrollo riportato in figura on: 0.65 G p ( s) =, Tp = Vm -, A = 9, 3 s + 4s +. 75s d (t) = A on A V, d (t) = A t on A V, d p = A p sin(ω p t) on A p 0-3 V, ω p = 30 rad/s. Figura Calolo del guadagno stazionario della funzione G p (s): K GP = lim sg p ( s) = s > 0 Calolo del guadagno stazionario della funzione A G p (s): K A K =.349 G = GP.) Progettare un ontrollore analogio C(s) in modo tale he il sistema retroazionato garantisa il soddisfaimento delle seguenti speifihe: a) Errore stazionario di inseguimento alla rampa unitaria r(t) = t: e r, 0 V, in assenza di disturbi. Per permettere l inseguimento della rampa, non è neessario inserire poli nell origine in quanto la funzione sul ramo diretto ha già un polo nell origine dovuto alla funzione G p. Per alolare l errore di inseguimento alla rampa, si deve onsiderare il guadagno stazionario del ramo diretto, ottenuto moltipliando i guadagni stazionari dei singoli blohi: / Tp e = = KKG Per soddisfare la speifia e 0. si deve avere: K K da ui si riava he K

2 4 b) Errore stazionario in atena hiusa indotto dal disturbo d : e r, 6 0 V. Il bloo a monte del disturbo, ostituito dal prodotto di C(s) e di A, è di tipo zero. Essendo la funzione G p (s) di tipo uno, l usita dovuta al disturbo deve risultare: / Tp 4 y d = A = da ui si riava he K K A 9 K ) Errore stazionario in atena hiusa indotto dal disturbo d : e r,.5 0 V. Il bloo a monte del disturbo,ostituito dal prodotto di C(s), di A e di G p (s), è di tipo uno. L usita dovuta al disturbo deve risultare: / Tp y d = A = da ui si riava he K K K K G La ondizione più stringente del valore di K si ottiene dalla speifia a, quindi K La funzione G p (s) ha guadagno negativo, quindi il sistema non è a stabilità regolare. Nella Figura è riportato il diagramma di Nyquist della funzione G p (s) A. Appliando il riterio di Nyquist, si dedue he K deve essere negativo. Si fissa, quindi, K = -.5. Figura d) tempo di salita: t s s. Sapendo he t s B 3 = 3, si ottiene B 3 3 rad/s. Segliamo ω, des =. rad/s. e) Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario: s ˆ 30% + sˆ Sostituendo nell equazione = il valore massimo di sovraelongazione (0.30), si ottiene M r ome pio di risonanza massimo M r =.53, ioè 3.69 db. Arrotondando per difetto questo valore e analizzando la arta di Nihols, si ottiene he m φmin = 40. Segliamo m φ = 45.

3 Progetto del ontrollore Si lania in Matlab il seguente sript: s = tf('s'); Gp = -0.65/(s^3+4*s^+.75*s); A = 9; Tp = ; K = -.5; % stabilito nei punti preedenti w =.; G = A*Gp; Ga = K*G; % funzione di anello definita segliendo il guadagno stazionario del % bloo C(s) figure, bode(ga) [m,f] = bode(ga,w) Figura 3 Dal grafio ottenuto oppure a partire dal valore di f si stabilise he bisogna reuperare ira 65 in orrispondenza di ω ~. rad/s. Per fare iò, si seglie di utilizzare due reti antiipatrii on m=4 e ωτ =., per ottenere ontemporaneamente un aumento omplessivo del modulo di ira 7 db. Si lania su Matlab lo sript preedente aggiungendo le seguenti operazioni: % Reti antiipatrii m=4; wtau=.; tau=wtau/w; C=((+tau*s)/(+tau/m*s))^; Ga=C*Ga; figure,margin(ga)

4 Dall analisi del diagramma ottenuto, si nota he il margine di fase ottenuto è di 48. alla frequenza di. rad/s. Riportare la funzione di trasferimento del ontrollore progettato sul foglio allegato nella forma fattorizzata in ostanti di tempo. La funzione di trasferimento del ontrollore progettato è: s Cs () = s..) Dopo aver verifiato he il sistema in atena hiusa osì ottenuto soddisfi le speifihe di rihieste, valutarne: la banda passante ω B il pio di risonanza M r db della risposta in frequenza il valore massimo udp, del omando u(t) he può essere indotto, in regime permanente,dal disturbo d p (t). Per verifiare le speifihe si è utilizzato simulink: a) senza inserire i disturbi e definendo un ingresso a rampa, si verifia he l errore a regime è pari a La speifia è dunque soddisfatta; b) inserendo il disturbo d (t) = e definendo un ingresso nullo, si ottiene he l usita dovuta a d (t) è La speifia è dunque soddisfatta; ) inserendo solamente il disturbo d (t) = t e definendo un ingresso nullo, si verifia he l usita dovuta al disturbo d (t) è La speifia è, quindi, soddisfatta; d) il tempo di salita è pari a ira 0.79 s. La speifia è, quindi, soddisfatta; e) la sovraelongazione è del 5%. La speifia è, quindi, soddisfatta. Per verifiare le speifihe d) ed e) è possibile anhe utilizzare Matlab, osì ome per la valutazione della banda passante e del pio di risonanza M r db della risposta in frequenza, mediante i seguenti omandi: C=K*C; W=feedbak(C*A*Gp,Tp); Wnorm=W/dgain(W); figure,step(wnorm) figure,bode(wnorm) Dal diagramma di Bode, si riava he ω B = 3.93 rad/s e he M r db =.3dB.

5 Figura 4 Il valore massimo udp, Figura 5 del omando u(t) he può essere indotto, in regime permanente, dal disturbo d p (t), può essere determinato valutando l ampiezza di u(t) (sinusoidale) in regime permanente direttamente da Simulink, oppure alolato da Matlab on i seguenti omandi:

6 Ap=e-3; Omegap=30; Wu=feedbak(C,A*Gp*Tp); [mu,fu]=bode(wu,omegap); Udp=Ap*mu ove W u (s) è la funzione di trasferimento fra il disturbo d p ed il omando u. Si ottiene u dp, = ) Disretizzare il ontrollore C(s) progettato, segliendo opportunamente il passo di ampionamento (motivare tale selta). Determinare la funzione di trasferimento C(z), speifiando il metodo di disretizzazione utilizzato. Valutare il tempo di salita e la sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario del sistema ad anello hiuso, ottenuti on tale C(z). Per la selta del passo di ampionamento, si utilizza la seguente relazione: T = π/(0 ω B ) Nel nostro aso si ottiene T = s, approssimando per difetto si seglie T=0.07 s. Con questo T si ottiene un margine di fase pari a 43.9, quindi la speifia e) potrebbe essere anora soddisfatta in quanto il margine di fase doveva essere maggiore di 40. La funzione di trasferimento del ontrollore è realizzata seondo il metodo di Tustin tramite i seguenti omandi: T=0.07; Gazoh=Ga/(+s*T/); Cd=d(C,T,'tustin') La funzione di trasferimento del ontrollore disretizzato è : 7.z z.3 z) = z.83z C d ( Dall analisi della risposta al gradino, ottenuta on Simulink sostituendo al posto di C(s) il ontrollore digitale C d (z) si ottiene: tempo di salita = 0.75 s sovraelongazione = 30%.

7 Eserizio 0 T C and t/x0/5 and (NOT STOP) T C and (NOT C) and t/x0/5 and (NOT STOP) SU SU T3 L T4 L 3 4 T5 D T6 D 5 GIU T7 L0