Opera rilasciata sotto licenza CC BY-NC-SA 3.0 Italia da Studio Bells (

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Opera rilasciata sotto licenza CC BY-NC-SA 3.0 Italia da Studio Bells (www.studiobells.it)"

Transcript

1 Esercizio 001 Si consideri un piano inclinato di un angolo = 30 rispetto all orizzontale e di lunghezza L = 1 m. Sul piano è posta una massa m = 5, 0 kg collegata alla cima del piano tramite una molla di lunghezza di riposo l 0 = 1 cm e di costante elastica k = 1, N/m. Inizialmente, la massa viene spinta verso la cima del piano fino a comprimere completamente la molla, cosicché la massa m viene a trovarsi sulla sommità del piano; poi essa viene lasciata libera di muoversi. Si chiede di: (a) determinare la distanza d che percorre la massa lungo il piano prima di fermarsi; (b) determinare il lavoro L mol fatto dalla molla durante la discesa della massa; (c) determinare la velocità v della massa nell istante in cui si trova a metà del percorso; (d) specificare se il moto di discesa della massa è un MRU, un MRUA o nessuno dei due (motivare la risposta). Si trascurino tutti gli attriti. Soluzione k, l 0 m L Figura 1: Il sistema descritto dal problema. In figura è rappresentata la situazione in cui la molla è a riposo. 1

2 m h i L Figura : Situazione iniziale. La molla è completamente compressa e la massa si trova in cima al piano. Punto (a) Nel sistema non ci sono attriti e quindi possiamo applicare la legge di conservazione dell energia meccanica. Poiché sono presenti due forze conservative, la forza di gravità e la forza elastica, l energia potenziale totale U è data dalla somma dell energia potenziale gravitazionale U g e dell energia potenziale elastica U e : U = U g + U e (1) Nel seguito, ogni volta che scriveremo l energia potenziale, dovremo tenere conto della (1) e considerare quindi sia l energia potenziale gravitazionale che quella elastica. Indicheremo, poi, con il pedice i la situazione iniziale in cui la molla è completamente compressa e la massa si trova sulla cima del piano, e con il pedice f la situazione finale in cui la molla ha terminato la sua discesa ed è ferma. L energia meccanica iniziale E i si scrive quindi: E i = E c,i + U i = E c,i + U g,i + U e,i () dove con E c,i abbiamo indicato l energia cinetica iniziale. In figura è rappresentata la situazione iniziale. Poiché inizialmente la massa è ferma, la sua energia cinetica iniziale è nulla e quindi E c,i = 0. Sulla cima del piano, la massa si trova ad una altezza h i dal suolo data da h i = L sin e quindi l energia potenziale gravitazionale iniziale è data da: U g,i = mgh i = mgl sin (3)

3 L d L d h f Figura 3: Situazione finale. La massa è scesa di una lunghezza d lungo il piano. Nella situazione iniziale, infine, la molla è completamente compressa e quindi l accorciamento è pari alla sua lunghezza di riposo, per cui l energia potenziale elastica iniziale è data da: U e,i = 1 kl 0 (4) Sostituendo questi valori nella (), si ottiene: E i = mgl sin + 1 kl 0 (5) Analizziamo ora la situazione finale, rappresentata in figura 3. L energia meccanica totale finale è data da: E f = E c,f + U f = E c,f + U g,f + U e,f (6) dove con E c,f abbiamo indicato l energia cinetica finale. Nella situazione finale, la massa m è scesa di una lunghezza d lungo il piano ed è di nuovo ferma. In queste condizioni, l energia cinetica finale è ancora nulla, per cui E c,f = 0. L altezza dal suolo della massa, come si può vedere dalla figura, è data da h f = (L d) sin, e quindi: U g,f = mgh f = mg(l d) sin (7) 3

4 La molla, infine, ha un allungamento dato dalla differenza tra la lunghezza finale d e quella a riposo l 0 e quindi l energia potenziale elastica finale è data da: U e,f = 1 k(d l 0) (8) Sostituendo questi valori nell equazione (6), si trova l espressione per l energia meccanica finale: E f = mg(l d) sin + 1 k(d l 0) (9) Imponiamo ora l uguaglianza tra l energia iniziale e quella finale: E i = E f mgl sin + 1 kl 0 = mg(l d) sin + 1 k(d l 0) (10) Abbiamo ottenuto così un equazione in cui l unica incognita è la lunghezza d richiesta. Sviluppiamo i calcoli e semplifichiamo l espressione: mgl sin 1 + kl 0 = mgl sin mgd sin kd + kl 0 1 k dl 0 0 = mgd sin + 1 kd kdl 0 0 = 1 kd d(mg sin + kl 0 ) Abbiamo ottenuto quindi un equazione di secondo grado spuria nell incognita d, che possiamo risolvere raccogliendo a fattor comune la d: d( 1 kd mg sin kl 0) = 0 d 1 = 0; d = (mg sin + kl 0) k Abbiamo ottenuto due soluzioni. Il significato della soluzione d = 0 è semplicemente che se la massa non si muove dalla sua posizione iniziale, l energia ovviamente non varia. La soluzione che ci interessa è invece d = d. Sostituendo i valori numerici si ottiene: Punto (b) (11) (1) d = 73 cm (13) Osserviamo che il lavoro della molla non possiamo calcolarlo tramite la formula: L mol = F mol d dove con d abbiamo indicato il vettore spostamento della massa, poiché durante il moto della massa il valore della forza F mol esercitata dalla molla non è costante. Possiamo però usare il teorema dell energia: L tot = E c (14) 4

5 d P Figura 4: Vettori per il calcolo del lavoro della forza peso. P Il lavoro L tot è il lavoro totale fatto sulla massa m da tutte le forze agenti su di essa e quindi è dato dalla somma del lavoro fatto dalla gravità e di quello fatto dalla molla: L tot = L gra + L mol (15) Poiché la massa è ferma sia all inizio che alla fine, la variazione di energia cinetica è nulla e quindi dalle equazioni (14) e (15) si ricava: L gra + L mol = 0 L mol = L gra (16) Il lavoro fatto dalla gravità si calcola facilmente poiché la forza di gravità è costante durante il moto. In figura 4 sono rappresentati il vettore spostamento d ed il vettore della forza peso P, scomposto lungo la direzione del piano. Essendo P orientato nel verso dello spostamento, il lavoro della gravità è positivo e quindi si ha: L gra = P d = P d = P d sin L mol = P d sin = mgd sin = 18 J (17) Punto (c) Applichiamo la conservazione dell energia, considerando come stato finale quello in cui la massa m è scesa di una lunghezza d f = d. Osserviamo che in questo caso l energia cinetica 5

6 finale non è nulla, ma vale E c,f = 1 mv, dove v è la velocità cercata. Si ha dunque: E i = E f mgl sin + 1 kl 0 = mg(l d f ) sin + 1 k(d f l 0 ) + 1 mv (18) Eseguendo i calcoli si ottiene: v = (mg sin + kl 0 )d f 1 m kd f (19) Sostituendo la relazione d f = d si trova: v = Punto (d) (mg sin + kl 0 ) d m 18 kd = (g sin + kl 0 kd )d m 4m = 1, 6 m/s (0) Durante la discesa della massa m, la forza di gravità agente su di essa è costante, la reazione vincolare del piano è costante mentre la forza elastica è variabile poiché cambia l allungamento o la compressione della molla. Ne segue che l accelerazione della massa, che è data dal rapporto tra la forza totale agente e la massa stessa, è variabile. Il moto della massa, quindi, non è né un MRU (che si avrebbe nel caso di forza totale nulla) né un MRUA (che si avrebbe nel caso di forza totale costante). 6

IV ESERCITAZIONE. Esercizio 1. Soluzione

IV ESERCITAZIONE. Esercizio 1. Soluzione Esercizio 1 IV ESERCITAZIONE Un blocco di massa m = 2 kg è posto su un piano orizzontale scabro. Una forza avente direzione orizzontale e modulo costante F = 20 N agisce sul blocco, inizialmente fermo,

Dettagli

Problema 1: SOLUZIONE: 1) La velocità iniziale v 0 si ricava dal principio di conservazione dell energia meccanica; trascurando

Problema 1: SOLUZIONE: 1) La velocità iniziale v 0 si ricava dal principio di conservazione dell energia meccanica; trascurando Problema : Un pallina di gomma, di massa m = 0g, è lanciata verticalmente con un cannoncino a molla, la cui costante elastica vale k = 4 N/cm, ed è compressa inizialmente di δ. Dopo il lancio, la pallina

Dettagli

Esercizio (tratto dal Problema 4.28 del Mazzoldi 2)

Esercizio (tratto dal Problema 4.28 del Mazzoldi 2) Esercizio (tratto dal Problema 4.28 del Mazzoldi 2) Un punto materiale di massa m = 20 gr scende lungo un piano inclinato liscio. Alla fine del piano inclinato scorre su un tratto orizzontale scabro (µ

Dettagli

Forze Conservative. In generale il lavoro fatto da una forza (più precisamente, da un campo di forze):

Forze Conservative. In generale il lavoro fatto da una forza (più precisamente, da un campo di forze): Forze Conservative In generale il lavoro fatto da una forza (più precisamente, da un campo di forze): L = f i F d r, può dipendere dal percorso seguito dalla particella. Se il lavoro fatto da una forza

Dettagli

Problemi di dinamica del punto materiale

Problemi di dinamica del punto materiale Problemi di dinamica del punto materiale 1. Un corpo di massa M = 200 kg viene lanciato con velocità v 0 = 36 km/ora su un piano inclinato di un angolo θ = 30 o rispetto all orizzontale. Nel salire, il

Dettagli

Conservazione dell energia

Conservazione dell energia mercoledì 15 gennaio 2014 Conservazione dell energia Problema 1. Un corpo inizialmente fermo, scivola su un piano lungo 300 m ed inclinato di 30 rispetto all orizzontale, e, dopo aver raggiunto la base,

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

Facoltà di Farmacia - Anno Accademico A 18 febbraio 2010 primo esonero

Facoltà di Farmacia - Anno Accademico A 18 febbraio 2010 primo esonero Facoltà di Farmacia - Anno Accademico 2009-2010 A 18 febbraio 2010 primo esonero Corso di Laurea: Laurea Specialistica in FARMACIA Nome: Cognome: Matricola Aula: Canale: Docente: Riportare sul presente

Dettagli

Esercitazione 3. Soluzione. F y dy = 0 al 2 dy = 0.06 J

Esercitazione 3. Soluzione. F y dy = 0 al 2 dy = 0.06 J Esercitazione 3 Esercizio 1 - Lavoro Una particella è sottoposta ad una forza F = axy û x ax 2 û y, dove û x e û y sono i versori degli assi x e y e a = 6 N/m 2. Si calcoli il lavoro compiuto dalla forza

Dettagli

Si consideri un punto materiale in moto su una traiettoria curvilinea e soggetto ad una forza non costante. F i F 2 F N

Si consideri un punto materiale in moto su una traiettoria curvilinea e soggetto ad una forza non costante. F i F 2 F N Lavoro ed energia 1 Si consideri un punto materiale in moto su una traiettoria curvilinea e soggetto ad una forza non costante. F i F 2 F N 2 vettorizzare una traiettoria Si divide la traiettoria s in

Dettagli

Fisica Generale per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti) A.A. 2010/2011 Prova in itinere del 4/3/2011.

Fisica Generale per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti) A.A. 2010/2011 Prova in itinere del 4/3/2011. Cognome Nome Numero di matricola Fisica Generale per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti) A.A. 00/0 Prova in itinere del 4/3/0. Tempo a disposizione: h30 Modalità di risposta: scrivere la formula

Dettagli

ESERCIZIO SOLUZIONE. 13 Aprile 2011

ESERCIZIO SOLUZIONE. 13 Aprile 2011 ESERCIZIO Un corpo di massa m è lasciato cadere da un altezza h sull estremo libero di una molla di costante elastica in modo da provocarne la compressione. Determinare: ) la velocità del corpo all impatto

Dettagli

Esame 28 Giugno 2017

Esame 28 Giugno 2017 Esame 28 Giugno 2017 Roberto Bonciani e Paolo Dore Corso di Fisica Generale 1 Dipartimento di atematica Università degli Studi di Roma La Sapienza Anno Accademico 2016-2017 Esame - Fisica Generale I 28

Dettagli

Lavoro. Energia. Mauro Saita Versione provvisoria, febbraio Lavoro è forza per spostamento

Lavoro. Energia. Mauro Saita   Versione provvisoria, febbraio Lavoro è forza per spostamento Lavoro. Energia. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, febbraio 2015. Indice 1 Lavoro è forza per spostamento 1 1.1 Lavoro compiuto da una forza variabile. Caso bidimensionale..........

Dettagli

l'attrito dinamico di ciascuno dei tre blocchi sia pari a.

l'attrito dinamico di ciascuno dei tre blocchi sia pari a. Esercizio 1 Tre blocchi di massa rispettivamente Kg, Kg e Kg poggiano su un piano orizzontale e sono uniti da due funi (vedi figura). Sul blocco agisce una forza orizzontale pari a N. Si determini l'accelerazione

Dettagli

Corso di laurea in Comunicazioni Digitali Compitino di Fisica 15 Novembre 2002

Corso di laurea in Comunicazioni Digitali Compitino di Fisica 15 Novembre 2002 Corso di laurea in Comunicazioni Digitali Compitino di Fisica 15 Novembre 2002 Nome: Matricola: Posizione: 1) Specificare l unità di misura del calore scambiato e dare le sue dimensioni A 2) Dati i vettori

Dettagli

Esercizio Soluzione: Esercizio Soluzione: Esercizio Soluzione: Esercizio

Esercizio Soluzione: Esercizio Soluzione: Esercizio Soluzione: Esercizio Un ragazzo di massa 50 kg si lascia scendere da una pertica alta 12 m e arriva a terra con una velocità di 6 m/s. Supponendo che la velocità iniziale sia nulla: 1. si calcoli di quanto variano l energia

Dettagli

Università del Sannio

Università del Sannio Università del Sannio Corso di Fisica 1 Lezione 6 Dinamica del punto materiale II Prof.ssa Stefania Petracca 1 Lavoro, energia cinetica, energie potenziali Le equazioni della dinamica permettono di determinare

Dettagli

2 m 2u 2 2 u 2 = x = m/s L urto è elastico dunque si conserva sia la quantità di moto che l energia. Possiamo dunque scrivere: u 2

2 m 2u 2 2 u 2 = x = m/s L urto è elastico dunque si conserva sia la quantità di moto che l energia. Possiamo dunque scrivere: u 2 1 Problema 1 Un blocchetto di massa m 1 = 5 kg si muove su un piano orizzontale privo di attrito ed urta elasticamente un blocchetto di massa m 2 = 2 kg, inizialmente fermo. Dopo l urto, il blocchetto

Dettagli

ESERCIZI SU LAVORO ED ENERGIA. Dott.ssa Silvia Rainò

ESERCIZI SU LAVORO ED ENERGIA. Dott.ssa Silvia Rainò 1 SRCIZI SU LAVORO D NRGIA Dott.ssa Silvia Rainò sempio 3 a) v=0 k =0 ed p =0 b) v=0, F si sostituisce ad N e aumenta c) F = mg. v=0. k =0, p = mgh => meccanica = k + p = mgh d) Mentre il corpo cade l

Dettagli

III ESERCITAZIONE. Soluzione. (F x û x + F y û y ) (dx û x + dy û y ) (1)

III ESERCITAZIONE. Soluzione. (F x û x + F y û y ) (dx û x + dy û y ) (1) III ESERCITAZIONE 1. Lavoro Una particella è sottoposta ad una forza F =axy û x ax û y, dove a=6 N/m e û x e û y sono i versori degli assi x e y. Si calcoli il lavoro compiuto dalla forza F quando la particella

Dettagli

Esercizi Concetto di energia

Esercizi Concetto di energia Esercizi Concetto di energia 1. Determinare il numero reale m in modo che il vettore X = (m, - m, m - 1) risulti complanare con i vettori: U = ( 3,, 1) e V = (-1,,-1). Soluzione: Se i vettori X, U e V

Dettagli

Lezione 3 Lavoro ed energia

Lezione 3 Lavoro ed energia Lezione 3 Lavoro ed energia 3.1 Energia cinetica VI.3 Teorema dell energia cinetica Una goccia di pioggia (di massa m = 3.3510 5 Kg) cade verticalmente sotto l azione della gravità e della resistenza dell

Dettagli

Don Bosco 2014/15, Classe 3B - Primo compito in classe di Fisica

Don Bosco 2014/15, Classe 3B - Primo compito in classe di Fisica Don Bosco 014/15, Classe B - Primo compito in classe di Fisica 1. Enuncia il Teorema dell Energia Cinetica. Soluzione. Il lavoro della risultante delle forze agenti su un corpo che si sposta lungo una

Dettagli

b) DIAGRAMMA DELLE FORZE

b) DIAGRAMMA DELLE FORZE DELLO SCRITTO DELL SETTEMBRE 5 - ESERCIZIO - Un corpo di massa m = 9 g e dimensioni trascurabili è appeso ad uno dei capi di una molla di costante elastica k = 5 N/m e lunghezza a riposo L = cm. L'altro

Dettagli

Fisica Generale I (primo e secondo modulo) A.A , 15 luglio 2009

Fisica Generale I (primo e secondo modulo) A.A , 15 luglio 2009 Fisica Generale I (primo e secondo modulo) A.A. 2008-09, 15 luglio 2009 Esercizi di meccanica relativi al primo modulo del corso di Fisica Generale I, anche equivalente ai corsi di Fisica Generale 1 e

Dettagli

LAVORO ED ENERGIA. Dott.ssa Silvia Rainò

LAVORO ED ENERGIA. Dott.ssa Silvia Rainò 1 LAVORO ED ENERGIA Dott.ssa Silvia Rainò Lavoro ed Energia 2 Consideriamo il moto di un oggetto vincolato a muoversi su una traiettoria prestabilita, ad esempio: Un treno vincolato a muoversi sui binari.

Dettagli

Fisica Generale I (primo modulo) A.A , 9 febbraio 2009

Fisica Generale I (primo modulo) A.A , 9 febbraio 2009 Fisica Generale I (primo modulo) A.A. 2008-09, 9 febbraio 2009 Esercizio 1. Due corpi di massa M 1 = 10kg e M 2 = 5Kg sono collegati da un filo ideale passante per due carrucole prive di massa, come in

Dettagli

IIS Moro Dipartimento di matematica e fisica

IIS Moro Dipartimento di matematica e fisica IIS Moro Dipartimento di matematica e fisica Obiettivi minimi per le classi seconde - Fisica CONTENUTI SECONDO ANNO MODULO LE FORZE E IL MOTO Conoscenze Significato e unità di misura della velocità Legge

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA 25 Settembre 2014

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA 25 Settembre 2014 OSO DI LAUEA IN SIENZE BIOLOGIHE Prova scritta di FISIA 5 Settembre 4 ) Un corpo puntiforme di massa m5 g appoggia nel punto A su un piano inclinato di 3 ed è trattenuto mediante una fune di tensione T,

Dettagli

8. Energia e lavoro. 2 Teorema dell energia per un moto uniformemente

8. Energia e lavoro. 2 Teorema dell energia per un moto uniformemente 1 Definizione di lavoro 8. Energia e lavoro Consideriamo una forza applicata ad un corpo di massa m. Per semplicità ci limitiamo, inizialmente ad una forza costante, come ad esempio la gravità alla superficie

Dettagli

1) Fare il diagramma delle forze, cioè rappresentare graficamente tutte le forze agenti sul corpo o sui corpi considerati.

1) Fare il diagramma delle forze, cioè rappresentare graficamente tutte le forze agenti sul corpo o sui corpi considerati. Suggerimenti per la risoluzione di un problema di dinamica: 1) Fare il diagramma delle forze, cioè rappresentare graficamente tutte le forze agenti sul corpo o sui corpi considerati. Forza peso nero) Forza

Dettagli

196 L Fs cos cos J 0,98. cos30 135,8 F F// F , N. mv mv

196 L Fs cos cos J 0,98. cos30 135,8 F F// F , N. mv mv Problemi sul lavoro Problema Un corpo di massa 50 kg viene trascinato a velocità costante per 0 m lungo un piano orizzontale da una forza inclinata di 45 rispetto all orizzontale, come in figura. Sapendo

Dettagli

Esercizio (tratto dal Problema 4.24 del Mazzoldi 2)

Esercizio (tratto dal Problema 4.24 del Mazzoldi 2) 1 Esercizio (tratto dal Problema 4.4 del Mazzoldi ) Due masse uguali, collegate da un filo, sono disposte come in figura. L angolo vale 30 o, l altezza vale 1 m, il coefficiente di attrito massa-piano

Dettagli

Facoltà di Farmacia - Anno Accademico A 08 Aprile 2015 Esercitazione in itinere

Facoltà di Farmacia - Anno Accademico A 08 Aprile 2015 Esercitazione in itinere Facoltà di Farmacia - Anno Accademico 2014-2015 A 08 Aprile 2015 Esercitazione in itinere Corso di Laurea: Laurea Specialistica in FARMACIA Nome: Cognome: Matricola Aula: Riportare sul presente foglio

Dettagli

Risoluzione problema 1

Risoluzione problema 1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PDOV FCOLTÀ DI INGEGNERI Ing. MeccanicaMat. Pari. 015/016 1 prile 016 Una massa m 1 =.5 kg si muove nel tratto liscio di un piano orizzontale con velocita v 0 = 4m/s. Essa urta

Dettagli

15/aprile 2013. Esercizi

15/aprile 2013. Esercizi 15/aprile 2013 Esercizi ESEMPIO: Si consideri un punto materiale 1. posto ad un altezza h dal suolo, 2. posto su un piano ilinato liscio di altezza h, 3. attaccato ad un filo di lunghezza h il cui altro

Dettagli

Lezione 4 Energia potenziale e conservazione dell energia

Lezione 4 Energia potenziale e conservazione dell energia Lezione 4 Energia potenziale e conservazione dell energia 4. Energia potenziale e conservazione dell energia Energia potenziale di: Forza peso sulla superficie terrestre Serway, Cap 7 U = mgh di un corpo

Dettagli

Problemi di paragrafo

Problemi di paragrafo Problemi di paragrafo 1 No, la forza da applicare diminuisce ma la distanza aumenta, quindi il lavoro compiuto resta costante. 2 1 J 1 kg 1 m 1 s 10 g 10 cm 1 s 10 erg. 3 Quando la componente della forza

Dettagli

Fisica applicata Lezione 5

Fisica applicata Lezione 5 Fisica applicata Lezione 5 Maurizio Tomasi maurizio.tomasi@unimi.it Dipartimento di Fisica Università degli studi di Milano 8 Novembre 2016 Parte I Lavoro ed energia Definizione di lavoro Il lavoro L compiuto

Dettagli

IL LAVORO E L ENERGIA. che si possono trasformare tra loro lasciando invariata la quantità totale di energia.

IL LAVORO E L ENERGIA. che si possono trasformare tra loro lasciando invariata la quantità totale di energia. IL LAVORO E L ENERGIA ENERGIA: Grandezza scalare associata allo stato di un corpo Esistono varie forme: Energia cinetica Energia potenziale Energia elettrica Energia chimica Energia termica Energia elastica..

Dettagli

Esercitazione 2. Soluzione

Esercitazione 2. Soluzione Esercitazione 2 Esercizio 1 - Resistenza dell aria Un blocchetto di massa m = 0.01 Kg (10 grammi) viene appoggiato delicatamente con velocità iniziale zero su un piano inclinato rispetto all orizziontale

Dettagli

Fisica. Esercizi. Mauro Saita Versione provvisoria, febbraio 2013.

Fisica. Esercizi. Mauro Saita   Versione provvisoria, febbraio 2013. Fisica. Esercizi Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, febbraio 2013. Indice 1 Principi di conservazione. 1 1.1 Il pendolo di Newton................................ 1 1.2 Prove

Dettagli

1) Per quale valore minimo della velocità angolare iniziale il cilindro riesce a compiere un giro completo.

1) Per quale valore minimo della velocità angolare iniziale il cilindro riesce a compiere un giro completo. Esame di Fisica per Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni (Parte I): 04-02-2016 Problema 1. Un punto materiale si muove nel piano su una guida descritta dall equazione y = sin kx [ = 12m, k

Dettagli

Prova scritta del corso di Fisica con soluzioni

Prova scritta del corso di Fisica con soluzioni Prova scritta del corso di Fisica con soluzioni Prof. F. Ricci-Tersenghi 17/04/013 Quesiti 1. Una massa si trova al centro di un triangolo equilatero di lato L = 0 cm ed è attaccata con tre molle di costante

Dettagli

Esercizi di Statica - Moti Relativi

Esercizi di Statica - Moti Relativi Esercizio 1 Esercizi di Statica - Moti Relativi Esercitazioni di Fisica LA per ingegneri - A.A. 2004-2005 Un punto materiale di massa m = 0.1 kg (vedi sotto a sinistra)é situato all estremitá di una sbarretta

Dettagli

Esercizio (tratto dal Problema 3.35 del Mazzoldi 2)

Esercizio (tratto dal Problema 3.35 del Mazzoldi 2) 1 Esercizio (tratto dal Problema 3.35 del Mazzoldi 2) Un corpo sale lungo un piano inclinato (θ 18 o ) scabro (µ S 0.35, µ D 0.25), partendo dalla base con velocità v 0 10 m/s e diretta parallelamente

Dettagli

4. Su di una piattaforma rotante a 75 giri/minuto è posta una pallina a una distanza dal centro di 40 cm.

4. Su di una piattaforma rotante a 75 giri/minuto è posta una pallina a una distanza dal centro di 40 cm. 1. Una slitta, che parte da ferma e si muove con accelerazione costante, percorre una discesa di 60,0 m in 4,97 s. Con che velocità arriva alla fine della discesa? 2. Un punto materiale si sta muovendo

Dettagli

Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche

Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Ø Prof. Attilio Santocchia Ø Ufficio presso il Dipartimento di Fisica (Quinto Piano) Tel. 075-585 2708 Ø E-mail: attilio.santocchia@pg.infn.it Ø Web: http://www.fisica.unipg.it/~attilio.santocchia

Dettagli

15/04/2014. Serway, Jewett Principi di Fisica IV Ed. Capitolo 8. Generalizziamo, considerando due particelle interagenti.

15/04/2014. Serway, Jewett Principi di Fisica IV Ed. Capitolo 8. Generalizziamo, considerando due particelle interagenti. Serway, Jewett Principi di Fisica IV Ed. Capitolo 8 Esempio arciere su una superficie ghiacciata che scocca la freccia: l arciere (60 kg) esercita una forza sulla freccia 0.5 kg (che parte in avanti con

Dettagli

Esercitazione 2. Soluzione

Esercitazione 2. Soluzione Esercitazione 2 Esercizio 1 - Resistenza dell aria Un blocchetto di massa m = 0.01 Kg (10 grammi) viene appoggiato delicatamente con velocità iniziale zero su un piano inclinato rispetto all orizziontale

Dettagli

LAVORO, POTENZA ED ENERGIA

LAVORO, POTENZA ED ENERGIA LAVORO, POTENZA ED ENERGIA Giuseppe Frangiamore con la collaborazione di Leonardo Zaffuto Solitamente si dice di compiere un lavoro ogni volta che si esegue un attività di tipo fisico o mentale. Quando

Dettagli

CAPITOLO 7: ESEMPI PRATICI: 7.1 Esempi di dinamica.

CAPITOLO 7: ESEMPI PRATICI: 7.1 Esempi di dinamica. CAPITOLO 7: ESEMPI PRATICI: 7.1 Esempi di dinamica. Questo capitolo vuole fornire una serie di esempi pratici dei concetti illustrati nei capitoli precedenti con qualche approfondimento. Vediamo subito

Dettagli

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 17/01/2013

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 17/01/2013 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 17/01/2013 1) Un proiettile massa m è connesso ad una molla di costante elastica k e di lunghezza a riposo nulla. Supponendo che il proiettile venga lanciato a t=0

Dettagli

8) Un blocco di massa m1=2 Kg scivola su un piano orizzontale liscio con velocità di 10 m/ s. Subito di fronte ad esso un blocco di massa m2=5 Kg si

8) Un blocco di massa m1=2 Kg scivola su un piano orizzontale liscio con velocità di 10 m/ s. Subito di fronte ad esso un blocco di massa m2=5 Kg si 15/12/2014 1) Un corpo cade dallʼaltezza h=10m soggetto alla sola forza di gravità. La velocità iniziale del corpo è nulla. Calcolare la velocità del corpo quando h=3m. 2) Un disco di hockey di massa 0.4

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA 16 Febbraio 2016

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA 16 Febbraio 2016 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA 16 Febbraio 016 1) Un corpo di massa M= kg si muove lungo una guida AB, liscia ed irregolare, partendo dal punto A a quota H = 9m, fino al

Dettagli

ESERCIZI Lavoro Potenza - Energia cinetica - Teorema delle forze vive.

ESERCIZI Lavoro Potenza - Energia cinetica - Teorema delle forze vive. ESERCIZI Lavoro Potenza - Energia cinetica - Teorema delle forze vive. 1) Un uomo pulisce un pavimento con l aspirapolvere con una forza di intensità 50 N la cui direzione forma un angolo di 30 con l orizzontale.

Dettagli

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 16/01/2015

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 16/01/2015 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 16/01/2015 1) Un cannone spara un proiettile di massa m con un alzo pari a. Si calcoli in funzione dell angolo ed in presenza dell attrito dell aria ( schematizzato

Dettagli

Lavoro di FISICA LICEO SCIENTIFICO italo-inglese classe IV N- Per studenti che hanno frequentato all estero

Lavoro di FISICA LICEO SCIENTIFICO italo-inglese classe IV N- Per studenti che hanno frequentato all estero LICEO CLASSICO L. GALVANI Sommario Lavoro di FISICA LICEO SCIENTIFICO italo-inglese classe IV N-... 1 Per studenti che hanno frequentato all estero... 1 Prova di Riferimento di Fisica per gli studenti

Dettagli

CLASSE 3 D. CORSO DI FISICA prof. Calogero Contrino IL QUADERNO DELL ESTATE

CLASSE 3 D. CORSO DI FISICA prof. Calogero Contrino IL QUADERNO DELL ESTATE LICEO SCIENTIFICO GIUDICI SAETTA E LIVATINO RAVANUSA ANNO SCOLASTICO 2013-2014 CLASSE 3 D CORSO DI FISICA prof. Calogero Contrino IL QUADERNO DELL ESTATE 20 esercizi per restare in forma 1) Un corpo di

Dettagli

Meccanica Applicata alle Macchine

Meccanica Applicata alle Macchine Meccanica Applicata alle Macchine 06-11-013 TEMA A 1. Un cilindro ed una sfera omogenei di uguale massa m ed uguale raggio r sono collegati tra loro da un telaio di massa trascurabile mediante coppie rotoidali

Dettagli

ESERCIZIO SOLUZIONE T U E 1. iniziale. finale 0. 2 mv2 o 1. 2 mv kx2 1. o 2 kx2 o

ESERCIZIO SOLUZIONE T U E 1. iniziale. finale 0. 2 mv2 o 1. 2 mv kx2 1. o 2 kx2 o ESERCIZIO Sia dato un corpo di massa m = 0 kg e velocità v o = 0 m/s che impatta sull estremo libero di una molla di costante elastica k = 000 N/m in modo da provocarne la compressione. Si consideri dapprima

Dettagli

I PROVA INTERCORSO FISICA INGEGNERIA MECCANICA (N-Z)

I PROVA INTERCORSO FISICA INGEGNERIA MECCANICA (N-Z) I PROVA INTERCORSO FISICA INGEGNERIA MECCANICA (N-Z) 05-11-2015 Una pallina da tennis viene lanciata con velocità V0 = 40 m/s ed angolo rispetto all orizzontale = /3. Il campo da tennis è lungo 30 m e

Dettagli

m1. 75 gm m gm h. 28 cm Calcolo le velocità iniziali prima dell'urto prendendo positiva quella della massa 1: k 1

m1. 75 gm m gm h. 28 cm Calcolo le velocità iniziali prima dell'urto prendendo positiva quella della massa 1: k 1 7 Una molla ideale di costante elastica k 48 N/m, inizialmente compressa di una quantità d 5 cm rispetto alla sua posizione a riposo, spinge una massa m 75 g inizialmente ferma, su un piano orizzontale

Dettagli

L energia potenziale gravitazionale di un oggetto di massa m che si trova ad un altezza h rispetto ad un livello scelto come riferimento è: E PG = mgh

L energia potenziale gravitazionale di un oggetto di massa m che si trova ad un altezza h rispetto ad un livello scelto come riferimento è: E PG = mgh Lezione 15 - pag.1 Lezione 15: L energia potenziale e l'energia meccanica 15.1. L energia potenziale gravitazionale Consideriamo quello che succede quando solleviamo un oggetto, applicando un forza appena

Dettagli

Cap 7 - Lavoro ed energia Lavoro di una forza costante

Cap 7 - Lavoro ed energia Lavoro di una forza costante N.Giglietto A.A. 2005/06-7.3 - Lavoro di una forza costante - 1 Cap 7 - Lavoro ed energia Abbiamo visto come applicare le leggi della dinamica in varie situazioni. Spesso però l analisi del moto spesso

Dettagli

A: L = 2.5 m; M = 0.1 kg; v 0 = 15 m/s; n = 2 B: L = 2 m; M = 0.5 kg; v 0 = 9 m/s ; n = 1

A: L = 2.5 m; M = 0.1 kg; v 0 = 15 m/s; n = 2 B: L = 2 m; M = 0.5 kg; v 0 = 9 m/s ; n = 1 Esercizio 1 Un asta di lunghezza L e massa trascurabile, ai cui estremi sono fissati due corpi uguali di massa M (si veda la figura) giace ferma su un piano orizzontale privo di attrito. Un corpo di dimensioni

Dettagli

Il lavoro e l energia

Il lavoro e l energia Il lavoro e l energia Il concetto fondamentale che mette in relazione forze, spostamenti ed energia è quello di lavoro Lavoro di una forza costante Nel caso di forza e spostamento con uguale direzione

Dettagli

Principio di Conservazione dell Energia

Principio di Conservazione dell Energia Principio di Conservazione dell Energia Giuseppe Augello 6 dicembre 2016 Giuseppe Augello 1 Che cos e l Energia? Le forme dell Energia Il Principio di Conservazione dell Energia Stabilisce che esiste una

Dettagli

k. newton t1 1.0 t N.B. per ora tengo t adimensionale i 7.

k. newton t1 1.0 t N.B. per ora tengo t adimensionale i 7. 5. Due forze F e F 2 agiscono su di un punto materiale di massa m 2 kg la cui posizione in movimento è data da r b c, con b 8 u y 3.2 u z e c (.5 + t)u x + (2 t 2 )u z dove t è espresso in secondi e r

Dettagli

Corso Meccanica Anno Accademico 2016/17 Scritto del 24/07/2017

Corso Meccanica Anno Accademico 2016/17 Scritto del 24/07/2017 Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è vincolato a muoversi sotto l azione della gravità su un vincolo bilaterale (vedi figura) formato da un arco di circonferenza, AB, sotteso ad un angolo di

Dettagli

ESERCIZI DI DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

ESERCIZI DI DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE ESERCIZI DI DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE Per un pendolo semplice di lunghezza l=5 m, determinare a quale altezza può essere sollevata la massa m= g sapendo che il carico di rottura è T max =5 N. SOL.-

Dettagli

4. Disegnare le forze che agiscono sull anello e scrivere la legge che determina il moto del suo centro di massa lungo il piano di destra [2 punti];

4. Disegnare le forze che agiscono sull anello e scrivere la legge che determina il moto del suo centro di massa lungo il piano di destra [2 punti]; 1 Esercizio Una ruota di raggio e di massa M può rotolare senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ 2, ed è collegato tramite un filo inestensibile ad un blocco di massa m, che a sua volta

Dettagli

Dinamica del punto materiale: problemi con gli oscillatori.

Dinamica del punto materiale: problemi con gli oscillatori. Dinamica del punto materiale: problemi con gli oscillatori. Problema: Una molla ideale di costante elastica k = 300 Nm 1 e lunghezza a riposo l 0 = 1 m pende verticalmente avendo un estremità fissata ad

Dettagli

SOLUZIONI. z) [ 6αyz]= [ MLT 2] [α] [ L 2] = [ MLT 2] [α]= [ ML 1 T 2] Si può facilmente verificare che il risultato soddisfa anche la y) elaz).

SOLUZIONI. z) [ 6αyz]= [ MLT 2] [α] [ L 2] = [ MLT 2] [α]= [ ML 1 T 2] Si può facilmente verificare che il risultato soddisfa anche la y) elaz). LAVORO ED ENERGIA ESERCIZIO 1 Dato il campo di forze F = α(3x î + 3z ĵ + 6yz ˆk): a) determinare le dimensioni di α; b) essendo il campo conservativo con energia potenziale pari a U(x,y,z)=αx 3 + 3αyz

Dettagli

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 13/01/2014

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 13/01/2014 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 13/01/2014 1) Un punto materiale inizialmente in moto rettilineo uniforme è soggetto alla sola forza di Coriolis. Supponendo che il punto si trovi inizialmente nella

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA 30 gennaio 2012

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA 30 gennaio 2012 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA 30 gennaio 2012 1) Un corpo di massa m = 1 kg e velocità iniziale v = 5 m/s si muove su un piano orizzontale scabro, con coefficiente di attrito

Dettagli

sfera omogenea di massa M e raggio R il momento d inerzia rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa vale I = 2 5 MR2 ).

sfera omogenea di massa M e raggio R il momento d inerzia rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa vale I = 2 5 MR2 ). ESERCIZI 1) Un razzo viene lanciato verticalmente dalla Terra e sale con accelerazione a = 20 m/s 2. Dopo 100 s il combustibile si esaurisce e il razzo continua a salire fino ad un altezza massima h. a)

Dettagli

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2012/2013 APPELLO 18 Luglio 2013

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2012/2013 APPELLO 18 Luglio 2013 FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2012/2013 APPELLO 18 Luglio 2013 1) Un corpo di massa m = 500 g scende lungo un piano scabro, inclinato di un angolo θ = 45. Prosegue poi lungo un tratto orizzontale

Dettagli

Esercizi e problemi supplementari sulla dinamica dei sistemi di punti materiali

Esercizi e problemi supplementari sulla dinamica dei sistemi di punti materiali Esercizi e problemi supplementari sulla dinamica dei sistemi di punti materiali A) Applicazione del teorema dell impulso + conservazione quantità di moto Problema n. 1: Un blocco A di massa m = 4 kg è

Dettagli

approfondimento Lavoro ed energia

approfondimento Lavoro ed energia approfondimento Lavoro ed energia Lavoro compiuto da una forza costante W = F. d = F d cosθ dimensioni [W] = [ML T - ] Unità di misura del lavoro N m (Joule) in MKS dine cm (erg) in cgs N.B. Quando la

Dettagli

Errata Corrige. Quesiti di Fisica Generale

Errata Corrige. Quesiti di Fisica Generale 1 Errata Corrige a cura di Giovanni Romanelli Quesiti di Fisica Generale per i C.d.S. delle Facoltà di Scienze di Prof. Carla Andreani Dr. Giulia Festa Dr. Andrea Lapi Dr. Roberto Senesi 2 Copyright@2010

Dettagli

Lavoro ed energia. Daniel Gessuti

Lavoro ed energia. Daniel Gessuti Lavoro ed energia Daniel Gessuti indice 1 Lavoro e potenza 1 Lavoro di una forza costante 1 Lavoro di una forza non costante 2 Potenza 3 2 Forme di energia 4 Energia cinetica 4 Energia potenziale gravitazionale

Dettagli

Applicazioni delle leggi della meccanica: moto armnico

Applicazioni delle leggi della meccanica: moto armnico Applicazioni delle leggi della meccanica: moto armnico Discutiamo le caratteristiche del moto armonico utilizzando l esempio di una molla di costante k e massa trascurabile a cui è fissato un oggetto di

Dettagli

3. Si dica per quali valori di p e q la seguente legge e` dimensionalmente corretta:

3. Si dica per quali valori di p e q la seguente legge e` dimensionalmente corretta: Esercizi su analisi dimensionale: 1. La legge oraria del moto di una particella e` x(t)=a t 2 +b t 4, dove x e` la posizione della particella e t il tempo. Si determini le dimensioni delle costanti a e

Dettagli

Lezione mecc n.21 pag 1. Argomenti di questa lezione (esercitazione) Macchina di Atwood Moti kepleriani Urti, moti armonici Moto di puro rotolamento

Lezione mecc n.21 pag 1. Argomenti di questa lezione (esercitazione) Macchina di Atwood Moti kepleriani Urti, moti armonici Moto di puro rotolamento Lezione mecc n.21 pag 1 Argomenti di questa lezione (esercitazione) Macchina di Atwood Moti kepleriani Urti, moti armonici Moto di puro rotolamento Lezione mecc n.21 pag 2 28 aprile 2006 Esercizio 2 Nella

Dettagli

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2013/2014 1) FLUIDI V= 5 dm3 a= 2 m/s2 aria = g / cm 3 Spinta Archimedea Tensione della fune

FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2013/2014 1) FLUIDI V= 5 dm3 a= 2 m/s2 aria = g / cm 3 Spinta Archimedea Tensione della fune FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2013/2014 II Compitino 26 Giugno 2014 1) FLUIDI Un bambino trattiene un palloncino, tramite una sottile fune. Il palloncino ha volume V= 5 dm 3. La sua massa, senza il

Dettagli

Dinamica: Forze e Moto, Leggi di Newton

Dinamica: Forze e Moto, Leggi di Newton Dinamica: Forze e Moto, Leggi di Newton La Dinamica studia il moto dei corpi in relazione il moto con le sue cause: perché e come gli oggetti si muovono. La causa del moto è individuata nella presenza

Dettagli

Esercizio 1 Meccanica del Punto

Esercizio 1 Meccanica del Punto Esercizio 1 Meccanica del Punto Una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo L 0 è appesa al soffitto di una stanza di altezza H. All altra estremità della molla è attaccata una pallina di massa

Dettagli

Esercitazione 13/5/2016

Esercitazione 13/5/2016 Esercitazione 3/5/206 Esercizio Un anello di massa m e raggio r rotola senza strisciare su un piano orizzontale con velocità v CM costante. Ad un certo istante inizia a salire lungo un piano inclinato.

Dettagli

(trascurare la massa delle razze della ruota, e schematizzarla come un anello; momento d inerzia dell anello I A = MR 2 )

(trascurare la massa delle razze della ruota, e schematizzarla come un anello; momento d inerzia dell anello I A = MR 2 ) 1 Esercizio Una ruota di raggio R e di massa M può rotolare senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ 2, ed è collegato tramite un filo inestensibile ad un blocco di massa m, che a sua volta

Dettagli

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 25/01/2011

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 25/01/2011 Compito di Fisica Generale (Meccanica) 25/01/2011 1) Un punto materiale di massa m è vincolato a muoversi su di una guida orizzontale. Il punto è attaccato ad una molla di costante elastica k. La guida

Dettagli

) 2 + β 2. Il primo membro si semplifica tenendo conto che

) 2 + β 2. Il primo membro si semplifica tenendo conto che Calcolo vettoriale 1) Sono dati due vettori uguali in modulo a e b e formanti un certo angolo θ ab. Calcolare m = a = b sapendo che il modulo della loro somma vale 8 e che il modulo del loro prodotto vettoriale

Dettagli

Lavoro ed energia cinetica

Lavoro ed energia cinetica Lavoro ed energia cinetica Servono a risolvere problemi che con la Fma sarebbero molto più complicati. Quella dell energia è un idea importante, che troverete utilizzata in contesti diversi. Testo di riferimento:

Dettagli

Corsi di Laurea per le Professioni Sanitarie. Cognome Nome Corso di Laurea Data

Corsi di Laurea per le Professioni Sanitarie. Cognome Nome Corso di Laurea Data CLPS12006 Corsi di Laurea per le Professioni Sanitarie Cognome Nome Corso di Laurea Data 1) Essendo la densità di un materiale 10.22 g cm -3, 40 mm 3 di quel materiale pesano a) 4*10-3 N b) 4 N c) 0.25

Dettagli

Problema (tratto dal 7.42 del Mazzoldi 2)

Problema (tratto dal 7.42 del Mazzoldi 2) Problema (tratto dal 7.4 del azzoldi Un disco di massa m D e raggio R ruota attorno all asse verticale passante per il centro con velocità angolare costante ω. ll istante t 0 viene delicatamente appoggiata

Dettagli

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 16 luglio 2013

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 16 luglio 2013 Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 16 luglio 013 Problema 1 Un cubo di legno di densità ρ = 800 kg/m 3 e lato a = 50 cm è inizialmente in quiete, appoggiato su un piano orizzontale.

Dettagli

POLITECNICO DI MILANO Fondamenti di Fisica Sperimentale, a. a I appello, 12 luglio 2016

POLITECNICO DI MILANO Fondamenti di Fisica Sperimentale, a. a I appello, 12 luglio 2016 POLITECNICO DI MILANO Fondamenti di Fisica Sperimentale, a. a. 015-16 I appello, 1 luglio 016 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Scrivere in stampatello nome, cognome, matricola

Dettagli

Lezione 8. Campo e potenziale elettrici

Lezione 8. Campo e potenziale elettrici Lezione 8. Campo e potenziale elettrici Legge di Coulomb: Unitá di misura: F = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 r 2 1 4πɛ 0 = 8.99 10 9 Nm 2 /C 2 Campi elettrici E = F/q 1 F = qe Unitá di misura del campo elettrico: [E]

Dettagli

DEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA

DEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA DEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA Sia dato un sistema con vincoli lisci, bilaterali e FISSI. Ricaviamo, dall equazione simbolica della dinamica, il teorema

Dettagli